TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT TRỤC HỒNH Bài tốn 01: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 1,2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT Bài 1: Cách 1: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục 2 2 Ox: x3 + mx + = ⇔ x2 + = − m f(x) = x + ⇒ f '(x) = 2x − ⇒ f '(x) = ⇔ x = x x x Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu toán ⇔ − m < ⇔ m > −3 Cách 2: Để đồ thị hàm số (1) cắt Ox điểm ta có trường hợp sau: TH 1: Đồ thị hàm số (1) khơng có cực trị hàm số (1) ln đồng biến (do a = > ) R ⇔ y' = 3x2 + m ≥ ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≥ TH 2: Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị dấu y' = ⇔ x2 = − y1 = + m m với m < Hai giá trị cực trị là: ⇔ x= ± − 3 2m m 2m m − ; y2 = − − 3 3 ⇒ y1.y2 = + 4m3 > ⇔ −3 < m < Vậy m > −3 giá trị cần tìm 27 2 y′ = 6x2 − 6(m + 1)x + 6m có ∆′y' = 9(m + 1) − 36m = 9(m − 1) Nếu m = y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ hàm số đồng biến ¡ ⇒đồ thị cắt trục hoành điểm ⇒m = thoả mãn Nếu m ≠ hàm số có điểm cực trị x1, x2 ( x1, x2 nghiệm phương trình y′ = )⇒x1 + x2 = m + 1; x1x2 = m  x m + 1 Lấy y chia cho y′ ta được: y =  − ÷y′ − (m − 1) x − + m(m + 1)  3 ⇒ phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y = −(m − 1) x − + m(m + 1) Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm ⇔ y ( x1) y ( x2 ) > ( )( ) ⇔ −(m − 1)2 x1 − + m(m + 1) −(m − 1)2 x2 − + m(m + 1) > ⇔(m − 1)2(m2 − 2m − 2) < ⇔m2 − 2m − < (vì m ≠ 1) ⇔1− < m < 1+ Bài 2: 165 Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 − 3x2 − (2m − 1)x + 4m + = ⇔ (x − 2)(x2 − x − 2m − 1) = ⇔ x = f(x) = x2 − x − 2m − = (d): tiếp xúc đồ thị (C) hàm số hai điểm phân biệt phương trình f(x) = phải có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ≠ x1 = x2 x1 = ≠ x2 ∆ = 8m + =   ≠ x = x ⇔ ⇔ ⇔ m=− Th1:  b 1 − ≠ ≠   2  2a ∆ > 8m + > ⇔ ⇔ m= Th2: x1 = ≠ x2 ⇔  f(2) = −2m + = Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox: x4 − 2m2x2 + m4 + 2m = (1).Đặt t = x (t ≥ 0) , (1) trở thành : t2 − 2m2t + m4 + 2m = (2) Ta có : ∆ ' = −2m > S = 2m2 > với m > Nên (2) có nghiệm dương ⇒ (1) có nghiệm phân biệt ⇒ đồ thị hàm số (1) ln cắt trục Ox hai điểm phân biệt Bài 3: Để ( C m ) tiếp xúc Ox điểm phân biệt ( C m ) có cực trị đồng thời yCĐ = yCT = ( C m ) có cực trị ⇔ y' = có nghiệm phân biệt ⇔ 3x2 − 3m2 = có nghiệm phân biệt Khi m ≠ y' = ⇔ x = ± m yCĐ = y ( − m) = ⇔ 2m3 + 2m = ⇔ m = (loại) yCT = y ( m) = ⇔ −2m3 + 2m = ⇔ m = ∨ m = ±1 Bài 4: Phương trình hồnh độ giao điểm (C m ) Ox : x4 − 2(m + 1)x2 + m2 − 3m(1) ⇒ t2 − 2(m + 1)t + m2 − 3m = (2)  t = x2 ≥ (C m ) Ox có điểm chung ⇔ phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt  2 m> − ∆ ' > (m + 1) − m + 3m >     ⇔ P > ⇔ m2 − 3m > ⇔ m < ∨ m > ⇔ − < m < ∨ m > S > 2(m + 1) > m > −1     (C m ) Ox có ba điểm chung ⇔ phương trình (1) có ba nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm nghiệm dương P =  m = ∨ m = ⇔ ⇔ ⇔ m = ∨ m = S >  m > −1 (C m ) Ox có hai điểm chung ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm 166 ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu có nghiệm kép dương 0 < m < P <    ⇔  ∆ ' = ⇔ m = − ⇔ m = − ∨ < m < 5   S >  m > −1 d (C m ) Ox khơng có điểm chung ⇔ phương trình (1) vơ nghiệm ⇔ phương trình (2) vơ nghiệm có nghiệm nghiệm âm  m > − ∆ ' ≥   ⇔ ∆ ' < ∨ P > ⇔ m < − ∨  m < ∨ m > ⇔ m < −  S < m < −1    Bài toán 02: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA MÃN HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC Bài Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x4 − 2( m + 1) x2 + 2m + = ( ∗) Đặt t = x2 ,t ≥ ( ∗) trở thành: f(t) = t2 − 2( m + 1) t + 2m + = ( Cm ) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ 0 = t1 < t2 < ⇔ f ( t) có nghiệm phân biệt t1, t2 cho:  ⇔ m = − ,m ≥ < t < ≤ t  Bài Xét phương trình hoành độ giao điểm x + 2mx + m + = (1) Đặt t = x2 điều kiện t ≥ Phương trình trở thành t2 + 2mt + m + = (2) Giả sử phương trinh (2) có nghiệm thỏa mãn < t1 < t2 phương trình (1) có nghiệm x1 = − t2 < x2 = − t1 < x3 = t1 < x4 = t2 Với lập luận tốn trở thành tìm m để phương trình (2) có ∆′ = m2 − m − >  S = −2m > t < < < t ⇔ nghiệm dương phân biệt thỏa mãn:  P = m + >  t < 1< < t 1 t1 < 1< t2 (t − 1)(t2 − 1) < t t − (t1 + t2) + < ⇔ ⇔ 12 Với t1 < 1< < t2 ⇔  t1 < < t2 (t1 − 4)(t2 − 4) < t1t2 − 4(t1 + t2) + 16 < Bài 3: Hàm số cho có hai cực trị trái dấu ⇔ (C m ) cắt Ox ba điểm phân biệt Phương trình hồnh độ giao điểm (C m ) Ox: x3 − (4m + 3)x2 + (m + 2)x + 3m = ⇔ (x − 1)[x2 − 2(2m + 1)x − 3m] = 167 ⇔ x = x2 − 2(2m + 1)x − 3m = (∗) Yêu cầu tốn ⇔ (∗) có hai nghiệm phân biệt khác Đồ thị (C m ) cắt Ox ba điểm phân biệt có điểm  ycd yct < có hồnh độ âm ⇔ hàm số có hai cực trị đồng thời  (1)  y(0) > Ta có: y' = 3[x2 − 2(m + 1)x + m] ⇒ y' = ⇔ x2 − 2(m + 1)x + m = (∗) Hàm số có hai cực trị ⇔ (∗) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = (m + 1)2 − m > ⇔ m2 + m + > ∀m Gọi x1 , x2 hai nghiệm (∗) Ta có: y1 = (x1 − m − 1)y'(x1) − 2(m2 + m + 1)x1 + m2 + = −2(m2 + m + 1)x1 + m2 + Tương tự y2 = −2(m2 + m + 1)x2 + m2 + (m + 1)(m3 − m2 − m − 3) < (2) ⇒ y1.y2 = (m + 1)(m3 − m2 − m − 3) Nên (1) ⇔  m < Xét hàm số g(m) = m3 − m2 − m − 3, m < 1 Có g'(m) = 3m2 − 2m − 1⇒ g(m) = ⇔ m = − ,m = Lập bảng biến thiên ta thấy g(m) < ∀m < m + > ⇒ (2) ⇔  ⇔ −1< m < giá trị cần tìm m < Phương trình hồnh độ giao điểm ( C m ) đường thẳng y = −1: x4 − ( 3m + 2) x2 + 3m = −1 ⇔ x4 − ( 3m + 2) x2 + 3m + = Đặt t = x2 , t ≥ 0; phương trình trở thành : t2 − ( 3m + 2) t + 3m + = ⇔ t =  0 < 3m + 1< − < m < ⇔ t = 3m + Yêu cầu toán:  giá 3m + ≠ m ≠  trị cần tìm x4 − 2mx2 + m2 − = ⇔ x2 = m − x2 = m + Đồ thị (Cm) cắt Ox bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ ⇔ 1< m < Bài 4: Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) với Ox x3 − 3mx2 + (3m − 1)x + 6m − = ⇔ (x − 2)[x2 − (3m − 2)x + 3m − 3] = ⇔ x = x2 − (3m − 2)x + 3m − = (∗) 168 (Cm) cắt Ox ba điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 khác    4−   4+ ; +∞ ÷ m ∈  −∞; ÷∪  ∆ = 9m2 − 24m + 14 >   ÷  ÷     ⇔ 2⇔  5 − 3m ≠  m ≠  Khi x12 + x22 + x23 + x1x2x3 = (x1 + x2)2 + = (3m − 2)2 + Nên ta có : (3m − 2)2 + = 20 ⇔ 9m2 − 12m − 12 = ⇔ m = 2,m = − Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) d: x3 − 2x2 − (3m − 1)x + m + = (1− m)x + m − ⇔ 2m = x − 2x + = f(x) (*) x 2(x − 2)(x2 + x + 2) Xét hàm số y = f(x) ta có : f '(x) = 2x − − = ,f '(x) = ⇔ x = x2 x2 Dựa vào bảng biến thiên ta có 2m > f(1) = ⇔ m > Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) với đường thẳng y = −1 : x4 − (3m + 2)x2 + 3m + = ⇔ x2 = x2 = 3m +  3m + > m > − ⇔ ⇔ (Cm) cắt Ox bốn điểm phân biệt   3m + ≠ m ≠  Khi x12 + x22 + x23 + x24 + x1x2x3x4 = 3m + Bài 5: Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) với Ox Nên x12 + x22 + x23 + x24 + x1x2x3x4 = ⇔ m = x3 − (2m + 3)x2 + (2m2 − m + 9)x − 2m2 + 3m − 7= ⇔ x = 1, x2 − 2(m + 1)x + 2m2 − 3m + = (1) (Cm) cắt Ox ba điểm phân biệt có hai điểm có hồnh độ lớn ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn < x1 < x2 (1) ⇔ ∆ ' = (m + 1)2 − 2m2 + 3m − > ⇔ −m2 + 5m − > ⇔ < m < (a) 1< x1 x − > x1 + x2 > x + x > ⇔ ⇔ ⇔  1 < x2 x2 − > (x1 − 1)(x2 − 1) > x1x2 − (x1 + x2) + > 2(m + 1) > m > ⇔ ⇔ ⇔ m > (b) 2m − 3m + − 2(m + 1) + > 2m − 5m + > Từ (a) (b) ta có: Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn < x1 < x2 ⇔ < m < 169 BC = (x1 − x2)2 = (x1 + x2)2 − 4x1x2 = 4(m + 1)2 − 4(2m2 − 3m + 7)  5 = −4m2 + 20m − 24 = 1− 4 m − ÷ ≤ 1⇒ BC ≤ 1⇒ BC = ⇔ m = ∈ (2;3) 2  Bài 6: ( C m ) cắt trục Ox : x3 − 3mx2 − 3x + 3m + = ⇔ ( x − 1)  x2 − ( 3m − 1) x − 3m − 2 =0 ⇔ x = 1,x2 − ( 3m − 1) x − 3m − = ( 2)   ( Cm ) cắt trục Ox 3điểm phân biệt có hồnh độ x1,x2 ,x3 giả sử x3 = x1 ,x2 nghiệm khác phương trình ( 2) Theo định lý Vi-et ta có: x1 + x2 = 3m − 1,x1x2 = −3m − ∆( 2) > 9m2 + 6m + >    Theo tốn ta có : 1 − ( 3m − 1) 1− 3m − ≠ ⇔ m ≠   2 9m − ≥ x1 + x2 + x3 ≥ 15 Phương trình hồnh độ giao điểm hàm số trục hoành: − x4 + 4mx2 − 4m = ( 1) Đặt t = x2 , ( t ≥ 0) phương trình ( 1) trở thành − t2 + 4mt − 4m = , t ≥ ( 2) Để đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt M , N , P, Q ∆ ' = 4m2 − 4m >  phương trình ( 2) có nghiệm phân biệt dương ⇔ P = 4m > hay S = 4m >  m > Với m > phương trình ( 2) có nghiệm phân biệt t1 = 2m − m2 − m t2 = 2m + m2 − m , giả sử t1 < t2 MQ = 2NP ⇔ OQ = 4OP tức t2 = 4t1 ⇔ m2 − m = 3m , bình phương vế rút gọn ta phương trình 16m2 − 25m = , phương trình có 25 m= thỏa điều kiện m > 16 Bài 7: Tìm m để (Cm) cắt trục hồnh điểm phân biệt có ba điểm có hồnh độ nhỏ điểm có hồnh độ lớn Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) trục hoành x4 − (3m − 1)x2 + 2m2 + 2m − 12 = (1) Đặt t = x2 , t ≥ Phương trình (1) trở thành: t2 − (3m − 1)t + 2m2 + 2m − 12 = (2) 170 (Cm) cắt trục Ox bốn điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt Vì phương trình (2) ln có hai nghiệm t1 = m+3 t2 = (2m – 4) ,do Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt m + ≠ 2m − m ≠ m >   ⇔ m + > ⇔ m > −3 ⇔  m ≠ 2m − > m >   Khi nghiệm (1) ± m + , ± 2m − * Nếu m+3 > 2m – ⇔ < m < ta có − m + < − 2m − < 2m − < m + Trong nghiệm có ba nghiệm nhỏ nghiệm lớn  2m − < 2m − < ⇔ ⇔ −1< m < ,điều tương đương với  m + >   m + > Giao với điều kiện < m < , ta < m < * Nếu 2m – > m + ⇔ m > ta có − 2m − < − m + < m + < 2m − Ba nghiệm nhỏ nghiệm lớn  2m − > 2m − > m > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ khơng có giá trị m m + < m < −2  m + < Tìm m để (Cm) trục Ox có hai điểm chung B,C cho tam giác ABC với A(0;2) (Cm) Ox có hai điểm chung ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu (2) có nghiệm dương * (2) có hai nghiệm trái dấu ⇔ (m + 3)(2m − 4) < ⇔ −3 < m < * (2) có nghiệm dương ⇔ m + = 2m − > ⇔ m = Vậy (Cm) Ox có hai điểm chung ⇔ −3 < m < ∨ m = Với điều kiện – < m < m+3 > 2m – < B( − m + 3;0) , C( m + 3;0) Rõ ràng tam giác ABC cân A O trung điểm BC ,do Tam giác ABC tam giác ⇔ AO = ⇔ = 3(m + 3) ⇔ m = BC ⇔ 2= m + −5 thỏa điều kiện – < m < Khi m = B( − 7;0) , C( 7;0) ,suy BC = Vì AO ≠ BC nên tam giác ABC khơng m = bị loại 171 Bài toán 03: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HỒNH TẠI 3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT CĨ HỒNH ĐỘ LẬP CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN Bài 1: Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x4 − 2( m + 1) x2 + 2m + = ( ∗) Đặt t = x2 ,t ≥ ( ∗) trở thành: f(t) = t2 − 2( m + 1) t + 2m + = Để ( C m ) cắt Ox điểm phân biệt f(t) = phải có nghiệm dương phân biệt Gọi t1 < t2 nghiệm f(t) = , hồnh độ giao điểm ( C m ) với Ox là: x1 = − t2 , x2 = − t1 , x3 = t1 , x4 = t2 x1, x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng ⇔ x2 − x1 = x3 − x2 = x4 − x3 ⇔ t2 = 9t1 m =  5m = 4m + ⇔ m + 1+ m = m + 1− m ⇔ m = 4( m + 1) ⇔  ⇔  −5m = 4m +  m = −  Bài 2: Phương trình hồnh độ giao điểm (C m ) Ox : ( ) x4 − (3m + 2)x + 2m2 − 5m − = 2( 1) ⇒ t2 – ( 3m + 2) t + 2m2 – 5m – = 0 ( 2) ⇔ t = 2m + ∨ t = m − (C m ) cắt (d) điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm dương phân  m > − 2m + >   ⇔ m > ⇔ m > Khi 2m + > m – biệt ⇔ m − > 2m + ≠ m − m ≠ −4    nghiệm (1) xếp theo thứ tự lớn dần − 2m + , − m − , m − , 2m + 1 Bốn nghiệm lập thành cấp số cộng ⇔ 2m + − m − = m − − (− m − 3) ⇔ 2m + = m − ⇔ 2m + 1= 9(m − 3) ⇔ 7m = 28 ⇔ m = Bốn nghiệm lớn – ⇔ − 2m + > −4 ⇔ 2m + 1< 16 ⇔ m < với điều kiện m > ta < m < 15 Giao 15 Bài 3: Điều kiện cần: Giả sử (C m ) cắt Ox ba điểm A,B,C suy phương trình x3 + 3x2 + (4m − 1)x + 2m2 − = (∗) có ba nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 A(x1;0), B(x2;0), C(x3;0) ⇒ AB = BC ⇔ x2 − x1 = x3 − x2 ⇔ x1 + x3 = 2x2 (1) 172 x3 + 3x2 + (4m − 1)x + 2m2 − = (x − x1)(x − x2)(x − x3) = x3 − ax2 + bx − c Với a = x1 + x2 + x3;b = x1x2 + x2x3 + x3x1;c = x1x2x3 So sánh hệ số x2 ta có: a = −3 ⇔ x1 + x2 + x3 = −3 (2) Từ (1) (2) suy 3x2 = −3 ⇒ x2 = −1⇒ (∗) có nghiệm x = −1⇒ −1+ − 4m + 1+ 2m2 − = ⇔ m = 0,m = Điều kiện đủ: * m = ⇒ (∗) ⇔ x3 + 3x2 − x − = ⇔ x(x2 − 1) + 3(x2 − 1) = ⇔ (x2 − 1)(x + 3) = ⇔ x = −3,x = −1,x = ba nghiệm thỏa (1) nên m = thỏa yêu cầu toán * m = ⇒ (∗) ⇔ x3 + 3x2 + 7x + = ⇔ (x + 1)(x2 + 2x + 5) = ⇔ x = −1 ⇒ m = loại Phương trình hồnh độ giao điểm (C m ) với Ox: x4 − 2mx2 + 2m + = Đặt t = x2 ,t ≥ ta có: t2 − 2mt + 2m + = (1) (C m ) cắt Ox bốn điểm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm dương phân biệt ∆ ' = m2 − 2m − >  ⇔ S = 2m > ⇔ m > (∗) Gọi t1 = m − ∆ ', t2 = m + ∆ ' P = 2m + >  ( ) ( ) ( ) ( Khi A − t2 ;0 , B − t1 ;0 , C t1 ;0 , D ) t2 ;0  t − t = t 1 ⇒ AB = BC = CD ⇔  ⇔ t2 = t1 2 t1 = t2 − t1 x3 + px2 + pqx + q3 = ⇔ x = −q x2 + (p − q)x + q2 = (∗) Ta có ∆ = (p − q)2 − 4q2 = p2 − 2pq − 3q2 = (p + q)(p − 3q) Do p,q > p > 3q ⇒ ∆ > Nên (*) ln có hai nghiệm phân biệt x 1,x2 thỏa x1x2 = q2 Do ba nghiệm x1, −q,x2 lập thành CSN ( ) 2 t − 10mt + 6m + = (1) t = x ( Cm ) cắt trục Ox điểm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm dương phân biệt Gọi hai nghiệm dương phương trình (1) t1, t2  ( t1 < t2 ) bốn nghiệm phương trình cho xếp theo thứ tự lớn dần lập CSC − t2 , − t1 , t1 , t2 thỏa mãn ( ) ( : t2 − t1 = t1 − − t1 = − t1 − − t2 ) ⇔ t2 = t1 ⇔ t2 = 9t1 173 Áp dụng định lí Vi-et vào phương trình (1) ,kết hợp với điều kiện t2 = 9t1 ,ta t = 9t t1 + t2 = 10m t2 = 9t1 2   ⇔ m = 1,m = − có hệ t1t2 = 6m + ⇔ 10t1 = 10m ⇔ t1 = m t = 9t    9t1 = 6m + 9m − 6m − = 174