Vấn đề LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Phương pháp: 1) Để lập phương trình (P ) ta cần tìm điểm mà (P ) qua VTPT (P ) Khi tìm VTPT (P ) cần lưu ý số tính chất sau : u r r �Nếu giá hai véc tơ khơng phương a, b có giá song song ur n ( P ) nằm  u r r � a, b�là VTPT (P ) � � �Nếu hai mặt phẳng song song với VTPT mặt phẳng VTPT mặt phẳng uuur �Nếu (P ) chứa (hoặc song song) với AB giá véc tơ AB nằm (hoặc song song) với (P ) �Nếu (P )  (Q) VTPT mặt phẳng có giá nằm song song với mặt phẳng uuur �Nếu (P )  AB AB VTPT (P ) �Thơng thường để lập phương trình mặt phẳng ta thường tìm cặp véc tơ có giá song song nằm (P ) , từ tìm VTPT (P ) 2) Các trường hợp đặc biệt �Mặt phẳng ( ) qua ba điểm không trùng với gốc tọa độ x y z    a b c �Các mặt phẳng tọa độ (Oyz) : x  0, (Ozx) : y  0, (Oxy) : z  �Mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ Ax  By  Cz  �Mặt phẳng ( ) song song (D �0) chứa (D  0) trục Ox có dạng By  Cz  D  �Mặt phẳng ( ) song song (D �0) chứa (D  0) trục Oy có dạng Ax  Cz  D  �Mặt phẳng ( ) song song (D �0) chứa (D  0) trục Oz có dạng Ax  By  D  �Mặt phẳng ( ) song song (D �0) với mặt phẳng (Oxy) có phương trình A (a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) có phương trình Cz  D  �Mặt phẳng ( ) song song (D �0) với mặt phẳng (Oyz) có phương trình Ax  D  �Mặt phẳng ( ) song song (D �0) với mặt phẳng (Ozx) có phương trình 107 By  D  Ví dụ 1.2.6 Cho tam giác ABC vuông cân A Trọng tâm tam giác G(3; 6; 1) trung điểm BC M(4; 8;  1) Đường thẳng BC nằm mặt phẳng 2x  y  2z  14  Tìm tọa độ đỉnh A,B,C Lời giải Gọi tọa độ A(xA ; yA ; zA ) uuur uuuur Ta có: GA(xA  3; yA  6; zA  1), MG(1;  2; 2) �xA   2 uuur uuuur � Vì GA  2MG nên �yA   4 � � zA   � xA  � � yA  � A(1; 2; 5) � � zA  � Do B thuộc mặt phẳng 2x  y  2z  14  � B(a; 14  2a  2b; b) uuuu r uuuur Suy MB(a  4;  2a  2b; b  1), MA(3;  6; 6) Tam giác ABC vuông cân A nên phải cĩ: uuuur uuuu r � MA.MB  � 3(a  4)  6(6  2a  2b)  6(b  1)  MA  MB � � r �� � �uuuuur uuuu � MA  MB MA  MB (a  4)2  (6  2a  2b)2  (b  1)2  81 � � � � a   2b a   2b � � �� � � (2  2b)2  (2  2b)2  (b  1)2  81 � (b  1)2  � a   2b � � � �� b1 � �� b   3 �� a   2b � b  2; a  2 � � �� b �� b  4; a  10 � �� b  4 �� Nếu a  2; b  B(2; 14;2), C(10; 2;  4) Nếu a  10; b  4 B(10; 2;  4), C(2; 14;2) Ví dụ 2.2.6 Trong khơng gian tọa độ Oxyz , Cho điểm A (1;0;0), B(0; b;0) , C (0;0; c) , b, c dương mặt phẳng (P ) : y  z   Xác định b c , biết mặt phẳng ( ABC ) vng góc với mặt phẳng (P ) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( ABC ) Cho điểm A(5; 3;  1), C(2;3;  4) đỉnh hình vng ABCD Tìm tọa độ điểm D biết điểm B nằm mặt phẳng có phương trình ( ): x  y  z   Lời giải Phương trình ( ABC ) : 108 x y z   1 b c Vì ( ABC)  (P ) � 1   � b  c � ( ABC) : bx  y  z  b  b c Mà d(O, ( ABC ))  � Vậy b  c  b b2   1 � b (do b  ) giá trị _an tìm 5� �7 � � uuur uuur Gọi B(x; y; z) AB(x  5; y  3; z  1), CB(x  2; y  3; z  4) Tâm hình vng I � ; 3;  � 2 � �x  y  z   B �( ) � � x  z 1 Ta có �AB  CB � � �uuur uuur � (x  5)(x  2)  (y  3)2  (z  1)(z  4)  �AB.CB  � Giải ta có B(2; 3;  1) B(3; 1;  2) Suy điểm cần tìm tương ứng D(5; 3;  4) D(4; 5;  3) Ví dụ 3.2.6 Trong khơng gian Oxyz Cho điểm A (2;0;1), B(0; 2;3) mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA  MB  Đề thi ĐH Khối A – 2011 Cho mặt cầu (S) có phương trình x2  y2  z2  4x  y  4z  điểm A (4;4;0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB) , biết B thuộc (S) tam giác OAB Đề thi ĐH Khối A – 2011 Lời giải uuur Gọi E trung điểm AB ta có: E (1; 1;2) , AB  (2; 2;2) Phương trình mặt phẳng trung trực (Q) AB có phương trình: x  y  z   Vì MA  MB nên suy M �(Q) � M �(P ) �(Q) � c  3 � � 2a  b  c   � � M ( a ; b ; c ) Gọi suy ra: � � �a  b  c   � b  1 � �1 �2 � �3 � �2 a a 2 � Mặt khác: MA  � (a  2)2  � a  1�  � a  2�  Giải ta a  0, a   � 109 � 12 � � �7 7 � Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu toán là: M  0;1;3 , M � ; ; Xét B (a; b; c) Vì tam giác AOB nên ta có hệ: � OA  OB � OA  AB � 2 � �a  b   �a   b �a  b  c  32 � � �� �� �� 2 2 � (a  4)2  (b  4)2  c2  32 �c  32  a  b �c  16  2b  8b � Mà B �(S) nên : a2  b2  c2  4a  4b  4c  � (4  b)2  b2  16  2b2  8b  4(4  b)  4b  4c  Hay c  � b2  4b  � b  0, b  Do B (4;0;4) B  0;4;4 uuur uuur OA, OB �  16; 16;16 nên phương trình (OAB) : � B  0;4;4 ta có � � � x  y  z  uuur uuur OA, OB �  16; 16; 16 nên phương trình (OAB) : � B(4;0;4) ta có � � � x  y  z  Ví dụ 4.2.6 Trong khơng gian Oxyz Cho hai mặt phẳng (P ) : x  y  z   (Q) : x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng (R ) vng góc với (P ) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R ) 2 Cho ba điểm A (0;1;2), B (2; 2;1), C (2;0;1) a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z   cho MA  MB  MC Lời giải uuu r uuu r Mặt phẳng (P ) có nP  (1;1;1) VTPT, mp(Q) có nQ  (1; 1;1) VTPT uuur uuu r uuu r � (R )  (P ) � mp(R ) có nR  � nP , nQ � (1;0; 1) VTPT � (R )  (Q) 2� � Do � Suy (R ) : x  z  m  Ta có d(O;(R))  � 110 m 1 0  � m  �2 Vậy (R ) : x  z �2  uuur uuuu r uuur uuuu r � � (2;4; 8) � AB , AC a) Ta có: AB  (2; 3; 1), AC  (2; 1; 1) � � VTPT mp( ABC ) Phương trình mp( ABC) : x  y  4z   Gọi H (a; b; c) trực tâm tam giác ABC � H �( ABC ) � a  2b  4c   (1) uuuu r uuuu r Ta có: CH  (a; b  1; c  2), BH  (a  2; b  2; c  1) uuur uuuu r � � � CH  AB 2a  3b  c   �AB.CH  � �uuuu �� r uuuu r Vì � (2) 2a  b  c   �BH  AC � �BH AC  Từ (1) (2) suy a  0; b  1; c  Vậy H (0;1;2) b) Giả sử M (a; b; c) �(P ) � 2a  2b  c   (3) 2 � �MA  MB � 2b  4c   4a  4b  2c  �� � 2 4a  4b  2c   4a  2c  � � MB  MC � � 2a  3b  c  � 2a  b  � Do � (4) Từ (3) (4) ta tìm được: a  2; b  3; c  7 Vậy M (2;3; 7) điểm cần tìm     Ví dụ 5.2.6 Trong khơng gian Oxyz cho điểm A 2;0;0 , M 0; 3;6 Chứng minh mặt phẳng  P  : x  2y   tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO Tìm toạ độ tiếp điểm ? Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M cắt trục Oy, Oz điểm tương ứng B, C cho VOABC  Lời giải Ta có OM  Do d  M , (P )  2.(3)  12  22   OM , suy (P ) tiếp xúc với mặt cầu tâm bán kính OM Gọi H (a; b; c) tọa độ tiếp điểm � H �(P ) � a  2b   (1) 111 �a b uuuu r uuu r �a  t; b  2t �  t �� Mặt khác OH  (P ) � OH / / nP � �1 �c  �c  � �3 � Vậy H � ; ;0� �5 � Giả sử B (0; b;0), C (0;0; c) Vì mp(Q) qua A, B, C nên phương trình x y z : (Q) :    b c 3 6b   1� c Vì M �(Q) � (2) b c b 1 Khi đó: VOABC  OA.OB.OC  bc  � bc  (3) � b � 2b2  3b   � � � Thay (2) vào (3) ta có: 2b  b  � � b  � 2b2  3b   � � x y z �b  � c  � (Q) :    � 3x  2y  2z   3 �b   � c  6 � (Q) : 3x  y  z   Ví dụ 6.2.6 Viết phương trình mặt phẳng ( ) biết: ( ) qua A (1; 1;1), B(2;0;3) ( ) song song với Ox ; ( ) qua M (3;0;1), N (6; 2;1) ( ) tạo với (Oyz) góc  thỏa Thay vào (1) ta được: t  4t   � t  Lời giải Vì ( ) song song với Ox nên phương trình ( ) có dạng: ay  bz  c  cos   � a  b  c  �c  3b �� , chọn 3b  c  � �a  2b Do A, B �( ) nên ta có: � b  1 � a  2, c  Vậy phương trình ( ) : 2y  z   Vì M �( ) nên phương trình ( ) có dạng: a(x  3)  by  c(x  1)  � ax  by  cx  3a  c  (1) Do N �( ) � 3a  2b  � b  a 112 Mặt khác cos   a  r i  (1;0;0) VTPT (Oyz) nên ta có: �2 � � 49a2  � a  a  c2 � 13a2  4c2 � c  �3a � � a2  b2  c2 Ta chọn a  � b  3, c  �6 Từ ta có phương trình ( ) là: 2x  3y  6z  12  2x  3y  6z  CC BI TỐN LUYỆN TẬP Bi Lập phương trình mặt phẳng (P ) biết: (P ) qua A (1;2;3), B(4; 2; 1), C (3; 1;2) ; (P ) mặt phẳng trung trực đoạn AC ( Với A, C câu 1); (P ) qua M (0;0;1), N (0;2;0) song song với AB ; (P ) qua hình chiếu A lên mặt phẳng tọa độ Bi Cho hai mặt phẳng có phương trình ( ) :x  y  z   & () : 3x  y  z   Lập phương trình mặt phẳng (P ) qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ), ( ) mặt phẳng (P ) Qua điểm A(1;8;2) Vng góc với mặt phẳng (Q) :x  8y  z   Tạo với (R) : x  2y  2z   góc  với cos   33 Bi Lập phương trình mặt phẳng ( ) , biết: ( ) qua M (2;3;1) song song với mp (P ) : x  2y  3z   ; ( ) qua A  2;1;1 , B  1; 2; 3 ( ) vng góc với ( ) : x  y  z  ; ( ) chứa trục Ox vng góc với (Q) : 2x  3y  z   ( ) qua ba điểm A(2;8;5),B(18;14;0),C(12;8;3) ( ) mặt phẳng trung trực EF với E(5;2;7), F(1;8;1) ( ) qua D(2;3;5) song song với mặt phẳng (Oyz) ( ) qua G(1;  3;2) vng góc với hai mặt phẳng (): x  2y  5z   0, ( ) : 2x  3y  z   ( ) qua hình chiếu điểm H(2;1;5) trục tọa độ   Bi Lập phương trình P trương hợp sau:  P  qua A  1;2;1 song song với  Q  : x  y  3z   ;  P  qua M  0;1;2 , N  0;1;1 , E  2;0;0 ; 113  P  mặt phẳng trung trực đoạn M N ( M , N ý 2) ;  P  qua hình chiếu A (1;2;3) lên trục tọa độ ;  P  qua B  1;2;0 , C  0;2;0 vng góc với  R : x  y  z   ;  P  qua D  1;2;3 vng góc với hai mặt phẳng :    : x   ;    : y  z   Bi Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (3;0;0), B (1;2;1), C (2;  1;2) Lập phương trình mặt phẳng qua A, B cắt trục Oz điểm M (đvdt) 2 Lập phương trình mặt phẳng qua C, A cắt trục Oy điểm N cho thể tích khối tứ diện ABCN 12 (đvtt) Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm B, C tâm mặt cầu nội tiếp hình tứ diện OABC cho diện tích tam giác MAB Bi Trong khơng gian Oxyz cho bốn điểm A (1;2;3), B(2;3; 1) , C (0;1;1) D(4; 3;5) Lập phương trình mặt phẳng ( ) biết: ( ) qua A chứa Ox ( ) qua A, B cách hai điểm C, D Bi Lập phương trình mặt phẳng ( ) , biết: ( ) qua A  1;1;1 , B(3;0;2) khoảng cách từ C  1;0; 2 đến ( ) ; ( ) cách hai mặt phẳng (P ) : 2x  y  2z   0, (Q) : x  2y  2z   ( ) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P ) (Q) , đồng thời ( ) vng góc với mặt phẳng ( ) : 3x  2y  z   Bi Lập phương trình (P ) biết (P ) : Song song với  Q  : 2x  3y  6z  14  khoảng cách từ O đến (P ) Đi qua giao tuyến hai mp ( ) : x  3z   ; ( ) : y  2z   , � 1� 2� khoảng cách từ M �0;0; �đến (P) � Bi 114 Lập phương trình mặt phẳng ( ) biết ( ) qua A(1;0;2), B(2;  3;3) tạo với mặt phẳng ( ) :4x  y  z   góc 600 ( ) qua C (2;  3;5), vng góc với (P ) : x  5y  z   tạo với mặt phẳng (Q) :2x  2y  z   góc 450 Bi 10 Cho mặt phẳng (P ) :2x  y  2z   ba điểm A(1;2;  1), B(0;1;2),C(1;  1;0) Tìm điểm M �Ox cho d(M, (P ))  Tìm điểm N �Oy cho điểm N cách mặt phẳng (P ) điểm A 3 Tìm điểm K �(P ) cho K B  K C K A  H � (P ) Tìm điểm cho HA  HB  HC CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bi 11 Tìm m, n để mặt phẳng sau qua đường thẳng:  P  : x  my  nz   ,  Q : x  y  3z    R  : 2x  3y  z   Khi viết phương trình mặt phẳng ( ) 23 qua đường thẳng chung tạo với (P ) góc  cho cos   679 Cho ba mặt phẳng: (1) : x  y  z   0; ( 2) : 2x  3y  4z   ( 3) : x  2y  2z   a) Chứng minh cặp mp (1) ( 2) ; (1) ( 3) cắt nhau; b) Viết phương trình (P ) qua A  1;0;1 giao tuyến (1) ( 2) ; c) Viết phương trình (Q) qua giao tuyến hai mp (1) ( 2) đồng thời vng góc với mp ( 3) (P ) :(4  a)x  (a  5)y  az  a  Cho ba mặt phẳng (Q) :2x  3y  bz   0; (R) :3x  cy  a(c  a)z  c  a) Biện luận vị trí tương đối hai mặt phẳng (P ) (Q) b) Tìm a, c để (P ) song song với (R) c) Tìm a, c để (P ) qua điểm A(1; 3; 2) (P ) vng góc với (R) Bi 12 Lập phương trình mặt phẳng ( ) biết ( ) qua hai điểm A (1;2;  1), B (0;  3;2) vng góc với (P ) : 2x  y  z   ( ) cách hai mặt phẳng ( ) : x  2y  2z   0, ( ) : 2x  2y  z   115 ( ) qua hai điểm C (1;0;2), D(1;  2;3) khoảng cách từ gốc tọa độ tới mặt phẳng ( ) 11 ( ) qua E (0; 1; 1) d( A, ( ))  2; d(B, ( ))  , A (1;2;  1), B(0;  3;2) Qua hai điểm A(1;2;3), B(5;  2;3) ( ) tạo với mặt phẳng ( ) góc 450 , với ( ): 4x  y  z   Qua C(1;  1; 1), ( ) tạo với mặt phẳng ( ) : x  y   góc 600 đồng thời d(O,( ))  Bi 13 Lập phương trình mặt phẳng ( ) biết ( ) Cách hai mặt phẳng (1 ) : 5x  2y  7z   0,(2 ): 5x  2y  7z  60  Song song với (3 ) : 6x  3y  2z   khoảng cách từ A(1; 2;  1) đến mặt phẳng ( ) Qua hai điểm B(5;0;  3), C(2;  5;0) đồng thời ( ) hai điểm M(1;  2;  6) N(1;  4;2) Qua D(1;  3; 1), vuông góc với mặt phẳng 3x  2y  2z   d(E,( ))  3, với E(5; 2; 3) Qua F(4;2;1) d(I,( ))  , d(J ,( ))  I(1;  1;2) J (3; 4; 1) 116