CHỦ ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A.TĨM TẮT GIO KHOA I Tọa độ không gian 1) Hệ trục tọa độ không gian Oxyz �Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian �Điểm O gọi gốc hệ tọa độ, trục Ox trục hoành, Oy trục tung Oz trục cao r r r �Véctơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz i , j , k, ta có: r r r r r r r rr i  j  k  1, i j  j k  k.i  �Xét điểm M thỏa mãn uuuur r r r OM  x.i  y j  z.k M (x; y; z) Ngược lại, điểm M (x; y; z) uuuur r r r OM  x.i  y j  z.k r �Với véctơ u hệ tọa độ Oxyz tồn (x; y; z) thỏa: r r r r u  x.i  y j  z.k r Tọa độ u (x; y; z) 2) Tọa u r độ véc tơ – Tọa r độ điểm Cho a  (x1; y1; z1), b  (x2; y2; z2) số thực k Khi u r r u r * a �b  (x1 �x2; y1 �y2) u r r u r r x1  * a / /b � a  kb � x2 * ka  (kx1; ky1; kz1) �x1  x2 u r r �   k � a  b � �y1  y2 y2 z2 � �z1  z2 y1 z1 Chú ý: Nếu x2   y2  0, z2  0 x1   y1  0, z1  0 88 u rr u r * | a|  x12  y12  z12 * a.b  x1x2  y1 y2  z1z2 u rr u r r a.b * cos(a, b)  ur r | a| | b| Cho A  (xA ; yA ; zA ), B  (xB ; yB ; zB ), C(xC ; yC ; zC ), D(xD ; yD ; zD ) u r r * a  b � x1x2  y1 y2  z1z2  Khi uuuđó: r * AB  (xB  xA ; yB  yA ; zB  zA ) uuur * AB  AB  (xB  xA )2  ( yB  yA )2  (zB  zA )2 �x  xB yA  yB zA  zB � ; ; � � 2 � � A * Trung điểm I đoạn AB: I  � � * Trọng tâm G ABC : �x  xB  xC yA  yB  yC zA  zB  zC � G�A ; ; � � � 3 � � * Trọng tâm G tứ diện ABCD: �x  xB  xC  xD yA  yB  yC  yD zA  zB  zC  zD � G�A ; ; � � � 4 � � 3) Tích có hướng hai véc tơ ứng dụng � � a) Định nghĩa: Cho a   x ; y ; z  b   x ; y ; z  1 2 u r r �y z z x x y � � a, b� � 1 ; 1 ; 1 � � � �y z z x x y � �2 2 2 � b) Các tính chất: r u r r r u r a, b� * a phương b � � � � u r r r � a, b� b � � u r r u r r u r r a, b� a b sin(a, b) * � � � c) Các ứng dụng tích có hướng r uuur uuuu �Diện tích tam giác: SABC  � AB, AC � � 2� �Thể tích: uuur uuuu r uuur AB, AD �.AA ' * Hình hộp: VABCD A ' B ' C ' D '  � � � u u u r u u u u r u u u u r * Tứ diện: VABCD  �AB, AC �.AD � 6� 89 u r r u r a, b� a * � � � Điều kiện véctơ đồng phẳng: u r r r u r r r a, b�.c  * a, b, c đồng phẳng � � � � uuur uuuu r uuuu r AB, AC �.AD  * A, B,C , D đồng phẳng � � � � Phương trình mặt cầu Mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) , bán kính R có phương trình (x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R (1) Phương trình (1) biểu diễn cách khác sau x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  (2) �a2  b2  c2  d  � 2 2 Với d  a  b  c  R � � � �R  a2  b2  c2  d II Phương trình mặt phẳng Véc tơ pháp tuyến: ur r Định nghĩa: Cho mặt phẳng ( ) Véc tơ n �0 gọi véc tơ pháp tuyến ur u r (VTPT) mp ( ) giá n vng góc với ( ) , kí hiệu n  ( ) Chú ý:ur ur *Nếu n VTPT () k.n (k �0) VTPT (a) Vậy mp (a) có vô số VTPT u r r * Nếu hai véc tơ a, b (khơng phương) có giá song song (hoặc nằm u r u r r a, b� (a) trên) (a) n  � � �là VTPT mp * Nếu ba điểm A, B, C phân biệt khơng thẳng hàng véc tơ ur uuur uuuu r n� AB, AC �là VTPT mp  ABC  � � Phương trình tổng quát mặt phẳng: ur * Cho mp( ) qua M (x0; y0; z0) , có n  ( A; B; C ) VTPT Khi phương trình tổng qt (a) có dạng: A (x  x0)  B( y  y0)  C (z  z0)  ur * Nếu ( ) : Ax  By  Cz  D  n  ( A; B; C ) VTPT (a) 90 * Nếu A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) ; abc �0 phương trình ( ABC ) có dạng: x y z    gọi phương trình theo đoạn chắn (a) a b c Vị trí tương đối hai mặt phẳng : Cho hai mp (P ) : Ax  By  Cz  D  (Q) : A ' x  B ' y  C ' z  D '  A ' : B ' : C ' * (P ) cắt (Q) ۹ A : B : C A B C D   � A' B' C' D' A B C D (P ) �(Q) �    A' B' C ' D' (P )  (Q) � AA ' BB ' CC '  *(P ) / /(Q) � Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ M  x0; y0; z0  đến mp (P ) : Ax  By  Cz  D  là: d(M , (P ))  Ax0  By0  Cz0  D A  B2  C III Phương trình đường thẳng khơng gian Phương trình tham số đường thẳng: a) Véc tơ phương đường u r r thẳng: Cho đường thẳng  Véc tơ u �0 gọi véc tơ phương(VTCP) đường thẳng  giá song song trùng với  Chú ý u 1.3.3: u r r * Nếu u VTCP  k.u (k �0) VTCP  uuur * Nếu đường thẳng  qua hai điểm A, B AB VTCP uuu r uuur uur � � n , n  u ( Q ) ( P ) * Nếu  giao tuyến hai mặt phẳng �P Q �  uuu r uuu r VTCP  (Trong nP , nQ VTPT (P ) (Q) ) b) Phương trình tham số đường thẳng u r Cho đường thẳng  qua M (x0; y0; z0) có VTCP u  (a; b; c) Khi �x  x0  at � phương trình đường thẳng  có dạng: �y  y0  bt � �z  z0  ct t �� (1) (1) gọi phương trình tham số đường thẳng  , t gọi tham số  có phương trình (1) Chú u r ý Cho đường thẳng * u  (a; b; c) VTCP  * M � � M (x0  at; y0  bt; z0  ct) 91 Phương trình tắc: u r Cho đường thẳng  qua M (x0; y0; z0) có VTCP u  (a; b; c) với abc �0 Khi phương trình đường thẳng  có dạng: x  x0 a  y  y0 b  z  z0 c (2) (2) gọi phương trình tắc đường thẳng  Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d : x  x0 a  y  y0 b  z  z0 c qua M (x0; y0; z0) có VTCP uur , , , , , ud  (a; b; c) d ' : x  x0  y  y0  z  z0 qua M '(x0, ; y0 ; z0) có a ' b ' c ' uuur VTCP ud '  (a '; b '; c') uur uuur uuuuuu r d ' đồng phẳng Khi xảy ba trường * Nếu [ud , ud ' ]MM '  � d va� hợp u r uu r i ) d d ' cắt ۹ [u, u '] r tọa độ gia điểm nghiệm hệ : �x  x0 y  y0 z  z0   � b c � a � , , , �x  x0 y  y0 z  z0   � b' c' � a' u r uu r r � [u, u ']  � r uuuuuu r r ii ) d / / d ' � �u [u, MM '] �0 � u r uu r r � [u, u ']  � r uuuuuu r r iii ) d �d ' � �u [u, MM ']=0 � u r uu r uuuuuu r * Nếu [u, u ']MM ' �0 � d d ' chéo Vị trí tương đối đường thẳng ur mặt phẳng Cho mp( ) : Ax  By  Cz  D  có n  ( A; B; C ) VTPT đường thẳng : x  x0  y  y0 a b M (x0; y0; z0 )  z  z0 c u r có u  (a; b; c) VTCP qua 92 ur u r � cắt ( ) � n u không phương � Aa  Bb  Cc �0 Khi �Ax  By  Cz  D  (a) � tọa độ giao điểm nghiệm hệ : �x  x0 y  y0 z  z0   (b) � b c � a Từ (b) � x  x0  at, y  y0  bt, z  z0  ct vào (a) � t � giao điểm ur u r � �Aa  Bb  Cc  �n  u � �� *  / /( ) � � �Ax0  By0  Cz0  D �0 �M �( ) ur u r � �Aa  Bb  Cc  nu � � �� *  �( ) � � �M �( ) �Ax0  By0  Cz0  D  ur u r ur u r *   ( ) � n va� u phương � n  k.u Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: u r Cho đường thẳng  qua M , có VTCP u điểm M � Khi để tính khoảng cách từ M đến  ta có cách sau: uuuuuur u r [M 0M , u] u r C 1: Sử dụng công thức: d(M , )  u C 2: Lập phương trình mp  P  qua M vng góc với  Tìm giao điểm H (P ) với  Khi độ dài MH khoảng cách cần tìm b) Khoảng cách giữ hai đường thẳng chéo nhau: u r Cho hai đường thẳng chéo  qua M có VTCP u  ' qua uu r M ' có VTCP u ' Khi khoảng cách hai đường thẳng   ' tính theo cách sau: u r uu r uuuuuuuuu r � u, u '�.M 0M '0 � � C 1: Sử dụng công thức: d(,  ')  u r uu r � u, u '� � � C 2: Tìm đoạn vng góc chung MN Khi độ dài MN khoảng cách cần tìm C 3: Lập phương trình mp  P  qua  song song với  ' Khi khoảng cách cần tìm khoảng cách từ điểm  ' đến (P ) IV GĨC Góc hai đường thẳng: 93 Cho hai đưòng thẳng  : đường thẳng  ' : x  x0 a x  x0 ' a' Đặt    ,  ' , đó:  y  y0  z  z0 u r có VTCP u  (a; b; c) b c uu r y  y0 ' z  z0 ' có VTCP u '  (a '; b'; c')   b' c' u r uu r cos   cos u, u '    aa ' bb ' cc ' a2  b2  c2 a '2  b'2  c'2 Góc đường thẳng mặt phẳng ur Cho mp ( ) : Ax  By  Cz  D  có n   A; B; C  VTPT đường thẳng  : x  xo  y  yo  z  zo u r có u  (a; b; c) VTCP Gọi  góc a b c mp (  ) đường thẳng  , ta có: ur u r Aa  Bb  Cc sin   cos n, u  A  B  C a2  b2  c2   Góc hai mặt phẳng uur Cho hai mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  có VTPT n1  ( A; B; C) uur (b) : A 'x + B 'y +C 'z + D ' = có VTPT n2   A '; B '; C ' Gọi  góc hai mặt phẳng ( 00 � �900 ) Khi đó: uur uur cos   cos n1, n2    AA ' BB ' CC ' A  B  C A '2  B '2  C '2 B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Vấn đề CÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM, TỌA ĐỘ VECTƠ Phương pháp: �Dựa vào định nghĩa tọa độ điểm, tọa độ véc tơ �Dựa vào phép tốn véc tơ Áp dụng tính chất sau: r r Cho vectơ u  (u1 ; u2 ; u3 ) , v  (v1 ; v2 ; v3 ) số thực k tùy ý Khi ta có 94 u1  v1 � r r � u  v2 a) u  v � � � u3  v3 � r r b) u  v  (u1  v1 ; u2  v2 ; u3  v3 ) r r c) u  v  (u1  v1 ; u2  v2 ; u3  v3 ) r d) ku  (ku1 ; ku2 ; ku3 ) u r r u r r u r r � Ví dụ 1.1.6 Cho hai véc tơ a, b thỏa a, b  1200, a  2, b  u r r Tính a  2b u r r u r r Tính góc hai véc tơ a x  3a  2b Lời giải u rr u r r u r r � Ta có: a.b  a b cos a, b  2.3.cos1200  3     u r r u r2 u rr r2 u r r � a  2b  a  4a.b  4b  22  4.3  4.32  52 � a  2b  13   u rr u r  u r r  u r2 u rr r u r r Ta có: a.x  a 3a  2b  3a  2a.b  x  (3a  2b)2  u rr r u r u r r � � a.x cos x , a    � a , x  600 u r r Suy 6.2 a.x     Ví dụ 2.1.6 Trong khơng gian Oxyz , cho ba vectơ r r r a  (1;0; 2) , b  ( 2;1;3) , c  ( 4;3;5) r r r Tìm toạ độ vectơ 3.a  4.b  2c r r r Tìm hai số thực m , n cho m.a  n.b  c Lời giải r r r Tọa độ vectơ 3.a  4.b  2c r r a  (1;0; 2) � 3.a  (3; 0; 6) , r r b  (2;1;3) � 4b  (8; 4; 12), r r c  (4;3;5) � 2.c  ( 8;3;10), r r r Suy 3.a  4.b  2c     8;0   3; 6  12  10    3; 1;  2.Tìm m,n r r Ta có m.a  n.b  (m  2n; n; 2m  3n) , 95 �m  2n  4 r r r �m  � n 3 �� Suy m.a  n.b  c � � �n  �2m  3n  � Ví dụ 3.1.6 Trong khơng gian Oxyz , cho tam giác ABC có A  2;  3;1 , B  1;  1;  C   2;1;  Xác định toạ độ trọng tâm G tam giác ABC ; Xác định toạ độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành toạ độ giao điểm hai đường chéo hình bình hành này; uuuu r uuur Xác định toạ độ điểm M cho MA  2MB Lời giải Xác định tọa độ trọng tâm G Theo tính chất trọng tâm G ,ta có : xA  xB  xC �  �x G  3 � uuur uuur uuur uuur y  yB  yC �  1 OG  (OA  OB  OC) � �yG  A 3 � z  z B  z C 11 � zG  A  � 3 � Xác định tọa độ điểm D Vì A,B,C ba đỉnh tam giác ,do �x B  x A  x C  x D uuur uuur � yB  yA  yC  y D ABCD hình bình hành � AB  DC � � � zB  zA  zC  zD � 1    x D � �x D  1 � � ��   yD � �y D  1 � �   zD zD  � � Vậy D   1;  1;3  Giao điểm I hai đường chéo AC BD hình bình hành ABCD trung xA  xC � 0 �x I  � y  yC � yI  A  1 điểm AC ,suy I � � � z A  zC zI   � 2 � Xác định tọa độ M 96 Gọi  x; y; z  toạ độ M,ta có � �x   x  2(1  x) � � uuuu r uuur � � MA  2MB � � 3  y  2(1  y) � �y   � �  z  2(4  z) � z3 � � � Ví dụ 4.1.6 Cho tam giác ABC có A(1;0;  2),B(1;1;0),C(2;4;  2) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC Tìm tọa độ giao điểm phân giác trong, phân giác ngồi góc A với đường thẳng BC Lời giải uuur uuur uuur AB(2;1;2),BC(1;3;  2),CA(3;  4;0) 4� �2  ; ; � Trọng tâm G � 3� �3 uuur uuur AB;AC � Ta có � � � (8;  6;  5) Tọa độ điểm H thỏa mãn hệ uuuu r uuur �AH.BC  x  3y  2z  3 � � �uuur uuur � � 29 22 � BH.CA  �� 3x  4y  7 �H�  ; ; � � r � 25 25 � �uuur uuur uuuu � 8x  6y  5z  2 � AB,AC � AH  � � � �� Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ � IA  IB 4x  2y  4z  � � � � � 21 103 11 � IA  IC �� 6x  8y  19 �I�  ; ; � � 5� � 50 50 �uuur uuur uur � 8x  6y  5z  2 AB,AC � AI  � �� � � � Gọi E,F giao điểm phân giác trong, phân giác ngồi góc A với EB FB AB    đường thẳng BC Từ ta tính tọa độ điểm EC FC AC � �1 � � 11 E�  ; ;  � ,F ;  ; 3� 4� � � �2 � Ví dụ 5.1.6 Trong khơng gian Oxyz , , cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1,2,3) ,C(1; 4; 5) ,B’(-3;3;-2) , D’(5;3;2) Xác định toạ độ đỉnh lại hình hộp Lời giải 97 D C E B A D' C' E' A' B' Gọi uuurE, E’ uuulần ur lượt uuuu rlà trung uuuu r điểm uuuurcủa AC B’D’ ta có EE '  AA '  BB'  CC'  DD' � � x  xC x x xE  A 0 � xE'  B' D'  � 2 � � y  y y  y � � C yE  A 3 , � yE'  B' D'  � 2 � � z  zC z z � � zE  A 4 � zE'  B' D'  � 2 � � uuur Suy EE '  (1;0; 4) � xA '  1 uuuur uuur � AA '  EE ' � � yA '   � A '(0;2; 1) � zA '   4 � �3 xB  uuuu r uuur � BB'  EE ' � � 3 yB  � B(4;3;2) �2  z  4 B � � xC'   uuuu r uuur � CC'  EE ' � � yC'   � C'(2;4;1) � zC'   4 � 98 � 5 xD  uuuur uuur � DD'  EE ' � � 3 yD  � D(4;3;6) �  zD  4 � Ví dụ 6.1.6 Cho hình chóp S.ABCD với điểm A (4;  1;2), B (1;0;  1) C (0;0;  2), D(10;  2;4) Gọi M trung điểm CD Biết SM vng góc với mặt phẳng ( ABCD) thể tích khối chóp VS.ABCD  66 (đvtt) Tìm tọa độ đỉnh S Lời giải uuur uuuu r uuuu r uuur Ta có AB(5;1;  3), DC (10;2;  6) � DC  AB nên ABCD hình thang S ADC  2S ABC , hay S ABCD  3S ABC uuur uuuu r uuur uuuu r AB, AC � (1;  8;  1), Vì AB (5;1;  3), AC (4;1;  4) nên � � � S ABC  uuur uuuu r � AB, AC � � � 66 66 (đvdt) � S ABCD  2 Chiều cao khối chóp SM  3VS ABCD  66 S ABCD uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r � � � � � �vuông AB , AC  AB , AB , AC  AC AB , AC Vì � nên giá véc tơ � � � � � ( ABCD ), SM  ( ABCD ) góc với mặt phẳng mà nên tồn số thực k cho: uuuur uuur uuuu r SM  k � AB, AC � ( k;  8k;  k) � � uuuur Suy 66  SM  ( k)2  (8k)2  ( k)2 � k  � k  �2 uuuur M trung điểm CD nên M (5;  1;1) � SM (5  xS ;   yS ;1  zS ) uuuur �Nếu k  SM  (5  xS ;   yS ;1  zS )  (2;  16;  2) nên tọa độ điểm S S (7;15;3) uuuur �Nếu k  2 SM  (5  xS ;   yS ;1  zS )  (2;16;2) nên tọa độ điểm S S (3;  17;  1) Vậy tọa độ điểm S cần tìm S (7;15;3) S (3;  17;  1) Ví dụ 7.1.6 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho tam giác ABC có A(2; -1;3) , B(3;0; -2) , C(5; - 1; -6) � ,suy số đo BAC � ; Tính cos BAC 99 2.Xác định toạ độ hình chiếu vng góc H A BC toạ độ điểm A’ đối xứng A qua đường thẳng BC Lời giải � số đo BAC � 1.Tínhcos BAC uuur uuur Ta có : AB  (1;1; 5) , AC  (3;0; 9) ,suy uuur uuur uuur uuur AB.AC �  cos(AB, AC)  uuur uuur cos BAC AB AC =  45 12  12  (5)2 32  02  (9)2  48 16  27 90 30 � ; 13010 ' Suy BAC Tọa độ hình chiếu vng góc H A lên đường thẳng BC Kí hiệu (x;y;z) toạ độ H ,tacó A C H uuur uuur � AH  BC � uuur �uuur BH cu� ngph� � ngBC � B A' uuur uuur uuuu r AH  (x  2;y  1;z  3),BC  (2; 1; 4) , BH  (x  3; y; z  2) uuur uuur uuur uuur AH  BC � AH.BC  � 2(x  2)  (y  1)  4(z  3)  � 2x  y  4z   uuu r �x  2y  uuur BH phương với BC � � �4y  z  � 2x  y  4z  7 � x  2y  Giải hệ � ta H( 1;1;2) � 4y  z  � Tọa độ A’ đối xứng A qua BC A’ điểm đối xứng A qua đường thẳng BC � H trung điểm AA’ � x  xA ' xH  A � � xA '  2xH  xA  � yA  yA ' � � �� yH  �� yA '  2yH  yA  Vậy A’( 0;3;1) � � zA '  2zH  zA  � zA  zA ' � zH  � � 100 Ví dụ 8.1.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho tam giác ABC có A(4;2;0) , B(2;4;0) C(2;2;1) Xác định tọa độ trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải Toạ độ trực tâm tam giác ABC Gọi H(x;y;z) trực tâm tam giác ABC ,ta có uuur uuur � AH  BC � �uuur uuur BH  AC � �uuur uuur uuur BC,AC,AH � o� ngpha� ng � uuur uuur uuu r Trong AH  (x  4; y  2; z) , BC  (0; -2;1) , BH  (x  2; y  4; z) , uuur AC  ( 2;0;1) uuur uuur uuur uuu r * AH  BC � AH.BC  � 2(y  2)  z  � 2y  z  uuur uuur uuur uuur * BH  AC � BH.AC  � 2(x  2)  z  � 2x  z  uuur uuur uuur uuur uuur uuur * BC,AC,AH đồng phẳng � [BC,AC].AH  (trong uuur uuur [BC,AC]  (2; 2; 4) ) � - 2(x – 4) -2(y – 2) – 4z =0 � x + y + 2z = � 2y  z  � 7 2x  z  , ta H( ; ; ) ) Giải hệ: � 3 � x  y  2z  � Toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I(x;y;z) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,ta có �AI  BI  CI � �uuur uuur uur o� ngpha� ng �BC,AC,AI � �AI  BI � 2 �AI  CI * AI = BI = CI � � � (x  4)2  (y  2)2  z2  (x  2)2  (y  4)2  z2 � �� (x  4)2  (y  2)2  z2  (x  2)2  (y  2)2  (z  1)2 � � x y  �� 4x  2z  11 � uuur uuur uur uuur uuur uur * BC,AC,AI đồng phẳng � [BC,AC].AI  � x + y + 2z = 101 � x y  �23 23 � � 4x  2z  11 ,ta I � ; ; � Giải hệ � �8 � � x  y  2z  � CC BI TỐN LUYỆN TẬP Bi 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba véc tơ u r r r r r r r r r r a  2i  j  5k, b  3 j  4k, c  i  j r u r r r r u r r x a) Xác định tọa độ véc tơ a, b, c , x  3a  2b tính u r x y b) Tìm giá trị để véc tơ   2x  1;  x;3x  2 vng góc với véc tơ r r 2b  c u r r r c) Chứng minh véc tơ a, b, c không đồng phẳng phân tích véc tơ u r u r r r u   3;7; 14 qua ba véc tơ a, b, c Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho véc tơ u r r r r r r r r r r a  2i  j  k, b  i  2k, c  j  3k u r r r a) Xác định tọa độ véc tơ a, b, c u r u r u r r r b) Tìm tọa độ véc tơ u  2a  3b  4c tính u r r c) Tìm x để véc tơ v  (3x  1; x  2;3  x) vng góc với b r u r r r d) Biểu diễn véc tơ x  (3;1;7) qua ba véc tơ a, b, c Bi r r r r r r Cho hai véc tơ a, b có a  3, b  3, (a, b)  30 Tính r r r r r r a) Độ dài véc tơ a  b,5a  2b, 3a  2b, r r r r r r � a, b� a, 3b�� , 5a,  2b� b) Độ dài véc tơ � � �, � �� � Tìm điều kiện tham số m cho r r r a) Ba véc tơ u(2;1;  m),v(m  1;  2;0),w(1;  1;2) đồng phẳng b) A(1;  1;m),B(m;3;2m  1),C(4;3;1),D(m  3;  m;2  m) thuộc mặt phẳng r r c) Góc hai véc tơ a(2;m;2m  1),b(m;2;  1) 600 Bi Cho tam giác ABC có B(1;1;  1),C(2;3;5) Điểm A có tung độ �7 � 1; ;3�và diện tích tam , hình chiếu điểm A BC K � �3 � 49 giác ABC S  102 Tìm tọa độ đỉnh A biết A có hồnh độ dương Tìm tọa độ chân đường vng góc hạ từ B đến AC Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tọa độ trực tâm H tam giác ABC uuuu r uur Chứng minh HG  2GI với G trọng tâm tam giác ABC Bi Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối Tọa độ điểm A(2;4;1),B(0;4;4),C(0;0;1) D có hồnh độ dương Xác định tọa độ điểm D Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD Chứng minh G cách đỉnh tứ diện Gọi M,N trung điểm AB,CD Chứng minh MN đường vng góc chung hai đường thẳng AB CD Tính độ dài đường trọng tuyến tứ diện ABCD Tính tổng góc phẳng đỉnh tứ diện ABCD Bi Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A (0;2;0), B(1;0; 3), C (0; 2;0), D(3;2;1) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng; Tính diện tích tam giác BCD đường cao BH tam giác BCD ; Tính thể tích tứ diện ABCD đường cao tứ diện hạ từ A ; Tìm tọa độ E cho ABCE hình bình hành; Tính cosin góc hai đường thẳng AC BD ; Tìm điểm M thuộc Oy cho tam giác BMC cân ; Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD chứng minh A, G, A � thẳng hàng với A ' trọng tâm tam giác BCD Bi Cho tam giác ABC có A (2;3;1), B (1;2;0), C (1;1;  2) Tìm tọa độ chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC Tìm tọa độ H trực tâm tam giác ABC Tìm tọa độ I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh điểm G, H , I nằm đường thẳng Bi Trong không gian với hệ tọa độ Đề Các vng góc Oxyz cho tam giác ABC có A (5;3;  1), B(2;3;  4) điểm C nằm mặt phẳng (Oxy) có tung độ nhỏ a) Tìm tọa độ điểm D biết ABCD tứ diện b) Tìm tọa độ điểm S biết SA, SB, SC đôi vng góc Bi Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A  3; 2;4 103 a) Tìm tọa độ hình chiếu A lên trục tọa độ mặt phẳng tọa độ b) Tìm M �Ox, N �Oy cho tam giác AMN vng cân A c) Tìm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (Oyz) cho tam giác AEB cân E có diện tích 29 với B  1;4; 4 CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bi 10 Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho A (4;0;0), B(x0; y0;0) với x0, y0  thỏa mãn AB  10 � AOB  450 a) Tìm C tia Oz cho thể tích tứ diện OABC b) Gọi G trọng tâm ABO M cạnh AC cho AM  x Tìm x để OM  GM 104 ... điểm phân giác trong, phân giác ngồi góc A với EB FB AB    đường thẳng BC Từ ta tính tọa độ điểm EC FC AC � �1 � � 11 E�  ; ;  � ,F ;  ; 3� 4� � � �2 � Ví dụ 5.1.6 Trong khơng gian Oxyz ,... 95 �m  2n  4 r r r �m  � n 3 �� Suy m.a  n.b  c � � �n  �2m  3n  � Ví dụ 3.1.6 Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A  2;  3;1 , B  1;  1;  C   2;1;  Xác định toạ độ... r u r u r r � � a.x cos x , a    � a , x  600 u r r Suy 6.2 a.x     Ví dụ 2.1.6 Trong khơng gian Oxyz , cho ba vectơ r r r a  (1;0; 2) , b  ( 2;1;3) , c  ( 4;3;5) r r r Tìm toạ