MẶT TRÒN XOAY – MẶT CẦU Phương pháp: I Mặt nón – hình nón khối nón Mặt nón: Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng ∆ l cắt O tạo với góc α Khi cho mặt phẳng (P ) quay quanh đường thẳng ∆ , hình tròn xoay sinh đường thẳng l gọi mặt nón tròn xoay hay gọi mặt nón • Đường thẳng ∆ gọi trục mặt nón • Đường thẳng l gọi đường sinh mặt nón • Giao điểm O ∆ l gọi đỉnh mặt nón • Gọi α góc đường thẳng ∆ l 2α gọi góc đỉnh Hình nón: Hình nón hình tròn xoay sinh tam giác vuông OAB quay quanh trục cạnh góc vng OA • OB = l đường sinh hình nón • AB = R gọi bán kính hình nón • OA = h chiều cao hình nón Khối nón : Hình nón với phần khơng gian bên gọi khối nón Thể tích diện tích xung quanh : • Diện tích xung quanh hình nón Sxq = π Rl • Diện tích tồn phần hình nón Stp = Sxq + Sd = π R (l + R ) • Thể tích khối nón V = π R 2h II Mặt trụ – hình trụ khối trụ Mặt trụ: Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng l ∆ song song với cách khoảng R Khi quay (P ) quanh ∆ đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mà mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ • Đường thẳng ∆ trục mặt trụ • Đường thẳng l gọi đường sinh mặt trụ • Khoảng cách hai đường sinh l trục ∆ gọi bán kính mặt trụ Phần mặt trụ nằm hai mặt phẳng song song phân biệt vng góc với trục mặt trụ với hai hình tròn thiết diện gọi hình trụ • Hai hình tròn (O; R ), (O '; R ) hai đáy hình trụ • Đoạn thẳng OO ' trục hình trụ , chiều cao hình trụ • Bán kính R mặt trụ bán kính hình trụ Hình trụ với phần không gian bên gọi khối trụ Cơng thức tính diện tích thể tích hình trụ Một hình trụ có bán kính đáy R chiều cao h 61 a Diện tích mặt xung quanh hình trụ Sxq = 2π Rh b Diện tích tồn phần hình trụ: Stp = Ssq + 2.Sd = 2π R (R + h) c Thể tích khối trụ : V = π R 2h III Mặt cầu – Khối cầu Khái niệm mặt cầu • Mặt cầu tâm O bán kính R ( ta kí hiệu S (O, R ) ) tập hợp điểm M không gian thỏa mãn S (O, R ) = {M | OM = R } • Nếu AB đường kính mặt cầu S (O, R ) với điểm M thuộc mặt cầu ( trừ A B ) ·AMB = 900 • Ngược lại với điểm M nằm không gian thỏa mãn ·AMB = 900 điểm M thuộc mặt cầu đường kính AB Vị trí tương đối điểm với mặt cầu Cho mặt cầu S (O, R ) điểm A khơng gian • Nếu OA > R A ngồi mặt cầu • Nếu OA = R A mặt cầu • Nếu OA < R A mặt cầu Vị trí tương đối hình phẳng với mặt cầu Cho mặt cầu S (O, R ) mặt phẳng (P ) khơng gian Gọi H hình chiếu O lên (P ) • Nếu OH > R (P ) khơng cắt mặt cầu • Nếu OH = R (P ) (S) có điểm chúng H Khi ta nói: (P ) tiếp xúc với mặt cầu (P ) gọi mặt phẳng tiếp diện, H gọi tiếp điểm • Nếu OH < R (P ) cắt mặt cầu theo đường tròn (C ) có tâm H bán kính r = R − OH Nếu O nằm (P ) (C ) gọi đường tròn lớn có bán kính R Vị trí tương đối đường thẳng với mặt cầu Cho mặt cầu S (O, R ) đường d khơng gian Gọi H hình chiếu O lên d • Nếu OH > R d mặt cầu khơng có điểm chung • Nếu OH = R d mặt cầu (S) có điểm chung H Khi ta nói d tiếp xúc với mặt cầu d gọi tiếp tuyến cảu mặt cầu, H gọi tiếp điểm • Nếu OH < R d mặt cầu có hai điểm chung Khi ta nói d cắt mặt cầu hai điểm phân biệt Mặt cầu ngoại tiếp hình cầu nội tiếp hình đa diện • Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện mặt cầu qua tất đỉnh hình đa diện 62 • Mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện Nhận xét • Một đa diện có mặt cầu ngoại tiếp tất mặt đa diện có đường tròn ngoại tiếp • Nếu tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện thuộc mặt đa diện đường tròn ngoại tiếp đa diện đường tròn lớn • Khoảng cách từ tâm mặt cầu nội tiếp đa diện đến mặt đa diện bán kính mặt cầu nội tiếp đa diện Diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Diện tích hình cầu bán kính R : S = 4π R Thể tích khối cầu bán kính R : V = π R3 B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Vấn đề CHỨNG MINH HỆ ĐIỂM THUỘC MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU Phương pháp: • Để chứng minh hệ điểm nằm mặt nón, ta chứng minh đường thẳng qua điểm đỉnh mặt nón tạo với trục mặt nón góc khơng đổi α • Để chứng minh hệ điểm thuộc mặt trụ, ta chứng minh khoảng cách từ điểm đến trục mặt trụ bán kính mặt trụ • Để chứng minh hệ điểm nằm mặt cầu, ta sử dụng cách sau: Cách 1: Chứng minh hệ điểm cách điểm cố định cho trước Cách 2: Chứng minh hệ điểm nhìn đoạn thẳng cố định góc vng Ví dụ 1.1.5 Cho tam giác ABC vng B,BA = BC = a Cho S di động đường thẳng ( d ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) A ( S không trùng A ) Một mặt phẳng ( P ) qua A vng góc với SC, ( P ) cắt SB,SC H K Gọi I giao điểm HK BC Chứng minh điểm A ,B,C,H ,K thuộc mặt cầu Tính diện tích mặt cầu đó; Khi thể tích khối chóp K.ABC đạt giá trị lớn , tính thể tích khối chóp S.ABC ; Chứng minh S di động ( d ) đường thẳng AI ln tiếp xúc với mặt cầu cố định Lời giải 63 Chứng minh điểm A ,B,C,H ,K thuộc mặt cầu Tính diện tích mặt cầu  BC ⊥ BA ⇒ BC ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ AH   BC ⊥ SA S AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ ( SBC )  AH ⊂ ( P ) ⇒ AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ SC ⇒ ·AHC = 900 K AK ⊂ ( P ) ⇒ AK ⊥ SC ⇒ ·AKC = 900 Ta có : ·AHC = ·AKC = ·ABC = 900 ⇒ điểm A ,B,C,H ,K thuộc mặt cầu ( α ) đường kính AC Tam giác ABC vng cân B có BA = BC = a ⇒ AC = a Diện tích mặt cầu ( α ) : H C F A E d B I 2  a 2  AC  Smc = 4π  ÷ = 2πa2 ÷ = 4π  ÷     2.Khi thể tích khối chóp K.ABC đạt giá trị lớn , tính thể tích khối chóp S.ABC Gọi E trung điểm AC  F hình chiếu vng góc K lên AC , ta a có : KF ⊥ ( ABC ) (do KF P SA ) KF ≤ KC = AC = 2 Thể tích khối chóp K.ABC : V = SABC KF S Vì A BC không đổi nên V lớn ⇔ KF lớn ⇔ KF = KC ⇔ F ≡ E ⇔ K trung điểm SC 1 a a3 Khi : VSA BC = SABC KF = AB.AC = 12 3.Chứng minh đường thẳng AI tiếp xúc với mặt cầu cố định AI ⊂ ( ABC ) ⇒ AI ⊥ SA ⇒ AI ⊥ ( SAC ) ⇒ AI ⊥ AC  AI ⊂ ( P ) ⇒ AI ⊥ SC Suy AI tiếp xúc với mặt cầu cố định ( α ) đường kính AC Ví dụ 2.1.5 Lời giải 64 CC BI TỐN LUYỆN TẬP Bi 1 Trong mặt phẳng (P ) cho điểm O cố định Xét đường thẳng l thay đổi ln qua O cho góc l mặt phẳng (P ) luôn α không đổi (α ≠ 900) Chứng minh l ln nằm mặt nón cố định Cho mặt phẳng (α ) Gọi A điểm nằm mặt phẳng (α ) B điểm nằm ngồi mặt phẳng (α ) cho hình chiếu H B mặt phẳng (α ) không trùng với A Một điểm M chạy mặt phẳng (α ) · cho cho ·ABM = BMH Chứng minh điểm M nằm mặt trụ tròn xoay có trục AB Cho điểm A nằm mặt cầu (S) Chứng minh đường thẳng qua A tiếp xúc với mặt cầu (S) nằm mặt nón cố định Trong khơng gian cho hai điểm A, B phân biệt cố định, điểm M khơng gian cho diện tích tam giác MAB có diện tích S khơng đổi Chứng minh điểm M thuộc mặt trụ cố định, xác định bán kính mặt trụ Bi Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD; AC ⊥ BD Chứng minh trung điểm cạnh nằm mặt cầu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh bên SA vng góc với đáy Mặt phẳng (α ) qua A vng góc với SC cắt SB, SC, SD M , N , P Biết SA = a, AB = b, AD = c Chứng minh điểm A, B, C, D, M , N , P thuộc mặt cầu Tính bán kính mặt cầu Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng (P ) cắt cạnh AB, BC, CD, DA K , L , M , N Gọi P điểm không gian không nằm mặt tứ diện Các đường thẳng PK , PL , PM , PN lần cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác PAB, PBC, PCD, PDA Q, R, S, T Chứng minh điểm P , Q , R , S T nằm mặt cầu CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bi Trong hình phẳng (P ) cho hình vng ABCD có cạnh a Trên đường thẳng Ax vng góc với mp (P ) lấy điểm S Gọi (Q) hình phẳng qua A vng góc với SC cắt SB, SC, SD B ', C ', D ' Chứng minh bảy điểm A, B, C, D, B ', C ', D ' thuộc hình cầu cố định Xác định bán kính hình cầu 65 Chứng minh hai đường tròn (O1), (O1) cắt hai điểm phân biệt A, B nằm hai mặt phẳng phân biệt điểm nằm hai đường tròn nằm mặt cầu Bi Cho tứ diện gần ABCD (tức AB = CD, BC = AD, AC = BD ) Chứng minh bốn chân đường cao hạ xuống mặt, bốn trung điểm đường cao bốn trực tâm bốn mặt 12 điểm nằm mặt cầu Vấn đề CÁC BÀI TỐN VỀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH, THỂ TÍCH VÀ THIẾT DIỆN CỦA KHỐI NÓN, KHỐI TRỤ Phương pháp: 1) Khối nón: • Phải xác định bán kính, đường cao đường sinh, góc đỉnh hình nón • Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân • Thiết diện vng góc với trục hình nón hình tròn 2) Khối trụ • Phải xác định chiều cao h bán kính R hình trụ • Nếu thiết diện hình trụ song song chứa trục hình trụ thiết diện hình chữ nhật • Nếu thiết diện hình trụ vng góc với trục hình trụ thiết diện hình tròn Ví dụ 1.2.5 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường cao SO = h,·SA B = 450 Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho Lời giải 66 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có SO ⊥ ( ABC ) S Trong mặt phẳng ( SOA ) dựng đường trung trực ( d ) SA cắt SO I I tâm mặt cầu ( ABCD ) Thật vậy: I ∈ SO trục tam giác A BC ⇒ SA = SB = SC I ∈ ( d ) ⇒ I A = IS E I A C O ⇒ IA = IB = IC = IS B Hai tam giác vuông SOA SEI đồng dạng ( E trung điểm AB ) Suy SO SA SA.SE SA = ⇒ R = SI = = SE SI SO SO Tam giác cân SAB có ·SAB = 450 ⇒ Tam giác vuông cân S Đặt SA = x , AB = x 2, OA = Trong tam giác vuông SOA : AB x = 3 SA − OA = SO ⇔ x2 − 6x2 = h2 3h2 3h = h Ví dụ 2.2.5 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC DBC chứa hai mặt phẳng vng góc với Biết BC = a,·BAC = 600 , ·BDC = 300 Tính bán kính ⇔ x2 = 3h2 ⇒ R = thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Lời giải Gọi O1,O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ABC E trung điểm BC , ta có ( O1E ⊥ BC ⇒ O1E ⊥ ( ABC ) ( ABC ) ⊥ ( BCD ) O2E ⊥ BC ⇒ O 2E ⊥ ( BCD ) ) 67 Qua O1 dựng đường thẳng d1 A vng góc với ( BCD ) d1 trục tam giác ( BCD ) d1 d1 P O2E Qua O dựng đường thẳng d2 vng góc với ( ABC ) d2 trục tam giác ABC d2 P O1E Tâm I mặt cầu giao điểm d1,d2 Thật : I ∈ d1 ⇒ IB = IC = ID I O2 d2 D B O1 E I ∈ d2 ⇒ IA = IB = IC C ⇒ IA = IB = IC = ID ⇒ I tâm mặt cầu ABCD Tứ giác EO1IO hình chữ nhật, suy ra: IE2 = O1E2 + O2E2 Gọi R1,R bán kính đường tròn ( BCD ) ( ABC ) , ta có 2 O1E = O1C − EC 2  BC  = R1 −  ÷   = R12 − BC ,O2E2 = O 2C − EC = R 22 − BC BC BC ⇒ R = IE2 + EC = R12 + R 22 − Áp dụng định lí hàm số sin tam giác BDC,BAC , ta có BC a = 2R1 ⇒ = R1 ⇒ R1 = a 2sin300 sin·BDC BC a a = 2R ⇒ = R2 ⇒ R2 = · 2sin60 sin BAC Suy : IE2 = R12 + R22 − Suy R = a2 + a2 a2 13a2 13 a 39 − = ⇒R=a = 12 12  4 a Thể tích khối cầu ( ABCD ) : V = πR = π  3  39  ÷ ÷  Ví dụ 3.2.5 Cho hình chóp S.ABCD  có SA = SB = SC = SD , đáy ABCD hình thang có AB P CD,AB = 2a,BC = CD = DA = a , khoảng cách AB SC cho 68 a Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lời giải Hình thang ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB chứa mặt phẳng ( ABCD ) , gọi O trung điểm AB , SA = SB = SC = SD nên SO ⊥ ( ABCD ) Trong mặt phẳng ( SA B) , đường trung trực SA cắt SO I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S E H I B A O D K C S.ABCD Hai tam giác vuông SOA SEI đồng dạng ( E trung điểm AB ) SO SA SA.SE SA = ⇒ R = SI = = SE SI SO SO CD P AB ⇒ ( SCD ) P AB ⇒ d ( AB,SC ) = d AB,( SCD ) = d O,( SCD ) Suy ( ) ( ) Gọi K trung điểm CD,H hình chiếu vng góc O lên SK , ta có CD ⊥ OK ⇒ CD ⊥ ( SOK ) ⇒ CD ⊥ OH  CD ⊥ SO OH ⊥ CD a ⇒ OH ⊥ ( SCD ) ⇒ OH = d ( AB,SC ) =  OH ⊥ SK Trong tam giác vuông SOK , 1 1 1 1 = + ⇒ = − = − = 2 2 2 2 OH SO OK SO OH OK 3a2  a 2  a 3  ÷ ÷  ÷ ÷     5a2 a 3a2 5a2 ⇒ R = = 5a ⇒ SO = , SA = SO2 + OA = + a2 = a 6 2 2 Ví dụ 4.2.5 Cho hình chóp SABC có SA ,SB,SC vng góc với đơi Gọi G trọng tâm tam giác ABC , I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC GI Nêu cách dựng tâm I chứng minh ba điểm S,G,I thẳng hàng.Tính tỉ số GS 69 Cho SB = SC  góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( SBC )   600 , bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC a Tính V khối chóp S.ABC Lời giải GI Nêu cách dựng tâm I chứng minh ba điểm S,G,I thẳng hàng.Tính GS Vì tam giác SBC vuông S , gọi E trung điểm BC E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Dựng đường thẳng d vng góc ( SBC ) E d trục tam giác SBC d song song với SA (do SA ⊥ ( SBC ) ) A M d I Trong mặt phẳng ( d,SA ) , từ trung điểm M đoạn SA dựng đường thẳng vng góc với SA   cắt d I MI đường trung trực đoạn G C S E B SA I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC Thật : * I ∈ d ⇒ IS = IB = IC * I ∈ đường trung trực SA ⇒ IA = IS Do IA = IB = IC = IS , suy đpcm Trong mặt phẳng ( SA ,d ) , đoạn AE cắt đoạn SI G’ Áp dụng định lí Ta-let ,ta có: IE G'E G'I = = (1) SA G'A G'S Dễ thấy tứ giác SEIM hình chữ nhật , IE = MS = SA Thay vào (1) ta G'E G'I = = G'A G'S G'E = nên G’ AE trung tuyến tam giác ABC,G’ thuộc đoạn AE G'A trọng tâm tam giác ABC , tức G’ ≡ G Vậy ba điểm S,G,I thẳng hàng GI = từ (1) ,ta có GS 2 Tính V khối chóp S.ABC SB = SC ⇒ ∆SBC vng cân S ⇒ BC ⊥ SE , lại có BC ⊥ SA 70 ( ) ⇒ BC ⊥ ( SAE ) ⇒ ( SBC ) ,( SAE ) = ( A E,SE ) = ·SEA = 600 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC IS , theo giả thiết, ta có : IS = a GI = ⇒ SG = SI = a , Theo kết câu 1) , GS SE = x x > ( ) Tam giác vuông ASE (vuông S ) có ·SEA = 600 nên nửa Đặt tam giác đều, suy A S = x , AE = 2x 2x AE = 3 Áp dụng định lí hàm cosin tam giác SEG , ta có: G trọng tâm tam giác ABC nên EG = 4x 2x · SG = SE2 + EG2 − 2SE.EG.cosSEA ⇒ a2 = x2 + − 2x 7x2 9a2 3a ⇒ x2 = ⇒ x= ⇒ SB = SE = x 7 Thể tích khối chóp S.ABC : ⇒ a2 = 1 1 1 3a  V = SSBC SA = SB2.x = x3 =  ÷ 3 6  3= 9a3 14 CC BI TỐN LUYỆN TẬP Bi 1 Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a a) Tính diện tích tồn phần thể tích hình nón b) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 600 Tính diện tích thiết diện Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A , ·ABC = 600 Biết có hình nón nội tiếp hình chóp cho với bán kính đáy r , góc đường sinh đáy hình nón β a) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO Gọi A, B hai điểm thuộc đường tròn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a · · SAO = 300, SAB = 600 Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón Bi Mặt phẳng qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện hình vng cạnh 2R Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần khối trụ Tính thể tích khối trụ 71 Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ Bi Cho hình trụ có đáy hai đường tròn tâm O O ' , bán kính chiều cao a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A Trên đường tròn tâm O ' lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO ' AB Bi Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R , góc đỉnh 2α với 450 < α < 900 Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón Tìm diện tích thiết diện mặt phẳng (P ) cắt hình nón theo hai đường sinh vng góc với Xét hai điểm M , N thay đổi đáy cho góc mặt phẳng (SMN ) mặt đáy hình nón β Chứng minh đường thẳng SI với I trung điểm MN ln thuộc mặt nón cố định Bi Cho hình nón (N ) có đỉnh S đường tròn đáy tâm O Tồn hình · chóp M ABC có tam giác ABC với AB = AC, BAC = 300 nội tiếp đường tròn (O), điểm M thuộc đường sinh hình chiếu H M mặt đáy tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tính tỉ số thể tích khối chóp thể tích khối nón Bi Một hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O, O ' có bán kính r có đường cao h = 2r Gọi A điểm đường tròn tâm O B điểm đường tròn tâm O ' cho OA ⊥ O ' B Chứng minh mặt bên tứ diện OABO ' tam giác vng Tính diện tích tứ diện Gọi (α ) mặt phẳng qua AB song song với trục OO ' Tính khoảng cách trục OO ' mặt phẳng (α ) Chứng minh mặt phẳng (α ) tiếp xúc với mặt trụ trục OO ' có bán 2r CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bi Bên hình trụ có hình vng ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh A, B nằm đường đáy thứ nhất, hai đỉnh C, D nằm đường kính tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng chứa hình vng tạo với đáy góc 450 Tính diện tích xung quanh thể tích khối trụ 72 Bi Cho hai điểm cố định A, B có AB = a Với điểm C không gian cho tam giác ABC đều, kí hiệu AD đường cao tam giác ABC Trong mặt phẳng chứa d AD , xét đường tròn đường kính AD Gọi S giao điểm đường tròn với đường thẳng d Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC Chứng minh điểm C thay đổi điểm S thuộc đường tròn cố định đường thẳng SA, SB thuộc mặt nón cố định Bi Một hình nón có hai đáy (O; R ) , (O '; R ) có thiết diện qua trục hình vng Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ, Tính thể tích khối trụ tương ứng, Tính thể tích khối lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A ' B ' C ' D ' nội tiếp khối trụ ( hình vng ABCD, A ' B ' C ' D ' nội tiếp (O) (O ') ), Lấy M điểm đường tròn (O '; R ) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn diện tích tam giác MAC M thay đổi (O '; R ) , Gọi N điểm đối xứng với M qua O ' Xác định vị trí M N cho thể tích tứ diện ACMN đạt giá trị lớn tìm giá trị Bi 10 Cho hình trụ có hai đường tròn đáy (O; R ) (O '; R ), chiều cao hình trụ h , AB đường kính cố định đường tròn (O) M điểm thay đổi đường tròn (O ') Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MAB đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Tính thể tích khối lăng trụ n _ giác nội tiếp, ngoại tiếp hình trụ Bi 11 Cho hình trụ có hai đường tròn đáy (O; R ) (O '; R ) , chiều cao hình trụ h AB đường kính cố định đường tròn (O) M điểm thay đổi đường tròn (O ') Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MAB đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Gọi N điểm đối xứng với M qua O ' Tìm vị trí MN cho thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn Tính thể tích khối lăng trụ n − giác nội tiếp, ngoại tiếp hình trụ Vấn đề MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP V LĂNG TRỤ Phương pháp: 1) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 73 Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy đa giác nội tiếp Để xác định tậm mặt cầu ngồi tiếp hình chóp S.A1 A2 An ta thường thực bước sau: • Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp đa giác A1 A2 A2 • Kẻ I x vng góc với mặt phẳng ( A1 A2 A2) • Xác định mặt phẳng (P ) trung trực cạnh bên SAi • Tâm O giao điểm I x (P ) Bán kính R = SO = OAi Chú ý: • Trong hình chóp đường cao hình chóp trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy • Trong trường hợp trục đường tròn ngoại tiếp đáy đồng phẳng với cạnh bên( hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, hay hình chóp đều, ) thay tìm xác định mặt phẳng trung trực ta xác định đường thẳng trung trực • Trong số tốn yêu cầu xác định bán kính mặt cầu ngoại ta đưa tìm bán kính đường tròn lớn • Nếu hình chóp tứ diện có mặt tam giác đặc biệt tam giác vng, cân nên chọn tam giác làm đáy • Nếu xác định đươc đoạn thẳng MN cố định đỉnh hình chóp nhìn đoạn M N góc vng tâm hình cầu trung điểm đoạn MN R = MN • Nếu xác định điểm O thỏa mãn OS = OA1 = OA2 = = OAn O tâm hình cầu ngoại tiếp hình chóp • Trong nhiều tốn thay xác định bán kính mặt cầu ta xác định bán kính đường tròn lớn 2) Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ • Một lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng đáy đa giác nội tiếp • Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ trung điểm đoạn nối hai tâm hai đáy 3) Vị trị tương đối mặt cầu đường thẳng • Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S (I , R ) ⇔ d(I , ∆) = R • Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu S (I , R ) hai điểm A, B ⇔ d(I , ∆) < R Khi gọi H hình chiếu I lên AB , ta có H trung điểm AB I H + AH = R 4) Vị trị tương đối mặt cầu mặt phẳng 74 • Mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu S (I , R ) ⇔ d(I , (P )) = R , tiếp điểm H hình chiếu tâm I lên mặt phẳng (P ) • Mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu S (I , R ) ⇔ d(I , (P )) < R , giao tuyến chúng đường tròn có tâm H hình chiếu I lên (P ) bán kính r= R2 − I H 5) Mặt cầu nội tiếp hình chóp: • Là mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình chóp • Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp Khi I cách tất mặt hình chóp • Giả sử hình chóp S.A1 A2 An (n ≥ 3) có mặt cầu nội tiếp tâm I bán kính r Gọi V thể tích khối chóp chóp Khi V = ∑S diện tích tồn phần hình ∑ S.r Nhận xét: Từ cơng thức ta có cơng thức tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp r = 3V Đối với số toán việc xác tâm mặt cầu ngoại tiếp ∑S khó nên ta vận dụng cơng thức để xác định bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp Đối với hình chóp tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp thuộc đường cao hình chóp Ví dụ 1.3.5 Cho tứ diện ABCD có AB = CD,BC = AD,A C = BD Chứng minh tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện Lời giải 75 Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD , ta có OA = OB = OC = OD Gọi O1 ,O2 ,O ,O hình A chiếu vng góc O lên mặt phẳng ( BCD ) , O3 O4 ( ACD ) ,( ABD ) ,( ABC )   O1 ,O2 ,O ,O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Các tam giác BCD,ACD,ABD,ABC (c.c.c) nên bán kính O2 O B D O1 C R1,R ,R ,R đường tròn ngoại tiếp tam giác Các tam giác vuông OO1B,OO2A ,OO3A ,OO 4B cho OO12 = OB2 − R12 ,OO 22 = OA − R 22 ,OO 23 = OA − R 23 ,OO 24 = OB2 − R 24 ⇒ OO1 = OO = OO3 = OO ⇒ O tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD Ví dụ 2.3.5 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , đường cao SO = a ( O tâm hình vng ABCD ) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD Lời giải Gọi E,F trung điểm S BC,AB Trong tam giác vuông SOE , đường phân giác góc ·SEO cắt SO I , ta chứng minh I tâm mặt H1 cầu nội tiếp hình chóp H2 S.ABCD I Gọi H 1,H hình C D chiếu vng góc I lên SE,SF E O A F 76 B  BC ⊥ SO ⇒ BC ⊥ ( SOE ) ⇒ BC ⊥ IH   BC ⊥ OE IH ⊥ SE ⇒ IH ⊥ ( SBC ) ⇒ IH = d I,( SBC )  IH ⊥ BC ( ) Tương tự IH = d ( I,( SAB) ) Hai tam giác vng SOE SOF có SO chung , OE = OF nên chúng suy hai đoạn tương ứng IH 1,IH Chứng minh tương tự ta có I cách mặt bên hình chóp cho Mặt khác I thuộc đường phân giác ·SEO ⇒ IO = IH Vậy I cách tất mặt hình chóp SABCD mà I hình chóp I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD Áp dụng tính chất chân đường phân giác ta có IO OE IO OE IO OE = ⇒ = ⇒ = IS SE IO + IS OE + SE SO OE + SE a a2 a SO.OE a 2 ⇒ IO = = = = OE + SE a + a + a + a2 + ( ) Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD r = a 1+ Ví dụ 3.3.5 Một hình chóp tứ giác có cạnh đáy a  ·ASB = α Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp; Xác định tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp; Chứng minh hai tâm mặt cầu trùng α = 450 Lời giải 1.Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 77 Gọi O tâm hình vng ABCD , ta có SO vng góc với ( ABCD ) SO trục hình vng ABCD Trong mặt phẳng ( SBO ) S J ,đường trung trực ( d ) cạnh SB cắt SO K , ta có K ∈ SO ⇒ KA = KB = KC = KD K ∈ ( d ) ⇒ KB = KS I2 K I1 I C B ⇒ KA = KB = KC = KD = KS E O D M A Vậy K tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Hai tam giác vuông SOB SJK đồng dạng ( J trung điểm SB ) suy ra: SK SJ SB.SJ SB2 = ⇒ SK = = ( 1) SB SO SO 2SO Gọi E trung điểm AB Trong tam giác vuông SEB : SB = EB = · cosESB a α 2sin Trong tam giác vuông SOE ,  α a2  1− 2sin2 ÷ 2  a2 cosα a a cosα SO2 = SB2 − OB2 = − =  = ⇒ SO = α 2α 2α 2α 4sin 4sin 4sin 2sin 2 2 Từ (1) suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD a2 a2 α a = R = SK = α a cosα 4sin cosα α sin 2.Xác định tâm bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD Gọi E,M trung điểm AB,AD I chân đường phân giác ·SEO Gọi I 1,I hình chiếu vng góc I lên SE,SM 4sin2 78 AB ⊥ OE ⇒ AB ⊥ ( SOE ) ⇒ AB ⊥ II  AB ⊥ SO II ⊥ AB,II ⊥ SE ⇒ II ⊥ ( SAB) ⇒ II = d I,( SAB) Tương tự II = d ( I,( SAD ) ) ( ) Hai tam giác vuông SOE SOM suy hai đoạn tương ứng II = II ( ) ( ⇒ d I,( SAB) = d I,( SAD ) ) Chứng minh tương tự ta có I cách mặt bên hình chóp S.ABCD , IO = d(I ,( ABCD ) I chân đường phân giác ·SEO ⇒ IO = II I hình chóp S.ABCD I cách tất mặt hình chóp S.ABCD nên I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp Áp dụng tính chất chân đường phân giác ta có : IO ES IO ES IO ES = ⇒ = ⇒ = IS EO IS + IO ES + EO SO ES + EO a cosα a α cot α α 2sin a cosα cot SO.ES 2 ⇒ r = IO = = = a α a ES + EO  α α cot + 2 sin + cos ÷ 2 2 2  3.Chứng minh hai tâm mặt cầu trùng α = 450 KI = KO ⇒ ∆SKI = ∆KOA ⇒ I 1S = OA Khi K trùng với I ta có  KS = KA OA bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác K trùng I I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB nên I 1S bán kính đường tròn Suy AB AB · · = ⇒ sinASB = sinACB ⇒ ·ASB = ·ACB · · sinASB sinACB Mặt khác α = 450 hai bán kính hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác SAB ACB ⇒ d ( K ,( SAB) ) = d ( K ,( ABCD ) ) ⇒ K cách mặt hình chóp S.ABCD ⇒ K trùng với I Vậy K ≡ I ⇔ α = 450 CC BI TỐN LUYỆN TẬP Bi 79 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy AB = a , cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Xác định tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với đáy, góc cạnh bên SB với đáy 600 ∆ABC vuông B, AB = a 3, ·ACB = 300 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) Gọi M , N hình chiếu A SB, SC Chứng minh điểm A, B, C, M , N nằm mặt cầu Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu biết · BAC = α , BC = a Cho hình chóp S.ABC có ( SBC ) ⊥ ( ABC ) AB = AC = SA = SB = a Xác định tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp SC = x Bi Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ·BAD = 600 cạnh bên SA = SB = SC Xác định tâm tính bán · kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện SBCD biết BSD = 900 Bi Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A, D , AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD ⊥ ( ABCD) SD = a Gọi E trung điểm DC Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE Trong hình phẳng (P ) cho nửa lục giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2R Qua A kẻ đường thẳng Ax vng góc với (P ) , Ax lấy điểm S cho góc hai mặt phẳng (SDC ) (P ) 600 Xác định tâm bán kính hình cầu qua năm điểm S, A, B, C, D Bi Cho tứ diện ABCD có AB = 6, CD = , cạnh lại 74 Hãy tìm bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Cho tứ diện ABCD Tìm điểm M cho trọng tâm tứ diện MBCD, MCDA, MDAB, MABC cách tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bi Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' , có đáy ABC tam giác vng A Biết AB = a; AA ' = a 3; ·ABC = 600 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ 80 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ′B′C ′ có AB = a, góc hai mặt phẳng ( A′BC ) ( ABC ) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A ′BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Bi Cho hai mặt phẳng (P ) (Q) vng góc với có giao tuyến đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P ) lấy điểm C , mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với ∆ AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bi Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (O) Gọi A0, B0, C0, D0 trọng tâm mặt BCD, CDA, DAB, ABC Kẻ đường kính AA1, BB1, CC1 , DD1 Chứng minh rằng: 1.Các đường thẳng A1 A0, B1B0, C1C0, D1D0 đồng quy điểm H , 2.Các đường thẳng qua H trung điểm cạnh vng góc với cạnh đối diện Bi Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' đáy tam giác ABC với góc nhọn · BAC = α ; BC = k; AA ' = h 1.Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình trụ ả sử mp (BCC ' B ') thay đổi AB + AC = a ( a không đổi ) Cho α = 600 h khơng đổi Tìm k để bán kính mặt cầu bé Bi Trong tất hình chóp tứ giác ngoại tiếp mặt cầu bán kính r , tìm hình chóp có diện tích tồn phần nhỏ Bi 10 Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo vng góc với nhau, nhận AB làm đường vng góc chung Trên tia Ax lấy điểm M , tia By lấy điểm N cho AM + BN = MN 1.Tìm vị trí M , N cho bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABMN lớn Chứng minh đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN nhỏ Bi 11 Cho hình cầu tâm O bán kính R Lấy điểm A mặt cầu gọi (P ) mp qua A cho góc (P ) OA 300 81 a) Tính diện tích thiết diện tạo (P ) mặt cầu b) Đường thẳng d qua A vng góc với mp (P ) cắt mặt cầu B Tính độ dài đoạn AB Bi 12 Cho hai đường tròn (O1, r1) (O2, r2) cắt hai điểm A, B nằm hai mặt phẳng phân biệt (P ) (P ') a) Chứng minh có mặt cầu qua hai đường tròn b) Tìm bán kính R mặt cầu biết r1 = 5; r2 = 10; AB = 6; O1O2 = 21 CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bi 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên tạo với đáy góc 450 Một mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( ABC ) A tiếp xúc với cạnh bên BS kéo dài H Gọi (α ) mặt phẳng qua tâm I mặt cầu trung điểm đường cao BD đáy Tính bán kính cầu Bi 14 · · Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a , BAC = 1200, CAD = 600 , ·DAB = 900 Xác định bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a ·ASB = α a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Xác định tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp c) Tìm giá trị α để tâm mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp trùng Cho hình cầu bán kính R Từ điểm S mặt cầu vẽ ba cát tuyến · · cắt mặt cầu A, B, C cho ·ASB = BSC = CSA = α Tìm α để thể tích khối chóp S.ABC lớn Bi 15 Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G , nội tiếp mặt cầu (O; R ) Các đường thẳng GA, GB, GC, GD cắt mặt cầu điểm thứ hai A ', B ', C ', D ' Chứng minh: VABCD ≤ VA ' B ' C ' D ' Cho hình chóp S.ABCD đỉnh S , cạnh đáy a chiều cao h a) Tính bán kính R r hình cầu ngoại tiếp nội tiếp tương ứng hình chóp b) Gọi V , V1, V2 thể tích khối chóp, hình cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình chóp Xác định quan hệ a h cho : b1) 82 V2 V đạt giá trị lớn b2) V2 V1 đạt giá trị lớn 3 Giả sử mặt cầu có tâm I thuộc cạnh AB , bán kính rI tiếp xúc với cạnh AC, AD, BC BD; mặt cầu tâm J thuộc cạnh CD , bán kính rJ tiếp xúc với cạnh CA, CB, DA, DB hình tứ diện ABCD Chứng minh: AB CD4 = AB − 4rI2 CD2 − 4rJ2 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường cao SO = cạnh đáy tam giác ABC Điểm M , N trung điểm cạnh AB, AC tương ứng Tìm bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp S.AM N Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh 2a, góc ∠ABC = 600 Đường cao SO=b Xác định tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp Cho tứ diện ABCD có cạnh AB = x Hai mặt ACD BCD tam giác cạnh a Gọi M trung điểm AB a) Xác định x DM đường cao tứ diện ABCD b) Giả sử DM vng góc với mp ( ABC ) Tính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD 83