THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Phương php: Sử dụng cơng thức thể tích �Thể tích khối lăng trụ: V  B.h �Thể tích khối hộp chữ nhật cĩ cc cạnh a, b, c : V  abc �Thể tích khối lập phương cạnh a : V  a3 Để tính thể tích khối lăng trụ A1 A2 An A1' A2' An' ta cần tính chiều cao lăng trụ v diện tích đy Cc tính chất lăng trụ: a) Hình lăng trụ �Cc cạnh bn hình lăng trụ song song v �Cc mặt bn hình lăng trụ l cc hình bình hnh �Hai đy hình lăng trụ l hai đa gic v nằm hai mặt phẳng song song với �Lăng trụ cĩ cc cạnh bn vuơng gĩc hai đy gọi l lăng trụ đứng * Cc cạnh bn lăng trụ đứng l đường cao nĩ * Cc mặt bn lăng trụ đứng l cc hình chữ nhật �Lăng trụ đứng cĩ đy l đa gic gọi l lăng trụ Cc mặt bn lăng trụ l cc hình chữ nhật b) Hình Hộp : L hình lăng trụ cĩ đy l hình bình hnh �Hình hộp đứng cĩ cc cạnh bn vuơng gĩc với đy �Hình hộp đứng cĩ đy l hình chữ nhật gọi l hình hộp chữ nhật �Hình hộp chữ nhật cĩ ba kích thước gọi l hình lập phương �Đường cho hình hộp chữ nhật cĩ ba kích thước a, b, c l d a2  b2  c2 �Đường cho hình lập phương cạnh a l d  a Ví dụ 1.3 Cho hình lăng trụ tam gic ABC A ' B ' C ' cĩ AB  a , gĩc hai mặt phẳng ( A ' BC ) v ( ABC ) 600 Gọi G l trọng tm tam gic A ' BC Tính thể tích khối lăng trụ đ cho v tính bn kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Lời giải 53 Gọi H l trung điểm BC, theo giả thuyết ta cĩ : � A ' HA  600 Ta cĩ : AH  a , A ' H  2AH  a 3a v AA '  Vậy thể tích khối lăng trụ V  a2 3a 3a3 (đvtt)  Gọi I l tm tam gic ABC , suy GI / / AA ' � GI  ( ABC ) Gọi J l tm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC suy J l giao điểm GI với đường trung trực đoạn GA ; M l trung điểm GA , nn cĩ: GM GA GA 7a   GI 2GI 12 Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' cĩ đy ABC l tam gic vuơng, AB  BC  a , cạnh bn AA '  a Gọi M l trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' v khoảng cch hai đường thẳng AM , B ' C Lời giải GM GA  GJ GI � R  GI  Từ giả thiết suy tam gic ABC vuơng cn B Thể tích khối lăng trụ l: VABC A ' B ' C '  AA '.S ABC  a (đvtt) Gọi E l trung điểm BB ' Khi đĩ mặt phẳng ( AME ) / / B ' C nn d  AM , B ' C   d  B ' C, ( AME )  d  C , ( AME ) Nhận thấy d  C, ( AME )  d  B, ( AME )  h Do tứ diện BAME cĩ BA, BM , BE đơi vuơng gĩc nn: h2  BA  BM  BE  a2 �h a 7 Vậy khoảng cch hai đường thẳng AM v B ' C l a 54 Ví dụ 3.3 Cho hình lăng trụ tam gic ABC.A ' B ' C ' cĩ BB '  a , gĩc đường thẳng BB ' v mặt phẳng ( ABC ) 600; tam gic ABC vuơng � C v BAC  600 Hình chiếu vuơng gĩc điểm B ' ln mặt phẳng ( ABC ) trng với trọng tm tam gic ABC Tính thể tích khối tứ diện A '.ABC theo a Lời giải Gọi D l trung điểm AC , G l tm ABC �' BG  600 � B ' G  ( ABC ) � B �' BG  a ; � B ' G  BB '.sin B a 3a BG  � BD  Trong ABC , ta cĩ: BC  AB , AC  AB � CD  AB BC  CD2  BD2 � 2 3AB AB 9a   16 16 3a 13 3a 13 9a2 , AC  ; SABC  13 26 104 Thể tích khối tứ diện A '.ABC : � AB  9a3 VA ' ABC  VB ' ABC  B ' G.SABC  208 Ví dụ 4.3 Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' cĩ độ di cạnh bn 2a, đy ABC l tam gic vuơng A , AB  a, AC  a v hình chiếu vuơng gĩc đỉnh A ' trn mặt phẳng  ABC  l trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chĩp A '.ABC v tính cosin gĩc hai đường thẳng AA ', B ' C ' Lời giải Gọi H l trung điểm BC � A ' H  ( ABC ) v 55 AH  1 BC  a  3a2  a 2 A ' H  A ' A  AH  3a2 � A 'H  a VA ' ABC  a3 A ' H SABC  3 (đvtt) Trong tam gic vuơng A ' B ' H cĩ: A ' B '2  A ' H  2a nn tam gic B ' BH cn B ' �'BH Vậy Đặt  l gĩc hai đường thẳng AA' v B'C' thì:   B HB '  cos   a  2.2a Ví dụ 5.3 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 cĩ đy ABCD l hình chữ nhật AB  a , AD  a Hình chiếu vuơng gĩc điểm A1 trn mặt phẳng ( ABCD) trng với giao điểm AC v BD Gĩc hai mặt phẳng  ADD1 A1  v (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ đ cho v khoảng cch từ điểm B1 đến mặt phẳng  A1BD  theo a ĐH Khối B – 2011 Đề thi Lời giải Gọi O  AC �BD, I l trung điểm cạnh AD Ta cĩ AD  ( AOI ) � �� A1I O   ( ADD1 A1), ( ABCD)  600 Vì OI  a , suy A1I  2OI  a � A1O  OI tan 600  a a 3a3  A O S  a a  ABCD 1B1C1D1 2 Gọi B2 l điểm chiếu B1 xuống mặt phẳng  ABCD  Do đĩ VABCD.A B1C / / A1D � B1C / /( A1BD) � d  B1, ( A1BD)  d  C, ( A1BD)  CH 56 Trong đĩ CH l đường cao tam gic vuơng BCD Ta cĩ: CH  CD.CB CD2  CB  a Vậy d  B1, ( A1BD)  a CC BI TỐN LUYỆN TẬP Bi 1 Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' Biết mặt phẳng ( A ' BC ) tạo với mặt phẳng ( A ' B ' C ') gĩc 600 v khoảng cch từ A đến mặt phẳng 3a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' 2 Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' cĩ đy ABC l tam gic vuơng A với AB  a, AC  a Tính thể tích khối lăng trụ biết mặt phẳng ( A ' BC ) ( A ' BC ) tạo với đy gĩc 300 Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' cĩ cạnh đy a Gọi M l trung điểm cạnh CC ' , biết AM  B ' M Hy tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' v sin gĩc hợp hai mặt phẳng ( AMB ') với ( ABC) Cho lăng trụ đứng tam gic ABC.A ' B ' C ' , cĩ cạnh đy a , đường cho BC ' mặt bn  BCC ' B ' tạo với mặt phẳng  ABB ' A ' gĩc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' theo a Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' cĩ đy ABC l tam gic vuơng B , AB  a, AA '  2a, A ' C  3a Gọi M l trung điểm đoạn thẳng A ' C ' , I l giao điểm AM v A ' C Tính theo a thể tích khối tứ diện I ABC v khoảng cch từ điểm A đến mặt phẳng  I BC  Bi B C cĩ độ di cạnh bn 2a, đy ABC l Cho khối lăng trụ ABC.A��� tam gic vuơng A, AB  a, AC  a v hình chiếu vuơng gĩc đỉnh A ' trn mặt phẳng ( ABC ) l trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích ABC v tính cosin gĩc hai đường thẳng AA ' v B ' C ' khối chĩp A� Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' cĩ đy l tam gic cạnh a, cạnh bn a v hình chiếu A ' ln mp( ABC ) trng với trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ đĩ Cho lăng trụ tam gic ABC.A ' B ' C ' cĩ đy l ABC l tam gic cn A , � AB  AC  a, BAC  1200 , hình chiếu A ' ln mặt phẳng ( ABC) trng 57 với trọng tm tam gic ABC Tính thể tích khối lăng trụ biết cạnh bn AA '  2a B C cĩ độ di tất cc cạnh a v hình Cho hình lăng trụ ABC.A ��� A ) l tm hình bình hnh ABB�� chiếu đỉnh C trn mặt phẳng ( ABB�� A Tính thể tích khối lăng trụ B C cĩ chiều cao h Cho khối lăng trụ tam gic ABC.A ��� ,BC�vuơng gĩc với Tính thể tích khối v hai đường thẳng AB � lăng trụ v diện tích xung quanh nĩ Bi B C cĩ đy l tam gic cạnh Cho hình lăng trụ tam gic ABC.A ��� a,A � A  A� B  A� C  b Tìm b để gĩc mặt bn (ABB �� A ) v mặt đy 60 v tính thể tích khối lăng trụ đĩ ) Cho hình lăng trụ tam gic ABC.A ��� B C cĩ cạnh đy a Mặt phẳng (ABC� B ) gĩc  Tính thể tích v diện tích xung quanh hợp với mặt phẳng (BCC�� khối lăng trụ B C , cĩ đy ABC l tam gic cn Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ��� �   Gọi M l trung điểm A � A Tính thể tích khối A,AB  AC  a,BAC lăng trụ biết tam gic C� MB vuơng Cho lăng trụ tam gic ABC.A ��� B C cĩ đy l tam gic vuơng � AB),(A � BC),(A � CA ) nghing A,BC  a,ABC   Cc mặt phẳng (A � trn đy gĩc  Hình chiếu điểm A �ln mặt phẳng (ABC) thuộc miền tam gic ABC Chứng minh thể tích khối lăng 2.a3.sin2 2.tan  V trụ ABC.A ��� B C tính theo cơng thức  �  � 32cos cos �  � �4 � B C cĩ đy ABC l tam gic vuơng A Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ��� C C) a, khoảng cch Khoảng cch từ đường thẳng AA �đến mặt phẳng (BB �� AB) b, mặt phẳng (C� AB) tạo với đy gĩc  Tính từ C đến mặt phẳng (C� thể tích khối lăng trụ Bi Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' cĩ đy ABCD l hình thoi cạnh 2a Mặt phẳng (B ' AC ) tạo với đy gĩc 300 , khoảng cch từ B đến mặt a Tính thể tích khối tứ diện ACB ' D ' 2 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' , AB  a, AD  a Tính phẳng (D ' AC) thể tích khối hộp biết khoảng cch từ A đến mặt phẳng ( A ' BD) Bi 58 a � B C D cĩ cc cạnh a, BAD Cho hình hộp ABCD.A����  600, � � 900, DAA � � 1200 Tính thể tích khối hộp BAA Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' cĩ tất cc mặt l hình thoi cạnh a , � '  BAD � � '  600 Tính thể tích khối hộp cc gĩc BAA  DAA ABCD.A ' B ' C ' D ' theo a B C D cĩ tất cc cạnh Cho hình hình hộp ABCD.A ���� � � �  DAA � � a,BAA  BAD  ,(0    900 ) Tính thể tích khối hộp theo a v  Bi B C cĩ đy l tam gic vuơng Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ��� B,AB  a,BC  2a,AA �  3a Mặt phẳng ( ) qua A v vuơng gĩc với CA �lần lượt cắt cc đoạn thẳng CC�v BB �tại M,N Tính diện tích tam gic AMN Cho hình lăng trụ tứ gic ABCD.A ’B’C’D’ cĩ cạnh bn l h Từ đỉnh vẽ hai đường cho hai mặt bn kề Gĩc giửa hai đường cho đĩ cĩ số đo l � � �    � Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ đ cho 2� � Bi Cho hình lăng trụ tam gic ABC.A ��� B C cĩ cạnh đy a Gọi M l trung ) biết điểm cạnh AA � Tính khoảng cch từ C đến mặt phẳng (BMC� BM  AC� Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ , cạnh đy a Mặt phẳng  ABC’ hợp với � � mặt phẳng  BCC’B’ gĩc cĩ số đo l  �0   � � Gọi I,J l hình 2� � chiếu vuơng gĩc A ln BC v BC’ a) Chứng minh � AIJ   b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ v diện tích xung quanh hình lăng trụ đĩ �  1200 Gọi B C cĩ AB  a,AC  2a v BAC Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ��� � � M l trung điểm cạnh CC�thì BMA  900 Tính khoảng cch từ A đến mặt ) phẳng (BMA � � � Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ��� B C cĩ BC  a,BA C  900 Cc đường thẳng BA � ,CA �tạo với mặt phẳng đy cc gĩc tương ứng , (   ) Tính thể tích ) lăng trụ v khoảng cch từ B �đến (BCA � Bi  c Gọi M B C D cĩ AB  a,BC  b, AA � Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ���� l điểm chia đoạn AD theo tỉ số 3 Tính khoảng cch từ điểm M đến mặt C) phẳng (AB � 59 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ’B’C’ , đy ABC l tam gic cn A Gĩc hai đường thẳng AA ’ v BC’ l 300 v khoảng cch chng l a Gĩc hai mặt phẳng chứa hai mặt bn qua AA ’ l 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ B C D cạnh a Gọi K l trung điểm DD� Cho khối lập phương ABCD.A ���� Tính khoảng cch CK v A � D CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bi B C cĩ đy l tam gic vuơng Cho khối lăng trụ đứng tam gic ABC.A ��� � C C) gĩc  A,AC  a,ACB   Đường thẳng BC�tạo với mặt phẳng (AA �� Tính thể tích khối lăng trụ đĩ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ��� B C cĩ đy l tam gic vuơng thỏa mn AB  AC  a Gĩc hai đường thẳng AC�v A � B  Tính thể tích khối lăng trụ theo a v  Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ cĩ đy ABC l tam gic vuơng A , AB  a,BC  2a Mặt bn ABB’A ’ l hình thoi , mặt bn BCC’B’ nằm mặt phẳng vuơng gĩc với đy , hai mặt ny hợp với gĩc  a)Tính khoảng cch từ A đến mặt phẳng  BCC’B’ Xc định gĩc  b)Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ Cho hình hộp ABCD.A ’B’C’D’ cĩ đy ABCD l hình thoi cạnh a , gĩc A  600 Chn đường vuơng gĩc hạ từ B’ xuống mặt phẳng  ABCD  trng với giao điểm hai đường cho đy ABCD Cho BB’  a a)Tính gĩc cạnh bn v đy b) Tính thể tích v diện tích xung quanh hình hộp Bi 10 Cho hình lăng trụ AB A ' B ' C ' cĩ đy ABC l tam gic cạnh a , � �  Tính thể tích khối lăng trụ A� A  A� B  A� C , BAA B C cạnh đy a, đường cho BC� Cho khối lăng trụ tam gic ABC.A ��� A ) gĩc  Tính thể tích, diện tích xung quanh v diện hợp với mặt bn (ABB �� tích tồn phần khối lăng trụ Xc định gĩc  để hình lăng trụ đĩ tồn Bi 11 Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M l trung điểm CN  Mặt phẳng ( A ' MN ) chia khối BC , N thuộc cạnh CD thỏa CD lập phương thnh hai khối, gọi (H ) l khối chứa điểm A Tính thể tích khối (H ) theo a 60 B C D cĩ đy l hình thoi cạnh Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A ���� �   (0   �900 ) Tính thể tích khối lăng trụ biết hai đường a,BAD thẳng AB �v BD�vuơng gĩc Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' , đy l hình thoi Biết diện tích hai � ' D  900 Tính thể tích khối mặt cho ACC ' A ' v BDD 'B ' l s1, s2 , gĩc BA hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' theo s1 v s2 Bi 12 B C D cĩ cc mặt bn hợp v mặt  A ' BD  với đy Cho hình hộp ABCD.A ���� gĩc 600 , biết gĩc � BAD  600, AB  2a, BD  a Tính VABCD A ���� BC D Cho hình lăng trụ tam gic ABC.A ’B’C’ Mặt phẳng  A ’BC  cch A a 15 v hợp với BC’ gĩc  biết sin   Tính thể tích 10 khối lăng trụ đ cho Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ cĩ đy l tam gic cạnh a Hình chiếu vuơng gĩc vủa A ’ ln mặt phẳng  ABC  trng với tm O đường trịn ngoại tiếp tam gic khoảng cch ABC Cho � BAA '  450 a)Tính thể tích khối lăng trụ đ cho b)Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ Bi 13 Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' , cĩ đy ABC l tam gic vuơng A Khoảng cch từ AA ' đến BCC ' B ' a , khoảng cch từ C đến ABC '   b, gĩc hai mặt phẳng  ABC ' v  ABC    băng  a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' theo a,b v  b) Khi a  b khơng đổi, hy xc định  để thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' nhỏ Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ cĩ đy l tam gic nội tiếp đường trịn  O tm O Hình chiếu vuơng gĩc C’ ln mặt phẳng  ABC  l O Khoảng cch AB v CC’ l d Gĩc hai mặt phẳng chứa hai mặt bn ACC’A ’ v BCC’B’  l 2  2  a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ b) Gọi    �90 l gĩc hai mặt phẳng  ABB’A ’ v  ABC  Tính  biết       900 Bi 14 61 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' , gĩc đường cho AC ' v mặt đy  ABCD  300 v AC '  a , � AC ' B   Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' theo a v  Giả sử a khơng đổi, tìm  để thể tích khối hộp lớn B C D , đy ABCD cĩ BD  a khơng đổi v Cho hình lăng trụ ABCD.A ���� � � � � C C) l hình thoi, BAD  DCB  90 ,ABD  ,CBD   Mặt phẳng (AA �� �� vuơng gĩc với đy v A BCD v AC  600 Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A ����  ,  tìm để thể tích đĩ lớn B C D , cĩ đường cho AC� Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ����  d hợp với đy (ABCD) gĩc , hợp với mặt bn (BCC�� B ) gĩc  Tìm hệ thức lin hệ ,  để tứ gic A �� D CB l hình vuơng v tìm gi trị lớn thể tích khối hộp chữ nhật đĩ Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ Tam gic ABC’ cĩ diện tích Q v hợp với � � mặt phẳng đy gĩc cĩ số đo  �0    � 2� � a) Tính thể tích V khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ theo Q v  b) Cho Q khơng đổi v  thay đổi Tính  để thể tích V lớn Gọi  , ,  ,1 ,1 , 1 l cc gĩc đường cho hình hộp chữ nhật với ba cạnh cng pht xuất từ đỉnh v ba mặt cng pht xuất từ đỉnh Chứng minh : cos2   cos2   cos2   1; sin2 1  sin2 1  sin2   62 ... ' C ' theo a Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' cĩ đy ABC l tam gic vuơng B , AB  a, AA '  2a, A ' C  3a Gọi M l trung điểm đoạn thẳng A ' C ' , I l giao điểm AM v A ' C Tính theo a... BAA  DAA ABCD.A ' B ' C ' D ' theo a B C D cĩ tất cc cạnh Cho hình hình hộp ABCD.A ���� � � �  DAA � � a,BAA  BAD  ,(0    900 ) Tính thể tích khối hộp theo a v  Bi B C cĩ đy l tam gic... điểm B ' ln mặt phẳng ( ABC ) trng với trọng tm tam gic ABC Tính thể tích khối tứ diện A '.ABC theo a Lời giải Gọi D l trung điểm AC , G l tm ABC �' BG  600 � B ' G  ( ABC ) � B �' BG  a