THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Phương pháp: Sử dụng cơng thức thể tích • Thể tích khối lăng trụ: V = B.h • Thể tích khối hộp chữ nhật có cạnh a, b, c : V = abc • Thể tích khối lập phương cạnh a : V = a3 Để tính thể tích khối lăng trụ A1 A2 An A1' A2' An' ta cần tính chiều cao lăng trụ diện tích đáy Các tính chất lăng trụ: a) Hình lăng trụ • Các cạnh bên hình lăng trụ song song • Các mặt bên hình lăng trụ hình bình hành • Hai đáy hình lăng trụ hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song với • Lăng trụ có cạnh bên vng góc hai đáy gọi lăng trụ đứng * Các cạnh bên lăng trụ đứng đường cao * Các mặt bên lăng trụ đứng hình chữ nhật • Lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi lăng trụ Các mặt bên lăng trụ hình chữ nhật b) Hình Hộp : Là hình lăng trụ có đáy hình bình hành • Hình hộp đứng có cạnh bên vng góc với đáy • Hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật • Hình hộp chữ nhật có ba kích thước gọi hình lập phương • Đường chéo hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c d= a2 + b2 + c2 • Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a Ví dụ 1.3 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có AB = a , góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) ( ABC ) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A ' BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Lời giải 41 Gọi H trung điểm BC, theo giả thuyết ta có : ·A ' HA = 600 Ta có : AH = a , A ' H = 2AH = a 3a AA ' = Vậy thể tích khối lăng trụ V = a2 3a 3a3 (đvtt) = Gọi I tâm tam giác ABC , suy GI / / AA ' ⇒ GI ⊥ ( ABC ) Gọi J tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC suy J giao điểm GI với đường trung trực đoạn GA ; M trung điểm GA , nên có: GM GA GA 7a = = GI 2GI 12 Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AM , B ' C Lời giải GM GA = GJ GI ⇒ R = GI = Từ giả thiết suy tam giác ABC vng cân B Thể tích khối lăng trụ là: VABC A ' B ' C ' = AA '.S ABC = a (đvtt) Gọi E trung điểm BB ' Khi mặt phẳng ( AME ) / / B ' C nên d ( AM , B ' C ) = d ( B ' C,( AME )) = d ( C, ( AME )) Nhận thấy d ( C, ( AME )) = d ( B, ( AME )) = h Do tứ diện BAME có BA, BM , BE đơi vng góc nên: h2 = BA + BM + BE = a2 ⇒h= a 7 Vậy khoảng cách hai đường thẳng AM B ' C a 42 Ví dụ 3.3 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có BB ' = a , góc đường thẳng BB ' mặt phẳng ( ABC ) 600; tam giác ABC · vuông C BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A '.ABC theo a Lời giải Gọi D trung điểm AC , G tâm ∆ABC · ' BG = 600 ⇒ B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ B · ' BG = a ; ⇒ B ' G = BB '.sin B a 3a BG = ⇒ BD = Trong ∆ABC , ta có: BC = AB , AC = AB ⇒ CD = AB BC + CD2 = BD2 ⇒ 2 3AB AB 9a + = 16 16 3a 13 3a 13 9a2 , AC = ; S∆ABC = 13 26 104 Thể tích khối tứ diện A '.ABC : ⇒ AB = 9a3 VA ' ABC = VB ' ABC = B ' G.S∆ABC = 208 Ví dụ 4.3 Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A , AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A ' mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A '.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA ', B ' C ' Lời giải Gọi H trung điểm BC ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) 43 AH = 1 BC = a + 3a2 = a 2 A ' H = A ' A − AH = 3a2 ⇒ A 'H = a VA ' ABC = a3 A ' H S∆ABC = 3 (đvtt) Trong tam giác vng A ' B ' H có: A ' B '2 + A ' H = 2a nên tam giác B ' BH cân B ' · ' BH Vậy Đặt ϕ góc hai đường thẳng AA' B'C' thì: ϕ = B HB ' = cos ϕ = a = 2.2a Ví dụ 5.3 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a , AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng ( ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A1BD ) theo a ĐH Khối B – 2011 Đề thi Lời giải Gọi O = AC ∩ BD, I trung điểm cạnh AD Ta có AD ⊥ ( AOI ) · ⇒ ·A1I O = ( ( ADD1 A1), ( ABCD)) = 600 Vì OI = a , suy A1I = 2OI = a ⇒ A1O = OI tan 600 = a a 3a3 = A O S = a a = ABCD 1B1C1D1 2 Gọi B2 điểm chiếu B1 xuống mặt phẳng ( ABCD ) Do VABCD A B1C / / A1D ⇒ B1C / /( A1BD) ⇒ d ( B1, ( A1BD)) = d ( C , (A1BD )) = CH Trong CH đường cao tam giác vng BCD 44 Ta có: CH = CD.CB CD2 + CB = a Vậy d ( B1, ( A1BD)) = a CC BI TỐN LUYỆN TẬP Bi 1 Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' Biết mặt phẳng ( A ' BC ) tạo với mặt phẳng ( A ' B ' C ') góc 600 khoảng cách từ A đến mặt phẳng 3a ( A ' BC ) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' 2 Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A với AB = a, AC = a Tính thể tích khối lăng trụ biết mặt phẳng ( A ' BC ) tạo với đáy góc 300 Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có cạnh đáy a Gọi M trung điểm cạnh CC ' , biết AM ⊥ B ' M Hãy tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' sin góc hợp hai mặt phẳng ( AMB ') với ( ABC ) Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A ' B ' C ' , có cạnh đáy a , đường chéo BC ' mặt bên ( BCC ' B ') tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' theo a Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A ' C ' , I giao điểm AM A ' C Tính theo a thể tích khối tứ diện I ABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( I BC ) Bi Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C ′ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A ' mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A′.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA ' B ' C ' Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên a hình chiếu A ' lên mp( ABC ) trùng với trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân · A , AB = AC = a, BAC = 1200 , hình chiếu A ' lên mặt phẳng ( ABC ) 45 trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ biết cạnh bên AA ' = 2a Cho hình lăng trụ ABC.A ′B′C ′ có độ dài tất cạnh a hình chiếu đỉnh C mặt phẳng ( ABB′A′) tâm hình bình hành ABB′A′ Tính thể tích khối lăng trụ Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A ′B ′C′ có chiều cao h hai đường thẳng AB ′,BC′ vng góc với Tính thể tích khối lăng trụ diện tích xung quanh Bi Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ′B ′C′ có đáy tam giác cạnh a,A ′A = A ′B = A ′C = b Tìm b để góc mặt bên (ABB ′A ′) mặt đáy 600 tính thể tích khối lăng trụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ′B ′C′ có cạnh đáy a Mặt phẳng (ABC′) hợp với mặt phẳng (BCC′B ′) góc α Tính thể tích diện tích xung quanh khối lăng trụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ′B ′C′, có đáy ABC tam giác cân · A,AB = AC = a,BAC = α Gọi M trung điểm A ′A Tính thể tích khối lăng trụ biết tam giác C′MB vng Cho lăng trụ tam giác ABC.A ′B ′C ′ có đáy tam giác vng · A,BC = a,ABC = α Các mặt phẳng (A ′AB),(A ′BC),(A ′CA ) nghiêng đáy góc β Hình chiếu điểm A ′ lên mặt phẳng (ABC) thuộc miền tam giác ABC Chứng minh thể tích khối lăng 2.a3.sin2 2α.tan β V= trụ ABC.A ′B ′C′ tính theo cơng thức α π α 32cos cos  − ÷ 4 2 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ′B ′C′ có đáy ABC tam giác vuông A Khoảng cách từ đường thẳng AA ′ đến mặt phẳng (BB ′C′C) a, khoảng cách từ C đến mặt phẳng (C′AB) b, mặt phẳng (C′AB) tạo với đáy góc α Tính thể tích khối lăng trụ Bi Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a Mặt phẳng (B ' AC ) tạo với đáy góc 300 , khoảng cách từ B đến a Tính thể tích khối tứ diện ACB ' D ' 2 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' , AB = a, AD = a Tính mặt phẳng (D ' AC ) thể tích khối hộp biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A ' BD) Bi 46 a · Cho hình hộp ABCD.A′B′C ′D′ có cạnh a, BAD = 600, · · ′ = 900, DAA ′ = 1200 Tính thể tích khối hộp BAA Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có tất mặt hình thoi cạnh · · · a , góc BAA ' = BAD = DAA ' = 600 Tính thể tích khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' theo a Cho hình hình hộp ABCD.A ′B ′C′D′ có tất cạnh · · · ′ = BAD ′ = α,(0 < α < 900 ) Tính thể tích khối hộp theo a a,BAA = DAA α Bi Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ′B ′C′ có đáy tam giác vuông B,AB = a,BC = 2a,AA ′ = 3a Mặt phẳng (α ) qua A vng góc với CA ′ cắt đoạn thẳng CC′ BB ′ M,N Tính diện tích tam giác AMN Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A ’B’C’D’ có cạnh bên h Từ đỉnh vẽ hai đường chéo hai mặt bên kề Góc giửa hai đường chéo có số đo  π α  < α < ÷ Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ cho 2  Bi Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ′B ′C′ có cạnh đáy a Gọi M trung điểm cạnh AA ′ Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (BMC′) biết BM ⊥ AC′ Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ , cạnh đáy a Mặt phẳng ( ABC’) hợp với  π mặt phẳng ( BCC’B’) góc có số đo α  < α ≤ ÷ Gọi I,J hình 2  chiếu vng góc A lên BC BC’ a) Chứng minh ·AIJ = α b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ diện tích xung quanh hình lăng trụ · Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ′B ′C′ có AB = a,AC = 2a BAC = 1200 · Gọi M trung điểm cạnh CC′ BMA ′ = 900 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BMA ′) · ′C = 900 Các đường thẳng Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ′B ′C′ có BC = a,BA BA ′,CA ′ tạo với mặt phẳng đáy góc tương ứng α,β (α < β ) Tính thể tích lăng trụ khoảng cách từ B ′ đến (BCA ′) Bi 47 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ′B ′C′D′ có AB = a,BC = b, AA ′ = c Gọi M điểm chia đoạn AD theo tỉ số −3 Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB ′C) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ’B’C’ , đáy ABC tam giác cân A Góc hai đường thẳng AA ’ BC’ 300 khoảng cách chúng a Góc hai mặt phẳng chứa hai mặt bên qua AA ’ 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ Cho khối lập phương ABCD.A ′B ′C′D′ cạnh a Gọi K trung điểm DD′ Tính khoảng cách CK A ′D CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bi Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A ′B ′C′ có đáy tam giác vuông · A,AC = a,ACB = α Đường thẳng BC′ tạo với mặt phẳng (AA ′C′C) góc β Tính thể tích khối lăng trụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ′B ′C′ có đáy tam giác vuông thỏa mãn AB = AC = a Góc hai đường thẳng AC′ A ′B α Tính thể tích khối lăng trụ theo a α Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A , A B = a,BC = 2a Mặt bên ABB’A ’ hình thoi , mặt bên BCC’B’ nằm mặt phẳng vng góc với đáy , hai mặt hợp với góc α a)Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCC’B’) Xác định góc α b)Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ Cho hình hộp ABCD.A ’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a , góc A = 600 Chân đường vng góc hạ từ B’ xuống mặt phẳng ( ABCD ) trùng với giao điểm hai đường chéo đáy ABCD Cho BB’ = a a)Tính góc cạnh bên đáy b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp Bi 10 Cho hình lăng trụ AB.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a , · ′ = α Tính thể tích khối lăng trụ A′A = A′B = A′C, BAA Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A ′B ′C′ cạnh đáy a, đường chéo BC′ hợp với mặt bên (ABB ′A ′) góc α Tính thể tích, diện tích xung quanh diện tích tồn phần khối lăng trụ Xác định góc α để hình lăng trụ tồn Bi 11 48 Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M trung điểm CN = Mặt phẳng ( A ' MN ) chia khối CD lập phương thành hai khối, gọi (H ) khối chứa điểm A Tính thể tích khối (H ) theo a Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A ′B ′C′D′ có đáy hình thoi cạnh · a,BAD = α (0 < α ≤ 900 ) Tính thể tích khối lăng trụ biết hai đường thẳng AB ′ BD′ vng góc Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' , đáy hình thoi Biết diện tích · ' D = 900 Tính thể hai mặt chéo ACC ' A ' BDD 'B ' s1, s2 , góc BA BC , N thuộc cạnh CD thỏa tích khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' theo s1 s2 Bi 12 Cho hình hộp ABCD.A ’B ’C ’D ’ có mặt bên hợp mặt ( A ' BD ) với đáy góc 600 , biết góc ·BAD = 600, AB = 2a, BD = a Tính VABCD A ’B ’C ’D ’ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ’B’C’ Mặt phẳng ( A ’BC ) cách A a 15 hợp với BC’ góc α biết sin α = Tính thể 10 tích khối lăng trụ cho Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc vủa A ’ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cho ·BAA ' = 450 khoảng cách a)Tính thể tích khối lăng trụ cho b)Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ Bi 13 Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' , có đáy ABC tam giác vuông A Khoảng cách từ AA ' đến ( BCC ' B ') a , khoảng cách từ C đến ( ABC ') b, góc hai mặt phẳng ( ABC ') ( ABC ) băng ϕ a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' theo a,b ϕ b) Khi a = b không đổi, xác định ϕ để thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' nhỏ Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ có đáy tam giác nội tiếp đường tròn ( O) tâm O Hình chiếu vng góc C’ lên mặt phẳng ( ABC ) O Khoảng 49 cách AB CC’ d Góc hai mặt phẳng chứa hai mặt bên ACC’A ’ π BCC’B’ 2ϕ < 2ϕ < a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ b) Gọi α < α ≤ 90 góc hai mặt phẳng ( ABB’A ’) ( ABC ) Tính ϕ ( ) biết α + ϕ = 900 Bi 14 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' , góc đường chéo AC ' mặt đáy ( ABCD ) 300 AC ' = a , ·AC ' B = ϕ Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' theo a ϕ Giả sử a không đổi, tìm ϕ để thể tích khối hộp lớn Cho hình lăng trụ ABCD.A ′B ′C′D′, đáy ABCD có BD = a không đổi · · · · BAD = DCB = 900,ABD = α,CBD = β Mặt phẳng (AA ′C′C) hình thoi, · ′AC = 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A ′B ′C′D′ vng góc với đáy A tìm α,β để thể tích lớn Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ′B ′C′D′, có đường chéo AC′ = d hợp với đáy (ABCD) góc α, hợp với mặt bên (BCC′B ′) góc β Tìm hệ thức liên hệ α, β để tứ giác A ′D′CB hình vng tìm giá trị lớn thể tích khối hộp chữ nhật Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ Tam giác ABC’ có diện tích Q hợp  π với mặt phẳng đáy góc có số đo α  < α < ÷ 2  a) Tính thể tích V khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ theo Q α b) Cho Q không đổi α thay đổi Tính α để thể tích V lớn Gọi α ,β , γ ,α1 ,β1 , γ1 góc đường chéo hình hộp chữ nhật với ba cạnh phát xuất từ đỉnh ba mặt phát xuất từ đỉnh Chứng minh : cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1; sin2 α1 + sin2 β1 + sin2 γ = 50 ... đường trung trực đoạn GA ; M trung điểm GA , nên có: GM GA GA 7a = = GI 2GI 12 Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm... chiếu vng góc đỉnh A ' mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A '.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA ', B ' C ' Lời giải Gọi H trung điểm BC ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) 43 AH... ' B ' C ' theo a Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng B , AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A ' C ' , I giao điểm AM A ' C Tính theo a thể