Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chuyên đề TRỌNG TÂM KIẾN THỨC CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 a + b = (a + b) − 2ab a + b = (a − b) + 2ab (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2 a2 − b2 = (a+ b)(a− b) (a+ b)3 = a3+ 3a2b+ 3ab2 + b3 a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) (a− b)3 = a3− 3a2b+ 3ab2 − b3 a3+ b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2) a3− b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2) ( ) a+ b+ c = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc A PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Nhắc lại: 1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng a) Chuyển vế biểu thức từ vế sang vế (nhớ đổi dấu biểu thức) b) Nhân chia hai vế phương trình với số (khác 0) với biểu thức (khác không) c) Thay biểu thức biểu thức khác với biểu thức Lưu ý: + Chia hai vế phương trình cho biểu thức chứa ẩn đề phòng nghiệm + Bình phương hai vế phương trình đề phòng dư nghiệm 2) Các bước giải phương trình Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghóa (ln nhớ điều nầy!) Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận Các phương pháp giải phương trình đại số thường sử dụng Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn a) Phương pháp 1: cách giải Biến đổi phương trình cho phương trình đđã biết b) Phương pháp 2: A.B.C = Biến đổi phương trình cho dạng tích số : A.B = 0; Đònh lý: c) Phương pháp 3: cách giải d) Phương pháp 4: A =  ; A.B.C = ⇔  B = C = Đặt ẩn phụ đưa phương trình cho dạng biết A = A.B = ⇔  B = Biến đổi phương trình hệ phương trình Đònh lý1: Với A ≥ 0, B ≥ Đònh lý 2: Với A, B Đònh lý 3: A = A+ B = 0⇔  B = A = A2 + B2 = ⇔  B = Với A ≤ K vàB ≥ K ( K số ) A = K A= B⇔  B = K PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chun đề LTĐH I Giải biện luận phương trình bậc nhất: Dạng : Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn x : ẩn số  a,b: thamsoá ax + b = (1) Giải biện luận: Ta có : Biện luận: (1) ⇔ ax = -b (2) b a • Nếu a = (2) trở thành 0.x = -b * Nếu b ≠ phương trình (1) vô nghiệm * Nếu b = phương trình (1) nghiệm với x Tóm lại : b • a ≠ : phương trình (1) có nghiệm x = − a • a = b ≠ : phương trình (1) vô nghiệm • a = b = : phương trình (1) nghiệm với x • Nếu a ≠ (2) ⇔ x = − Điều kiện nghiệm số phương trình: Đònh lý: • • • Xét phương trình ax + b = (1) ta coù: ⇔ a ≠0 a = ⇔  (1) vô nghiệm b ≠ a = (1) nghiệm với x ⇔  b = (1) có nghiệm LUYỆN TẬP Bài 1: Cho phương trình ( x − 1) a − ( 3x + ) a + x − = b (1) Tìm a, b để phương trình (1) nghiệm với x ( x − 3) a + x − = b (1) Bài 2: Cho phương trình 2a − x Tìm a, b để phương trình (1) nghiệm với x II.Giải biện luận phương trình bậc hai: Dạng: ax2 + bx + c = (1) x : ẩn số  a,b , c: thamsố Chun đề LTĐH Giải biện luận phương trình : Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Nếu a = (1) phương trình bậc : bx + c = c • b ≠ : phương trình (1) có nghiệm x = − b ≠ • b = c : phương trình (1) vô nghiệm • b = c = : phương trình (1) nghiệm với x Trường hợp 2: Nếu a ≠ (1) phương trình bậc hai có Biệt số ∆ = b2 − 4ac ( hoaëc b ∆ ' = b'2 − ac vớ i b' = ) Biện luận:  Nếu ∆ < pt (1) vô nghiệm b  Nếu ∆ = pt (1) có nghiệm số kép x1 = x2 = − ( 2a b' x1 = x2 = − ) a −b ± ∆  Nếu ∆ > pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1,2 = ( 2a −b' ± ∆ ' ) x1,2 = a LUYỆN TẬP Bài 1: Giải phương trình: Bài 2: Giải phương trình: x2 − 2x ( x − 1) −4 ( x − 2) = ( −6− x) + xx +− 22 = Điều kiện nghiệm số phương trình bậc hai: Đònh lý : Xét phương trình : ax2 + bx + c = (1) Chuyên đề LTĐH ⇔  Pt (1) voâ nghiệm  Pt (1) có nghiệm kép  Pt (1) có hai nghiệm phân biệt  Pt (1) có hai nghiệm  Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn a = a ≠  b = hoaëc  ∆ < c ≠  a ≠  ∆ = a ≠ ⇔  ∆ > a ≠ ⇔  ∆ ≥ ⇔ a =  ⇔ b = c =  Pt (1) nghiệm với x Đặc biệt Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < pt(1) có hai nghiệm phân biệt LUYỆN TẬP Bài 1: Cho phương trình 3mx2 + 6mx − m+ 1= (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Kết quả: m< 0∨ m> 3x + = x + m (1) x+ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Bài 2: Cho phương trình Kết quả: m< 1∨ m> Đònh lý VIÉT phương trình bậc hai:  Đònh lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = nghiệm x1, x2 ( a ≠ 0) có hai b  S = x1 + x = − a   P = x x = c  a  Đònh lý đảo : Nếu có hai số x, y mà nghiệm phương trình x + y = S vaø x.y = P ( S ≥ P ) x, y X - S.X + P = Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn  Ý nghóa đònh lý VIÉT: Cho phép tính giá trò biểu thức đối xứng nghiệm ( tức biểu thức chứa x1, x2 không thay đổi giá trò ta thay đổi vai trò x12 + x 22 1 + + ) mà không cần giải pt tìm x1, x2 , x1,x2 cho Ví dụ: A = x1 x x1 x tìm hai số biết tổng tích chúng … Chú ý:  Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a+b+c=0 pt (1) có hai nghiệm c x1 = vàx2 = a  Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a-b+c=0 pt (1) có hai nghiệm c x1 = −1 vaøx2 = − a LUYỆN TẬP 3x + = mx (1) x+ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = Bài 1: Cho phương trình Kết quả: m= 3x + = x + m (1) x+ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x2 − x1 = Bài 2: Cho phương trình Kết quả: m= 10 Bài 3: Cho phương trình 2x + = 2x + m (1) x− Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn ( x − 2) = ( x − 2) Kết quả: m= −2 Dấu nghiệm số phương trình bậc hai: Dựa vào đònh lý Viét ta suy đònh lý sau: Đònh lý: Xét phương trình bậc hai :  Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt ax2 + bx + c =  ∆ >0  ⇔  P >0 S >0  (1) ( a ≠ 0) Chuyên đề LTĐH  Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt ⇔  Pt (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn  ∆ >0   P >0 S −b * b ≤ bpt vô nghiệm * b > bpt nghiệm với x Nếu a > (2) ⇔ x > − II Dấu nhò thức bậc nhất: f ( x ) = ax + b (a ≠ 0) Dạng: Bảng xét dấu nhò thức: x −∞ − +∞ ax +b Trái dấu với a dấu với a b a 10 Cuøng Chuyên đề LTĐH LUYỆN TẬP Giải bất phương trình sau 1) ( x − 3) ( x + 1) ( − x ) > Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ≤ x − 2x −1 2) III Dấu tam thức bậc hai: Daïng: f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) Một vài kiến thức quan trọng • Nếu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0) có hai nghiệm x1,x2 tam thức ln phân tích thành f(x) = ax2 + bx + c = a( x - x1) ( x - x2 ) • Mọi tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c (a≠ 0) điều biểu diển thành f (x) = ax2 + bx + c = a(x + Bảng xét dấu tam thức bậc hai: x f(x) ∆0 x b ∆ ) − 2a 4a Cùng dấu a Cùng dấu a x f(x) Cùng dấu a f(x) Cùng dấu a Trái dấu a Cùng dấu a Điều kiện không đổi dấu tam thức: Đònh lý: Cho tam thức bậc hai: f ( x ) = ax + bx + c • f (x) > ∀x ∈ R 11 (a ≠ 0) ∆ < ⇔  a > Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn • f (x) < ∀x ∈ R • f (x) ≥ ∀x ∈ R • f (x) ≤ ∀x ∈ R ∆ < ⇔  a < ∆ ≤ ⇔  a > ∆ ≤ ⇔  a < LUYỆN TẬP Bài 1: Cho f ( x) = ( m+ 2) x − 2( m+ 2) x − 3m+ Tìm m để f ( x) ≥ 0,∀x∈ ¡ Kết quả: −2 ≤ m≤ − Bài 2: Cho f ( x) = 3( m− 1) x − 6( m− 1) x + 3( 2m− 3) Tìm m để f ( x) ≤ 0,∀x∈ ¡ Kết quả: m≤ −1 IV Bất phương trình bậc hai: ax + bx + c > Dạng: ( ≥, Giải hệ bất phương trình   −2 x + x + > BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho phương trình: −2x + = − x + m (1) x+ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn ( x1 − x2 ) = Kết quả: m= 1, m= −7 x+ (1) = x+ m 2x − Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn Bài 2: Cho phương trình: x12 + ( x1 + m) + x22 + ( x2 + m) = 2 12 37 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Kết 2 Bài 3: Cho phương trình: ( x - 3) ( x + 3x + - m) = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt quả: m= 2, m= − ìï 15 ïï m > Kết quả: í ïï m ¹ 24 ïỵ Bài 4: Cho phương trình: x - 2( m + 1) x + ( 7m - 2) x + - 6m = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương phân biệt é2 ê < m ê ë Bài 5: Cho phương trình: x - 2( m + 1) x +2m+1 (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ìï ïï m > Kết quả: í ïï m ¹ ïỵ - x2 + x + m = x- (1) x+m Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Bài 6: Cho phương trình: ém < - - ê Kết quả: ê êm > - + ë 2 Bài 7: Cho phương trình: 3x + 4( m - 1) x + m - 4m + = (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1;x2 thỏa mãn điều kiện 1 + = ( x1 + x2) x1 x2 ém = Kết quả: ê êm = ê ë x − mx − x + m + = (1) 3 Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x 1, x2, x3 thỏa mãn x12 + x 22 + x32 > 15 Kết quả: (m < −1∨ m > 1) Bài 8: Cho phương trình: Bài 9: Cho phương trình x − x + − m = (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 − x2 ( m + 1) = Bài 10: Cho phương trình x +1 = kx 2x −1 (1) 13 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Tìm k để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 2x − = 2x + m (1) x +1 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn ( x1 − x2 ) = Bài 11: Cho phương trình x −1 = x+2 (1) x+m Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 − x2 = Bài 12: Cho phương trình Bài 13: Cho phương trình 2x + = m ( x − 1) + 1− x (1) ( ) 2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn + m ( x1 + x2 ) − x1 x2  = 90 −x +1 = x+m (1) 2x −1 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 cho biểu thức 1 A=− − đạt giá trị lớn (2 x1 − 1) (2 x2 − 1) Bài 14: Cho phương trình -Hết 14 ... số : (1) ⇔ (x-x0)(Ax2+Bx+C) =  x = x0 ⇔   Ax + Bx + C = (2) Sơ đồ Hoocne: a b c d x0 A B C (so 0) Trong ñoù: a = A, x0.A + b = B, x0.B + c = C, x0.C + d = Bước 3: Giải phương trình (2) tìm