TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC Định lí : Cho hai đồ thị (C) : y  f(x) (C') : y  g(x) Số giao điểm hai đồ thị (C) (C’) số nghiệm phương trình: f(x)  g(x) Từ định lí sẽ dẫn tới hai toán giao điểm sau : Bài toán 1: Biện luận số nghiệm phương trình: F(x,m)  (m tham số) Phương pháp giải: * Ta biến đổi phương trình F  x,m  về dạng f  x  g  m , đó ta đã biết đồ thị (C) hàm số y  f  x hoặc có thể dễ dàng vẽ được * Để biện luận số nghiệm phương trình, ta chuyển về biện luận số giao điểm (C) đường thẳng song song với Ox: y  g  m Bài toán 2: Biện luận số giao điểm hai đồ thị (C) : y  f(x) (C') : y  g(x) Phương pháp giải: Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C’): f(x)  g(x) () B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT TRỤC HOÀNH Bài toán 01: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 1,2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT Các ví dụ Ví dụ : Định m để đồ thị hàm số y  x3  mx2  2m cắt trục Ox tại điểm Lời giải Hàm số đã cho xác định D  � Ta có: y� 3x2  2mx  x(3x  2m) Khi m = y� 3x2 �0 � hàm số đồng biến � � thoả yêu cầu toán 2m Khi m �0 hàm số cho có cực trị x1  , x2  Do đó đồ thị cắt Ox tại điểm y(x1).y  x2   � 4m3 � � 2m � 2m  � � 27 � 211 � m �0 � 2m2 � � � 4m � 1 � � � 6   m � 27 � � � 2 � 6� Vậy, với m ��  ; �thì đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm � 2 � Ví dụ : Định m để đồ thị hàm số y  x3  3m2x  2m tiếp xúc trục Ox tại hai điểm phân biệt Lời giải Hàm số đã cho xác định D  � Để đồ thị hàm số tiếp xúc trục hồnh hai điểm phân biệt đồ thị hàm số phải có điểm cực trị  y �  có nghiệm phân biệt, tức 3x2  3m2  có nghiệm phân biệt  m �0 Với m �0 y'  có nghiệm x  �m y(m)  2m3  2m, y(m)  2m3  2m Đồ thị hàm số tiếp xúc trục Ox tại hai điểm phân biệt � y( m)  hoặc y(m)  Với y(m)  � 2m3  2m  � m  (loại) Với y(m)  � 2m3  2m  � m  hoặc m  �1 Vậy, với m  �1thỏa mãn toán Ví dụ : Định m để đồ thị hàm số y  x3  mx2  m cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt Lời giải Hàm số đã cho xác định D  � Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hai giá trị cực trị trái dấu � x  � y  m � Ta có: y'  3x  2mx y'  � � 2m x �y m m 27 � Hàm số có hai cực trị � m �0 �2m � �4 � Hai giá trị cực trị trái dấu � y(0).y � � �  m � m  m � �3 � �27 � � m2.(4m2  27)  � 4m2  27  (m �0) � m  212 3 Vậy, với m  3 đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt Ví dụ : Định m để đồ thị hàm số y  x4  mx2  m  cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt Lời giải Hàm số đã cho xác định D  � Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị với trục Ox : x4  mx2  m   (1) Đặt t  x2 , t �0 , đó: (1)  t2  mt  m   (2)  t  hoặc t  m  Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt  (2) có nghiệm dương phân biệt   m  �1 � 1 m �2 Ví dụ : Tìm m để đường thẳng y  mx  cắt đồ thị  C  : y  2x3  6x2  tại ba điểm phân biệt A, B,C cho A  0;1 B trung điểm AC Lời giải Đường thẳng y  mx  cắt  C  tại ba điểm phân biệt phương trình 2x3  6x2  1 mx  có ba điểm phân biệt   � x 2x2  6x  m  có ba nghiệm phân biệt � 2x2  6x  m  có hai nghiệm phân biệt x �0 � � '  �  2m  �m  � �� �� �� m �0 2.0  6.0  m �0 � � � m � � Với điều kiện     đường thẳng y  mx  cắt đồ thị phân biệt A  0;1  , B,C  C ba điểm � x  2x1 �2 � x2  2x1  1 Vì B trung điểm AC nên có: �mx2  1  mx1  � � � x x 3 �1 Theo định lý Vi – et , ta có: � m  2 x1.x2  � � 2     Từ suy m  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y  x3  mx  Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm 213 Cho hàm số y  2x3  3(m  1)x2  6mx  Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm Bài 2: Định m để đồ thị hàm số y  x3  3x2  (2m  1)x  4m  tiếp xúc trục Ox tại hai điểm phân biệt Cho hàm số y  x4  2m2x2  m4  2m Chứng minh đồ thị hàm số ln cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt, với m  Bài 3: Tìm m�� để: Hàm số y  x3  3m2x  2m có đồ thị  C m  tiếp xúc Ox tại điểm phân biệt Bài 4: Gọi  C m  đồ thị hàm số y  x4  2(m  1)x2  m2  3m Tìm m để  Cm  trục hoành: Có điểm chung phân biệt Có hai điểm chung Có điểm chung Không có điểm chung Bài toán 02: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA MÃN HỒNH ĐỘ CHO TRƯỚC Các ví dụ     2 Ví dụ : Cho hàm số y  x  2 m  1 x  m  4m  x  m  , có đồ thị  C m  Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Lời giải Số giao điểm đồ thị đã cho với trục hồnh số nghiệm phương trình :       x3  2 m  1 x2  m2  4m  x  m2   �  x  2 � x2  2mx  m2  � � �   � x  hoặc f(x)  x2  2mx  m2   Để đồ thị đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ phương trình   có nghiệm phân biệt có hoành độ nhỏ tức phải có f(x)  có nghiệm phân biệt khác có hoành độ nhỏ f(x)  nghiệm phân biệt khác 2 � f(2) � � � m 4m ��۹� m � � '  2m   � � � Với m �2 � f(x)  có hai nghiệm x1,x2 thỏa x1  x2  � � x x  3 x1  x2      x1   x2   � � � �1 Nên có hệ : �   x1   3 x2   �x1  x2  � 214 � x x  m2  � Theo định lý viét, ta có �1 x1  x2  2m � Do đó ta có � � �  m2  1 3 2m   �  17  m   17 m2  6m   � � �� �� � m  3 m  3 2m  � � � �  17  m   17 Đối chiếu điều kiện m �2 � , thu được     m �  17;3  17 \ �     Vậy, với m �  17;3  17 \ � thỏa đề Ví dụ : Cho hàm số y  x4  2(m  1)x2  2m  ,tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ Lời giải Số giao điểm đồ thị đã cho với trục hồnh số nghiệm phương trình : x4  2(m  1)x2  2m    1 Đặt t  x2 ,t �0  1 trở thành: f(t)  t2  2(m  1)t  2m   Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm phân biệt có hoành độ nhỏ � 0 t  t  � f  t có nghiệm phân biệt t1, t2 cho: �  t1  �t2 � � � m2  � � m2  � � f(3)   4m �0 � � �� f(0)  2m   hoặc � , nghĩa phải có: m   hoặc S  2(m  1)  � � S  2(m  1)  � � P  2m   � m �1 Vậy, với m   hoặc m �1 thỏa mãn toán x  mx2  x  m  cắt trục 3 hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3 thỏa mãn Ví dụ : Định m để đồ thị hàm số y  x12  x22  x32  15 Lời giải Hàm số đã cho xác định D  � x  mx2  x  m   3 x2  1 3m x  3m  2� � x3  3mx2  3x  3m   � (x  1) � �  � Phương trình hồnh độ giao điểm: (1) 215 � x  hoặc g(x)  x2  (1 3m)x  3m   (2) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt � (1) có ba nghiệm phân biệt � (2) có hai ngiệm phân biệt khác 1, tức phải có hệ: � 3m2  2m   0,m �  (1 3m)2  4(3m  2)  � � �۹� m (a) � g(1)  6m �0 � �m �0 Giả sử x3  1; x1, x2 nghiệm (2) Ta có: x1  x2  3m  1; x1x2  3m  Khi đó: x12  x22  x23  15 � (x1  x2)2  2x1x2  1 15 � (3m  1)2  2(3m  2)  14  � m2   � m  1�m  (b) Từ (a) (b) ta có gía trị cần tìm là: m  1 hoặc m  Ví dụ Hàm số y  x3  2(m  1)x2  (5m  2)x  2m  (1) , m tham số Gọi (C m ) đồ thị hàm số (1) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A ,B,C cho : A trung điểm đoạn BC B,C có hoành độ nhỏ BC có độ dài nhỏ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (C m ) Ox x3  2(m  1)x2  (5m  2)x  2m   () � (x  2)(x2  2mx  m  2)  � x  2, g(x)  x2  2mx  m   (C m ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt A ,B,C � Phương trình () có ba nghiệm phân biệt � phương trình g(x)  có hai nghiệm phân biệt khác � � m �� � 1� � 'g  � � m2  m   � m  �  � ���۹ m � � � � 2� g(2) �0 � �m � � �  4m  m  �0 � A trung điểm đoạn BC Vì ba điểm A ,B,C thuộc trục hồnh đó A trung điểm BC x  xC 2m � xA  B � 2 � m  ( thỏa mãn điều kiện m � ) 2 B,C có hoành độ nhỏ Gọi x1,x2 hoành độ B,C , nghiệm phương trình g(x)  Theo toán, ta có: x1  � x  1 � x  1 x2   � � �1 � �1 � x2  � x2   � (x1  1)(x2  1)  � � x x 2 � 2m  � m1 � �1 �� �� � m  1 x1x2  (x1  x2)   m   2m   � m  1 � � Vậy, m  1 giá trị cần tìm Cách khác: 216 Hai nghiệm g(x)  x1  m  m2  m  , x2  m  m2  m  �x1  � x2  � m  m2  m   � m2  m   1 m Vì x1  x2 nên � x  �2 � m2  m  �0 � m �� � � � �� 1 m  �� m  � m  1 � �m  1 m  m   m  2m  � � BC có độ dài nhỏ � 1� BC  x1  x2  m2  m   � m  �  � � 2� 1 BC  � m   � m  (thỏa điều kiện m � ) 2 Chú ý Ta có thể dùng định lí Vi-et để tính BC sau BC2  x1  x2  (x1  x2)2  4x1x2  4m2  4(m  2)  4(m2  m  2) ÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Cho hàm số y  x4  2 m  1 x2  2m  có đồ thị  C m  , m tham số Tìm m để đồ thị  Cm  cắt trục hoành tại điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ Bài Cho hàm số y  x4  2mx2  m  ,xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn x1  x2  x3    x4 Bài 3: Cho hàm số y = x3  3x2  (m  2)x  m  ( m tham số ) (1).Gọi  Cm  đồ thị hàm số (1) Tìm m để  C m  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt  C m  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đó có hai điểm có hồnh độ dương Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số : y  x3  (4m  3)x2  (m  2)x  3m có hai cực trị trái dấu y  x3  3(m  1)x2  3mx  m  cắt Ox tại ba điểm phân biệt đó có điểm có hoành độ âm y  x4 –  3m  2 x2  3m tại điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ y  x4  2mx2  m2  (Cm) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số : 217 y  x3  3mx2  (3m  1)x  6m  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 ,x3 thỏa x12  x22  x23  x1x2x3  20 y  x3  2x2  (3m  1)x  m  cắt đường thẳng d : y  (1 m)x  m  tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1  x2  1 x3 y  x4  (3m  2)x2  3m (Cm) cắt đường thẳng y  1 tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 , x3 , x4 thỏa : x12  x22  x32  x42  x1x2x3x4  Bài 5: Tìm m để đồ thị (C m ) y  x3  (2m  3)x2  (2m2  m  9)x  2m2  3m  cắt trục hoành tai ba điểm phân biệt ,trong đó có hai điểm có hoành độ lớn khoảng cách hai điểm lớn Bài 6: Tìm m�� để đồ thị  C m  : y  x3  3mx2  3x  3m  cắt trục Ox tại điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x2 ,x3 thỏa mãn : x12  x22  x32 �15 Tìm m để hàm số y  x4  4mx2  4m cắt trục Ox tại điểm phân biệt M , N , P, Q ( xM  xN  xP  xQ ) cho MQ  2NP Bài 7: Gọi (C m ) đồ thị hàm số y  x4  (3m  1)x2  2m2  2m  12 , m tham số 1.Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại điểm phân biệt đó có ba điểm có hoành độ nhỏ điểm có hoành độ lớn 2 Tìm m để (C m ) trục Ox có hai điểm chung B,C cho tam giác ABC đều với A(0;2) Bài toán 03: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT CĨ HỒNH ĐỘ LẬP CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN Phương pháp giải Tìm điều kiện để đồ thị (C): y  ax3  bx2  cx  d (a �0) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số cộng (C) cắt trục hoành nên có: ax3  bx2  cx  d  () x1,x2 ,x3 lập thành cấp số cộng  phương trình () có nghiệm x1,x2 ,x3 thỏa mãn x1  x3  2x2 (1) Khi đó: ax3  bx2  cx  d  a(x  x1)(x  x2)(x  x3)  a� x3  (x1  x2  x3)x2  (x1x2  x2x3  x3x1)x  x1x2x3 � � �(2) Từ (1) (2) suy x2   b 3a b vào () để suy điều kiện cần tìm 3a Chú ý: Đây điều kiện cần nên phải thử lại kết tìm Thế x2   218 Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số nhân Giả sử () có nghiệm x1,x2 ,x3 lập thành cấp số nhân  phương trình () có nghiệm x1,x2 ,x3 thỏa mãn x1x3  x22 (3) Từ (3) (2) suy  x32   d nghiệm () a d vào () để suy điều kiện cần tìm a Chú ý: Đây điều kiện cần nên phải thử lại kết tìm Thế x2   Tìm điều kiện để đồ thị (C): y  ax4  bx2  c (a �0) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng  ax4  bx2  c  (1) có nghiệm phân biệt  at2  bt  c  (t  x2) (2) có nghiệm dương phân biệt t1,t2 (giả sử t1  t2 )  1 Khi đó các nghiệm (1) là:  t2 ;  t1 ; t1 ; t2 Vì  t2 ;  t1 ; t1 ; t2 lập thành cấp số cộng nên  t2  t1  t1   t1 � t2  9t1  2  Giải điều kiện:  1 , 2 Các ví dụ Ví dụ : Định m để đồ thị hàm số y  x3  3x2  9x  m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3 lập thành cấp số cộng   2 2 Cho hàm số y  x   4m  5 x  3m  12m  x  7m  8m có đồ thị  Cm  Với m tham số thực Tìm m để  C m  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Lời giải Hàm số đã cho xác định D  � Phương trình hoành độ giao điểm: x3  3x2  9x  m  () Giả sử đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hồnh độ x1,x2 ,x3 (x1  x2  x3) x1,x2 ,x3 nghiệm phương trình () Khi đó: x3  3x2  9x  m  (x  x1)(x  x2)(x  x3)  x3  (x1  x2  x3)x2  (x1x2  x2x3  x3x1)x  x1x2x3 � x1  x2  x3  (1) Do x1,x2 ,x3 lập thành cấp số cộng � x1  x3  2x2 (2) Thế (2) vào (1) ta có : x2  219 Thay x2  vào phương trình () , tìm được m = 11 Với m = 11 phương trình () � x3  3x2  9x  11  � (x  1)(x2  2x  11)  , phương trình có nghiệm x1  1 , x2  , x3  1 thỏa mãn điều kiện x1  x3  2x2 Vậy, m = 11 đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 ,x3 lập thành cấp số cộng có công sai d  Hàm số đã cho xác định D  � Hàm số đã cho xác định liên tục � Hoành độ giao điểm trục hoành  C m  nghiệm phương trình   x3   4m  5 x2  3m2  12m  x  7m2  8m  �  x  m � x2  3m  5 x  7m  8� �  � � x  m hoặc g  x  x2   3m  5 x  7m   Để  C m  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt phương trình g  x có hai nghiệm phân biện khác m tức phải có: � 1 17 �m  1 � � � 0 9m  2m   � � �� ��   � g  m �0 1 17 � 2m2  2m  �0 � � �  m� � Với điều kiện    C m  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3 lập thành cấp số cộng Để thuận tiện việc tính toán, giả sử các nghiệm lập thành cấp số cộng phương trình hồnh độ x0  d, x0 , x0  d với d công sai Khi đó đẳng thức sau   x3   4m  5 x2  3m2  12  x  7m2  8m   x  x0  d   x  x0   x  x0  d  � 4m   3x0 � �4m  � 4m  7m2  4m  � �� 3m  12m   3x02  d � 7m2  8m  � � � 3 � � 7m  8m  x03  x0d2 � 11 � 10m3  51m2  6m  55  � m   hoặc m  5 hoặc m   10 1 17 1 17 �m  1 hoặc  m � 11 Vậy m  hoặc m  5 hoặc m   thỏa mãn yêu cầu toán 10 Kết hợp với điều kiện 220 � b m x x   � �1 a Áp dụng Viet cho x1, x2 ta có � c  m � x x   �1 a C A x ;  2x  Tọa độ giao điểm d cắt    1 m , B x2; 2x2  m nên uuur uuu r OA   x1; 2x1  m , OB   x2; 2x2  m uuur uuu r 3m  Do đó OA.OB  x1x2   2x1  m  2x2  m  5x1x2  2m  x1  x2   m2  Mà tam giác OAB vuông tại O uuur uuu r 3m  5 OA.OB  �  0� m   x có đồ thị  H  Tìm tham số m để đường x � thẳng d : y  x  m  cắt  H  tại hai điểm phân biệt A, B cho AOB nhọn Lời giải x  x  m  Phương trình hoành độ giao điểm (C) d: x Ví dụ : Cho hàm số : y   x2  (m  2)x  2m   (x �2) Đường thẳng (d) cắt đồ thị phương trình (1) có hai nghiệm (1)  H  tại hai điểm phân biệt phân biệt, khác  H , tức � m2  4m  16  � � m �2  2(m  2)  2m  �0 � � Ta có: x1  x2  m  2, x1.x2  2m    Gọi A(x1; x1  m  1),B(x2;  x2  m  1) các giao điểm  H  d � Ta có: AOB nhọn  AB2  OA  OB2  2(x2  x1)2  (x1  m  1)2  (x2  m  1)2  2x1x2  (m  1)(x1  x2)  (m  1)2   m  3,   Vậy, m  3 thỏa yêu cầu toán 2x  m có đồ thị  H  Chứng minh với mx  m  0, đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng d : y  2x  2m tại hai điểm phân biệt A, B thuộc đường (H) cố định Đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N Tìm m để SOAB  3SOM N Ví dụ : Cho hàm số : y  Lời giải 238 2x  m  2x  2m mx  1  2mx2  2m2x  m  (2), x �  f(x)  2x2  2mx  1 (*), x � m m � �  m  2 � Xét (*) có �� �  m  d cắt (C) tại điểm phân biệt A, f�  �  �0 � �� m � m B � xA  xB  m � � �yA  x � x x   � � A Ta có: � A B  �  A, B nằm đường (H): y  cố định x �y  2x  2m �y  A B �A � xB � �yB  2xB  2m Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): h  d(O,d)  2m  m , AB  m2  , M(m;0),N(0; 2m) 1 h.AB  m m2  , SOMN  OM.ON  m2 ; SOAB  3SOMN  m  � 2 Vậy, với m  � thỏ toán  SOA B  x có đồ thị  H  Tìm tất các giá trị tham x1 số m để đường thẳng (d): y  x  m  cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B Ví dụ : Cho hàm số : y  cho tam giác OAB nội tiếp đường tròn có bán kính R  2 Lời giải x  x  m  Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x1 � g(x)  x2  (m  1).x  m   (1) với x �1 Đường thẳng (d) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt phương �   (m  1)2  4(m  1)  � trình (1) có hai nghiệm phân biệt, khác � � g(1)  �0 � � m  hoặc m  (2) � x1  x2  m  � x1.x2  m  Với m thỏa mãn (2), gọi x1,x2 các nghiệm (1), ta có � � g(x1)  g(x2 )  � Gọi A(x1; x1  m  1),B(x2; x2  m  1) Ta có AB2  2(x2  x1)2  2[(x2  x1)2  4x1x2]  2(m2  6m  5) 239 OA  x12  (m  1 x1)2  2x12  2(m  1)x1  (m  1)2  2g(x1)  m2  4m   m2  4m  ; OB2  m2  4m  ; d(O,AB)  m1 2 m  6m  m  , Ta có: S OAB  AB.d(O;AB)  2 R � 2 OA.OB.AB (m  4m  3) 2(m  6m  5)  2 4.SOA B m2  6m  m  m2  4m   � m  1 hoặc m  m1 Ví dụ Cho hàm số y = 3x  có đồ thị (C) Gọi (d) đường thẳng 1 x � 1�  ;  �có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm phân qua A � � 2� biệt M ,N nằm nhánh (C) cho: M ,N đối xứng qua A Khoảng cách từ (d) đến điểm B 3; 5 lớn ,khi đó tính diện tích tam giác BMN Lời giải � 1� �  ;  �có hệ số góc k : y  k �x  Đường thẳng qua A � � 2� � Phương trình hồnh độ giao diểm (C) (d) : 3x  �  k� x 1 x � 3� � 2� 3� � � 2kx  (k  5)x   3k  (1) (do x  không thỏa mãn 2� (1)) (C) cắt (d) tại hai điểm phân biệt M ,N nhánh (C) � phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện  x1  x2 hoặc x1  x2  � k �0 � Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt � �   (k  5)2  8k(3  3k)  � � k �0 � �� ۹ k 25k  14k  25  � � 1 x1  x2  3k k  � (x1  1)(x2  1)  � x1x2  (x1  x2)   �   1 � x  x  2k 2k �1 �  0� k  k 240 Vậy (C) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thuộc nhánh (C) � k  A ,M ,N thuộc (d) nên M ,N đối xứng qua A A trung điểm k5 M ,N � x1  x2  2xA �   3 � k  ,thỏa mãn điều kiện k  2k Vậy, k  thỏa yêu cầu toán  Vì (d) ln qua điểm cố định A nên d B, d   lớn (d) vuông góc AB Hệ số góc đường thẳng AB kAB   yB  yA xB  xA Vì (d)  AB � k  nên k  d B, d    1 lớn Khi đó phương trình (1) trở thành phương trình : 2x2  6x   � x  �x  3 � M  3;  2 , N  0;1 � MN  Lại có A B  Diện tích tam giác BMN : S  1 27 MN.AB   2 2 Ví dụ Gọi (C) đồ thị hàm số y  x3  6x2  9x  (d) đường thẳng qua A  2;0 ,có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm A,B,C phân biệt , chứng minh đó A trung điểm BC Khi (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A,B,C , gọi B1 C1 lần lượt hình chiếu vng góc B , C lên trục tung độ, tìm m dương cho diện tích hình thang BB1C1C Lời giải Phương trình hồnh độ giao diểm (C) (d) : x3  6x2  9x   m  x – 2 � (x  2)(x2  4x  1 m)  � x  2, g(x)  x2  4x  1 m  (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A,B,C � Phương trình g(x) = có hai � 'g  � 3 m  � �� � m  (*) nghiệm phân biệt khác � � m �3 g(2) �0 � � Vì xB , xC hai nghiệm phương trình g(x) = nên xB  xC   2xA  ,suy A trung điểm BC Hai nghiệm g(x) =  x  �  m B, C thuộc (d) nên B(2   m ;m  m) , C(2   m ;  m  m) 241 Giả thiết cho m > kết hợp với điều kiện (*) ta có m �(0,3) , đó xB , xC đều dương Diện tích hình thang vng BB1C1C : S x  xC BB1  CC1 B1C1  B yB  yC  � 2m  m  2 2 � m  m  � m (3  m)  � m  3m   � m  1 �m  Vì m �(0;3) nên nhận m = CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: 2x  1 Cho hàm số y  có đồ thị  C  Tìm m để đường thẳng x1 d : y  x  m cắt  C  tại hai điểm phân biệt A ,B cho tam giác OAB vuông tại O Cho hàm số y  x3  3x2  có đồ thị  C  Gọi dk đường thẳng qua điểm A(1;0) với hệ số góc k (k ��) Tìm k để đường thẳng dk cắt đồ thị  C  tại ba điểm phân biệt A , B, C giao điểm B, C với gốc toạ độ O tạo thành tam giác có diện tích Cho hàm số y  x3  3x2  có đồ thị  C  Gọi E tâm đối xứng đồ thị  C  Viết phương trình đường thẳng qua E cắt  C  tại ba điểm E,A ,B phân biệt cho diện tích tam giác OAB Cho hàm số y  x3  mx  (1) Tìm m để đồ thị (Cm) hàm số (1) cắt đường thẳng (d) y = 2x+1 tại ba điểm phân biệt A,B,C đó A điểm có hoành độ x = thỏa mãn điều kiện tam giác OBC vuông tại O 1 x Cho hàm số y  có đồ thị  C  Tìm tham số m để đường thẳng 1 2x dm : y  x  2m cắt đồ thị  C  tại hai điểm phân biệt A B điểm I �1 � tạo thành tam giác có diện tích 1, với I � ;  � �2 � Giả sử A , B giao điểm đường thẳng d : y  2x  2m đồ thị  C  2x  m Tìm m để đường thẳng d cắt trục tọa độ tại M , N cho mx  SOAB  3SOMN : y Cho hàm số y  x3  3x2  , có đồ thị  C  Tìm m để đường thẳng y  mx  m cắt  C tại điểm phân biệt A , B, C cho tam giác OBC có diện tích 1, với O gốc tọa độ 242 2x  , có đồ thị  C  Từ điểm A  1;3 , B 3;1 hãy x lập phương trình đường thẳng có hệ số góc 1,5 Tính diện tích hình thang giới hạn AB, đường thẳng trục Ox Cho hàm số y  Bài 2: 2x  có đồ thị (C) Tìm các giá trị m để đường x1 thẳng y  3x  m cắt (C) tại A B cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng d : x  2y   (O gốc tọa độ) Cho hàm số y 2x  có đồ thị  C  Tìm các giá trị m cho x1 đường thẳng (d): y  x  m cắt (C) tại điểm phân biệt M, N cho diện tích tam giác IMN , với I(1; 2) Giả sử  d  đường thẳng qua A  0;1 có hệ số góc m Tìm tất Cho hàm số y tham số thực m để đường thẳng  d  cắt đồ thị  C  : y  tại điểm phân biệt A ,B cho: a AB  10 x hàm số x �2 � b G � ;4�là trọng tâm tam giác OAB �3 � Tìm các giá trị tham số m�� cho:  d  : y  x  cắt đồ thị  Cm  : y  x3  2mx2   m  3 x  tại ba điểm phân biệt A  0;4 tam giác KBC có diện tích (đvdt), biết K  1;3 Tìm hai tọa độ P Q thuộc đồ thị  C :   y  x2  ,B,C cho cho đường thẳng PQ song song với trục hoành khoảng cách từ điểm cực đại  C  đến đường thẳng PQ Bài 3: 2x  1 Xác định đường thẳng d cho d cắt  C  : y  tại hai điểm phân x1 biệt B, C cho tam giác ABC đều, với A  2;5 3x  2 Đường thẳng y  x cắt  C  : y  tại hai điểm A , B phân biệt Tìm x m�� để đường thẳng y  x  m cắt  C  tại hai điểm C, D phân biệt cho ABCD hình bình hành x  m y Cho hàm số , tìm các giá trị m để đường thẳng x 2x  2y   cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A B cho tam giác 243 OAB có diện tích (O gốc tọa độ) x2  2x  Tìm tham số m để đường thẳng y  mx  m cắt đồ thị y  tại x1   hai điểm phân biệt A ,B cho tam giác ABC vuông tại C 1; mx  có đồ thị  C m  Tìm m để đồ thị x1  Cm  có điểm P, Q cách đều điểm A  3;4 , B 3;2 diện tích tứ giác APBQ 24 Bài 4: Cho hàm số y  Bài Cho hàm số y = x2  x  có đồ thị (C) đường thẳng (d) : x x  m Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N cho: MN  39 Tam giác AMN vuông tại A với A  4;0 Bài Viết phương trình đường thẳng  d  qua gốc tọa độ O cắt đồ thị  C  y y tại điểm phân biệt đỉnh hình chữ nhật có diện tích x 32 2x  có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai x đường tiệm cận (C) Viết phương trình hai đường thẳng qua I cắt (C) tại bốn điểm phân biệt bốn đỉnh hình chữ nhật có 32 diện tích Bài Gọi d đường thẳng qua gốc tọa độ O có hệ số góc m , m > d' đường thẳng qua O vuông góc với d Tìm m để d cắt (C) : y  x  tại hai điểm phân biệt M,N ; d' cắt (C) tại hai điểm phân biệt P,Q x cho tứ giác MPNQ có diện tích nhỏ Cho hàm số y = Bài Cho hàm số y   x3  x2  3x  (1) 3 1.Tìm tham số a để phương trình x  3x  x  a  (2) có hai nghiệm 244 �3 5�  ,4  �và gọi (d) đường thẳng y = mx+4 , m tham 2.Cho điểm I � �2 � � � số thực Tìm tham số m để (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A(0;4) , B, C cho IB2  IC  4SIBC (SIBC diện tích tam giác IBC) x2  2x  có đồ thị (C) x1 Tìm các điểm thuộc (C) cách đều hai trục tọa độ Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Viết phương trình hai đường thẳng qua I , có hệ số góc số nguyên cắt (C) tại bốn điểm phân biệt bốn đỉnh hình chữ nhật 2x  (C) đường thẳng (d) :y = x+m , m Bài 10: Cho hàm số y  x1 tham số Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N cho : M , N cách đều trục hồnh độ Diện tích tam giác IMN = với I(1;2) 3x  Bài 11: Cho hàm số y  có đồ thị (C) x Tìm a,b để đường thẳng  : y  ax  2b  cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N cho M, N đối xứng qua O Đường thẳng y  x cắt (C) tại hai điểm A, B Tìm m để đường thẳng y  x  m cắt (C) tại C, D cho ABCD hình bình hành Bài 12: Bài Cho hàm số y  Cho hàm số y  x2  2x  , có đồ thị  C  đường thẳng d : x � 4� y  2x  m Tìm m cho  C  cắt d tại A , B phân biệt thỏa mãn I � 2; � � 3� trọng tâm tam giác OAB với O gốc tọa độ Cho hàm số y  x4  2 m  1 x2  2m  có đồ thị  C m  Tìm tất các giá trị tham số m�� để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm phân biệt A ,B,C,D lần lượt có hoành độ x1,x2 ,x3 ,x4  x1  x2  x3  x4  cho tam giác ACK có diện tích 4, biết K  3; 2 Xác định đường thẳng d cho d cắt  C  : y  biệt B, C cho tam giác ABC đều, với A  2;5 2x  tại hai điểm phân x1 2x  4 Tìm m để đường thẳng y   x  m cắt đồ thị  C  : y  tại hai x1 điểm phân biệt B C cho tứ giác OABC hình bình hành ( O gốc toạ độ, A  5;5 ) 245 Dạng 3: ĐƯỜNG THẲNG CẮT ĐỒ THỊ CỦA CỦA HÀM SỐ TẠI 2,3 ĐIỂM MÀ TIẾP TUYẾN TẠI ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Các ví dụ x có đồ thị (C) Xác định m để đường thẳng x1 d: y  2x  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B cho tiếp tuyến (C) tại A B song song với Lời giải Hàm số đã cho xác định D  �\  1 Ví dụ : Cho hàm số y  Phương trình hồnh độ giao điểm: x  2x  m x1 � g(x)  2x2  (m  3)x  m   (1), x �1 �   (m  3)2  8(m  1)  (m  1)2  16  0,m �� � Ta có: � , đó phương trình g(1)  2 �0 � (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt khác Vậy d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A B Gọi x1,x2  x1 �x2  lần lượt hồnh độ A B x1,x2 nghiệm phương trình (1) Ta có: x1  x2  (3  m) Tiếp tuyến 1,  tại A, B có hệ số góc lần lượt là: 2 k1  y'(x1)   k  y'(x2)   , (x1  1) (x2  1)2 1 / /  � k1  k2 �  (x1  1)2  (x2  1)2 � x  1 x2  � x  x2 � (x1  1)2  (x2  1)2 � �1 � �1 �  (3  m)  � m  1 x    x  x  x  2 �1 �1 Vậy, m  1 giá trị cần tìm x  (m  1)x2  m , m tham số , (d) tiếp tuyến (Cm) tại điểm A có hồnh độ x = Tìm m để (d) cắt (C) tại ba điểm A, B, C cho BC = Lời giải Phương trình tiếp tuyến (d) : y  y'(1)(x  1)  y(1)  (1 2m)(x  1)  2m   (2m  1)x  4 Ví dụ Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = 246 Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) (d): x  (m  1)x2  m  (2m  1)x  � x4  4(m  1)x2  4(2m  1)x  4m  1 4 � (x  1)2(x2  2x  4m  1)  � x  1, g(x)  x2  2x  4m  1 (1) (d) cắt (Cm) tại ba điểm A, B, C � Phương trình (1) có hai nghiệm phân � m  �  '  1 4m  1 � � (*) �� biệt khác � �  4m � � � m� � Hoành độ B, C hai nghiệm x1, x2 phương trình (1) , lại có B, C � 1� � 1� x1; (2m  1)x1  �, C � x2; (2m  1)x2  � thuộc (d) ,suy B� 4 � � � � BC2  (x2  x1)2  (2m  1)2(x2  x1)2  [(2m  1)2  1](x2  x1)2  (4m2  4m  2)[(x2  x1)2  4x1x2] Vì x1  x2  2 , x1x2  4m  Do đó BC  � BC  (4m2  4m  2)[4  4(4m  1)]  16 � (4m2  4m  2)(16m  8)  16 � 64m3  96m2  64m  16  16 � m(2m2  3m  2)  0� m  So điều kiện (*) nhân m = Ví dụ : Cho hàm số y  x3  3x2  , tìm các giá trị tham số m để đường thẳng d : y  m(x  2)  cắt đồ thị (C) tại điểm phân biệt A(2; –2), B, D cho tích các hệ số góc tiếp tuyến tại B D với đồ thị (C) đạt giá trị nhỏ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x3  3x2   m(x  2)  � x  hoặc g(x)  x2  x   m  (1) (C) cắt d tại điểm phân biệt A(2; –2), B, D  (1) có nghiệm phân biệt �    4m  �   m �0 (2) khác , tức phải có: � g(2)  m �0 � (2) , gọi x1,x2 các nghiệm Với điều kiện (1) x1  x2  1, x1x2  2  m Ta có: k  y� (x1).y� (x2)  (3x12  6x1)(3x22  6x2) = 9(m  1)2  �9 với   m �0 Dấu "=" xảy  m  1 Vậy giá trị m cần tìm m  1, đó kmin  9 Ví dụ : Cho hàm số y  x3  (m  1)x2  x  2m  , với m tham số thực, có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d : y  x  m  cắt đồ thị (C) tại ba 247 điểm phân biệt A ,B,C cho tổng hệ số góc các tiếp tuyến với (C) tại A ,B,C 12 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm : x3   m  1 x2  x  2m   x  m    � x3   m  1 x2  m  �  x  1 x  mx  m  (1) � x  hoặc x2  mx  m   2 d cắt (C) tại điểm phân biệt phương trình (2) có nghiệm � �   m2  4m  �m  4m  � �� (*) phân biệt khác � �2 1  m.1 m �0 � �m � � Gọi x1,x2 nghiệm phương trình (2) Tổng hệ số góc các tiếp tuyến với (C) tại A, B, C là: y' 1  y' x1  y' x2   12   �  2m  x12  x22  2 m  1  x1  x2   12 � 3 x1  x2   6x1x2  2 m  1  x1  x2    2m (3) Theo định lí Viet ta có: x1  x2  m, x1x2  m , thay vào (3) ta được m2  2m   Giải ta được m  4 (loại) hoặc m  (thỏa mãn) Vậy m  giá trị cần tìm Ví dụ : Chứng minh với m đường thẳng y  x  m cắt đồ x  thị  C  : y  tại hai điểm phân biệt A B Gọi k1,k2 lần lượt hệ 2x  số góc các tiếp tuyến với  C  tại A B Tìm m�� để tởng k1  k2 đạt giá trị lớn Đề thi Đại học Khối A – năm 2011 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm x  1  x  m � g  x  2x2  2mx  m   0   ,x � 2x  2 �  '  m  2m   0,m �� � Vì � �1 � nên phương trình   ln có nghiệm phân g � ��0,m �� � � �2 � biệt với m �� x  Vậy đường thẳng y  x  m cắt đồ thị y  tại hai điểm phân biệt 2x  A ,B 248 Gọi x1,x2 hai nghiệm   A  x1;y1 ,B x2;y2  Tiếp tuyến  C  tại A ,B lần lượt có hệ số góc k1  y' x1    2x1  1 ,k2  y' x2     2x2  1   2x1  1   2x2  1 Cách : k1  k2   2x1  1  2x2  1 2 � 4 x1  x2   8x1x2  4 x1  x2   2� � � �  � � 4x1x2  2 x1  x2   1� � � � x  x  m �1 Theo định lý Vi – et : � m  x x  � �1 2 Khi đó k1  k2  4 m  1  �2 Vậy k1  k2 đạt giá trị lớn 2 m  1 Cách : � � 1 � �� k1  k2    2� �2x     2x2  1 �  2x1  1  2x2  1 �  2x1  1  2x2  1  4x1x2  2 x1  x2   1 2 m  1  2m   1 Nên k1  k2 �2 � k1  k2 lớn 2 Đẳng thức xảy 2x1   1 2x2 � x1  x2  � m  1 Vậy k1  k2 đạt giá trị lớn 2 m  1 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: x4 có đồ thị (C) Cho điểm M thuộc (C) có  3x2  2 hồnh độ xM = a Viết phương trình tiếp tún (C) tại M, với giá trị a tiếp tuyến (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M 2x  Cho hàm số y  , có đồ thị  C  Tìm tất các tham số thực m để x đường thẳng  t : y  2x  m cắt  C  tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến Cho hàm số y  tại đó song song với x4 có tiếp tuyến tại M thuộc  C  có hoành độ  3x2  2 m cắt  C  tại điểm phân biệt E, F khác M cho MF  3ME , E nằm M F Bài 2: Cho hàm số y  249 Cho hàm số : y  x3  mx2  có đồ thị (C m ) Tìm tham số m để đường thẳng d : y  x  cắt (C m ) tại ba điểm phân biết A  0;1 ,B, C cho các tiếp tuyến (C m ) tại B, C vuông góc với Cho hàm số : y  x3  3x2  mx  có đồ thị (C m ) Tìm tham số m để đường thẳng d : y  cắt (C m ) tại ba điểm phân biết A  0;1 ,B, C cho các tiếp tuyến tại B,C có tổng hệ số góc không nhỏ 17 Bài 3: Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = x3  5x2  (m  4)x  m , m tham số Tìm tham số m để (Cm) tồn tại điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó vuông góc với đường thẳng y  x  2 Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt A(1;0), B, C Khi đó gọi k1, k2 hai tiếp tuyến (Cm) tại B C Tìm m để k12  k22  160 Cho hàm số y  x3  3x2  (m  4)x  m, tìm m để đồ thị hàm số cắt trục 1   0, đó hoành tại ba điểm A , B, C phân biệt cho kA  k B kC kA ,kB ,kC lần lượt hệ số góc tiếp tuyến đồ thị tại A , B, C Bài 4: Cho hàm số y  ax  b x1 Tìm a,b để đồ thị hàm số cắt trục tung tại A  0; 1 tiếp tuyến đồ thị tại A có hệ số góc 3 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số với a,b vừa tìm được Cho đường thẳng  d  có hệ số góc m qua điểm B 2;2 Tìm m để  d cắt  C  tại hai điểm phân biệt M 1,M Các đường thẳng qua M 1,M song song với các trục toạ độ tạo thành hình chữ nhật Tính các cạnh hình chữ nhật đó theo m��, hình chữ nhật trở thành hình vuông Dạng 4: TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ ĐỒNG THỜI ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH Ví dụ Ví dụ : Cho hàm số y  2x3  3x2  có đồ thị (C), tìm điều kiện a b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D cho AB = BD Khi đó chứng minh đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định 250 Lời giải Hàm số đã cho xác định D  � Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x3  3x2   ax  b � 2x3  3x2  ax  1 b  () Giả sử (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D có hoành độ lần lượt x1,x2 ,x3 (x1  x2  x3) nghiệm phương trình () Khi đó: 2x3  3x2  ax  1 b  (x  x1)(x  x2)(x  x3)  2x3  2(x1  x2  x3)x2  2(x1x2  x2x3  x3x1)x  2x1x2x3 � x1  x2  x3  Ta có: AB = BD � x1  x3  2x2 (2) Thế (2) vào (1) ta có: x2  (1) 1 a vào phương trình () , ta được a  2b  � b  2 1 a Thay b  vào phương trình () , nên có 2x3  3x2  ax  (a  1)  2 � (2x  1)(2x2  2x  a  1)  � x  hoặc g(x)  2x2  2x  a  1() (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D � phương trình () có hai nghiệm �  '  2a   � � � a  phân biệt khác � �1 � g   a  � 2 � �2 � �� � 1 a ,a   thỏa yêu cầu Vậy: b  2 1 a � (2x  1)a  1 2y  ,phương trình nghiệm Khi đó: (d) : y  ax  � 2x   �1 � � x  y  Điểm cố định I � ; � với a   , tức phải có : �  2y  2 �2 � � Thay x2  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: x2  4x  Tìm k để đường thẳng y  kx  cắt đồ thị (C): y  tại điểm x phân biệt A ,B Tìm quỹ tích trung điểm I AB mx  Chứng minh với m �(1;1) đồ thị (C m ) : y  cắt x m đường tròn (C): x2  y2  12 tại bốn điểm phân biệt Bài 2: 251 Gọi (C) đồ thị hàm số y  x3 – 3x2  (d) đường thẳng qua điểm A(3;4) có hệ số góc m Tìm m để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M,N Khi đó tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN 2 x Tìm m để (d): y = m(x – 1)+2 cắt (C) : y  tại hai điểm phân biệt x M, N hai nhánh (C) Khi đó tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN Cho hai đồ thị  C1  : y  x3  2x2  1,  C  : y  x3  x2  mx  , m tham số thực Tìm m để  C1 cắt  C  tại hai điểm phân biệt A,B Khi đó chứng minh trung điểm I đoạn AB thuộc đồ thị hàm số y = 4x3  4x2  3x  viết phương trình đường thẳng AB 252 ... điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Dạng 2: TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Phương pháp � Lập phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị  C  : y  f  x  C' : y  g  x : f ... độ giao điểm (C) : x3  5x2  3x   k(x  1) � x  1 hoặc (x  3)2  k  cắt (C) tại ba điểm phân biệt � (x  3)2  k có hai nghiệm phân biệt khác 1   k �16 Khi đó toạ độ các giao. .. ,tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ Lời giải Số giao điểm đồ thị đã cho với trục hoành số nghiệm phương trình : x4  2(m  1)x2  2m    1