www.thuvienhoclieu.com BÀI TẬP QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Vấn đề Đường thẳng vng góc với mặt phẳng • Cách chứng minh đường thẳng d vng góc với mp( α ): Cách 1: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a b cắt nằm ( α ) Cách 2: Ta chứng minh d song song với đường thẳng d’ vng góc với ( α ) • Cách chứng minh đường thẳng a b vng góc: Cách 4: Ta chứng minh a vng góc với mp( α ) chứa đường thẳng b • Kết quả: + Nếu hai đường thẳng phân biệt vng góc với mp song song + Nếu hai mp phân biệt vng góc với đường thẳng song song Bài Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a; SA vng góc với đáy Gọi M, N hình chiếu A SB, SD Chứng minh MN//BD SC vng góc với mp(AMN) Gọi K giao điểm SC với mp(AMN) Chứng minh AMKN có hai đường chéo vng góc Bài Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh rằng: SC vng góc với mp(BHK) b) HK vng góc với mp(SBC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, biết SB = SD Chứng minh (SAC) mp trung trực đoạn thẳng BD Gọi H, K hình chiếu A SB, SD Chứng minh SH = SK, OH = OK HK//BD Chứng minh (SAC) mp trung trực HK Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi H trực tâm tam giác ABC biết A’H ⊥ (ABC) Chứng minh rằng: AA’ ⊥ BC AA’ ⊥ B’C’ Gọi MM’ giao tuyến xủa hai mp(AHA’) (BCC’B’) M ∈ BC M’ ∈ B’C’ Chứng minh tứ giác BCC’B’ hình chữ nhật MM’ đường cao hình chữ nhật Bài HAi tam giác cân ABC DBC nằm hai mp khác tạo nên tứ diện ABCD Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh BC ⊥ AD b) Gọi AH đường cao tam giác ADI Chứng minh AH ⊥ (BCD) Bài Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm hai mp khác cho AC ⊥ BF Gọi CH FK hai đường cao tam giác BCE ADF Chứng minh: a) ACH BFK tam giác vuông b) BF ⊥ AH AC ⊥ BK 6a Bài Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cân A với AB = a, BC = Gọi M trung điểm BC Vẽ AH ⊥ MD a) Chứng minh AH ⊥ (BCD) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 4a Tính góc hai đường thẳng AC DM c) Gọi G1, G2 trọng tâm tam giác ABC DBC Chứng minh G1G2 ⊥ (ABC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O Biết SA = SC SB = SD a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD) AC ⊥ SD b) Gọi I, J trung điểm BA, BC Chứng minh IJ ⊥ (SBD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAB tam giác đều, SCD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạnh tam giác SIJ chứng minh SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB) b) Gọi SH đường cao tam giác SIJ Chứng minh SH ⊥ AC tính độ dài SH c) Gọi M điểm thuộc BD cho BM ⊥ SA Tính AM theo aAM theo a Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SAB tam giác SC = a Gọi H, K trung điểm AB, AD a) Chứng minh SH ⊥ (ABCD) b) Chứng minh AC ⊥ SK CK ⊥ SD Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ đáy SA = a, đáy ABCD hình thang vng đường cao AB = a, BC = 2a Ngoài SC ⊥ BD a) Chứng minh tam giác SBC vuông b) Tính theo a độ dài đoạn AD c) Gọi M điểm đoạn SA, đặt AM = x, với ≤ x ≤ a Tính độ dài đường cao DE tam giác BDM theo a x Xác định x để DE lớn nhất, nhỏ Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ đáy SA = 2a, tam giác ABC vuông C với AB = 2a, ∠ BAC = 300 Gọi M điểm di đọng cạnh AC, H hình chiếu S BM a) Chứng minh AH ⊥ BM b) Đặt AM = x, với ≤ x ≤ Tính khoảng cách từ S tới BM theo a x Tìm x để khoảng cách lớn nhất, nhỏ Bài 13 Cho tam giác ABC có BC = 2a đường cao AD = a Trên đường thẳng vng góc với mp(ABC) A lấy điểm S cho SA = a Gọi E, F trung điểm SB, SC a) Chứng minh BC ⊥ (SAD) b) Tính diện tích tam giác AEF Bài 14 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a cạnh bên AA’ = a vng góc với đáy a) Gọi I trung điểm BC Chứng minh AI ⊥ BC’ b) Gọi M trung điểm BB’ Chứng minh AM ⊥ BC’ a c) Gọi K điểm đoạn A’B’ cho KB’ = J trung điểm B’C’ Chứng minh AM ⊥ (MKJ) Bài 15 Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (DBC) tam giác ABC vuông A Kẻ DI ⊥ BC a) Chứng minh BC ⊥ (AID) b) Cho AD = www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com b) Kẻ DH ⊥ AI Chứng minh DH ⊥ (ABC) c) Đặt ∠AID = α , ∠ABD = β , ∠ACD = γ Chứng minh sin α = sin β + sin γ d) Giả sử AD = a, β = γ = 300 Tính BC α 2a Bài 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA = SB = a) Kẻ SH ⊥ (ABC) Chứng minh H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) TÍnh đọ dài SH theo a c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh BC ⊥ (SAI) d) Gọi ϕ góc SA SH Tính ϕ Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) Gọi I , M trung điểm SC AB Cho SA = a a) Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh IO ⊥ (ABCD) b) Tính khoảng cách từ I đến CM Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O, SA ⊥ (ABCD) a) Gọi H, K hình chiếu A SB, SD Chứng minh SC ⊥ (AHK) b) Kẻ AJ ⊥ (SBD) Chứng minh J trực tâm tam giác SBD Bài 19 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ đáy, tam giác ABC cân B Gọi G trọng tâm tam giác SAC N điểm thuộc cạnh SB cho SN = 2NB Chứng minh a) BC ⊥ (SAB) b) NG ⊥ (SAC) Bài 20 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, tam giác ABC vuông A Gọi I trung điểm BC Chứng minh: a) BC ⊥ (SAI) b) SI ⊥ (ABC) Bài 21 Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC) Gọi AI đường cao H trực tâm tam giác ABC Hạ HK ⊥ DI Chứng minh: a) HK ⊥ BC b) K trực tâm tam giác DBC Bài 22 Cho tam giác ABC vuông C Trên đường thẳng d vng góc với mp(ABC) A, lấy điểm S di động Gọi D, F hình chiếu A SB, SC Chứng minh: AF ⊥ SB Bài 23 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ∠ASB = 1200 , ∠BSC = 900 , ∠CSA = 600 a) Chứng minh tam giác ABC vng b) Xác định hình chiếu H S mp(ABC) Tính SH theo a Bài 24 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD tứ giác có ABD tam giác đều, BCD tam giác cân C có ∠BCD = 1200 SA ⊥ đáy a) Gọi H, K hình chiếu vng góc A SB, SD Chứng minh SC ⊥ (AHK) b) Gọi C’ giao điểm SC với mp(AHK) Tính diện tích tứ giác AHC’K AB = SA = a Bài 25 Cho tam giác ABC cạnh a, d đường thẳng vng góc với (ABC) A Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh HK ⊥ (SBC) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Bài 26 Cho hình vng ABCD Gọi H, K trung điểm AB, AD Trên đường thẳng vng góc với mp(ABCD) H, lấy điểm S (khác H) Chứng minh: a) AC ⊥ (SHK) b) CK ⊥ SD Bài 27 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, SA ⊥ đáy Hạ AH ⊥ SB, AK ⊥ SC a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng b) Chứng minh SHK tam giác vuông c) Gọi D giao điểm HK BC Chứng minh AC ⊥ AD Bài 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh tâm O, AB = SA = a, SA ⊥ đáy Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với SC, (P) cắt SB, SC, SD H, I, K a) Chứng minh HK//BD b) Chứng minh AH ⊥ SB, AK ⊥ SD c) Chứng minh tứ giác AHIK có hai đường chéo vng góc Tính diện tích AHIK theo a Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, BC = a , mặt bên SBC vuông B, SCD vng D có SD = a a) Chứng minh SA ⊥ (ABCD) tính SA b) Đường thẳng qua A vng góc với AC, cắt CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC, K L giao điểm SB, SD với mp(HIJ) Chứng minh AK ⊥ (SBC) AL ⊥ (SCD) c) Tính diện tích tứ giác AKHL Bài 30 Cho tam giác MAB vuông M nằm mp(P) Trên đường thẳng vng góc với (P) A lấy hai điểm C, D nằm hai phía (P) Gọi C’ hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC’ a) Chứng minh CC’ ⊥ (MBD) b) Gọi K hình chiếu H AB Chứng minh K trực tâm tam giác BCD Vấn đề Hai mặt phẳng vng góc • Cách chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau: Cách 1: Ta chứng minh mp chứa đường thẳng vng góc với mp Cách 2: Ta chứng minh góc chúng 900 • Cách chứng minh đường thẳng d vng góc với mp( α ): Cách 3: Nếu hai mp vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến (nếu có) chúng vng góc với mặt phẳng Cách 4: Nếu hai mp vng góc với nhau, đường thẳng nằm mp mà vng góc với giao tuyến vng góc với mp • Kết quả: + S ' = Scosϕ www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com + Nếu hai mp(P) (Q) vuông góc với nhau, điểm A thuộc (P) đường thẳng qua A vng góc với (Q) nằm (P) • Hình lăng trụ đứng Hình hộp chữ nhật Hình lập phương • Hình chóp hình chóp cụt Hình chóp hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng với tâm đáy Chú ý + Cần phân biệt hai khái niệm Hình chóp hình chóp có đáy đa giác + Hình chóp có cạnh bên + Hình chóp có góc cạnh bên mặt đáy Bài Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD) Trong tam giác BCD vẽ đường cao BE DF cắt O Trong mp(ACD) vẽ DK ⊥ AC Gọi H trực tâm tam giác ACD a) Chứng minh (ACD) ⊥ (ABE) (ACD) ⊥ (DFK) b) Chứng minh OH ⊥ (ACD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I, có cạnh a đường a chéo BD = a SC = vng góc với (ABCD) Chứng minh (SAB) ⊥ (SAD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB SAD vng góc với (ABCD) Biết ABCD hình vng SA = AB Gọi M trung điểm SC Chứng minh: a) (SAC) ⊥ (SBD) b) (SAD) ⊥ (SCD) c) (SCD) ⊥ (ABM) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có BC = 2AB Tam giác SAB vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB Chứng minh (SAD) ⊥ (SAB) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a SA = SB = SC = a a) Chứng minh (SBD) ⊥ (ABCD) b) Chứng minh tam giác SBD vuông Bài Cho tam giác ACD BCD năm hai mp vng góc với AC = AC = BC = BD = a CD = 2x Gọi I, J trung điểm AB, CD a) Chứng minh IJ ⊥ AB CD b) Tính AB IJ theo a x c) Xác định x để (ABC) ⊥ (ABD) Bài Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác vng B AD ⊥ (ABC) Chứng minh (ABD) ⊥ (BCD) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C, SAC tam giác nằm mp vng góc với (ABC) Gọi I trung điểm SC a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAC) b) Chứng minh (ABI) ⊥ (SBC) Bài Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB’ CC’ vng góc với mp(ABC) a) Chứng minh (ABB’) ⊥ (ACC’) b) Gọi AH, AK đường cao tam giác ABC AB’C’ Chứng minh hai mp(BCC’B’) (AB’C’) vng góc với mp(AHK) Bài 10 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức lien hệ a, b, x, y để: www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com a) (ABC) ⊥ (BCD) b) (ABC) ⊥ (ACD) Bài 11 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường a thẳng vng góc với (ABC) D lấy điểm S cho SD = Chứng minh: a) (SAB) ⊥ (SAC) b) (SBC) ⊥ (SAD) Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA ⊥ đáy Gọi M, N hai điểm thuộc cạnh BC, CD cho BM = x, DN = y Tìm hệ thức lien hệ a, x y để (SAM) ⊥ (SMN) Bài 13 Cho tam giác ABC vuông B Đoạn thẳng AD ⊥ (ABC) Chứng minh (ABD) ⊥ (BCD) Vẽ đường cao AH tam giác ABD, chứng minh AH ⊥ (BCD) Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a có SA = SB = SC = a Chứng minh: (ABCD) ⊥ (SBD) b) Tam giác SBD vng S Bài 15 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh AC’ ⊥ (A’BD) (ACC’A’) ⊥ (A’BD) Bài 16 Cho tứ diện S.ABC có SA ⊥ đáy Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh: a) (SAC) ⊥ (BHK) b) (SBC) ⊥ (BHK) Bài 17 Cho tứ diện SABC có ba đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuông cân đỉnh B AC = 2a, có cạnh SA ⊥ mp(ABC) SA = a a) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC) b) Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh AH ⊥ (SBC) c) Tính độ dài đoạn AH d) Từ trung điểm O đoạn AC vẽ OK ⊥ (SBC) Tính độ dài đoạn OK Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O có cạnh SA ⊥ đáy Giả sử ( α ) mp qua A vng góc với cạnh SC, ( α ) cắt SC I a) Xác định giao điểm K SO với mp( α ) b) Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC) BD//( α ) Bài 19 Cho hình vuông ABCD Gọi S điểm không gian cho SAB tam giác nằm mp vng góc với đáy a) Chứng minh (SAB) ⊥ (SAD) (SAB) ⊥ (SBC) b) Tính góc hai mp (SAD) (SBC) c) Gọi H, I trung điểm AB, BC Chứng minh (SHC) ⊥ (SDI) Bài 20 Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (DBC) Gọi AE, BF đường cao tam giác ABC; H, K trực tâm tam giác ABC DBC Chứng minh: a) (ADE) ⊥ (ABC) (BFK) ⊥ (ABC) b) HK ⊥ (ABC) 2a Bài 21 Trong mp(P), cho hình thoi ABCD với AB = a, AC = Trên đường thẳng vng góc với mp(P) gaio điểm O hai đường chéo AC BD, lấy điểm S cho SB = a Chứng minh: a) Tam giác ASC vuông b) (SAB) ⊥ (SAD) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A, hai đáy AD = 2a, BC = a Biết AB = a, SA = a SA ⊥ đáy a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SDC) b) Dựng thiết diện hình chóp cắt mp(P) chứa AB vng góc với mp(SDC) Tính diện tích thiết diện theo a Bài 23 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ đáy, đáy ABCD hình chữ nhật Hạ AH ⊥ SB, AK ⊥ SD Chứng minh: a) (SBC) ⊥ (SAB) b) (AHK) ⊥ (SAC) a Bài 24 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy a, cạnh bên Chứng minh (SBC) ⊥ (SAB) Bài 25 Cho tứ diện ABCD Gọi H hình chiếu A (BCD) O trung điểm AH Chứng minh mp(OBC), (OCD), (OBD) đôi vuông góc với Bài 26 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều, SA ⊥ đáy Gọi H, K trực tâm tam giác ABC DBC Chứng minh: a) (SAH) ⊥ (SBC) b) (CHK) ⊥ (SBC) Bài 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông, SA ⊥ đáy Gọi M trung điểm BC Tìm N CD để (SAM) ⊥ (SMN) Bài 28 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = SA = a Gọi I, K trung điểm AB, CD Một mp(P) qua CD vng góc với (SAB) cắt SA, SB M N a) Chứng minh (SIK) ⊥ (SAB) b) (P) cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy a) Chứng minh (SCD) ⊥ (SAD) b) Cắt hình chóp mp(P) chứa AB vng góc với (SCD) Tính theo a diện tích thiết diện Bài 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O Hai mp(SAC) (SBD) vng góc với đáy a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD) b) Từ O kẻ OK ⊥ BC Chứng minh BC ⊥ (SOA) c) Chứng minh (SBC) ⊥ (SOK) d) Kẻ OH ⊥ SK Chứng minh OH ⊥ (SBC) Bài 31 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Gọi O giao điểm AC BD Kẻ CK ⊥ BD a) Chứng minh C’K ⊥ BD b) Chứng minh (C’BD) ⊥ (C’CK) c) Kẻ CH ⊥ C’K Chứng minh CH ⊥ (C’BD) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Bài 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, cạnh a, SB = SD = a, BD = 2a Hai mp(SAC) (SBD) vng góc với đáy a) Chứng minh tam giác SAC vuông S b) Chứng minh (SBC) ⊥ (SCD) Bài 33 Cho tam giác ABC Trên đường thẳng d vng góc với mp(ABC) A lấy điểm S Gọi D trung điểm BC a) Chứng minh (SAD) ⊥ (SBC) b) Kẻ CI ⊥ AB, CK ⊥ SB Chứng minh SB ⊥ (ICK) c) Kẻ BM ⊥ AC, MN ⊥ SC Chứng minh SC ⊥ BN d) Chứng minh (CIK) ⊥ (SBC) (MBN) ⊥ (SBC) e) MB cắt CI G, CK cắt BN H Chứng minh GH ⊥ (SBC) f) Chứng minh điểm B, C, I, K, M, N cách D Bài 34 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, SH ⊥ đáy với H thuộc đoạn BC a) Chứng minh (SBC) ⊥ (ABC) b) Kẻ HI ⊥ AB, HK ⊥ AC Tứ giác AIHK có đặc điểm gì? c) Chứng minh (SHI) ⊥ (SAB) (SHK) ⊥ (SAC) d) Kẻ HM ⊥ SI, HN ⊥ SK Chứng minh HM ⊥ (SAB) HN ⊥ (SAC) Bài 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O, AB < BC, AB = a Hai mp(SAD) (SAD) cùn vuông góc với đáy Chứng minh SA ⊥ (ABCD) Chứng minh (CSB) ⊥ (SAB) a2 Đặt ∠SCA = α , ∠BSC = β Chứng minh SC = cos 2α − sin β Bài 36 Cho hình chóp tam giác S.ABC, cạnh đáy có độ dài a, M, N trung điểm SB, SC Biết (AMN) ⊥ (SBC) Tính theo a diện tích tam giác AMN Bài 37 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Hai mp(ASB) (SAD) vng góc với đáy Chứng minh SA ⊥ (ABCD) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD) Cho SA = 2a Kẻ AH ⊥ (SBC) Tính AH? Bài 38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh a, SA ⊥ đáy SA = a a Gọi M điểm thuộc đoạn AO cho AM = x, ≤ x ≤ a) Gọi H hình chiếu M (SBC) Tính MH b) Mp(P) ⊥ AC M cắt hình chóp theo đa giác Trình bày cách dựng thiết diện c) Tìm x để diện tích đa giác lớn Bài 39 Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông A với AB = a, ∠ABC = 600 , SB ⊥ (ABC) SB = 2a Chứng minh (SAC) ⊥ (SAB) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Lấy điểm M thuộc đoạn AB cho BM = x, < x < a Qua M dựng mp(Q) song song với AC SB Tính diện tích thiết diện (Q) với hình chóp Tìm x để diện tích lớn Bài 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA ⊥ đáy Gọi M, N a 3a điểm thuộc BC CD cho BM = , DN = Chứng minh (SAM) ⊥ (SMN) Vấn đề Góc I Góc hai đường thẳng • Cách xác định góc hai đường thẳng chéo a b: Chọn điểm O thích hợp, kẻ hai đường thẳng qua điểm O: a’//a b’//b • Các phương pháp tính góc: + Sử dụng hệ thức lượng tam giác: a b c = = Định lí sin: sin A sin B sin C ur ur u1.u2 + Tính góc theo vectơ phương: cosϕ = ur ur u1 u2 b2 + c2 − a Định lí cos: cos A = 2bc • Chú ý + 00 ≤ ϕ ≤ 900 uur uuu r + AB ⊥ CD ⇔ AB.CD = + Nếu a b song song trùng ϕ = 00 Bài Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a Tính góc hai đường thẳng SC AB www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, SA = SB SA ⊥ BC Tính góc hai đường thẳng SD BC Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a (hình hộp thoi), ∠BAD = 600 , ∠BAA ' = ∠DAA ' = 1200 a) Tính góc cặp đường thẳng AB với A’D AC’ với B’D b) Tính diện tích hình A’B’CD ACC’A’ c) Tính góc đường thẳng AC’ đường thẳng AB, AD, AA’ Bài Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, H, K trung điểm BC, AC, AD, BD Hãy tính góc hai đường thẳng AB CD truờng hợp: a) Tứ giác IJHK hình thoi có đường chéo IH = IJ b) Tứ giác IJHK hình chữ nhật Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC AD a) Tính góc AB DM, biết ABCD tứ diện cạnh a b) Tính góc AB CD, biết AB = CD = 2a MN = a c) Tính góc AB CD, biết AB = CD = 2a MN = a d) Tính góc AB CD, biết AB = 2a, CD = 2a MN = a Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b AA’ = c a) Tính góc hai đường thẳng AD’ B’C b) Tính góc hai đường thẳng AB A’C Bài Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a tam giác SAB, SBC, SCA vuông S Gọi M trung điểm BC Tính góc AC SM Bài Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a, đáy hình vng Gọi N trung điểm SB Tính góc AN CN, AN SD Bài Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD ∠BAC = ∠BAD = 600 , ∠CAD = 900 Chứng minh: a) AB ⊥ CD b) Nếu I, J trung điểm AB CD IJ ⊥ AB, IJ ⊥ CD Bài 10 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD DBC tam giác cạnh a Cho AD = a a) Chứng minh AD ⊥ BC b) Tính góc hai đường thẳng AB CD II Góc đường thẳng mặt phẳng • Cách xác định góc đường thẳng d mp(P): • Chú ý + 00 ≤ ϕ ≤ 900 + Nếu d Pmp( P ) d ⊂ mp( P ) ϕ = 00 www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, BC = a, SA = SA = SC = a Tính góc đường thẳng SA mp(ABC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA ⊥ đáy SA = a Tính góc đường thẳng SC mp(ABCD) III Góc hai mặt phẳng • Cách chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau: Vấn đề Khoảng cách • Cách chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau: Cách 1: Ta chứng minh mp chứa đường thẳng vng góc với mp Cách 2: Ta chứng minh góc chúng 900 • Cách chứng minh đường thẳng d vng góc với mp( α ): Cách 3: Nếu hai mp vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến (nếu có) chúng vng góc với mặt phẳng Cách 4: Nếu hai mp vuông góc với nhau, đường thẳng nằm mp mà vng góc với giao tuyến vng góc với mp • Kết quả: + S ' = Scosϕ + Nếu hai mp(P) (Q) vng góc với nhau, điểm A thuộc (P) đường thẳng qua A vng góc với (Q) nằm (P) • Hình lăng trụ đứng Hình hộp chữ nhật Hình lập phương • Hình chóp hình chóp cụt Hình chóp hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng với tâm đáy Chú ý + Cần phân biệt hai khái niệm Hình chóp hình chóp có đáy đa giác + Hình chóp có cạnh bên + Hình chóp có góc cạnh bên mặt đáy Vấn đề Một số toán HHKG đề thi ĐH – CĐ Bài (ĐH – CĐ A 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mp(AMN) vng góc với mp(SBC) Bài (ĐH – CĐ B 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D b) Gọi M, N, P trung điểm AA’, CD, A’D’ Tính góc hai đường thẳng MP C’N Bài (ĐH – CĐ D 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD) www.thuvienhoclieu.com Trang 11 www.thuvienhoclieu.com Bài (ĐH – CĐ B 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc ∠ BAD 600 Gọi M, N trung điểm AA’ CC’ Chứng minh điểm B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN hình vng Bài (ĐH – CĐ D 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng d Trên d lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mp(P) lấy điểm C, mp(Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với d AC = BD = AB Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a Bài (ĐH – CĐ B 2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy ϕ Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo ϕ Bài (ĐH – CĐ B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AD = a , AB = a, SA = a SA vng góc với mp(ABCD) Gọi M, N trung điểm AD, SC; I giao điểm BM AC Chứng minh mp(SAC) vng góc với mp(SMB) Bài (ĐH – CĐ A 2007) Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP Bài (ĐH – CĐ B 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi D điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M, N trung điểm AE BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Bài 10 (ĐH – CĐ D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ∠ ABC = ∠ BAD = 900 , BA = BC =a, AD = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu cng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H tới mặt phẳng (SCD) Bài 11 (ĐH – CĐ A 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A’ mp(ABC) trung điểm cạnh BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’ Bài 12 (ĐH – CĐ B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mp(SAB) vng góc với mặt đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM DN Bài 13 (ĐH – CĐ D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = AC = a, cạnh bên AA’ = a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B’C Bài 14 (ĐH – CĐ D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = a, A’C = 3a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính khoảng cách từ A đến mp(IBC) Bài 15 (ĐH – CĐ A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi M, N trung điểm AB, AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mp(ABCD) SH = a Tính theo a khoảng cách DM SC www.thuvienhoclieu.com Trang 12 ... vuông góc • Cách chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau: Cách 1: Ta chứng minh mp chứa đường thẳng vng góc với mp Cách 2: Ta chứng minh góc chúng 900 • Cách chứng minh đường thẳng d vng góc. .. minh góc chúng 900 • Cách chứng minh đường thẳng d vng góc với mp( α ): Cách 3: Nếu hai mp vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến (nếu có) chúng vng góc với mặt phẳng Cách 4: Nếu hai mp vng góc. .. DN = y Tìm hệ thức lien hệ a, x y để (SAM) ⊥ (SMN) Bài 13 Cho tam giác ABC vuông B Đoạn thẳng AD ⊥ (ABC) Chứng minh (ABD) ⊥ (BCD) Vẽ đường cao AH tam giác ABD, chứng minh AH ⊥ (BCD) Bài 14 Cho