WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM * Để tìm họ nguyên hàm hàm số y=f(x) , có nghĩa ta tính tích phân bất định : I = ∫ f ( x)dx Ta có ba phương pháp : - Phương pháp phân tích - Phương pháp đổi biến số - Phương pháp tích phân phần Do điều quan trọng f(x) có dạng để ta ngiên cứu phân tích chúng cho sử dụng bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm chúng Hoặc sử dụng hai phương pháp lại - Sau số gợi ý giúp em nhận biết dạng f(x) mà có phương pháp phân tích cụ thể , từ tìm ngun hàm chúng Bảng ngun hàm Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp ∫ dx = x + C ∫ x α dx = x α +1 + C ( α ≠ 1) α +1 dx ∫ x = ln x + C ( x ≠ 0) ∫ e dx = e + C x x ax + C ( < a ≠ 1) ln a cos xdx = sin x + C ∫ ∫ ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos x dx = tan x + C a x dx = ∫ sin x Nguyên hàm hàm số thường gặp dx = − cot x + C ∫ ( ax + b ) dx = a ( ax + b ) + C ∫ ( ax + b) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ α dx = ( ax + b ) a α +1 α +1 + C ( α ≠ 1) dx = ln ax + b + C ( x ≠ ) ax + b a e ax + b dx = e ax +b + C a cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C a 1 dx = tan ( ax + b ) + C a cos ( ax + b ) 1 dx = − cot ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) Nguyên hàm hàm số hợp ∫ du = u + C ∫ u α du = u α +1 + C ( α ≠ 1) α +1 du ∫ u = ln u + C ( u ≠ 0) ∫ e du = e + C u u au + C ( < a ≠ 1) ln a cos udu = sin u + C ∫ ∫ ∫ sin udu = − cos u + C ∫ cos u du = tan u + C a u dx = ∫ sin u du = − cot u + C PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH I.TRƯỜNG HỢP : f(x) LÀ MỘT HÀM ĐA THỨC ⇔ f ( x) = an x n + an−1 x n −1 + + a0 A.CÁCH TÌM Sử dụng cơng thức tìm nguyên hàm hàm số : f(x)= xα ⇒ F ( x) = Do nguyên hàm f(x) : ⇔ F ( x ) = xα +1 + C α +1 an n +1 an −1 n x + x + + a0 x + C n +1 n Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net Trang WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau   3 ∫  x + x + x + x − ÷dx 4    2 ∫  mx − 3x + x − + + − 7m ÷dx x 2x   ∫ ( me x 4m + 2a x + log x − 2sin x + 3cos x ) dx   x ∫  + − t anx+3x-2 ÷dx  x  GIẢI 4 53 1  3 x + x + x + x − dx = x + x + x + x − x + C ÷ ∫  20  4m m 4m   − mx − x + x − + + − m dx = x − x + x − − − 7mx + C ( ) ÷ ∫  x 2x 2.x 2.x  x x x x 2a ∫ ( me + 2a + log3 x − 2sin x + 3cos x ) dx = me ln a + ln ( x ln x − x ) + cos2x+ sin x + C 3x   x + − t anx+3x-2 dx = x + + ln cosx + x − x + C ÷ ∫  x ln  P ( x) II TRƯỜNG HỢP f(x)LÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ : fx)= Q( x) * Trường hợp : Bậc P(x) cao bậc Q(x) , phép chia đa thức ta lấy P(x) chia cho Q(x) đa thức A(x) số dư R(x) mà bậc R(x) thấp bậc Q(x) Như tích phân A(x) ta tính ( trình bày trên) Do ta ngiên cứu cách tìm nguyên hàm f(x) trường hợp bậc tử thấp R( x) bậc mẫu , nghĩa f(x) có dạng : f ( x) = Q( x) Trước hết ta ngiên cứu cách tìm ngun hàm f(x) có số dạng đặc biệt Hàm số f(x) có dạng : I = ∫ dx ax + bx + c ( a ≠ 0)  b  ∆  * Ta phân tích : ax + bx + c = a  x + ÷ −  , mà ta biết lớp 10 2a  4a   * Xét ba trường hợp ∆ Ta có ba dạng f(x) ta có ba cách tìm ngun hàm gợi ý sau :  b −∆  b  ∆  u = x + ; k = 2a 2a - Nếu : ∆ < → −∆ > 0ax + bx + c = a  x + ÷ −  =  2a  4a    2 a ( u + k ) Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN  b  ∆  - Nếu : ∆ = ⇒ a  x + ÷ −  = au 2a  4a   b   u = x + ÷ 2a    b  ∆  - Nếu : ∆ > ⇒ a  x + ÷ −  = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) 2a  4a    −b − ∆ −b + ∆  ; x2 =  x1 = ÷ 2a 2a ÷   Do tích phân giải sau : - Trường hợp : ∆ < , I = ∫ * Nếu đặt : 1 dx = ∫ du ax + bx + c a u + k2  1 u = tan t → du = cos 2t dt = ( + tan t ) dt ⇒I= ∫ du =  a u +k a.k u + k = k tan t + k = k ( + tan t )  ∫ ( + tan t ) ( + tan t ) dt 2 t dt = + C ( với : u = tan t → t = arctanu ) ∫ a.k ak 1 1 I =∫ dx = ∫ du = − = − +C b  ax + bx + c u u  - Trường hợp : ∆ =0 : x+ ÷ 2a   1 1 I =∫ dx = ∫ dx = − +C b  ax + bx + c a   b  Hay : a x − ÷ x− ÷ 2a   a   - Trường hợp : ∆ > :  1 1 1  I =∫ dx = ∫ dx = −  ÷dx ∫ ax + bx + c a ( x − x1 ) ( x − x2 ) a ( x2 − x1 )  x − x2 x − x1  = 1 x − x2 ln x − x1 − ln x − x2 ) = ln +C ( a ( x2 − x1 ) a ( x2 − x1 ) x − x1 Ví dụ Hãy tính tích phân sau : a ∫x dx + x +1 b ∫x dx + 2x + GIẢI 1 dx = ∫ dx 1 3  + x +   x − ÷= tan t → dx = + tan t ) dt a   Đặt : (  x − + ÷ 4 2  ÷   4    1 3 ⇒∫ dx = ∫ ( + tan t ) dt = ∫ dt = t + C 3 x + x +1 4 + tan t ) + ( 4 ∫x Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net Trang WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 2 3   ÷ Với :  x − ÷ = tan t ⇒ t = arctan  ÷ 4   4x-1  b ∫ x + x + ⇒∫ dx = ∫ ( x + 1) + ( ) 2 dx Đặt : x + = tan t ⇒ dx = ( + tan t ) dt 1 1 dx = ∫ ( + tan t ) dt = ∫ dt = t + C x + 2x + 2 ( tan t + 1) Với : x + = tan t ⇒ tan t = x +1  x +1  ⇔ t = arctan  ÷   Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau a ∫x dx − 4x + b ∫ 9x dx − 12 x + GIẢI 1 a ∫ x − x + dx = ∫ x − 2 dx = − x − + C ( ) ∫ b x 1 1 1 dx = ∫ dx = ∫ dx = = +C 2  9x − − 12 x +  9 2 2  9 x − ÷ x− ÷ x− ÷ 3  3 3   Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau a ∫ dx x − 3x + b ∫ 4x dx − 3x − GIẢI 1 1 x−2 a ∫ x − 3x + dx = − ∫ x − x − dx = ∫ x − dx − ∫ x − dx = ln x − − ln x − = ln x − + C ( )( )    1 1 1 1 dx =  ∫ dx − ∫ dx  = b ∫ x − 3x − dx =   ∫    x −1  x+ 1 − ÷  x + ÷( x − 1)   4  4  1 1 x −1 ( x − 1) ln x − − ln x +  = ln + C = ln +C  3  x+ 4x +1 Hàm số f(x) có dạng : f ( x) = Ax+B ax + bx + c * Ta có hai cách tìm -Cách : Biến đổi tử số thành dạng : Ax+B=d(ax + bx + c) + D = ( 2ax + b ) dx + D Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN d ( ax + bx + c ) ( 2ax + b ) dx = ln ax + bx + c + C Ax+B +) Nếu D=0 : ∫ dx = ∫ =∫ 2 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c d ( ax + bx + c ) ( 2ax + b ) dx + D +)Nếu D ≠ : ∫ 2Ax+B dx = ∫ =∫ dx 2 ∫ ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c = ln ax + bx + c + D ∫ dx + C ax + bx + c dx , biết cách tìm ý Trong : ∫ ax + bx + c -Cách hai :( Chỉ áp dụng cho trường hợp mẫu số có hai nghiện thực x1 < x2 ) +) Ta biến đổi : Ax+B Ax+B 1 M N  = =  + ÷ ax + bx + c a ( x-x1 ) ( x − x2 ) a  x − x1 x − x2  ( *) +) Sau quy đồng mẫu số vế phải thành :  M ( x − x2 ) + N ( x − x1 )  a  ( x − x1 ) ( x − x2 )  ( M + N ) x − ( Mx2 + Nx1 ) ÷ ÷= a ( x − x1 ) ( x − x2 )   M + N = A +) Đồng hệ số hai tử số , ta có hệ : − Mx + Nx = C Từ suy M,N  ( 1) +) Thay M,N vào (*) ta tính tích phân : ∫ ax  M Ax+B 1 M N N dx =  ∫ dx + ∫ dx  = ln x − x1 + ln x − x2 + C + bx + c a  x − x1 x − x2  a a * Chú ý : Ta tìm M,N cách khác thay hai nghiệm mấu số vào hai tử số , ta hai phương trình Từ hai phương trình ta suy M,N Các bước lại làm CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau a ∫x 2( x + 1) dx + 2x − b 2 ( x − ) dx − 4x + ∫x GIẢI d ( x + x − 3) 2( x + 1) 2x + dx = ∫ dx = ∫ = ln x + x − + C + 2x + x + 2x − x + 2x − d ( x − x + 3) x − ) dx x − 4dx b ∫ (2 =∫ =∫ = ln x − x + + C x − 4x + x − 4x + x − 4x + a ∫x Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau a ∫x 3x + dx + 2x − b ∫x 2x − dx + 4x + Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net Trang WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN GIẢI a.Cách E ( x + 2) + D 2E + D + 2E 3x + = = Đồng hệ số hai tử số ta có hệ phương x + 2x − x2 − x − x − 2x + 3  ( 2x + 2) E = E =  3x +  trình :  ⇔ ⇒ = − 2 2 x − x − x − x − x − x + D + 2E =  D = −1 Ta có : 2 3x + d ( x + x − 3) Vậy : ∫ dx = ∫ +∫ dx = ln x + x − + J ( 1) x + 2x − x + 2x − x + 2x − 1 1 x −1  dx =  ∫ dx − ∫ dx ÷ = ln x − − ln x + = ln +C Tính :J= ∫ x + 2x −  x −1 x+3  4 x+3 3x + x −1 dx = ln x + x − + ln +C Do : ∫ x + 2x − x+3 -Cách Ta có : 3x + 3x + A B +) x + x − = x − x + = x − + x + = ( )( ) A ( x + 3) + B ( x − 1) ( A + B ) x + 3A − B ( *) = ( x − 1) ( x + 3) ( x − 1) ( x + 3)   A = A + B = ⇒ Đồng hệ số hai tử số ta có hệ :  3 A − B =  B =  3x + Suy : x + x − = ( x + 1) + ( x + 3) 3x + 7 dx = ∫ dx + ∫ dx = ln x + + ln x + + C Vậy : ∫ x + 2x − x +1 x+3 4 +) Phân tích f(x) đễn (*) Sau thay hai nghiệm x=1 x=3 vào hai tử số để tìm   A = 3.1 + = A(1 + 3) ⇔ A,B , cụ thể ta có hệ hai phương trình sau :  3(−3) + = B(−3 − 1) B =  Các bước giống E ( x + ) + D Ex + D + E 2x − = = Đồng hệ số hai tử số : x + 4x + x2 + 4x + x + 4x + 2 E = E = ⇔ Ta có hệ ⇔   D + E = −3  D = − 2x − 2x + = − Suy : x + 4x + x + 4x + x + 4x + 2x − 2x + Vậy : ∫ x + x + dx = ∫ x + x + dx − ∫ x + 2 dx = ln x + x + + x + + C ( ) b Ta có : Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT : a Trường hợp mẫu số khơng có nghiệm thực có nghiệm thực (Tức mẫu số vô nghiệm) * Ta phân tích ví dụ 5- cách b Trường hợp mẫu số có nhiều nghiệm thực đơn * Ta phân tích giống ví dụ 5a- cách c Trường hợp mẫu số có trường hợp khơng có nghiệm thực trường hợp có nhiều nghiệm thực đơn * Ta sử dụng hai phương pháp CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau 3x + 3x + 12 a ∫ x − x + x dx ( )( ) b GIẢI x + x + 12 A B C a.Ta phân tích f(x)= x − x + x = x − + x + + x = ( )( ) x2 + x + ∫ ( x − 1) ( x − 2) ( x − 4) dx Ax ( x+2 ) + Bx ( x − 1) + C ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ( x + ) x Bằng cách thay nghiệm thực mẫu số vào hai tử số ta có hệ :  x = → 18 = A ⇔ A = 6  + −  x = −2 → 18 = B ⇔ B = ⇒ f ( x) = x −1 x + x  x = → 12 = −2C ⇔ C = −6  3x + 3x + 12 6  Vậy : ∫ x − x + x dx = ∫  x − + x + − x ÷dx = ln x − + 3ln x + − ln x + C ( )( )   b Ta phân tích A ( x − ) ( x − ) + B ( x − 1) ( x − ) + C ( x − 1) ( x − ) x2 + x + A B C f(x)= x − x − x − = x − + x − + x − = ( )( )( ) ( x − 1) ( x − ) ( x − ) Bằng cách thay nghiệm mẫu số vào hai tử số ta có hệ : x = → 9A = ⇔ x = 3  − +  x = → 14 = −2 B ⇔ x = −7 ⇒ f ( x ) = x −1 x − x −  x = → 30 = 6C ⇔ C =  x2 + x +   Vậy ∫ x − x − x − dx = ∫  x − − x − + x − ÷dx = 3ln x − − ln x − + 5ln x − + C ( )( )( )   Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau x2 + x −1 a ∫ x − x + dx ( )( ) b x2 + ∫ ( x − 1) ( x + 3) dx Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net Trang WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN GIẢI a Trong trường hợp ,mẫu số chứa biểu thức có nghiệm thực khơng có nghiệm thực Các em ý đến cách phân tích sau x2 + x −1 A Bx + C A ( x + 1) + ( x − 1) ( Bx + C ) = + = ( 1) Ta có f(x)= ( x − 1) ( x + 1) x − x + ( x − 1) ( x + 1) Thay x=1 vào hai tử ta dược : 2= 2A, A=1 Do (1) trở thành : 1( x + 1) + ( x − 1) ( Bx + C ) ( x − 1) ( x + 1) B + 1) x + ( C − B ) x + − C ( = ( x − 1) ( x + 1) B + = B =   + Đồng hệ số hai tử số , ta có hệ : C − B = ⇔ C = ⇒ f ( x) = x −1 x +1 1 − C = −1  A =   x2 + x −1 1 Vậy : ∫ x − x + dx = ∫ x − dx + 2∫ x + dx = ln x + + J + C ( ) ( )( ) * Tính J = ∫ dx Đặt : x +1  x = tan t → dx = ( + tan t ) dt  2 1 + x = + tan t 1 dx = ∫ ( + tan t ) dt = ∫ dt = t ; : x = tan t ⇒ t = arctanx +1 + tan t x2 + x −1 Do , thay tích phân J vào (2) ta có : ∫ x − x + dx = ln x − + arctanx+C ( )( ) Cho nên : ∫x b.Ta phân tích f(x)= x2 + = A + B + C D + x −1 x + ( x − 1) ( x + 3) ( x − 1) ( x − 1) A ( x + 3) + B ( x − 1) ( x + 3) + C ( x − 1) ( x + 3) + D ( x − 1) = ( x − 1) ( x + 3) 3   x = → = A → A = Thay x=1 x=-3 vào hai tử số ta :   x = −3 → 10 = −64 D → D = −  32 Thay hai giá trị A D vào (*) đồng hệ số hai tử số ta có hệ hai phương trình  0 = C + D ⇒ C = − D = 32 5 ⇒ f ( x) = + + −+  32 ( x − 1) 32 ( x + 3) ( x − 1) ( x − 1) 1 = A − 3B + 3C − D ⇒ B =    x +1 5 dx = + + − +  Vậy : ∫ ∫  ( x − 1) ( x − 1) 32 ( x − 1) 32 ( x + 3) ÷÷dx ( x − 1) ( x + 3)   Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN =− ( x − 1) − 5 x −1 + ln x − − ln x + + C = − − + ln +C ( x − 1) 32 32 ( x − 1) 32 x + ( x − 1) III NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Để xác định nguyên hàm hàm số lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn phương pháp sau : Sử dụng dạng nguyên hàm Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác đưa nguyên hàm Phương pháp đổi biến Phương pháp tích phân phần A SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN BÀI TOÁN Xác định nguyên hàm hàm số lượng giác việc sử dụng nguyên hàm dx Dạng 1.: Tính tích phân bất định : I = ∫ sin ( x + a ) sin ( x + b ) Ta thực theo bước sau : • Bước 1: Sử dụng đồng thức : 1= sin ( a − b ) sin ( x + a ) − ( x + b )  = sin ( a − b ) ( a − b) • Bước 2: Ta : I =∫ = sin ( x − a ) − ( x − b )  dx = dx sin ( x + a ) sin ( x + b ) sin ( a − b ) ∫ sin ( x + a ) sin ( x + b ) sin ( x + a ) cos ( x-b ) − sin ( x − b ) cos ( x-a ) dx ∫ sin ( a − b ) sin ( x+a ) sin ( x + b )  cos ( x+b ) cos ( x+a )  1 ln sin ( x + b ) − ln sin ( x + a )  dx − dx  = ∫ sin ( a − b )  sin ( x + b ) sin ( x+a )  sin ( a − b )  sin ( x + b ) = ln +C sin ( a − b ) sin ( x + a ) = * Chú ý Phương pháp áp dụng cho dạng tích phân sau : Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net Trang WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN ( ) I = ∫ cos ( x+a ) cos ( x+b ) , sử dụng đồng thức : = sin a − b sin a − b dx ( dx ∫ sin ( x + a ) cos ( x+b ) , sử dụng đồng thức : Ví dụ Tìm họ ngun hàm hàm số : f ( x) = 1= cos ( a-b ) cos ( a-b ) )  π cosx.cos  x+ ÷ 4  Giải π cos  x+ π  − x   ÷   π      • Cách Sử dụng đồng thức : = = = 2cos  x+ ÷− x  π π    cos cos 4 cos  π    π  π cos  x+ ÷− x  cos  x+ ÷cosx+sin  x+ ÷s inx 4  4 4    dx = ∫ dx Ta có : F ( x) = ∫  π π     s inx.cos  x+ ÷ s inxcos  x+ ÷ 4  4    π  sin  x+ ÷   cosx  s inx 4  π   dx + ∫ dx  =  ln s inx − ln cos  x+ ÷  = ln +C = ∫ 4  π   π   s inx  cos  x+ ÷ cos  x+ ÷  4     • Cách : Dựa đặc thù hàm số f(x) Ta có : 1 1 dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx cosx  s inx ( sinx-cosx ) s in x ( cotx-1)  π  s inxcos  x+ ÷ s in x 1÷  4  sinx  d ( cot x ) d ( cot x − 1) = − 2∫ = − 2∫ = − ln cot x − + C cot x − cot x − dx Dạng 2: Tính tích phân bất định : I = ∫ s inx+sinα F ( x) = ∫ Ta thực theo bước sau : • Bước Biến đổi I dạng : • Bước 2: Áp dụng toán để giải (1) * Chú ý : Phương pháp áp dụng cho dạng tích phân sau : dx ; m ≤1 s inx+m dx dx ∨I =∫ ; I = ∫ cosx+m cosx+cosα I = ∫ Trang 10 m ≤1 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN π ∫ a − π x − x + x − x +1 dx = cos x • − J =−∫ • − π π π π ∫ cosx.ln ( x+ − π π π ) ∫ cosx.ln ( x+ 1+x dx = − π Tính : J = • − π ) ( ) ) ( 1+x dx + ∫ cosx.ln x+ 1+x dx = J + K 1+x dx Đặt : t = -x suy dt =- dx π π ) ∫ cosx.ln ( x+ π ) ( ) ( J = − ∫ cos-t.ln -t+ 1+t dt = ∫ −cost ln t + + t dt = − ∫ cosxln x+ 1+x dx = − K • π • 0 Vậy : I= J+K =0  1-x   1-x   1-x  ∫ cosx.ln  1+x ÷ dx = ∫ cosx.ln  1+x ÷ dx + ∫ cosx.ln  1+x ÷ dx = J + K − − Tính : J = •  1-x  J= •  1-x   1+t   1-t   1-x  ∫ cosx.ln  1+x ÷ dx = −∫ cos(-t).ln  1-t ÷ dt = ∫ −cost.ln  1+t ÷ dt = − ∫ cosx.ln  1+x ữ dx = K cosx.ln  1+x ÷ dx Đặt : t = -x suy : dt =- dx , : − 2 0 Vậy : ⇒ I = J + K = d π π  π  Vậy : I = J + K = ∫ dx = ∫ ( + tan x ) d ( t anx ) =  x + tan x ÷ = + cos x   0 π c −t + t − t + t + −x + x − x + x +1 dt = ∫ J = ∫ dx ⇒ J + K = ∫ dx 4 cos t cos x cos x 0 π • b ∫ − π x − x + x − x +1 x7 − x5 + x3 − x + dx + dx = J + K ∫0 cos x cos x x − x5 + x − x + dx Đặt : t = -x , suy dt=-dx : cos x ∫ Tính : J = ) ( ) ( ( ) 2 ∫ ln x + + x dx = ∫ ln x + + x dx + ∫ ln x + + x dx = J + K −1 • −1 ( ) Tính : J = ∫ ln x + + x dx Đặt : t = -x , suy : dt = - dx Cho nên : −1 Trang 80 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN • ( J = ∫ ln x + + x −1 • ) dx = −∫ ln(−t + 1 ( + t )dt = ∫ − ln t + + t ) dt = −∫ ln ( x + ) + x dx = − K Vậy : I = J + K = e x dx x dx x dx = + ∫−1 x − x + −∫1 x − x + ∫0 x − x + = J + K • • x dx ∫ x − x + Đặt : t = -x , suy : dt = -dx Cho nên : −1 0 1 x dx −t dt t dt x dx J=∫ = − = = ∫1 t − t + ∫0 t − t + ∫0 x − x + = K x − x2 + −1 Tính : J = • Vậy : I=J+K=2K= ∫ • x dx Đặt : x − x2 + 1  du = xdx du du u = x2 ⇒  ⇔K =∫ = 2 ∫ 2 u − u +1   x = → u = 0; x = → u = 1  3 ÷ u − ÷  2     π du = dt  2cos t tan t ⇒  ⇔K= ∫ dt = Đặt : u − = 2 π 2cos 2t + tan t π π  − ( ) u = → t = − ; u = → t = π 12 3 π π dt = t = • Vậy : K = Do : I = K = ∫ π π − − 6 1 4 x + s inx x + s inx x + s inx f ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = J + K 2 x + x + x + −1 −1 π • x + s inx dx Đặt : t = -x , suy : dt = -dx Tính : J = ∫ x2 + −1 • • x + s inx t − s int x − s inx dx = − ∫ dt = ∫ dx Do : J = ∫ x2 + t +1 x4 + −1 1 1 x − s inx x + s inx 2x dx dt ⇒J +K =∫ dx + dx = dx = =∫ =H 4 4 ∫ ∫ ∫ x +1 x +1 x +1 x +1 t +1 0 0 π • • du π π  π 4  dt = cos 2u du π Đặt : t = tan u ⇒  ⇔H =∫ = ∫ du = u = 2 t = → u = 0; t = → u = π cos u ( + tan u ) 0  π Vậy : I = Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net Trang 81 WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài Tính tích phân sau : π a ∫ − π π sin x dx + cosx ∫ b − d x4 ∫ x + dx −1 π ∫ e −1 π xdx − sin x c − x2 dx + 2x f ∫ − π x + cosx dx 4-sin x ∫ (e −1 x dx + 1) ( x + 1) GIẢI π ∫ a − π π sin x sin x sin x dx = ∫ dx + ∫ dx = J + K + cosx + c osx + c osx π − ∫ Tính : K = • π − ∫ K= • − • ∫ − π π xdx = − sin x J = −∫ • π π ∫ π 2 xdx xdx + =J +K ∫ − sin x − sin x ∫ π − xdx ∫ − sin π 2 x Đặt t = -x suy : dt = -dx , π π −tdt −tdt xdx =∫ = −∫ = −K ⇒ I = J + K = 2 − sin t − sin t − sin x x + cosx dx = 4-sin x • − − π sin ( −t ) sin x sin t sin x dx = − ∫ dt = − ∫ dt = − ∫ dx = − K + cosx + cost + cosx + cos ( −t ) π 0 Tính : J = • c π 5 Vậy : I=J+K =0 π b π sin x dx Đặt : t = -x suy : dt = -dx + cosx Tính : J = ∫ − π ∫ − π π x + cosx x + cosx dx + ∫ dx = J + K 4-sin x 4-sin x x + cosx dx Đặt t = -x suy : dt = -dx , 4-sin x π π • 2 −t + cos(-t) −t + cost − x + cosx J =∫ ( − dt ) = dt = dx 2 ∫ ∫ 4-sin t 4-sin x π − sin ( −t ) 0 • • π π π π π − x + cosx x + cosx 2cosx  d ( s inx ) d (s inx  + x J +K =∫ dx + ∫ dx = ∫ dx = ∫  − ÷ = ln 4-sin x 4-sin x − sin x  − s inx 2+sinx  2 − x 0 0 4+π Vậy : I= = ln −π Trang 82 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN d x4 x4 x4 dx = dx + ∫ x + −∫1 x + ∫0 2x + dx = J + K −1 • Tính : J = • J= x4 ∫−1 2x + dx Đặt : t = -x suy : dt = -dx , 0 1 x4 (−t ) 2t t 2x x4 dx = − dt = dt = ∫−1 2x + ∫1 2−t + ∫0 2t + ∫0 x + dx 1 2x x4 x4 1 I = J +K =∫ x dx + ∫ x dx = ∫ x dx = x = +1 +1 5 0 • e ∫ − x2 − x2 − x2 dx = dx + ∫−1 + x ∫0 + x dx = J + K + 2x • Tính : J = −1 ∫ −1 • J= ∫ −1 − x2 dx Đặt t = -x , suy : dt = -dx Cho nên + 2x 0 1 − (−t ) − x2 2x − x2 dx = J = − dt = J = ∫1 ∫ + 2− t ∫0 −∫1 + x dx + 2x −1 1 2x − x2 − x2 ⇒I =J +K =∫ dx + ∫ = ∫ − x dx x x 1+ 1+ 0 • * Ta tính : ∫ − x dx cách : π π  dx = costdt;1-x = − sin t = cos 2t 12 ⇔ I = c os tdt = Đặt : x = sin t ⇒  ( + cos2t ) dt ∫0  x=0 → t=;x=1 → t= π ∫0  π 1 π  Vậy : I =  t + sin 2t ÷ = 2  • • 1 dx dx dx f ∫ x =∫ x +∫ x = J +K 2 −1 ( e + 1) ( x + 1) −1 ( e + 1) ( x + 1) ( e + 1) ( x + 1) • Tính : J = ∫ (e −1 • • • x dx Đặt : t = -x ,suy : dt = -dx Cho nên + 1) ( x + 1) 1 −dt et dt e x dx = = ∫0 ( et + 1) ( t + 1) ∫0 ( e x + 1) ( x + 1) −t ( e + 1) ( t + 1) J =∫ 1  ex dx ÷ + dx = Vậy : J + K = ∫  x ∫ x  ( e + 1) ( x + 1) ÷ x +  ( e + 1) ( x + 1) π  dx = dt  dx dt cos t ⇒I =∫ = Tính : ∫ Đặt : x = tan t ⇒  2 x +1  x = → t = 0; x = → t = π cos t ( + tan t )  Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net Trang 83 WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN π π π • Vậy : I= ∫ dt = t = 0 Bài Tính tích phân sau : π sin x a ∫ x dx +1 −π π d ∫ − π 1 x2 + ∫−1 + x dx b π s inxsin3xcos5x dx + ex ∫ e − π c −1 π sin x + cos x dx 6x + ∫(4 ∫ f − π x dx + 1) ( x + 1) x s inx dx 1+2x GIẢI π π sin x sin x sin x dx = dx + ∫ 3x + −∫π 3x + ∫0 3x + dx = J + K −π Nếu áp dụng toán dạng ( Như tập : 1-2 ) Thì ta viết gọn lại sau : π π π sin x 1 π π a ∫ x dx = ∫ sin xdx = ∫ ( − cos2x ) dx =  x − sin x ÷ = +1 20 2 0 −π a b x2 + 1 1 dx = ∫−1 + x ∫0 ( x + 1) dx =  x + x ÷ = + = • dx dx ∫−1 ( x + 1) ( x + 1) = ∫0 x + Đặt : c π   dx = cos 2t dt dt x = tan t ⇒  ⇒I =∫ = 2  x = → t = 0; x = → t = π cos t ( + tan t )  π d ∫ − π π π π π Vậy : I= ∫ dt = t = 0 π s inxsin3xcos5x 1 1  dx = ∫ s inxsin3xcos5xdx= ∫  cos3x+ cos7x- cosx- cos9x ÷dx x 1+ e 4 4  0 π 1 1 1 146 1  ⇔ I =  sin x + sin x − s inx- sin x ÷ = − − − = 28 36  12  12 28 36 369 π π π π sin x + cos x 5π − 5  5  6 e ∫ dx = ∫ ( sin x + cos x ) dx = ∫  + cos4x ÷dx =  x + sin x ÷ = x +1 8 32 32  8  π 0 − π f ∫ − π π   π x s inx   2 dx = ∫ x s inxdx=- ∫ x d ( cosx ) = −  x cosx − ∫ x cos xdx  = − ( − K ) = K x 1+2 0   0   π 2 π π π π π π π π - Tính : K = ∫ x.cosxdx= ∫ x.d (s inx)=x.sinx − ∫ s inxdx= + cosx = − 2 0 0 Trang 84 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN π  - Vậy : I = K =  − 1÷ = π − 2  Bài Tính tích phân sau : π a ∫ cos π n cos x dx ( n ∈ N * ) n x + sin x b n sin x ∫ cos x + sin π π 7 x dx c π sin 2010 x d ∫ 2010 dx sin x + cos 2010 x ∫ s inx dx sinx + cosx π cos x e ∫ dx sin x + cos x f sin x ∫0 sin x + cos6 x dx GIẢI  dt = − dx π cos n x  a ∫ dx ( n ∈ N * ) Đặt : t = − x ⇒  x = → t = π ; x = π → t = n n cos x + sin x  2 π π π π π  cos n  − t ÷ π n n 2 sin t sin x π π   ⇔ I = −∫ =∫ n dt = ∫ n dx ⇒ I = ∫ dx = x = ⇔ I = n n sin t + cos t sin x + cos x π  π  π 0 sin n  − t ÷+ cos n  − t ÷dt 0 2  2  Tương tự cách làm phần a Các phần sau có kết π π π 2 sin x π π b ∫ dx ⇒ I = ∫ dx = x = ⇔I= 7 cos x + sin x 0 0 π c ∫ π π s inx π dx ⇒ I = ∫ dx = x = sinx + cosx 0 π π ⇔I= π sin x π d ∫ 2010 dx ⇒ I = ∫ dx = x = 2010 sin x + cos x 0 2010 π π π cos x π e ∫ dx ⇒ I = ∫ dx = x = sin x + cos x 0 π π π sin x π f ∫ dx ⇒ I = ∫ dx = x = sin x + cos x 0 π ⇔I= ⇔I= π ⇔I= π π Bài Tính tích phân sau : π x.s inx a ∫ dx 4-cos x π d x + cosx b ∫ dx 4-sin x c e ∫  + s inx  ∫ ln  1+cosx ÷ dx 2π ∫ ln ( + t anx ) dx π π π x.cos3 xdx f ∫ x.sin xdx GIẢI Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net Trang 85 WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN π a x.s inx ∫ 4-cos x dx • •  dx = − dt ( π − t ) sin ( π − t ) dt = t = π − x ⇒ ⇒ I = − Đặt : x = → t = π ; x = π → t = ∫  π − cos ( π − t ) π π s inx x.s inx π ⇔ I =π∫ dx − ∫ dx = π J − I ⇒ I = π J ; ⇔ I = J 2 4-cos x 4-cos x 0 π π s inx d (cosx)  d (cosx d (cosx  cosx-2 π = =  − = ln Tớnh : J = ữ = ln 4-cos x ∫0 cos x − 4 ∫0  cosx-2 cosx+2  cosx+2 π π • Vậy : I = ln = ln 2 π x + cosx b ∫ dx ( Sai đề ) 4-sin x π π c  + s inx  ∫ ln  1+cosx ÷ dx • •  π  + sin  − t ÷  dx = − dt  π    −dt ⇒ I = ∫ ln  Đặt : t = − x ⇒  ( ) π π x = → t = ; x = → t =  1+cos  π − t   π  ÷  2     π π −1  + cost   + s inx  ⇔ I = ∫ ln  ÷dt = ∫ ln  ÷ dx = − I ⇒ I = 0; I =  1+sint   1+cosx  0 π d ∫ ln ( + t anx ) dx • • •  dx = − dt π  π   t = − x ⇒ ⇒ I = ln 1 + tan  − t ÷÷( −dt ) Đặt : π π ∫  x = 0→t = ;x = →t =    π  4 π π π π π  − t anx    ⇒ I = ∫ ln 1 + dx = ∫ ln  ÷dx = ∫ ln 2.dx − ∫ ln ( + t anx ) dx = ln − I   1+tanx   + t anx  0 0 π π Vậy : I = ln ⇒ I = ln 2π e ∫ x.cos xdx • •  dx = − dt ⇔ I = ∫ ( 2π − t ) cos ( 2π − t ) ( −dt ) = Đặt : t = 2π − x ⇒   x = → t = 2π ; x = 2π → t = 2π 2π 2π 2π ⇔ I = 2π ∫ cos3 xdx − ∫ x.cos3 xdx = 2π ∫ ( cos3x+3cosx ) dx − I 0 Trang 86 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Vậy : I = • 2π π 2π π ( cos3x+3cosx ) dx =  sin 3x + 3sin x ÷ = ∫ 4 3  π f ∫ x.sin xdx • • •  dx = −dt ⇔ I = ∫ ( π − t ) sin ( π − t ) ( − dt ) Đặt : t = π − x ⇒  x = → t = π ; x = π → t = π π π π ππ 3 ⇔ I = ∫ ( π − x ) sin xdx = π ∫ sin xdx − ∫ x sin xdx = ∫ ( 3sin x − sin x ) dx − I 40 0 Vậy : I = π π ππ π ( 3sin x − sin 3x ) dx =  −3cos x + cos3x ÷ = ∫ 80 8 0 Bài Tính tích phân sau : π xdx a ∫ + s inx π d π b x.s inx ∫0 2+cos x dx π c ∫ sin x.ln(1 + t anx)dx π x.s inx e ∫ dx 9+4cos x x.s inx ∫ 1+cos x dx π f ∫ x.s inx.cos xdx GIẢI π a xdx ∫ + s inx 0  dx = − dt ( π − t ) ( −dt ) ⇔I =∫ Đặt : t = π − x ⇒  x = → t = π , x = π → t = π + sin ( π − t ) π π π dx xdx 1 π x π π π I =π∫ −∫ =π∫ dx − I ⇒ I = tan ữ = + + s inx + s inx 2 x π 2 4 0 cos  − ÷ 2 4 π x.s inx b ∫ dx 2+cos x • • • π c  dx = − dt ( π − t ) sin ( π − t ) ( −dt ) t = π − x ⇒ ⇔ I = Đặt : x = → t = π , x = π → t = ∫ + cos ( π − t )  2π π π π π d ( cosx ) s inx x sin x π I = −π ∫ dx − ∫ dx = π − I ⇒ I = ln + c os x =0 ( ) ∫0 + cos2 x 2-cosx + cos x 0 x.s inx ∫ 1+cos x dx Giống cách giải câu b.(Học sinh tự giải ) π d ∫ sin x.ln(1 + t anx)dx •  dx = − dt π π   π   t = − x ⇒ ⇔ I = sin  − t ÷ln  tan  − t ÷ ( − dt ) Đặt : π π ∫ x = → t = ; x = → t =      π  4 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net Trang 87 WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN • π 0 I = ∫ sin x ( ln − ln(1 + t anx ) dx = ln ∫ sin xdx − I ⇒ I = π ln sin xdx ∫0 π ln ln cos4x = Vậy : I = − 4 • π e π x.s inx ∫ 9+4cos x dx • •  dx = −dt ( π − t ) sin ( π − t ) ( −dt ) t = π − x ⇒ ⇔ I = Đặt : x = → t = π ; x = π → t = ∫ + cos ( π − t )  π π π π π s inxdx x.s inx d (cosx) π ⇔ I =π∫ − dx = − π − I ⇒ I = − ln + cos x =0 ( ) ∫0 + cos x 9+4cos x ∫0 9+4cos x π f ∫ x.s inx.cos xdx •  dx = − dt ⇔ I = ∫ ( π − t ) sin ( π − t ) cos ( π − t ) ( − dt ) Đặt : t = π − x ⇒  x = → t = π ; x = π → t = π • ⇔ I = π ∫ s inx.cos xdx − ∫ x.s inx.cos xdx = −π ∫ cos x.d ( cosx ) − I π π π 0 π 1 π π • ⇒ I = −  cos5 x ÷ = 5 0 Bài Tính tích phân sau π a π s inx ∫ sinx-cosx dx b π d π s inx ∫ sinx+cosx dx c ∫ cos x.sin xdx e x.sin xdx ∫ 2sin e− x ∫ e x − e− x dx −1 ex ∫ e x − e− x dx −1 f GIẢI π a s inx ∫ sinx-cosx dx • • • π π π π −cosx π s inx+cosx Chọn : J = ∫ dx ⇒I + J = ∫ dx = x = ; I − J = ∫ dx sinx-cosx s inx-cosx 0 0 π π d ( s inx-cosx ) ⇔ I −J =∫ = ln s inx-cosx = s inx-cosx 0 π  π I + J = Vậy :  ⇒I=  I − J = Trang 88 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN π π s inx cosx dx Chọn : J = ∫ dx sinx+cosx sinx+cosx 0 b I = ∫ π π π π d ( s inx+cosx ) π I + J = ∫ dx = x = ; J − I = ∫ = ln cosx+sinx = s inx+cosx 0 0 π  π I + J = Vậy :  2⇒I=  J − I = • • π π c I = ∫ 2sin x.sin xdx Chọn : J = ∫ cos x sin xdx π π I + J = ∫ ( sin x + cos x ) sin xdx = ∫ sin xdx = −cos2x = 0 • π 2 π π π J − I = ∫ ( cos x − sin x ) sin xdx = ∫ cos2x.sin2xdx= ∫ sin xdx = − cos4x = 0 0 Vậy : I=1 • • π d π ∫ cos 2 x.sin xdx Giải giống 6-c Ta có kết : I = ex e− x dx J = − ∫−1 e x − e− x Chọn : −∫1 e x − e− x dx e 1 x d ( e x − e− x ) 1 e + e− x I + J = ∫ dx = x = I − J = ∫ x − x dx = ∫ = ln e x − e − x =0 x −x − − e − e e − e −1 −1 −1 • • Vậy : I=1 e− x f ∫ x − x dx ( Cách giải giống câu e ) e −e −1 BÀI TẬP ƠN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN Bài Tính tích phân sau a ∫ x − x dx b 2  x −1  d ∫  ÷ dx x+2 −1  GIẢI a ∫x x7 ∫2 + x8 − x dx c dx ∫−1 x + x + − x + dx e ∫x f x3 + x + x + dx ∫0 x2 + − x dx Bằng cách xét dấu ta thấy : f ( x) = x − x > 0, ∀x ∈ [ 1; 2] ; f ( x) < 0∀x ∈ [ 0;1] Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net Trang 89 WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 2 I = x − x dx + Vậy : ) ∫ ( x3 − x ) dx =  12 x − 14 x ÷ +  14 x − 12 x ÷ = 52 ∫0 ( 3 x7 x x 3dx x d ( x ) dx = = ∫2 + x8 − x ∫2 x − ∫2 x − ( ) ( ) b 81 81 81 t = x → dt = x 3dx tdt  dt dt  ⇔I= ∫ = +   • Đặt :  16 ( t − 1) 16∫ t − 16∫ ( t − 1)   x = → t = 16, x = → t = 81 1  81  1 =  ln 80 − ln15 − + ÷ • I = ln t − −  4 t −  16  80 15  3 3 c ∫ x − x + dx = ∫ ( x − 1) dx = ( x − 1) = 3 1 2  x −1  d ∫  ÷ dx x+2 −1  •   x −1   + Nhận xét : f ( x) =  ÷ = 1 − ÷ = 1− x + ( x + 2)  x+2  x+2  39  − ln Vậy : I =  x − ln x + − ÷ = x +  −1  0 dx dx e ∫ =∫ x + x + −1 ( x + 1) + −1 • ( )  π π dt 6  dx = dt cos t ⇒ I = 3∫ = dt • Đặt : x + = tan t ⇒  cos 2t.3(1 + tan t ) ∫0 π   x = −1 → t = 0, x = → t = π π • Vậy : I = = 18 2 x + 2x + 4x +   f ∫ dx = ∫  x + + ÷dx x +4 x +4 0 • • • dx 16 1 2 I =  x2 + x ÷ + ∫ = +J 2  0 x +4 π π  dx = dt 4  dt cos t ⇒ J = 2∫ = Đặt : x = tan t →  ∫0 dt 2  x = → t = 0, x = → t = π cos t.2 ( + tan t )  π π 16 π Vậy : J = t = ; ⇒ I = + 4 Bài Tính tích phân sau : Trang 90 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN dx b ∫ 2 x + 5x + ∫ ( x + − x − ) dx a −1 ∫ ( x + 1) d xdx e x3 c ∫ dx x +1 xdx ∫ ( x + 1) f xdx ∫ 1+ x GIẢI a ∫ ( x + − x − ) dx Bằng cách xét dấu : f ( x) = x∀x ∈ [ −1; 2] ; f ( x) = 4∀x ∈ [ 2;5] −1 −1 2 - Vậy : I = ∫ xdx + ∫ 4dx = x + x = − + 20 − = 15 −1   x+ dx  1 ÷ = ln b ∫ = ∫ − dx = ln ÷ x + 5x + 2  x + x + ÷ x+2 2   2 1 x3 x d(x ) c ∫ dx = ∫ x +1 x +1 1 tdt   = ∫ 1 − ÷dt t + t +   0 • Đặt : t = x ⇒ x = → t = 0; x = → t = ⇔ I = ∫ • Vậy : I = ( t − ln t + ) = − ln 1  1  1 1 = ∫0 ( x + 1) ∫0  ( x + 1) − ( x + 1) ÷÷dx =  − x + + ( x + 1)  =     1  xdx 1  1  e ∫ = − dx =  ln x + + = ln −  2 ∫  x + 1  ( x + 1)   x + ( x + 1)  1 1 xdx d ( 1+ x ) f ∫ = ∫ = ln ( + x ) = ln 2 2 1+ x 1+ x d xdx Bài Tính tích phân sau : x a ∫ dx x −1 x+ d ∫ x5 + x3 x +1 b ∫x 2dx x+5 +4 + x dx c e ∫ −1 − xdx dx ∫x f ∫ x4 x5 + dx GIẢI a ∫ x+ • • x dx x −1 1  dx = 2tdt t −1  1 ⇔I =∫ 2tdt = ∫  t − ÷dt Đặt : t = x − ⇒ x = t − ↔  t −1+1 t  x = → t = 0, x = → t = 0 1 1 Vậy : I =  t − ln t ÷ =1 2 0 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net Trang 91 WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN b ∫x ∫x + x dx = 2 + x xdx  xdx = tdt 2 t = + x ⇒ x = t − ↔ ⇔ I = t − 1) t dt Đặt : (  ∫  x = → t = 1, x = → t = 2   58 Vậy : I = ∫ ( t − t ) dt =  t − t ÷ =  15 5 • • c ∫x − xdx −2  dx = −2tdt ⇔ I = ∫ ( − t ) t ( −2tdt ) Đặt : t = − x ⇒ x = − t ↔  x = → t = 0, x = → t = −  0 112 1 5 Vậy : I = ∫ ( t − t ) dt =  t − t ÷ = −  −2 15 3 −2 • • ∫ d x5 + x3 • x2 + x2 + 2 t − 1) ( t + 1) t.2tdt  x = t − 1; xdx = tdt ( ⇔I =∫ = ∫ ( t − 1) tdt Đặt : t = x + ⇒  t  x = → t = 1, x = → t = 1   59 Vậy : I =  t − t ÷ = 1 5 2dx x+5 +4 ∫ −1 3  x = t − 5, dx = 2tdt 2.2tdt   ⇔I =∫ = 4∫ 1 − dt ÷ Đặt : t = x + ⇒  t+4 t+4   x = −1 → t = 2, x = → t = 2 Vậy : I = ( t − ln t + ) = + ( ln − ln ) = + ln • • 2 d ( x + 1) dx = ∫ = x +1 = 5 x5 + x5 + f ∫ dx = x ( x + ) xdx • e x4 ∫ ( ) 33 − Bài Tính tích phân sau : a ∫ x − x dx d xdx 2+ x + 2− x ∫ b ∫ + x x dx c ∫x − x dx ∫x x + 3dx 0 e ∫x + xdx −1 f GIẢI a ∫x • − x dx = ∫ x − x xdx 0  x = − t ; xdx = −tdt ⇔ I = ∫ ( − t ) t ( −tdt ) = ∫ t ( t − 2t + 1) dt Đặt : t = − x ⇒   x = → t = 1, x = → t = Trang 92 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1 3 Vậy : I =  t − t + t ÷ =  105 7 • b ∫ + x x dx = ∫x + x xdx 2  x = t − 1; xdx = tdt 2 t = + x ⇒ ⇔ I = t − t tdt = Đặt : ( ) ( t − t ) dt  ∫ ∫  x = → t = 1, x = → t = 1   58 Vậy : I =  t − t ÷ =  15 5 • • c ∫x − x dx π π  dx = 2costdt ; − x − cost 2  ⇔ I = ∫ 4sin t.2 cos t.2 cos tdt = ∫ 4sin 2tdt Đặt : x = 2sin t ⇒  π 0  x=0 → t=0.x=2 → t= π π π   Vậy : I = ∫ ( − cos4t ) dt =  t − sin 4t ÷ =   • • d ∫ xdx = ∫ 2+ x + 2− x - Vậy : I = ( ) + x − − x dx = 1 1  ∫ ( + x ) − ( − x )  dx 1  3 2  22 + 2 + x − x ( ) ( )  = −  3 e ∫x + xdx −1 1  x = t − 1; dx = 2tdt ⇔ I = ∫ ( t − 1) t.2tdt = ∫ ( t − t ) dt Đặt : t = + x ⇒  x = − → t = 0, x = → t =  0 1 3 1 1 Vậy : I =  t − t ÷ =  − ÷ = − 0 15 5 5 3 • • f 1 0 2 ∫ x x + 3dx = ∫ x x + 3.xdx • •  x = t − 3; xdx = tdt ⇔I= Đặt : t = x + ⇒   x = → t = 3, x = → t = 2 ∫ (t − 1) t.tdt = ∫ (t − t ) dt   56 − 12 = Vậy : I =  t − t ÷  15 5 Bài Tính tích phân sau : x−3 a ∫ dx x + + x + −1 7/3 b ∫ x +1 dx 3x + 10 c Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net dx x −1 ∫ x−2 Trang 93 WWW.ToanCapBa.Net CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN d ∫ x2 + x ( x + 1) dx e ∫ x + 1x 3dx f ∫x GIẢI Trang 94 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng năm 2012 WWW.ToanCapBa.Net − x dx ... nguyên hàm hàm số lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn phương pháp sau : Sử dụng dạng nguyên hàm Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác đưa nguyên hàm Phương pháp đổi biến Phương pháp tích phân. .. cos5x+C 12 4  PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số sử dụng phổ biến việc tính tích phân bất định Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai... phương pháp tích phân phần : Đơi ta gặp phải tích phân mà khơng thể sử dụng hai phương phương pháp : Phân tích đối biến số , để tìm họ nguyên hàm trực tiếp Vì ta phải thơng qua việc tìm họ nguyên