Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình khơng gian PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA KHƠNG GIAN Bài 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Chứng minh AC’ ⊥ (A’BD) AC’ vng góc với mặt phẳng ⊥ (CB’D’) Bài 2: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D b) Gọi MNP trung điểm cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc hai đường thẳng MP C’N Bài 3: Cho hình hộp lập phương ABCDA 1B1C1D1 có cạnh Gọi E, F tương ứng trung điểm cạnh AB, DD1 a) Chứng minh EF//(BDC1) tính độ dài đoạn EF b) Gọi K trung điểm cạnh C 1D1 Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (EFK) xác định góc hai đường thẳng EF BD Bài 4: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC) Cho AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a; đường cao b Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng qua AB trung điểm M cạnh SC Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, có cạnh a; đường cao SO ⊥ mp(ABCD) SO = a Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SC, AB Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = SA= a; AD = a SA ⊥ mp(ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC a) Chứng minh mp(SAC) ⊥ (SMB) b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 8: Cho tứ diện SABC có ABC tam giác cạnh a cạnh SA ⊥ ABC); SA = 2a Gọi (α ) mặt phẳng qua B vuông góc với SC Tìm diện tích thiết diện tứ diện S.ABC tạo mp (α ) Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc µA =60o Nguyễn Công Mậu Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình khơng gian có đường cao SO a a) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB Bài 10: Cho hình tam giác SABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, với AB = a; AD = 2a, cạnh SA ⊥ mp(ABCD), cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60 o Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM= a , mặt phẳng (BCM) cắt SD điểm N Tính thể tích khối chóp SBCNM? Bài 12: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a, SA vng góc với mp(ABC) Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp ABCNM Bài 13: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a góc BAD = 60 Gọi M, N trung điểm cạnh A’D’ A’B’ Chứng minh A’C’ vng góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Bài 14: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B BA = BC = a, AD = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA = a H hình chiếu A lên SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Bài 15: Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy hình vng cạnh a, Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA,M trung điểm AE, N trung điểm BC.Chứng minh MN vng góc với BD tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MN AC Bài 16: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P lần lược trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP · Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD = 600 đường cao SA = a a) Tính khoảng cách từ O đến mp (SBC) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB Nguyễn Công Mậu Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình khơng gian c) Góc đường thẳng SA mp (SCD) d) Gọi M, N lần lược trung điểm SA,SB.TÍnh tỉ số VS MNAB VS ABCD Bài 18: Cho hình vng ABCD tam giác SAD cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc với nhau.Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh CI ⊥ SB b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB c) Tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng SA BD d) Tính tỉ số VI SAB VS ABCD Bài 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a; cạnh bên a Gọi ( α ) mp song song với BC vng góc với mp(SBC), gọi I trung điểm BC a) Tính khoảng cách từ I đến mp ( α ) b) Tính góc AB ( α ) Bài 20: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc = 600 gọi M trung điểm cạnh AA' N trung điểm cạnh CC' Chứng minh bốn điểm B', M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN hình vng Bài 21: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với ∆ AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a Bài 22: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0) S(0; 0; 2 ) Gọi M trung điểm cạnh SC a) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD N Tính thể tích hình chóp S.ABMN Bài 23: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Gọi I, J trung điểm A’D’ B’B a) Chứng minh IJ vng góc với AC’ Nguyễn Cơng Mậu Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình khơng gian b) Chứng minh D’B vng góc với (A’C’D), D’B vng góc với (ACB’) c) Tính góc hai đường thẳng IJ A/D Bài 24: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a a) Chứng minh giao điểm đường chéo A’C mp (AB’D’) trọng tâm tam giác AB’D’ b) Tìm khoảng cách hai mp (AB’D’) mp (C’BD) c) Tìm góc tạo hai mp (DA’C) mp (ABB’A’) Bài 25: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’, cạnh a Giả sử M, N trung điểm BC DD’ a) Chứng minh MN// (A’BD) b) Tính khoảng cách đoạn thẳng BD MN theo a Bài 26: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a; AD = 2a; AA’ = a a) Gọi M điểm nằm AD cho AM = Tính khoảng cách từ điểm M MD đến (AB’C) b) Tính thể tích tứ diện AB’D’C Bài 27: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a Điểm M thuộc AD’ điểm N (0 < k < a 2) thuộc BD cho AM = DN = k a) Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn b) Chứng minh MN song song với mp(A’D’BC) k biến thiên c) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung AD’ DB MN song song với A’C Bài 28: Tính khoảng cách đường chéo hình lập phương đường chéo mặt bên chúng không cắt nhau, biết cạnh hình lập phương a Bài 29: Cho tam giác OAB vuông O, đường thẳng vng góc với (OAB) O lấy điểm C a) Chứng minh tứ diện OABC có cặp cạnh đối diện vng góc với b) Từ O vẽ OH ⊥ (ABC) H Chứng minh H trực tâm tam giác ABC c) Chứng minh 1 1 = + + 2 OH OA OB OC Bài 30: Cho tứ diện OABC có mặt OAB, OBC, OCA tam giác vuông đỉnh Nguyễn Công Mậu Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian O Gọi α , β , γ góc hợp mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: a) Tam giác ABC có góc nhọn b) cos α + cos β + cos γ = Bài 31: Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm a) Chứng minh đường thẳng qua G đỉnh tứ diện qua trọng tâm mặt đối diện với đỉnh b) Gọi A’ trọng tâm tam giác BCD Chứng minh GA =3 GA ' Bài 32: Cho tam giác ABC vng A Tìm điểm M khơng gian cho: MA2  + MB + MC Bài 33: Cho đường thẳng d: x− y+ z+1 = = mặt phẳng (P): x + y + z + = −1 a) Tìm giao điểm M d (P) b) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P) cho ∆ ⊥ d khoảng cách từ M đến ∆ 42 Bài 34: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông AB = AC = a , AA1 = a Gọi M, N trung điểm đoạn AA BC1 Chứng minh MN đường vng góc chung đường thẳng AA1 BC1 Tính VMA BC 1 Bài 35: Cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = đường thẳng d1 : d2 : x−1 y− z = = −3 x− y z+ = = −5 a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 (Q) ⊥ (P) b) Tìm điểm M ∈ d1, N ∈ d2 cho MN//(P) cách (P) khoảng Bài 36: Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C tính d(BM, B1C) Bài 37: Trong khơng gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc hệ toạ độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; b) (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh CC' a) Tính thể tích khối tứ diện BDA'M theo a b b) Xác định tỷ số a để hai mặt phẳng (A'BD) (MBD) vng góc với b Nguyễn Cơng Mậu Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian Bài 38: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 ) Gọi M trung điểm cạnh SC a) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD N Tính thể tích hình chóp S.ABMN Bài 39: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a a) Chứng minh A ' C ⊥ ( AB ' D ') b) Chứng minh giao điểm đường chéo A’C mp (AB’D’) qua trọng tâm tam giác AB’D’ c) Tính khoảng cách hai mp(AB’D’) và(C’BD) d) Tính góc tạo hai mp(DA’C) (ABB’A’) e) Tính thể tích khối đa diện ABCA’B’ Bài 40: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a.Các điểm M thuộc AD’ N thuộc BD cho AM=DN=k ,( < k < a ) a) Xác định k để đoạn MN ngắn b) Chứng minh MN song song với mp (A’D’BC) k biến thiên c) Khi đoạn MN ngắn chứng minh MN đường vng góc chung AD’ BD lúc MN song song với AC Bài 41: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(–3;5; –5); B(5; –3; 7) mặt phẳng ( P ) : x + y + z = a) Tìm giao điểm I đường thẳng AB với mặt phẳng (P) b) Tìm điểm M ∈ (P) cho MA2 + MB nhỏ Bài 42: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với hình chóp Cho AB = a, SA = a Gọi H K hình chiếu A lên SB, SD Chứng minh SC ⊥ (AHK) tính thể tích hình chóp OAHK Bài 43: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2; 0; 0); B(0; 4; 0); C(2; 4; 6) đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng (α) : 6x − 3y + 2z = 0,(β) : 6x + 3y + 2z − 24 = a) Chứng minh đường thẳng AB OC chéo b) Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) cắt đường AB, OC ( ) · , ABC = 60o , ABC SBC tam giác Bài 44: Cho hình chóp SABC có góc SBC cạnh a Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC) Bài 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(-1; 3; -2), B(-3;7; -18) Nguyễn Công Mậu Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình khơng gian mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với mp (P) b) Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) cho MA + MB nhỏ ∧ Bài 46: Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a BAC = 120o Gọi M trung điểm cạnh CC Chứng minh MB ⊥ MA1 tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM) Bài 47: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2; 0; 0); M(0; –3; 6) a) Chứng minh mặt phẳng (P): x + y − = tiếp xúc với mặt cầu tâm M, bán kính MO Tìm tọa độ tiếp điểm b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M cắt trục Oy, Oz điểm tương ứng B, C cho VOABC = Bài 48: Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R điểm C thuộc nửa đường tròn cho AC = R Trên đường thẳng vng góc với (P) A lấy điểm S · , SBC = 60o Gọi H, K hình chiếu A SB, SC Chứng cho SAB ( ) minh ∆AHK vng tính VSABC? Nguyễn Cơng Mậu ... Nguyễn Cơng Mậu Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình khơng gian Bài 38: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A(2; 0;... B đến mp(SAC) Bài 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(-1; 3; -2), B(-3;7; -18) Nguyễn Công Mậu Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình khơng gian mặt phẳng ( P ) : x −...Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình khơng gian có đường cao SO a a) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB Bài 10: Cho hình tam giác SABC đỉnh S, có độ