KIẾN THỨC CƠ BẢN 12 – HỌC KỲ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 1) Tính tăng giảm cực trị:Cho hàm số y=f(x) xác định D * y = C ⇔ y’= ∀x ∈ D * Hàm số tăng D ⇔ y’ ≥ 0, ∀x∈D * Hàm số giảm D ⇔ y’ ≤ 0, ∀x∈D * Hàm số có cực trị ⇔ y’= không xác định xo & đổi dấu x qua xo  y '( xo ) = * Hàm số có cực trị x0 ⇔   y "( xo ) ≠  y '( xo ) = * Hàm số đạt CĐ (CT) x0 ⇔   y "( xo ) < 0(> 0) Chú ý:  Đối với hàm biến : Hàm số tăng ⇔ y’ > ; Hàm số giảm ⇔ y’ <  Nếu y’ có dạng tam thức bậc hai thì: Hàm số có cực trị ⇔ y’ đổi dấu hai lần ⇔ y’= có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ y = f (x) Khoảng (a ; b )  Tính y’  Lập BBT (a ; b )  Kết luận : max y = yCD ( a ;b ) y = yCT ( a ;b ) Đoạn [a;b]  Tính y’  Giải pt y’ = tìm nghiệm x0 ∈ ( a; b )  Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn M , nhỏ m kết luận max y = M , y = m [ a ;b ] [ a ;b ] 3)Khảo sát hàm số Gồm bước: Bước 1: Tập xác định Bước 2: Tính xét dấu y’ ( y’=0 ⇔ x=? ⇒ y=?) Bước 3: giới hạn bên phải, giới hạn bên trái điểm gián đoạn (hàm biến), giới hạn x dần đến +∞, −∞ đồng thời tiệm cận (nếu có) Bước 4: Tóm tắt bước qua bảng biến thiên Kết luận tính tăng giảm cực trị hàm số Bước 5: Tìm giao điểm đồ thị với trục tung, trục hồnh (nếu có), tìm thêm điểm phụ (nếu cần) vẽ đồ thị hàm số a) Hàm bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) * D =  * y’ = 3ax2 – 2bx + c * Có cực trị (∆’ > 0) khơng có cực trị (∆’ ≤ 0) Lúc Hàm số ln đồng biến (nghịch biến) R a > (a < 0) Đồ thị đối xứng qua điểm uốn b) Hàm trùng phương: y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0) * D =  * y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) * Có cực trị (a.b < có cực trị(a.b ≥ 0) * Đồ thị có trục đối xứng trục tung ax + b c) Hàm biến: y = ( c ≠ & ad – bc ≠ 0) cx + d  d * D = \ −  ;  c ad − bc * y' = y’ dương âm Không có cực trị ( cx + d ) * Có TCĐ: x = − d/c TCN: y = a/c CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ Vấn đề 1: Sự tương giao hai đường y = f(x): (C) ; y = g(x): (C’)  Phương trình hồnh độ giao điểm (C) & (C’): f(x) = g(x) Số nghiệm phương trình số điểm chung Vấn đề 2: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị  Biến đổi phương trình dạng: f(x) = m hay f(x) = h(m) (1) Đây phương trình hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng y = m (h(m)) phương Ox  Số điểm chung số nghiệm phương trình (1) Vấn đề 3: Điều kiện tiếp xúc hai đường y = f(x): (C); y = g(x): (C’)  Điều kiện (C) (C’) tiếp xúc ⇔ Hệ phương trình sau có  f ( x) = g ( x) nghiệm:   f '( x ) = g '( x ) ( Nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm) Vấn đề 4: Phương trình tiếp tuyến đường cong (C):y=f(x) Phương trình tiếp tuyến với (C) đồ thị hàm số y = f ( x) điểm M (x0 ; y0 ) là: y – y0 = y’ (x0) ( x – x0 ) Trong phương trình có ba tham số x0 ; y0 ; y’(x0) Nếu biết ba số ta tìm số lại nhờ hệ thức : y0 = f (x0) ; y’(x0)= f ’(x0) Chú ý :  k = y’(x0) hệ số góc tiếp tuyến ( C ) M ( x0 ; y0 )  Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b k = a  Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b k = − a Các dạng thường gặp Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x) điểm M0(x0 ; y0) ∈ (C ) có pttt y = y’(x0)(x – x0) + y0 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k Gọi M0(x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến (C) M0 là: y = y’(x0)(x – x0) + y0 Giải phương trình y’(x0) = k tìm x0 y0 *Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C) y = f(x) , biết tiếp tuyến qua A(xA ; yA) Gọi M0(x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến (C) M0 là: y = y’(x0)(x – x0) + y0 tiếp tuyến qua A(xA ; yA) nên yA = y’(x0)(xA– x0) + y0 giải pt tìm x0, trở dạng Vấn đề 5: Điểm cố định họ đường (Cm): y=f(x,m) (dồn m, rút m, khử m) A(x0,y0) điểm cố định (Cm)⇔ A(x0,y0) ∈ (Cm), ∀m ⇔ y0 = f(x0,m), ∀m ⇔ Am2 + Bm + C = 0,∀m Am + B = 0, ∀m A = A =  ⇔  B = hoaë c  B = C =  Giải hệ phương trình để tìm điểm cố định Vấn đề 6: Tập hợp điểm M(x;y)  Tính x y theo tham số  Khử tham số để tìm hệ thức x y  Giới hạn quỹ tích (nếu có) Vấn đề 7: CMR điểm I(x0;y0) tâm đối xứng (C):y=f(x) uur Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo OI = ( x0 ; y0 )  x = X + x0 Công thức đổi trục:   y = Y + y0 Thế vào y = f(x) ta Y = f(X) Chứng minh hàm số Y = f(X) hàm số lẻ Suy I(x0;y0) tâm đối xứng (C) Vấn đề 8: CMR đường thẳng x = x0 trục đối xứng (C) uur Dời trục phép tịnh tiến OI = ( x0 ;0 )  x = X + x0 Công thức đổi trục  y = Y Thế vào y = f(x) ta Y = f(X) C minh hàm số Y = f(X) hàm số chẵn Suy đường thẳng x = x0 trục đối xứng (C) HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Hàm số mũ y = a x; TXĐ D =  x > Hàm số lgarit y = logax, ĐK:  ; TXĐ D = (0; +∞) 0 < a ≠ Các công thức  Công thức lũy thừa: Với a > 0, b > 0; m, n ∈ ta có: m 1 = a−n ; ao = 1; a−1 = ; a n = n am an a  anam = an+m ;  (an)m = anm ;  (ab)n = anbn; n a an an   ÷ = m = a n−m ; m b a b  Công thức logarit: logab = c ⇔ ac = b (0 < a ≠ 1; b > 0) Với < a ≠ 1, < b ≠ 1; x, x1, x2 > 0; α ∈ ta có:  logaa = ;  loga`1 = ;  a loga x = x ;  alogbx = xlogba  = logax1−logax2;  log aα x = log a x ;(logaax=x); α log b x  logax= ;(logab= ) log b a log b a  loga(x1x2)=logax1+logax2 ;  loga  logaxα = α.logax  logba.logax=logbx; x1 x2 Phương trình bất phương trình mũ−logarit 1/ Phương trình mũ - logarít : Dạng ax = b (0 < a ≠ ) Dạng log a x = b ( < a ≠ 1)  b ≤ : pt vô nghiệm  Điều kiện : x >  b > : a x = b ⇔ x = log a b  log x = b ⇔ x = a b a 2/Bất phương trình mũ- lơgarít Dạng ax > b (0 < a ≠ 1)  b ≤ : Bpt có tập nghiệm R b>0 : x a > 1: a > b ⇔ x > log a b < a < 1: a > b ⇔ x < log a b x : Dạng log a x > b ( < a ≠ 1)  Điều kiện : x > Khi a > log a x > b ⇔ x > a b < a < log a x > b ⇔ x < a b 3/ Cách giải :Đưa số – Đặt ẩn phụ HÌNH HỌC Nhắc lại Các cơng thức tính diện tích a/ Cơng thức tính diện tích tam giác: 1 a.b.c S = a.ha = a.b sin C = 2 4R = p.r = p.( p − a )( p − b)( p − c ) với p = a+b+c AB AC , 2  ∆ABC cạnh a: S = a b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng Đặc biệt :  ∆ABC vuông A : S = d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn) (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn : S = π R Chú ý:  Đường chéo hình vng cạnh a d = a ,  Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a ,  Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d/ Diện tích hình thang : S = d= a + b2 + c ,  Đường cao tam giác cạnh a h = a  Hình chóp hình chóp có đáy đa giác (tam giác đều, hình vng, …) cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy)  Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác THỂ TÍCH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V = B.h (B diện tích đáy, h chiều cao) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c ( a,b,c ba kích thước) Thể tích khối lập phương: V = a3 ( a độ dài cạnh) THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: V = Bh 3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý VSABC SA SB SC = thuộc SA, SB, SC ta có: VSA ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' πr h ;  Sxq = πrl  V = π r2h ;  Sxq = 2πrl 4π r V= ;  S = πr2 KHỐI NÓN:  V = KHỐI TRỤ: KHỐI CẦU : Nắm chắc, hiểu lý thuyết, phương pháp + làm nhiều tập ⇒ THÀNH CÔNG