Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN Hồng  Hồ Văn C HƯƠNG KHỐI ĐA DIỆN KHÁI NIỆM hình đa diện & khối đa diện 1/ Khái niệm hình đa diện khối đa diện: a/ Hình đa diện: hình tạo số hữu hạn miền đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác b/Khối đa diện: phần không gian gới hạn hình đa diện, kể đa diện  Những điểm không thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp tất điểm gọi miền khối đa diện A B  Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện tương ứng gọi điểm khối đa diện Tập hợp tất điểm gọi miền khối đa diện 2/ Phân chia lắp ghép khối đa diện: Khối đa diện H phân chia thành hai khối đa diện H1 H2 thỏa mãn hai tính chất sau:  Hai khối đa diện H1 H2 khơng có điểm chung  Hợp hai khối đa diện H1 H2 khối đa diện H Ví dụ 1: xét khối đa diện khối chóp tứ giác S.ABCD Hai khối chóp S.ABC S.SCD có chung mặt (SAC) Mặt (SAC) chia miền khối chóp S.ABCD thành hai miền : Miền khối chóp S.ABC miền khối chóp S.ACD trường hợp ta nói rằng: Mặt phẳng (SAC) chia khối đa diện SABCD thành hai khối đa diện SABC SACD Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN  Hồ Văn Hồng Ví dụ 2: Khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ phân chia thành hai khối đa diện: khối tứ diện A’ABC khối chóp A’.BB’C’C Nhưng khối chóp tứ giác A’.BB’C’C lại chia thành hai tứ diện A’BB’C’ A’CC’B Vậy ta nói: khối lăng trụ ABC.A’B’C’ chia thành ba khối tứ diện A’ABC, A’BB’C’, A’CC’B Ví dụ 3: Mặt phẳng BB’D’D chia hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ BDC.B’C’D’ S A’ C’ B C A D B’ D A A C C' B' C B A' B D' Câu hỏi tập Hãy chia khối hộp thành khối tứ diện Hãy chia khối lập phương thành khối tứ diện Gợi ý: Ta chia thành năm khối tứ diện sau: AB’CD’, A’AB’D’,C’B’CD’,BACB’, DACD’ _B B A C _A D B _' B' A' D' _D _C' C' S C _ _A' _D' A D C H B hình vẽ hình vẽ + Hãy chia khối lập phương thành khối tứ diện Chia khối tứ diện thành khối tứ diện mặt phẳng CM đa diện có mặt tam giác tổng số mặt số chẵn Cho ví dụ D Gọi số mặt đa diện M Vì mặt có cạnh nên lẽ cạnh 3M Vì cạnh cạnh chung cho hai mặt nên số cạnh C đa diện C = ½ 3M Vì C số nguyên nên 3M phải chia hết cho 2, C A mà không chia hết M phải chia hết cho  M số chẳn B Ví dụ : hình vẽ bên CM đa diện mà đỉnh đỉnh chung số lẻ mặt tổng đỉnh phải số chẵn Cho ví dụ Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN  Hồ Văn Hoàng Gọi Đ số đỉnh đa diện đỉnh số lẻ (2n + 1) mặt số mặt (2n + 1).Đ Vì cạnh chung cho hai mặt, nên số cạnh đa diện C = ½ (2n + 1) Đ Vì C số nguyên nên (2n + 1).Đ phải chia hết cho 2, mà (2n + 1) lẻ không chia hết Đ phải chia hết cho  Đ số chẳn Ví dụ hình hộp, tứ diện CM đa diện mà đỉnh đỉnh chung ba cạnh tổng đỉnh phải số chẵn Cho ví dụ ( Ta chứng minh 3Đ = 2C) PHẦN NÂNG CAO: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN (tương tự phép biến hình mặt phẳng) Phép biến hình: khơng gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M ta xác định điểm M’ gọi phép biến hình khơng gian Phép dời hình: phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điểm Gồm có: u r  Phép tịnh tiến theo vectơ v : phép biến hình biến M’ uuuuur u r điểm M thành điểm M’ cho: MM '  v M M  Phép đối xứng qua mặt phẳng  P  : phép biến hình biến ur v  Các điểm thuộc  P  thành  Điểm M không thuộc  P  thành điểm M’ P cho  P  mặt phẳng trung trực MM '  Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng  P  I M’ biến hình H thành  P  gọi mặt phẳng đối xứng H Ví dụ: hình bát diện ABCDEF có mặt tam giác đều: EAB, EBC, ECD, EDA, FAB, FBC, FCD, FDA có mặt đối xứng (ABCD), (EBFD) O M’ Phép đối xứng tâm O: phép biến hình biến:  M  Điểm O thành  Điểm M khác O thành điểm M’ cho O trung điểm MM’  Nếu phép đối xứng tâm O biến hình H thành O gọi tâm đối xứng H  Phép đối xứng qua đường thẳng  : phép biến hình biến:  Điểm thuộc  thành  Điểm M   thành điểm M’ cho  đường trung trực MM’  Nhận xét:  Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình  Phép dời hình biến đa diện H thành đa diện H’ biến đỉnh, cạnh, mặt H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng H’ Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN Hoàng  Hồ Văn Phép vị tự:  Định nghĩa: cho số k không đổi khác điểm O cố định Phép biến hình khơng gian biến điểm M thành M’ cho uuuur uuuu r OM '  kOM gọi phép vị tự Trong đó: O gọi tâm vị tự; k gọi tỉ số vị tự  Tính chất phép vị tự:  Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ uuuuuur uuuur M ' N '  k MN M ' N '  k MN  Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng Hai hình nhau:  Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình  Hai đa diện gọi có mơt phép dời hình biến đa diện thành đa diện  Hai tứ diện có cạnh tương ứng  Hai tứ diện có cạnh  Hai lập phương có cạnh Hai hình đồng dạng: Hình H gọi đồng dạng với hình H’ có phép vị tự biến hình H thành hình H1 mà hình H1 hình H’ Ví dụ1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng: a) Hai hình chóp A.A’B’C’D’ C’.ABCD Gọi O tâm hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Khi đó, tồn phép đối xứng tâm O biến A � C ', B � D',C � A',D � B',C' � A ޮ A.C'D'A'B' C'.ABCD Suy ra, hai hình chóp b) Các lăng trụ ABC.A’B’C’ AA’D’.BB’C’ Xét mặt phẳng đối xứng (AB’C’D) biến A a A,B a A',C a D',A' a B,B' � B',C' � C' � ABC A ' B ' C ' a AA'D'.BB'C' Suy ra, hai , lăng trụ ABC.A’B’C’ AA’D’.BB’C’ Ví dụ 2: Hình lập phương có mặt phẳng đối xứng: Mặt phẳng trung trực ba cạnh AB, AD, AA’ mặt phẳng qua cặp cạnh đối diện Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Chứng minh mặt phẳng trung trực AB CD chia tứ diện thành bốn tứ diện Gọi I trung điểm AB � ( ICD) mặt phẳng trung trực AB � ( ICD) chia ABCD thành hai khối tứ diện (IACD) (IBCD) Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN  Hồ Văn Hoàng Gọi J trung điểm CD � ( AIJ ), ( BIJ ) mặt phẳng trung trực (IACD), (IBCD) � ( AIJ ) chia (IACD) thành hai khối tứ diện (AIJC) (AIJD) (BIJ) chia (BICD) thành hai khối tứ diện (BIJC) (BIJD) Suy ra, đpcm Ví dụ 4: Hai mặt cầu có bán kính Phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực đoạn thẳng nối hai tâm hai mặt cầu phép dời hình biến mặt cầu thành mặt cầu KHốI ĐA DIỆN LỒI  KHốI ĐA DIỆN ĐỀU I.KHỐI ĐA DIỆN LỒI  Khối đa diện (H) lồi đoạn thẳng nối hai điểm tuỳ ý (H) thuộc (H)  Miền khối đa diện lồi nằm phía mặt phẳng chứa mặt II KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Khối đa diện lồi gọi khối đa diện loại {p; q} thoả:  Mỗi mặt đa giác p cạnh  Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt Chỉ có năm loại khối đa diện : {3; 3}; {4; 3}; {3; 4}; {5; 3}; {3; 5} Loại Tên gọi Số đỉnh Số Số mặt cạnh {3; 3} Tứ diện {4; 3} Lập phương 12 {3; 4} Bát diện 12 {5; 3} Mười hai mặt 20 30 12 {3; 5} 12 30 20 Hai mươi mặt  Tâm mặt tứ diện đỉnh tứ diện  Trung điểm cạnh tứ diện đỉnh bát diện (H1)  Tâm mặt lập phương đỉnh bát diện (H2) Công thức Ơ–le: Gọi d, c , m theo thứ tự số đỉnh, số cạnh số mặt khối đa diện lồi Khi ta có mối liên hệ sau: d − c + m=2 Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN Hoàng Tứ diện Lập phương Bát diện 20 mặt {3; 3} {4; 3} {3; 4} {3; 5} (H1) A N {5; 3} D B C I A THỂ TÍCH KHốI ĐA DIỆN  Khối chóp có diện tích đáy B, chiều cao h : D 12 mặt (H2) I M  Hồ Văn E F B M V =E B.h V = B.h V = B.h D’ J V = a.b.c =a N F Lăng trụ có diện tích đáy B, chiều cao h : C’ Khối hộp có J diện tích đáy B, chiều cao h : Khối hộp chữ nhật có kích thước a, b, cA’: B’ C Khối lập phương cạnh a: V Chú ý Tỉ số thể tích hai khối đa diện đồng dạng lập phương tỉ số đồng dạng Khối chóp S.ABCD Trên đoạn SA, SB, SD lấy ba điểm VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '  A’, B’, C’ khác S Ta có: VS ABC SA SB SC Ta chia khối đa diện cho thành khối lăng trụ khối chóp đơn giản Ngược lại thêm vào khối đa diện cho khối đa diện quen thuộc để khối đa diện đơn giản     VD 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA   ABCD  , SA  AC Tính thể tích khối chóp S.ABCD S Giải SA  AC  a (AC đường chéo hình vuông cạnh a) 1 a2 VABCD = S ABCD SA  a a  3 VD 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a,B cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC a Chứng minh: BC vng góc mp(SAI) b Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải: a Tam giác SBC cân S,I trung điểm BC A Suy ra: BC  SI A D S C C O B I Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN Hồng  Hồ Văn Tam giác ABC suy ra: BC  AI Vậy : BC  ( SAI ) b V a 11 với  SO  ABCD S ABC S ABC  1 a2 BC.SI  a.a  2 �a � 33a a 33 SO  SA  OA  2a  � �3 � �  � SO  � � VD 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Tính thể tích khối trụ a2 Giải V  S ABC AA/  a Kiến thức cần nhớ: 1) Cho ABC vng A ta có : a) Định lý Pythago : BC  AB  AC 2 2 A C B C’ A’ B’ A b) BA2  BH BC ; CA2  CH CB ; B H c) AB AC = BC AH 1   d) ; AH AB AC AC CB AC , cosB  , tan B  e) sin B  AB AB CB 2) Cơng thức tính diện tích tam giác : a2 Đặc biệt : ABC vuông A : S  AB AC , ABC cạnh a: S  3) Định lý đường trung bình, Talet �d  a; d  b 4) Cách chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng : � ; a b �a, b �ǹ� C �d  �d   �d a 5) Cách chứng minh hai đường thẳng vng góc dựa theo định lý: � �a � s 6) Cách xác định góc đường thẳng a mặt phẳng  : + Xác định hình chiếu d a mặt phẳng  A' + Góc đường thẳng mặt phẳng góc d a B’ 7) Lưu ý công thức tỉ số thể tích C’ Cho hình chóp SABC, A ' �SA, B ' �SB , C ' �SC , ta có: B A VSA ' B ' C ' SA ' SB ' SC '  (*) VSABC SA SB SC C Các dạng tập I Tính thể tích khối đa diện cách xác định chiều cao đáy khối đa diện Phương pháp:  Xác định đáy dựng chiều cao khối đa diện  Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào cơng thức Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN Hồng  Hồ Văn Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng góc đáy Góc SC đáy 60O a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối S chóp MBCD a)Ta có V  S ABCD SA với diện tích đáy SABCD = 4a2 M 8a SAC có : SA  AC tan C  2a � V  4a 2a  3 b) Kẻ MH // SA � MH  ( DBC ) B A H D 1 2a Ta có: MH  SA , S BCD  S ABCD � VMBCD  V  2 C Bài 2: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC) a) Gọi O tâm  ABC  DO  ABC  DO  (ABC) V = 1/3 SABC DO  S ABC D a a2 , OC  CI   3 M a  DOC vng có : DO  DC  OC  2 A H a a a3 �V   12 I b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH ; MH  Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có B a DO  B A O AB  a , M D AD = a, AA’=a, O giao điểm AC BD a) Tính thể tích V khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ a) Ta có : V  AB AD.AA '  a 3.a  a 3 ABD có : DB  C O c A' D' B' C' AB  AD  2a a3 * Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy đường cao giống khối hộp � VOA ' B ' C ' D '  V  3 1 a2 a a3 b) M trung điểm BC � OM  ( BB ' C ') � VO BB ' C '  S BB ' C ' OM   3 2 12 Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN Hồng  Hồ Văn c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Ta có : C ' H  3VOBB ' C ' SOBB ' a � C ' H  2a II Phân chia lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa diện Phương pháp: Phân chia lắp ghép khối đa diện theo nhiều khối dễ tính thể tích (Trên sở phát khối dễ xác định đường cao diện tích A đáy) B ABD có : DB  AB  AD  2a � SOBB '  Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ D Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’  Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích chiều cao nên có thể tích Khối CB’D’C’ có V1 = a3/6 C A' D'1  Khối lập phương tích: V2  a � VACB ' D '  a  a  a Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a E A a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F I Tính thể tích khối CA’B’FE B' C' C F B a) Gọi I trung điểm AB, Ta có: 1a a a VA ' B ' BC  S A ' B ' B CI   3 2 12 b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’  Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao A’A nên C' 1 a2 a 3 A' VA ' CEF  SCEF A ' A ; SCEF  S ABC  � VA ' CEF  J 16 48 B'  Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy CFB’, đường cao JA’ nên 1 a2 a2 a a3 VA ' B ' CF  SCFB' A ' J ; SCFB'  SCBB '  � VA ' B ' C F   4 24 a3 16 III Tính thể tích khối đa diện cách lập tỉ số thể tích hai khối đa diện Phương pháp: + Tìm tỉ số thể tích khối đa diện cho với khối đa diện dễ tìm thể tích + Rút thể tích khối đa diện cho + Lưu ý công thức tỉ số thể tích dùng cho khối chóp Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC  a ,  Vậy : VCA'B'FE  SA vng góc với đáy, SA = a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN Hồng  Hồ Văn b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng  qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích S khối chóp S.AMN a)Ta có: VS ABC  S ABC SA  SA = a  ABC cân có : AC  a � AB  a � S ABC  a N 1 a3 Vậy: VSABC  a a  G A C M SG  SI VSAMN SM SN SM SN SG  // BC � MN// BC �      � VSABC SB SC SB SC SI I b) Gọi I trung điểm BC; G trọng tâm,ta có : B 2a Vậy: VSAMN  VSABC  27 Bài 7: (Bài 9/26 Sgk) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 o Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E Svà cắt SD F a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính thể tích khối chóp S.AEMF M a) Gọi I  SO �AM Ta có (AEMF) //BD � EF // BD b) VS ABCD  S ABCD SO  S ABCD  a E B I C F O A D a  SOC có : SO  AO.tan 60  a Vậy : VS ABCD  SM  c) VS AEMF : Xét khối chóp S.AMF S.ACD ta có : � SC VSAMF SM SF SI SF   SAC có trọng tâm I, EF // BD nên �   � SC SD SO SD DVSACD 1 a3 a3 a3 � VSAMF  VSACD  VSACD  � VS AEMF   36 36 18 Bài 8: (Bài 5/26 Sgk) Cho tam giác ABC vuông cân A vàF AB = a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD = a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD E C B b) Chứng minh CE  (ABD) Tính thể tích khối tứ diện CDEF 10 A Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN  Hồ Văn Hoàng Bài : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh a a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khối tứ diện A.A’B’C’ b) Tính thể tích khối CBA’B’ Bài 5: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC ABC cạnh a Góc mp(SBC) mp(ABC) 60 Tính thể tích khối chóp SABC Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân A, BC = a , SA=2a E trung điểm SB, F hình chiếu A lên SC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính thể tích khối SAEF c) Tính khoảng cách từ F đến mp(SAE) Bài 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a, M trung điểm SB a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.DCM c) Mặt phẳng(MCD) cắt SA N Tính thể tích khối chóp S.MNDC Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy, ABCD hình chữ nhật, AB = 2BC = a, SA = a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) AH, AK đường cao tam giác SAB SAD Tính thể tích khối S.AHK Bài tập sách giáo khoa Tính thể tích: a) Khối tứ diện cạnh a a a a a) ; b) ; c) b) Khối chóp tứ giác đều cạnh a 12 c) Khối bát diện cạnh a Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ tích V Tính VACB’D’ theo V (KQ: V/3) Tính thể tích khối hộp ABCD,A’B’C’D’ biết A’ABD tứ diện cạnh a Tứ diện SABC có ABC vng cân A, AB = a, SC  (ABC), SC = a Mặt phẳng qua C vng góc SB cắt SA, SB E, F Tính thể tích khối tứ diện SABC CSEF theo a (KQ: a3 /36) *5 Tính thể tích lăng trụ tứ giác có cạnh a (KQ: a3) *6 Lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC cạnh a., B’A = B’B = B’C góc [B’B,(ABC)] = 60o a) Tính thể tích khối lăng trụ b) Cmr ACC’A’ hình chữ nhật c) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình lăng trụ a) V  a3 a2 ; b) HD: Cminh AD  BB' ; c) S xq  ( 13  2) 3 *7 Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC vng B, BC = b, góc ACB = 60o, góc [AC’,(BB’C’C) = 30o a) Tính độ dài đoạn BC’ (KQ: 3b) b) Tính thể tích khối lăng trụ (KQ: b3.6) Đề thi tốt nghiệp 2008 Lần Cho hình chóp có đáy tam giác vuông B, đường thẳng SA  (ABC).Biết AB = a, BC = a3 SA = 3a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Gọi I trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a Lần Cho hình chóp tam giác S.ABC cã cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC 12 Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN  Hồ Văn Hoàng Chứng minh SA  BC Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a Đề thi tốt nghiệp 2008: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc BAC = 1200, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Giải Hình chiếu SB SC (ABC) AB AC , mà SB=SC nên AB=AC a Ta có : BC2 = 2AB2 – 2AB2cos1200  a2 = 3AB2  AB = S SA2 = a2  SABC = V = a2 � SA = a a a 1 a2 a2 AB.AC.sin1200 = = 2 12 a a2 a3 = 3 12 36 CHƯƠNG C A (đvtt) a MẶT NÓNMẶT TRỤMẶT CẦU B MẶT CẦU MẶT CẦU – KHỐI CẦU ( HÌNH CẦU ) Định nghĩa  Mặt cầu S(O;R) tâm O bán kính R tập hợp { M | OM = R}  Khối cầu S(O;R) tâm O bán kính R tập hợp { M | OM ≤ R} Vị trí tương đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S) O Gọi H = hc O (P) Đặt: d = OH = d[0, (P)] R d  d > R: (P)  (S) =  A r H  d = R: (P) tiếp xúc (S) H ta có H: tiếp điểm; (P)P tiếp diện  d < R: (P) cắt (S) theo đường tròn có tâm H bán kính r = R2 – d2 Vị trí tương đối đường thẳng ( ) mặt cầu S(O;R) Gọi H = hc O/()  d = OH = d[O, ()]  d > R: ()  (S) =  O d  d = R: () tiếp xúc (S) H  H: tiếp điểm H  d < R: () cắt (S) điểm phân biệt A, B  H trung điểm AB Nếu  qua O ta có AB đường kính Chú ý : Tiếp tuyến mặt cầu đường thẳng  bán kính điểm mặt cầu  Hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm A đến mặt cầu(AT &AT’)  Các tiếp tuyến với m/cầu điểm thuộc tiếp diện với m/cầu điểm 13 Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN Hoàng  Hồ Văn  qua điểm nằm mặt cầu kẻ vơ số tiếp tuyến với mặt cầu MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP VÀ HÌNH LĂNG TRỤ Định nghĩa: Một mặt cầu gọi ngoại tiếp hình chóp (hoặc hình lăng trụ) qua đỉnh hình chóp (hoặc hình lăng trụ) Định lý: Điều kiện cần đủ để hình chóp nội tiếp mặt cầu đáy hình chóp nội tiếp đường tròn Nhận xét: Mọi hình chóp tam giác (tứ diện) nội tiếp mặt cầu Phương pháp: XÁC ĐỊNH TÂM CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP  Dựng trục () đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp  Dựng mặt phẳng trung trực (P) cạnh bên (thích hợp) hình chóp  Giao điểm H= ()(P) tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Chú ý: a) Trong số trường hợp ta dựng đường trung trực cạnh bên mặt phẳng thích hợp thay cho mặt phẳng trung trực (P) cạnh bên b) Nếu hình chóp (hay hình đa diện ) n đỉnh mà có (n–2) đỉnh nhìn đỉnh lại góc vng hình chóp nội tiếp mặt cầu có đường kính đoạn thẳng nối đỉnh lại TÍNH BÁN KÍNH CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP  Thường dựa vào tam giác đồng dạng hay đ/lý Pitago v.v Các dạng thường gặp: 1.Hình chóp có tất đỉnh nhìn đoạn chung AB góc vng: mặt cầu ngoại tiếp hình chóp mặt cầu đường kính AB 2.Hình chóp đều: dựng đường trung trực d’ cạnh bên (trong mặt phẳng (P) chứa trục d cạnh bên này), giao điểm I d d’ tâm mặt cầu ngoại tiếp 3.Hình chóp có cạnh bên a vng góc với đáy: dựng đường trung trực d’ a (trong mặt phẳng (P) chứa trục d a), giao điểm I d d’ tâm mặt cầu ngoại tiếp 4.Nếu khơng có cạnh bên hình chóp trục d mặt phẳng:  Dựng mặt phẳng trụng trực α cạnh bên, tâm mặt cầu ngoại tiếp I = α  d Tìm giao điểm I trục Diện tích mặt cầu – Thể tích khối cầu: 14 Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN Hồng  Hồ Văn  Diện tích mặt cầu S = 4πR2  Thể tích khối cầu: V = πR3 Hướng dẫn tập SGK (CƠ BẢN) Bài 1:Tìm tập hợp điểm M khơng gian ln ln nhìn đoạn thẳng AB cố định góc vng () � AMB  1V  M đường tròn dường kính AB  M mặt cầu đường kính AB ()Nếu M mặt cầu đường kính AB  M đường tròn M đường kính AB giao mặt cầu đường kính AB với (ABM)  � AMB  1V Kết luận: Tập hợp điểm M nhìn đoạn AB góc vng mặt cầu đường kính AB Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD hình chóp tứ giác  ABCD hình vng SA = SB = SC = SD Gọi O tâm hình vng, ta có tam giác ABD, SBD  OS = OA Mà OA = OB= OC= OD AC a  Mặt cầu tâm O, bán kính r = OA = = 2 Bài : Tìm tâp hợp tâm mặt cầu ln chứa đường tròn cố định () Gọi A,B,C điểm (C) O tâm mặt cầu chứa (C) Ta có OA = OB = OC  O  trục (C) () O’() trục (C) M(C) ta có O’M = O ' I  IM = O ' I  r không đổi  M thuộc mặt cầu tâm O’ bán kính O ' I  r  Kết luận: Tập hợp cần tìm trục đường tròn (C) Bài 4: Tiếp xúc ba cạnh tam giác cho trước Hướng dẫn: Giả sử mặt cầu S(O, R) tiếp xúc với cạnh  ABC A’,B’,C’ Gọi I hình chiếu S (ABC) Dự đốn I  ABC ?  Kết luận OI đường thẳng  ABC  Dự đốn.(trục đường tròn nội tiếp) Bài 5: Từ điểm M  S(O; R) kẻ hai cát tuyến MAB & MCD CMR: MA.MB = MC.MD = MO2 – R2 Gọi (P) mặt phẳng tạo (AB,CD)  (P) cắt S(O, r) theo giao tuyến đường tròn (C) qua điểm A,B,C,D  MA.MB = MC.MD Gọi (C1) giao tuyến S(O,r) với mp(OAB)  C1 có tâm O bán kính r Ta có MA.MB = MO2 – r2 15 Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN  Hồ Văn Hoàng Bài 6:Cho mặt cầu S(O; R) tiếp xúc mặt phẳng (P) I Từ M mặt cầu (IM � không đường kính) kẻ hai tiếp tuyến với S(O; R) cắt (P) A, B CM � AMB  AIB Gọi (C) đường tròn giao tuyến mặt phẳng (AMI) mặt cầu S(O,r) Vì AM AI tiếp tuyến với (C) nên AM = AI Tương tự: BM = BI suy ABM = ABI (C-C-C) Vậy � AMB  � AIB Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=a, AB=b, AD=c a) Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình hộp b) Tính bán kính đường tròn giao tuyến mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu a)Các đường chéo hình hộp có độ dài cắt trung điểm O đường � OA=OB=OC=OD=OA’=OB’=OC’=OD’, AC ' OA  Vậy O tâm mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ , bán kính r = OA AC '  a  b  c � r  OA  a  b2  c2 b)Mặt cầu giao với mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Vì đường chéo hình chữ nhật cắt trung điểm I BD  b  c2 đường nên I tâm mặt cầu bán kính r  2 BD  b  c2 Vậy đường tròn giao tuyến có tâm I trung điểm BD bán kính r  2 Bài 8: CMR có mặt cầu tiếp xúc cạnh tứ diện ABCD AB + CD = AC + BD = AD + BC Hướng dẫn: Giả sử tứ diện ABCD có cạnh AB, AC, AD, CB, CD, BD tiếp xúc với mặt cầu M, N, P, Q, R, S Khi đó:  AM = AN = AP = a  BM = BQ = BS = b  DP = DQ = DR = c  CN = CR = CS = d  Kết cần chứng minh Bài 10:Cho tứ diện ABCD có AB = a; AC = b; AD = c Ba cạnh AB, AC, AD đơi vng góc Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện Gọi I trung điểm BD ABD vng A  I tâm đường tròn ngoại tiếp ABD Dựng () đường thẳng qua I  (ABD)   trục đường tròn ngoại tiếp ABD Trong (AC,) dựng trung trực AC cắt () O 16 Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN Hoàng  OC = OA = OB = OD  O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện  Hồ Văn 2 2 �AC � �BD � a  b  c r2 = OA2 = OI2 + IA2 = � � � �   S = (a2+b2+c2); � � �2 � 2 2 2 V =  (a  b  c ) a  b  c Hướng dẫn tập SGK (NÂNG CAO) Bài 1: Trong không gian cho đoạn thẳng AB, BC, CD cho ABBC, BCCD, CDAB CMR có mặt cầu qua điểm A, B, C, D Tính bán kính mặt cầu đó, A AB = a, BC = b, CD = c �AB  BC � BC // CD (!) Nếu A,B,C,D đồng phẳng � �AB  CD D B  A, B, C, D không đồng phẳng: AB  BC � �� AB  ( BCD ) AB  CD � C AD … Có B, C nhìn đoạn AD góc vng  đpcm  R =  a  b2  c2 2 Bài /a Tìm tập hợp tâm mặt cầu qua điểm phân biệt A, B, C cho trước ? b Có hay khơng mặt cầu qua đtròn điểm năm ngồi mp chứa đtròn ? c Có kết luận mặt cầu qua điểm không đồng phẳng ? a  A, B, C thẳng hàng: Khơng có mặt cầu qua điểm thẳng hàng  A, B, C không thẳng hàng : Gọi I tâm mặt cầu ta có : IA = IB = IC � I � d trục  ABC Vậy: Có vơ số mặt cầu qua điểm không thẳng hàng , tâm mặt cầu nằm trục  ABC b Trên đường tròn lấy điểm A, B, C phân biệt lấy điểm S � (ABC) Gọi I tâm mặt cầu ta có: IA = IB = IC � I � d trục  ABC Mặt khác IA = IS � S �() mp trung trực đoạn AS � I = d � c Có mặt cầu qua điểm không đồng phẳng Bài 7: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác có cạnh đáy a chiều cao h Gọi O tâm mặt cầu O =d � với d trục  ABC & () mp trung trực SA  Gọi H tâm  ABC � SH trục  ABC  Trong () dựng đường trung trực Ny SA; Gọi O=SH �Ny � O tâm Bài : Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA = a, SB = b, SC = c SA, SB, SC đơi vng góc Cmr điểm S, trọng tâm ABC, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC thẳng hàng  Gọi I trung điểm AB Dựng Ix //SC � Ix trục  ABC Do trục cạnh bên nằm mp nên G 17 Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN  Hồ Văn Hoàng dựng trung trực Ny SC Gọi O = Ny � Ix � O tâm R = OS = NS  IS  a  b  c � Diện tích S = (a2+b2+c2);  Vì SC // OI  SO  CI = G: CG = GI, CI trung tuyến ABC  G trọng tâm  đpcm Củng cố : Đối với hình chóp có cạnh bên trục đáy nằm mp tâm mặt cầu I = a �d với a : trung trực cạnh bên d : trục mặt đáy Tự luyện Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp : a/ Hình chóp tam giác S.ABC có tất cạnh a b/ Hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc 60o c/ Hình chóp S.ABC có đáy ABC cạnh a, SA = h SA  (ABC) d/ Hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a e/ Hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc 45o f/ Hình chóp tứ giác S.ABCD , biết cạnh bên b tạo với đáy góc  Tìm tập hợp tâm mặt cầu: a/ Qua đường tròn cho trước (trục đường tròn ) b/ Tiếp xúc ba cạnh tam giác cho trước (trục đường tròn nội tiếp) c/ Qua hai điểm phân biệt cho trước (mặt trung trực cạnh AB) d/ Qua ba điểm phân biệt thẳng hàng cho trước (tập rỗng) e/ Qua ba điểm không thẳng hàng cho trước (trục đường tròn ngoại tiếp) f/ Qua đường tròn cho trước điểm nằm mặt phẳng chứa đường tròn Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có cạnh = a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu ngoại tiếp Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , hai mặt (SAB) (SAD)  mặt đáy, góc SC (SAB) 30o Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA = a vng góc với đáy, cạnh bên SC tạo với mặt bên (SAB) góc 30o Kẻ AESB, AF SD a/ Chứng minh SC  (AEF) G AG  EF b/ Xác định tâm tính bán kính mặt cầu qua điểm A, B, C, D, E, F, G Cho hình chóp S.ABC đáy ΔABC cạnh a, hai mặt bên (SAB), (SAC) vng góc với đáy, mặt bên (SBC) tạo với đáy góc  Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Cho hình chóp S.ABC đáy ΔABC cân A, AB = AC = a, BÂC = 120o, cạnh bên SA = 2a vng góc với đáy Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp MẶT tròn xoay Khái niệm mặt tròn xoay Định nghĩa : Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường 18 Bài tập Hình 12 − KHỐI ĐA DIỆN  Hồ Văn Hoàng thẳng Δ đường C Khi quay mặt phẳng (P) quanh Δ góc 3600 điểm M nằm C vạch đường tròn có tâm O  Δ nằm mặt phẳng ()  Δ sinh M quay quanh Δ Vậy quay mặt phẳng (P) quanh Δ góc 3600 đường C tạo nên hình gọi mặt tròn xoay  Δ gọi trục mặt tròn xoay  C gọi đường sinh mặt tròn xoay Tính chất :  Nếu cắt mặt tròn xoay mặt phẳng ()  Δ ta giao tuyến đường tròn có tâm Δ  Mỗi điểm mặt tròn xoay nằm đường tròn thuộc mặt tròn xoay có tâm thuộc trục mặt tròn xoay Mặt nón tròn xoay Định nghĩa Trong khơng gian cho mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d Δ cắt O tạo thành góc α, 0ο