Hồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số KIẾN THỨC CƠ BẢN Chủ đề : Hệ phương trình phương trình đại số Chuyển vế :  a + b = c ⇔ a = c – b;  a + b < c ⇔ a < c − b; b = 0, c >  b = c =  b >  a = bc  a   ab = c⇔   b ≠ ;  ab < c⇔   a < c / b  =c⇔   b b ≠   a = c / b b <    a >c /b  a 2n +1 = b ⇔ a = a = 2n 2n +1 b; 2n  b = a b ⇔   a ≥  ax + by = c Hệ phương trình bậc :   a'x +b' y = c' a b c b a c Tính : D = , Dx = , Dy = a' b' c' b' a' c' D ≠ : nghiệm x = Dx/D , y = Dy/D D = 0, Dx ≠ ∨Dy ≠ : VN D = Dx = Dy = : VSN hay VN (giải hệ với m biết) Hệ phương trình đối xứng loại : Từng phương trình đối xứng theo x, y Đặt S = x + y, P = xy ĐK : S2 – 4P ≥ Tìm S, P Kiểm tra đk S2 – 4P ≥ 0; Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải nghiệm x y (α, β) nghiệm (β, α) nghiệm; Nghiệm ⇒ α = β ⇒ m = ? Thay m vào hệ, giải xem có nghiệm khơng Hệ phương trình đối xứng loại : Phương trình đối xứng với phương trình Trừ phương trình, dùng đẳng thức đưa phương trình tích A.B = Nghiệm làm hệ đối xứng loại  ax + bxy + cy = d Hệ phương trình đẳng cấp :  2  a ' x + b ' xy + c ' y = d '  a 2n = b ⇔ a = ± 2n b ;  b = ±a ; a = b ⇔  a ≥ Giao nghiệm : x >a x max{a , b } ;  ⇔ x < min{a , b }  x >b x a ⇔   x < b  p  a 0   < x1 < x2 ⇔  P > ; S >  ĐS: (2; 3);(3;2);(1;5);(5;1)  x y + xy = 30 hpt ⇔ S = 5; P = KQ : (2;3); (3; 2) 2)  3  x + y = 35 (0;1) x + y =  P + S = 11 S = 3)  ; hpt ⇔  ⇔ x + y = ( S − P) − P =  P = 0; P = (1;0)  x y + y x = 30 4)  HD : x; y > 0; S = x + y ; P = x y  x x + y y = 35  P.S = 30 Hpt ⇔  giải S = ⇒ P = KQ (4; 9); (9; 4) S − 3SP = 35 5( x + y ) − xy = 5) Cho:   x + y − xy = − m a) Tìm m để hpt có nghiệm (HD: Giải hệ S; P ta S = 4m; P = 5m −1;ĐK: S2 − 4P ≥ ⇔ m ≤ ∨ m ≥ ) b) Tìm m để hệ có nghiệm ĐS: m = 1/4, m =  x + y + xy = 2m + 6) a) Cmr: Hệ  có nghiệm với m 2  x y + xy = m + m b) Tìm m hpt có nghiện  P + S = 2m + ⇔ S1 = m; P1 = m + ∪ S = m + 1; P2 = m a)Hệ ⇔   P.S = m + m ∆ >0   x1 < x2 < ⇔  P > S <  Phương trình bậc : ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ 0) a.Viet : A = x1 + x2 + x3 = – b/a , B = x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , C = x1.x2.x3 = – d/a x1, x2, x3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = b.Số nghiệm phương trình bậc 3: x=α ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0: ∆ > nghiệm phân biệt ⇔  f (α ) ≠ ∆ > ∆ = ∨  nghiệm phân biệt ⇔  f ( α ) =   (α ) ≠  ∆ = nghiệm ⇔ ∆ < 0hay   f ( α ) = Bất phương trình, bất đẳng thức :  Ngồi bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng , , log, mũ giải trực tiếp, dạng khác cần lập bảng xét dấu Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu tích A.B  Nhân bất phương trình với số dương : khơng đổi chiều; số âm : có đổi chiều (Chia bất phương trình : tương tự)  Chỉ nhân bất pt vế theo vế , vế không âm a +b  Bất đẳng thức Côsi : a, b ≥ : ≥ ab Dấu = a = b a +b +c a, b, c ≥ : ≥ abc Dấu = xảy a = b = c  Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy a/b = c/d ĐS: hệ S1, P1 vn; S 22 − P2 = (m − 1) ≥ Vậy Hệ có nghiệm ∀m b) Hệ có nghiệm ⇔ S 22 − P2 = ⇔ (m − 1) = ⇔ m = Suy x = y = Vậy : (1;1) Hệ đối xứng II 2  x = 3x + y  x − 3x = y − 1)  ; 2)  2  y = y + x  y − y = x − Hồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số có nghiệm với ∀m ≠ Vậy Hệ pt có nghiệm ∀ m 2 x = y ( x − y )( x + y + xy + 5) = ⇔ HD:1)⇔   x = 3x + y  x = 3x + y ĐS: (0; 0), ( 11; 11), ( − 11; 11) 2)Lấy (1) − (2) có 3(x − y)(x + y −1) = ⇔ y = x y = − x Kết hợp (1) y = x : (1;1) ; (2;2); y = − x VN  y  2 x + y = x  x − y = x  3)  ; 4)  x  y − 3x = 2 y + =  y x y  Các tập luyện tập :  xy ( x + 1)( y + 1) = m Bài 1: Cho hệ phương trình  2 x + y + x + y = a) Giải hệ m=12 b)Tìm m để hệ có nghiệm  y +2 3 y = HD: TH1 x=y suy x=y=1 x2  Bài 2:  (B 2003) TH2 ý: x>0 , y> 3 x = x + suy vô nghiệm  y ( x − y )( x + y + 4) = 3) ĐK:x ≠ 0; y ≠ Hệ ⇔  ĐS(-2;2  x + y − xy − 4( x + y ) = 2) 4) HD: Lấy (1) − (2) có (x − y)(2 + 4/xy ) = ⇔ y = x ; y = −2/x  y = x : (1;1) ; (−1; −1) ;  y = −2/x : ( 2; − 2);( − 2, 2) 2  x y + xy = 15 Bài 3:  HD: Nhóm nhân tử chung sau đặt 8 x + y = 35 S=2x+y P= 2x.y Đs : (1,3) (3/2 , 2)  x − x = y − y (1) Bài 4:  HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤  x + y = (2) Xét hàm số: f ( t ) = t − 3t [-1,1] áp dụng vào ph trình (1) 1  x − x = y − y Hệ nửa đối xứng VD  2 y = x3 +   x y ≠ 1   x − = y − x y ⇔  x y − xy + x − y = ⇔  2 y = x3 +   2 y = x + Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm  a2 x = y +  x = y y  f ( x) = x3 − x lập BBT HD:   2 xét a 2 x − x = a   y = x + x  x y ≠  x y ≠  x y ≠  −1    ⇔ x = y ( I ) ∨ ( II ) ( x − y )( xy + 1) =   y = x    x − 2x +1 = 2 y = x +  x + x + =  x + − y = Bài 6:  HD Bình phương vế,đối xứng loại  y + − x =   x = y=  x.y ≠   −1+ −1   x = y = (I)⇔  ; (II)⇔  y = x    12 12  −1− (x − ) + (x + ) + = 0;(VN)  x = y = 2  2  xy + x = a ( y − 1) Bài 7:  xác định a để hệ có nghiệm  xy + y = a ( x − 1) HD sử dụng ĐK cần đủ a=8  xy − 10 = 20 − x (1) Bài 8:   xy = + y (2) Hệ đẳng cấp 2  x − xy + y = m (1) VD Cho hệ phương trình :  (2)  y − xy = a) Giải hệ pt` với m = 1; b) Tìm m để hệ có nghiệm a) Dễ thấy y = nghiệm hpt t y − 4ty + y = Đặt x = ty, ta có : Hệ ⇔  2  y − 3ty = HD : Rút x = x ≥ 20 theo (1) x ≤ 20 suy x,y  x − y = x − y (1) Bài 9:  (KB 2002)  x + y = x + y + HD: từ (1) đặt nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)  x + − y + = a Bài 10:  Tìm a để hệ có nghiệm  x + y = 3a  t − 4t + 1  y (t − 4t + 1) = =  ⇔ ⇔  − 3t (I)  y (1 − 3t ) =  y (1 − 3t ) =  Do y ≠ nên từ y2(1 - 3t) = ⇒ - 3t > ⇒ ĐK : t < HD: từ (1) đặt u = x + 1, v = y + hệ dối xứng với u, - v Chỉ hệ có nghiệm phương trình bậc hai tương ứng có nghiệm trái dấu kq : (1 ; 4), (−1 ; −4) b) (Khử ẩn.)  x = ⇒ m = ; y = ± Hệ có nghiệm (0 ; −2) ; (0 ; 2)  x ≠ ⇒m ≠  x − xy = m − Hệ ⇔  ⇔  y − xy = 5 + y2 = + y Cô si x = + y ≥ y y y Bài 11:  x − y = 7( x − y ) HD: tách thành nhân tử nghiệm 2  x + y = x + y + 1)   x2 + − m y = x   x + (8 − m) x − (4 − m) = (*)  ( x − y ) y = đặt t = x/y có nghiệm 3  x − y = 19 2)  hệ có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm đặt t = x2 > có (*) ⇔ 2t2 + (8 − m)t − (4 − m)2 = ta có a.c = − 2(4 − m)2 < nên phương trình ln có nghiệm trái dấu t1 ; t2 nghĩa có nghiệm t > hay phương trình (*) ln  x( x + 2)(2 x + y ) = 3)  x + 4x + y = đặt X=x(x+2) Y=2x+y Hồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số  x + y − x − y = (1) 4)  2 2  x + y + x − y = đổi biến theo v,u từ ph trình số (1) 1+ x3y3 = 19x3 1 5)  Đặt x = thay vào hệ y,z DS (- ,3) ( ,-2) 2 z  y + xy = −6x