Giáo viên Hồ Văn Hoàng NGUYÊN HÀM Học sinh: Lớp: PHIẾU HỌC TẬP LỚP 12 Chủ đề GT III.1 Lý thuyết (Điền vào chổ trống) : Định nghĩa: Hàm số F(x) nguyên hàm f(x) K ⇔ = với ∀x ∈ K Kí hiệu: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C Các tính chất: ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C ∫ k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx, ∀k ≠ ( k : Hằng số) ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Sự tồn nguyên hàm: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm: Bảng chuẩn Bảng mở rộng Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( số) x α (α ≠ −1) (ax + b )α (α ≠ −1) x ax + b ex eax + b ux uax + b sinx sin(ax+b) cosx cos(ax+b) = + tan2x cos2 x cos (ax + b ) =1 + cot2x sin2 x sin2 (ax + b ) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) ⇒ dt =  I = ∫ f [u ( x)].u '( x)dx = Phương pháp lấy nguyên hàm phần Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I ∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx Hay ∫ udv = − ∫ ( với du = u’(x)dx, Bài1 Tìm nguyên hàm hàm số 1 f(x) = x2 – 3x + ĐS F(x) = x x 3x − + ln x + C 2x 3 2x + − +C f(x) = ĐS F(x) = x x2 x −1 f(x) = ĐS F(x) = lnx + +C x x2 dv = v’(x)dx) ( x − 1)2 ĐS F(x) = x2 x3 − 2x + + C x f(x) = x + x + x ĐS F(x)= f(x) = 2x x x + + +C PHIẾU HỌC TẬP LỚP 12 f(x) = x − x Giáo viên Hồ Văn Hoàng Chủ đề GT III.1 14 f(x) = ĐS F(x) = cos x sin2 x.cos2 x ĐS F(x) = - cotx – tanx + C 15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = ( x − 1)2 f(x) = ĐS F(x) = − cos3 x + C x x − x + ln x + C 16 f(x)=2sin3xcos2x ĐS F(x)= x −1 f(x) = ĐS F(x) = x − x + C − cos5 x − cos x + C 5 x 17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = x f(x) = sin2 ĐS F(x) = x – sinx + C e2 x − e x + C 10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C 11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = e−x x ) ĐS F(x) = 2ex + tanx + 18 f(x) = e (2 + 1 cos x x + sin2 x + C C 12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x 19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = +C 2a x x + +C 13 f(x) = ĐS F(x) = tanx - cotx ln a ln3 2 sin x.cos x x +1 +C 20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e +C x − 33 x2 + C Bài Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + f(1) = HD: f(x) = +x+3 f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ĐS x − ∫ f ' ( x ) dx = x x3 +1 3 f’(x) = x − x f(4) = x x x 40 − − 3 x2 f’(x) = x - + f(1) = ĐS + + 2x − x x 2 x + + x f’(x) = ax + (x+ Bài Chứng minh: F(x) = ln x + x + k (k ≠ 0) nguyên hàm f(x) = x2 + b , f '(1) = 0, f (1) = 4, f ( −1) = ĐS x2 b) h(x) = x + 16 ( c) g(x) = x +1 ) x + x + x2 + Bài Tính đạo hàm u(x) = x + x + Suy nguyên hàm hàm số sau :a) f(x) = Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau dx = = − + C ∫ x ln x ln x sin x cos xdx = = e sin x + C ∫ e ∫ (e2x + 5)3e2xdx = = (e2x + 5)4 / + C e x dx = = ln(e x + 1) + C ∫ x e +1 dx = = 2x + + C ∫ 2x + 2x + dx = = ln |x + x − | +C ∫ x + x −3 ) ĐS x2 + x +k khoảng mà chúng xác định Áp dụng: tính dx ∫ + x + C ⇒ f(1) = + + C = ⇒ C = ⇒ f(x) = x2 phương pháp đổi biến: xdx ∫ 1− x = = − − x + C ∫ x + x dx = = dx ∫ (1 − x ) 10 ∫ x = = ln 13 + x + C 1+ x 1− x + C (t = (x > -1) x) xdx = = − +C 2 (1 + x ) 2(1 + x ) dx = = − e − x + C 2cos x − + C 12 ∫ sin x 2cos x − 1dx = = − 11 ∫ xe − x2 PHIẾU HỌC TẬP LỚP 12 13 ∫ 14 Giáo viên Hồ Văn Hoàng Chủ đề GT III.1 tan x e dx = =e tan x + C cos x dx ex − = = ln + C ∫ ex − e− x ex + 15 ∫ cos x + sin x sin x − cos x dx = = sin x − cos x + C (t = e ) x Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau phương pháp lấy nguyên hàm phần ∫ (1-2x)exdx = = (3 -2x).ex + C ∫ x.e-xdx = = – (x+ 1).e-x + C ∫ xln( – x)dx = x2 1 ln(1 − x ) − ln(1 − x ) − (1 + x )2 + C 2 x2 x − sin2 x − cos x + C ∫ x sin2 xdx = = 4 ∫ ln( x + + x )dx = = x ln( x + + x ) − + x + C ∫ excosx dx = = ½ ex(sinx + cosx) + C 7.∫ sin(lnx)dx = = ½ x[sin(lnx) – cos(lnx)] + C (t = lnx) 3 8 ∫ x ln xdx = = x  ln x − ln x + ÷ + C  9 1+ x x − 1+ x ∫ x ln dx = = x + ln +C 1− x 1− x 10.∫ x2cos3x dx = = x cos3 x − sin3x + x sin3 x − +C 27