 Hồ Văn Bài tập Giải tích 12 Hồng § CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Khái niệm cực trị GIả sử hàm số f xác định tập hợp (  ) xo  a) xo gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a ; b) chứa điểm xo cho (a; b)  f(x) < f(xo) với x  (a; b) \ { xo } Khi f(xo) gọi giá trị cực đại hàm số f x gọi điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng b) o (a ;b) chứa điểm xo cho (a ; b)  f(x) > f(xo) với x  (a; b) \ { xo } Khi f(xo) gọi giá trị cực tiểu hàm số f Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Điểm M(xo; yo) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số y = f(x) Nếu xo điểm cực trị hàm số f ta nói hàm số f đạt cực trị điểm xo Chú ý 1)Giá trị cực đại (cực tiểu) hàm số f nói chung khơng phải giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập hợp f(xo) giá trị lớn (nhỏ nhất) f khoảng (a ;b) đủ nhỏ chứa điểm x0 2)Hàm số f đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập hợp cực trị nói chung khác (hình vẽ) 2.Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Quan sát hình vẽ ta thấy : Nếu hàm số f hàm số đạt cực trị điểm x0 đồ thị hàm số có tiếp tuyến điểm (xO; f(xO)) tiếp tuyến song song với trục hồnh tức f’(xO) = Định lí Nếu hàm số f đạt cực trị điểm xO hàm số f có đạo hàm xO f’(xO) = Điều ngược lại khơng Đạo hàm f’ điểm xO hàm số f không đạt cực trị điểm x0 Ví dụ Xét hàm số f(x) = x3, ta có f’(x) = 3x2 f’(0) = hàm số f không đạt cực trị điểm x = f’(x) = 3x2 > 0,  x  nên hàm số đồng biến  Hàm số f đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Bài tập Giải tích 12  Hồ Văn Hồng Ví dụ Xét hàm số f(x) = |x| xác định R Vì f(0) = f(x) > với x  nên hàm số đạt cực tiểu điểm x = hàm số khơng có đạo hàm điểm x = Như : Một hàm số đạt cực trị điểm mà 3.Điều kiện đủ đạt cực trị số tạiđể đóhàm đạo số hàm hàm Định lí hàm số khơng có đạo hàm GIả sử hàm số f liên tục khoảng (a;b) chứa điểm xO có đạo hàm khoảng (a; xO) (xO;b) Khi : a)Nếu f’(x) < x  (a; xO) f’(x) > x  (xO; b)  f(x) đạt cực tiểu xO b)Nếu f’(x) > x  (a; xO) f’(x) < x  (xO; b)  f(x) đạt cực tiểu xO Định lí việt gọn lại hai bảng biến thiên sau : CT CĐ Định lí GIả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng (a;b) chứa điểm xO, f’(xO) = f có đạo hàm cấp hai khác điểm x O a)Nếu f”( xO ) < hàm số đạt cực đại điểm xO b)Nếu f”( xO) > hàm số đạt cực đại điểm xO Quy tắc tìm cực trị  Phương pháp giải : B1: Tìm tập xác định D, tính y’= f’(x), B2: Tìm điểm xi  D ( i = 1,2,…) đạo hàm hàm số hàm số liên tục đạo hàm B3: Dùng QUI TẮC  (Quy tắc I) Lập BBT áp dụng định lý 2: Khi qua xi (từ trái sang phải )  f’(x) đổi dấu từ (+) sang (–)  xo điểm cực đại  f’(x) đổi dấu từ (–) sang (+)  xo điểm cực tiểu  (Quy tắc II) Tính f''(x) Từ dấu f"(xo) suy tính chất cực trị điểm xi  f”(xi) > : xi điềm cực tiểu  f”(xi) < : xi điềm cực đại Chú ý: Nếu f'(x0) = f"(x0) = ta khơng tìm cực trị hsố y = f(x) theo dấu hiệu II Khi ta phải tìm cực trị hàm số theo dấu hiệu I không kết luận hsố khơng có cực trị Dấu hiệu II thường tìm cực trị  Hồ Văn Bài tập Giải tích 12 Hồng hàm số mà việc xét dấu đạo hàm cấp phức tạp, chẳng hạn hàm lượng giác  Ghi chú: Thế xi vào y = f(x) tìm giá trị cực trị yi Nhớ: xo điểm cực trị ta có yo = u(xo ) u '(xo )  v (xo ) v '(xo ) (v(xo)  0; v’(xo)  0) Nếu M(xo;yo) điểm cực trị y = ax³ + bx² + cx + d y’(xo) = 0, chia y cho y’ ta có y = (mx+n).y’+ ax + b  yo= axo+b Ví dụ Tìm cực trị hàm số f(x)  D= x3  x2  3x   Bảng biến thiên :  f'(x)  x2  2x  � x  1 f’(x) =  x2  2x    � x � CT 10 22 ); điểm cực tiểu N(3;  ) 3 � (x)  2x  Cách 2: Áp dụng quy tắc  f� CĐ Vậy: điểm cực đại M( 1; Vì f”(1) = 4 < nên hàm số đạt cực đại điểm x = 1 , f(1) = 22 Hàm số đă cho xác định liên tục   Bảng biến thiên : Vì f”(3) = > nên hàm số đạt cực tiểu điểm x = , f(3) =  Ví dụ Tìm cực trị hàm số f(x) | x | � x v�� i x  Ta có : f(x)  � i x �0 � x v�� � 1 v�� i x  f'(x)  � i x  � v�� CT Vậy : Hàm số đạt cực tiểu điểm x = , giá trị cực tiểu hàm số f(0) = 2x  x  2x  Ví dụ Tìm cực trị hàm số : a) y = ; b) y = x3 x 1 2x  5 a) y = gTa� p xa� c �� nh : D = �\  3 gy� =  ,x �D x3 (x  3)2 Vậy : Hàm số nghịch biến khoảng xác định nên khơng có cực trị b) y = gy�= x  2x  x 1 x  2x  (x  1)2 10 gTa� p xa� c �� nh : D = �\  1 � x  1 y� = � x  2x   � � x  1 � � gBa� ng bie� n thie� n  Hồ Văn Bài tập Giải tích 12 Hồng Vậy : Hàm số cho đạt : g xC�  1 2, yC�  2 ; g xCT  1 2, yCT  2 H1 Tìm cực trị hàm số f(x)  x   x H2 Tìm cực trị hàm số f(x) | 2x  3| (HD: Xét f(x) khoảng (−∞;0) (0;+∞)) H3 Tìm cực trị hàm số a) f(x)  x4  2x2  b) f(x) = x4 + Bài tốn : Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu  Tập xác định  Đạo hàm y/  Hàm số có cực đại,cực tiểu y/ = có hai nghiệm a �0 � phân biệt  � 0 � �  Giải tìm m Bài tốn : Tìm m để hàm số đạt cực trị x0 Cách 1: * Tập xác định * Đạo hàm y/ * Hàm số đạt cực trị x0  y/(x0) = y/ đổi dấu x qua x0 Cách 2: * Tập xác định * Đạo hàm y/ * Đạo hàm y// * Hàm số đạt cực trị x0  �y / (x0 )  � � // �y (x0 ) �0 Cực đại: y/ (x0) = y// (x0) < ; Cực tiểu : y/ // (x0) = y (x0) > Bài tốn : Tìm m để hàm số đạt cực trị y0 x0 * Tập xác định * Đạo hàm y/ = f/ (x) * Hàm số đạt cực trị y0 x0 : �f / (x0 )  � � f (x0 )  y0 � �/ / f � (x0 ) �0 Ví dụ Với giá trị tham số m hàm số sau có cực đại cực tiểu x  2m x  m 1) y   m   x  x  mx  m 2) y  x 1 Bài tập Giải tích 12  Hồ Văn Hồng 1)  Tập xác định: D  �  Đạo hàm: y’= 3(m+2)x2 + 6x + m Hàm số có cực đại cực tiểu � y '  hay g(x) =3(m+2)x2 + 6x + m = có hai nghiệm m �2 � m  �0 � m �2 � � �� �� phân biệt � �  '   m m    m  m   3  m    � � � Vậy giá trị cần tìm là: 3  m  m �2 x  2x  m2 2)  Tập xác định: D  �\  1  Đạo hàm: y '   x  1   Hàm số có cực đại cực tiểu � y '  hay g(x) = x2 + 2x + m2 = có hai �  '   m2  1  m  � � �� � 1  m  nghiệm phân biệt khác –1 � � m ��1 g  1  1  m �0 � � Ví dụ Với giá trị tham số m hàm số sau khơng có cực trị mx  x  m 1) y   m   x  2mx  2) y  xm 1)  Tập xác định: D  �  Đạo hàm: y’ = 3(m−3)x2 − 4mx; y’ =  3(m−3)x2 − 4mx = (1)  Xét m  ta có y '  � 12 x  � x  � y ' đổi dấu x qua x0  � Hàm số có cực trị � m  không thỏa  Xét m �3 : Hàm số khơng có cực trị � y ' khơng đổi dấu � phương trình (1) vơ m  �0 � m �3 � �� �m0 nghiệm có nghiệm kép � � m0  '  4m �0 � � Vậy giá trị cần tìm m  mx  x  m 2) y  xm  Tập xác định: D  �\  m  Đạo hàm: y '  y '   g(x) = mx2 + 2m2x = (1)  x �m  mx  2m x  x  m Hàm số khơng có cực trị  y’ khơng đổi dấu � phương trình (1) vơ nghiệm có nghiệm kép  Xét m  ta có y '  0, x �m � m  thỏa  Xét m �0 : Yêu cầu toán �  '  m �0 : vô nghiệm m �0 Vậy giá trị cần tìm là: m  x  mx  m Chứng minh với m hàm số ln ln có x 1 cực trị khoảng cách điểm cực trị không đổi  Tập xác định: D  �\  1 Ví dụ Cho hàm số y   Đạo hàm: y '  x  2x  x  1 x  � y  m � ta có y '  � � x  2� y  4m � Bài tập Giải tích 12  Hồ Văn Hồng Vậy y '  ln ln có hai nghiệm phân biệt m � Hàm số ln ln có cực trị  Tọa độ điểm cực trị A  0; m  , B  2;4  m  Khoảng cách AB    0    m  m   = const (đpcm) Bài tập sách giáo khoa fBài 1: Áp dụng qui tắc I tìm điểm cực trị a/ y = 2x3 + 3x2 −36x −10 KQ : yCĐ = y(- 3) = 71; yCT = y(2) = - 54 b/ y = x4 + 2x2 −3 KQ : yCT =y(0) = − c/ y = x+1 /x KQ : yCĐ= y(−1) = − 2; yCT = y(1) = d/ y = x3(1−x)2 108 KQ: yCĐ = y( ) = ; yCT = y(1) = 3125 e/ y = x  x  KQ : xCT = yCT = 2 Bài 2: Áp dụng qui tắc II tìm điểm cực trị hàm số: a/ y = x4 −2x2 + KQ : yCĐ = y (0) = ; yCT = y(1) = b/ y = sin2x − x  TXĐ D =  ;  y '  2cos2x-1 ;  y '  � x  �  k  , k ��  y’’= − 4sin2x  y’’(  k ) = −2 0, yCT = y(     k ) =    k , k �� 6  c/ y= sin x+cos x � y  sin( x  )  TXĐ: D=R     y '  cos( x  )  � x    k 4  � x   k với k �Z   y "   sin( x  ) Nếu k  2l ; l �Z y "      2l ) = 2, l �� Nếu k  2l  1; l �Z y "   5  2l ) = − 2, l ��  yCT= y( d/ y = x5 − x3 −2x +1 KQ : yCĐ = y(−1) = ; yCT = y(1) = −1 Bài 3:Cm hàm số y = x khơng có đạo  yCĐ= y( hàm x =0 đạt cực tiểu Thấy hàm số cho khơng có đạo hàm cấp x = 0, nhiên ta có: � n� u x >0 � � x y’ = f’(x) = � � n� u x 0,  m  hàm số ln có cực đại cực tiểu Bài tập Giải tích 12 Hồng Bài :Tìm a b để cực trị hàm số y  a x3  2ax  x  b số dương x0=  điểm cực đại TXĐ : D =  Nếu a = hàm số trở thành y  9 x  b hàm số khơng có cực trị 2 Nếu a �0 ta có y '  5a x  4ax  9 y’= � x1  ; x2  a 5a  Nếu a < ta có  Hồ Văn  TXĐ D -= \  m  y’ = f’(x) = x  2mx  m2   x  m − Nếu hàm số đạt cực đại x = m  1 � f’(2) =  m2 + 4m + =  � m  3 � x2  2x x2  x  a) m = −1 : y = y’ = x 1  x  1 Ta có BBT 5 nên   � a   a Mặt khác, giá trị cực tiểu số dương nên 36 36 yct= y ( ) = y(1) =   b >0 � b  5  Nếu a > ta có Ta có xCĐ =  81  �a 5a 25 400 �1 � Và yct  y � � � b  243 �a � � � 81 a a � � � � 25 Đáp số � � 400 �b  36 � b � � 243 Bài 6: Xác định m để hàm số: x  mx  y = f(x) = đạt cực đại x = xm Theo giả thiết ta có   Hồ Văn Bài tập Giải tích 12 Hồng Suy hàm số không đạt cực đại x = nên giá trị m = − loại b) m = − x2  x  x2  3x  y= y’ = x 3  x  3 Ta có bảng: Suy hàm số đạt cực đại x = Vậy giá trị m = − �y '(2)  Cách y ''  YCBT � � ( x  m) �y ''(2)  �m  4m  0 � � (2  m) �� � m  3 � 0 � �(2  m) Vậy: m = − hàm số đạt cực đại x = Bài tự luyện Dùng dấu hiệu I tìm điểm cực trị : a/ y = 1/3 x3 + 6x2+11x + b/ y = x3 c/ y = x4 +3x24 d/ y = x3(4–x)2 e/ y = 3x + +5 f/ y = x + x x x  3x  g/ y = h/ y = |x|(x + 1) x 1 i/ y = x  x j/ y = x  x  Dùng dấu hiệu II tìm điểm cực trị : a/ y = x4  4x2 + b/ y = x + cos2x c/ y =  cosx  cos2x d/ y = sin2x với x[0;  ] e/ y = sinx + cosx f/ y = x  sin2x +1 Tìm cực trị hàm số sau : a) y = 2x3 − 9x2 + 12x + b) y = −5x3 + 3x2 − 4x + c) y = 3x4 − 4x3 − 24x2 + 48x − x2  2x x2 HD: y '  x 1  x  1 CĐ (0 ; 0) ; CT(2 ; 4) b) y = sin2x ĐS: xCĐ = /2 + k; xCT = n c) y  cosx + cos2x 2 (CD: x = k , CT: x = � + k2 ) a) y  *Cmr y =  x khơng có đạo hàm vần có cực trị x = Tìm hệ số a; b ; c ; d để hàm số : a/ y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu tai điểm x = 0, f(0) = đạt cực đại điểm x = 2, f(2) = b/ y = f(x) = x3 + ax2 + bx + d đạt cực trị x = đồ thị qua A(1 ; 0) c/ y = f(x) = 1/3 a2x3 + 2ax2  5x + b có x + 8x - 24 cực trị dương & xCĐ = 1/5 d) f(x) = x - + e) f(x) = x-2 x2 - d/ y = f(x) = x3 + ax2 + bx + d đạt cực tiểu x điểm x = 1, f(1) = 3 đồ thị hàm số f) y = ; g) y = x - x ; h) y=x2−2|x|+2 x +4 cắt trục tung điểm có tung độ i*) y = sin2x − 3 cosx, x  [0; ] Tìm m : y  x   m  3 x  mx  m  j*) y = sin x y = 2sinx + cos2x x [0;] đạt cực tiểu x  Đáp số: m  * Tìm cực trị hàm số sau :  Hồ Văn Bài tập Giải tích 12 Hồng c) Có cực trị  (0;+) Kq m 16 Biện luận theo m số cực trị hàm số y = f(x) =  x4 + 2mx2 2m+1 Hd kq : y’=–4x(x2–m) * m  0: cực đại x = * m > 0: cực đại x= � m ,1 cực tiểu x = x2  x  m : a/ Có x 1 cực trị b/ Có giá trị cực trị trái dấu Tương tự với y= x3  6x2+ 3(m+2) x – m  Tìm m để hàm số y = Tìm p q cho f(x) = x + p + q x +1 đạt cực đại x = 2 f(2) = 2 10 Xác định tham số m để hàm số y = x3  3mx2 + (m2  1)x + đạt cực đại x=2 (TNTHPT 2005) Kết : m=11 11 Định m để hàm số y = f(x) = x3  3x2 + 3mx + 3m + a) Khơng có cực trị Kết : m 1 b) Có cực đại cực tiểu Kết : m