Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014: GIẢI PT - BẤT PT - HỆ PT MŨ & LOGARIT - PHẦN Giải phương trình (PT), bất phương trình (BPT), hệ phương trình (HPT) Mũ Logarit phần trọng tâm mảng toán Mũ Logarit Chuyên đề cung cấp cho bạn kiến thức tảng để bạn nhập môn nâng cao dần khả giải tốn khó chun đề NHẮC LẠI CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MŨ & LOGARIT 1.HÀM SỐ MŨ: y = a với a > a ≠ (trong a gọi số, x gọi lại mũ ) _ Tập xác định R _ Tập giá trị R _ Hàm số đồng biến R a > 1, nghịch biến R < a < 2.HÀM SỐ LOGARIT: y = log x với a > 0, a ≠ ( a gọi số ) _ Tập xác định R _ Tập giá trị R _ Hàm số đồng biến R a > 1, nghịch biến R < a < _ Logarit có dạng thơng dụng logarit thập phân logarit tự nhiên → logarit thập phân: logarit số 10, thường viết tắt logb lgb → logarit tự nhiên: logarit số e (e ≈ 2,718 > 1), viết tắt lna ( đọc log nepe a ) Các công thức MŨ ( với a > a ≠ ♥ a a = a ♥ a.b = (a.b) ♥ =a ♥ (a) = a ♥ =a ♥ = ♥ =a ♥ = ♥ = ♥a=1 ♥ = ♥ = Các công thức LOGARIT ( với a,b,c > a ≠ ) ♫ log a = x (∀x ∈ R) ♫ log1 = ♫ log a = ♫a= b ♫ log b + log c = log (bc) ♫ log b - log c = log ♫a=x ♫ log b = α log b ♫ log b = log b (∀b > 0, α ∈ R) ♫ = log a ♫ log = log b = - log b ♫ log = log b = logb (∀b > 0, α ∈ R*) ♫ log b = ♫ log c log b = log b (∀b > 0, < c ≠ 1) Hệ từ định nghĩa hàm mũ hàm logarit ( với a > a ≠ ) ☼ Nếu a > a < a ⇔ α < β ☼ Nếu < a < a < a ⇔ α > β ☼ Cho < a < b m số nguyên ta có: ☼ Nếu a > log b > log c ⇔ b > c ☼ Nếu < a < log b < log c ⇔ b < c ☼ Nếu a > log b > ⇔ b > ☼ Nếu < a < log b > ⇔ b < ☼ Nếu a = a ⇔ m = n ☼ Nếu log m = log n ⇔ m = n PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Với a > 0, a ≠ 1, ta có: + phương trình a = a ⇔ f(x) = g(x) + phương trình a = b (b > 0) ⇔ f(x) = log b + phương trình a = b ⇔ f(x) = g(x)logb (log hóa) + phương trình log f(x) = log g(x) ⇔ f(x) = g(x) + phương trình log f(x) = b ⇔ f(x) = a (mũ hóa) Các phương pháp dùng để giải phương trình mũ - logarit là: → Dạng 1: Chuyển phương trình số → Dạng 2: Chuyển phương trình tích (đặt thừa số chung ) → Dạng 3: Đặt ẩn phụ - đổi biến → Dạng 4: Mũ hóa - Logarit hóa Nghề nghiệp không làm nên cao quý người mà người làm nên cao quý nghề nghiệp (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong → Dạng 5: Dựa vào tính đơn điệu hàm số (tính đồng biến - nghịch biến ) → Dạng 6: Tuyển tập dạng tập nâng cao - đặc biệt DẠNG 1: CHUYỂN PHƯƠNG TRÌNH VỀ CÙNG MỘT CƠ SỐ → PP: sử dụng công thức biến đổi PT để đưa dạng a = a log f(x) = log g(x) Ví dụ 1: Giải phương trình: a = 10 → HD giải: Để ý vế phải có số 10 = 2.5 nên ta biến đổi trái: Ta xét Vế trái = = = 5.5 = 5.10 Khi phương trình ⇔ 5.10 = 10 ⇔ 10 = 10 ⇔ 4x + = 2x + 3x - 78 ⇔ x = b 243 = → HD giải: Điều kiện ⇔ Nhận xét vế phương trình đưa số 3, nên ta biến đổi: = ; = 3; 243 = 3; nên phương trình cho có dạng: 3 = 3 Khi phương trình ⇔ = ⇔ + = -2 + (1) Quy đồng rút gọn có PT (1) trở thành 41x + 102x - 248 = ⇔ x = - v x = c (x - 2) = (x - 2) → HD giải: PT ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = v x = Ví dụ 2: Giải phương trình: a.log (3x - 1) + = + log (x + 1) → HD giải: Điều kiện ⇔ x > Vì = log a nên phương trình cho có dạng: log (3x - 1) + log (x + 3) = log + log (x + 1) ⇔ log [(3x - 1)(x + 3)] = log 4(x + 1) ⇔ (3x - 1)(x + 3) = 4(x + 1) (*) Rút gọn giải (*) ta x = (loại), x = (thỏa mãn) Vậy phương trình cho có nghiệm x = b 2log(x - 5x + 6) = log + log (x - 3) → HD giải: Điều kiện⇔ ⇔ (*) PT ⇔ log(x - 5x + 6) = log + log (x - 3) ⇔ log [(x -2)(x - 3)] = log + log(x - 3) ⇔ (x -2)(x - 3) = (x - 3) (do x ≠ nên x - ≠ 0) ⇔ (x -2) = (2) Giải phương trình (2) ta x = (loại) x = ( thỏa mãn) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Chú ý: + Khi giải toán LOG, ta cần ý đến điều kiện tồn log b < a ≠ b > Đặc biệt A > ⇔ A ≠ c log (x + 2) - = log (4 - x) + log (x + 6) → HD giải: Điều kiện ⇔ PT ⇔ 3log |x + 2| - = 3log (4 - x) + 3log (x + 6) ⇔ log |x + 2| - = log (4 - x) + log (x + 6) ⇔ log |x + 2| - log = log [(4 - x)(x + 6)] ⇔ log [4|x + 2|] = log [(4 - x)(x + 6)] ⇔ 4|x + 2| = - x - 2x + 24 ⇔ ⇔ So điều kiện ta nhận x = , x = Nghề nghiệp không làm nên cao quý người mà người làm nên cao quý nghề nghiệp (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải phương trình sau: 1) 2.5 = 0,01.(10) 2) (0,6) = (0,216) 3) 2.3.5 = 12 4) + + = + + 5) = 6) 7) = 16 8) 32 = 128 9) 16 = 0,125.8 10) + 6.5 - 3.5 = 52 11) = 12) (x - 2x + 2) = 13) 2.3.5 = 200 14) 4.9 = 15) = 16) log (x - 2) + log (x - 2) + log (x - 2) = 17) log = 2log (x - 1) - log (x + 1) 18) log (x - 2) - = 6log 19) log (x + x) - + log (2x + 2) = 20) log (x + 4x - 4) = 21) log (x - 1) = 2log (x + x + 1) 22) log (x + 3x + 2) + log (x + 7x + 12) = + log3 23) log (x + 2) - = log (4 - x) + log (x + 6) 24) log(x + 1) + = log + log (4 + x) 25) log - log (3 - x) - log (x - 1) = 26) log (x + 3x + 2) - log (x + 7x + 12) = + log 27) log (2x + 2x - 3x + 1) = DẠNG 2: CHUYỂN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH (Đặt thừa số chung) → PP: thường sử dụng toán có nhiều số có x ngồi số mũ Ví dụ 1: Giải phương trình: a 25 = + 2.5 + 2.3 → HD giải: PT ⇔ = + 2.5 + 2.3 ⇔ (5 - 3) - 2(5 + 3) = ⇔ (5 - 3)(5 + 3) - 2(5 + 3) = ⇔ (5 + 3)(5 - - 2) = ⇔ b + = + → HD giải: Nhận xét 2x + 3x + = (x - 3x + 2) + (x + 6x + 5) Do phương trình ⇔ + = + ⇔ (4 - 1) + - = ⇔ (4 - 1) + - 4.4 = ⇔ (4 - 1) + 4.(1 - 4) = ⇔ (4 - 1).(1 - ) = ⇔⇔⇔ c 12.3 + 3.15 - = 20 → HD giải: PT ⇔ (12.3 + 3.15) - 5.5 - 20 = ⇔ 3.3(4 + 5) - 5(5 + 4) = ⇔ (4 + 5)(3.3 - 5) = ⇔ ⇔ x = log d + 2(x - 2)3 + 2x - = → HD giải: PT ⇔ + 2x.3 - 4.3 + 2x - = ⇔ (3 - 4.3 - 5) + 2x(3 + 1) = ( để tạo thừa chung ta sử dụng công thức Vi-et) ⇔ (3 + 1)(3 - 5) + 2x(3 + 1) = ⇔ (3 + 1)(3 - + 2x) = ⇔ Ví dụ 2: Giải phương trình: a logx + logx = + logx.logx → HD giải: Điều kiện x > PT ⇔ (log x - 1) + log x - logx.log x = ⇔ (log x - 1) + (1 - log x).log x = ⇔ (log x - 1)(1 - log x) = ⇔ ⇔ (thỏa x > 0) Nghề nghiệp không làm nên cao quý người mà người làm nên cao quý nghề nghiệp (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong b (x + 1)[logx] + (2x + 5)log x + = → HD giải: Điều kiện x > So với VD1 câu d tốn tương tự thử làm theo cách " xét ∆ " Nếu xem log x biến số x tham số, ta có phương trình bậc Xét ∆ = (2x + 5) - 24(x + 1) = 4x - 4x + = (2x - 1) ( ∆ có dạng số phương ) Khi log x = = hay log x = = - Vậy ta có log x = -2 ⇔ x = = Và log x = ( Dùng dạng để giải tiếp ) BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải phương trình sau: 1) + = 2.2 + 2) x.2 + 6x + 12 = 6x + x.2 + 3) + = + 4) 4+ x.3 + = 2x.3 + 2x + 5) x.2 = x(3 - x) + 2(2 - 1) 6) 2[log x] + xlog x + 2x - = 7) 3.25 + (3x - 10).5 + - x = 8) (x + 2)[log (x + 1)] + 4(x + 1)log (x + 1) - 16 = 9) - x.2 + - x = 10) x.3 + (12 - 7x) = - x + 8x - 19x + 12 11) 25 - 2(3 - x).5 + 2x - = 12) log x + (x - 1)log x = - 2x 13) x + (2 - 3)x + 2(1 - 2) = 14) lg (x + 1) + (x - 5)lg(x + 1) - 5x = 15) log x log - = log x - log 16) log x + 5log x = + log x.log x DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ - ĐỔI BIẾN → PP: Phương trình tồn a , a , a , a , v.v ⇒ ta đặt t = a > Hoặc PT có a b với a.b = ⇒ ta đặt t = a > b = = Ví dụ 1: Giải phương trình: a + = → HD giải: PT ⇔ + = ⇔ + = ( Đặt t = > ) PT thành t + = ⇔ t - 9t + = ⇔ ( Nhận thỏa t > ) Khi với t = ⇔ = = ⇔ x = Và t = ⇔ = = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0, x = b + = 12 → HD giải: Nhận xét = = = Nên ta đặt t = > = Khi đó, PT thành + t = 12 ⇔ t - 12t + = ⇔ ( thỏa mãn t > ) Với t = + ⇔ = + ⇔ (6 + ) = (6 + ) ⇔ = ⇔ x = Với t = - ⇔ = - ⇔ (6 + ) = (6 + ) ⇔ = -1 ⇔ x = - Vậy phương trình có nghiệm x = 2, x = -2 c - 28.3 + = → HD giải: PT ⇔ 3.3 - 28.3 + = ( Đặt t = > 0) ⇔ 3t - 28t + = ⇔ ( Nhận thỏa t > ) Với t = ⇔ = = ⇔ x + x = ⇔ x + x - = ⇔ Với t = ⇔ = = ⇔ x + x = -1 ⇔ x + x + = ( vơ nghiệm ) Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x = -2 d (3 - ) + (3 + ) = 6.2 → HD giải: Đối với PT trên, ta thấy xét (3 - )(3 + ) ≠ Trong PT vừa khác mũ ? vừa khác số ? ⇒ ta biến đổi phương trình để đưa mũ Nghề nghiệp không làm nên cao quý người mà người làm nên cao quý nghề nghiệp (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong PT ⇔ (3 - ) + (3 + ) = 3.2.2 ⇔ (3 - ) + (3 + ) = 3.2 (*) Đến PT mũ lại khác số ? Rõ ràng (3 - ) (3 + ) hồn tồn có "bà con" Ta chia vế phương trình (*) cho được: (*) ⇔ + = ⇔+ = Nhận xét = = = ( đến ta biến đổi thành công !) Nên ta đặt t = > = PT thành + t = ⇔ t - 3t + = ⇔ ( Nhận thỏa t > ) Với t = ⇔ = ⇔ 2x + = ⇔ x = Với t = ⇔ = ⇔ 2x + = -1 ⇔ x = -1 Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = -1 e 125 - 4.50 + 20 + 6.8 = → HD giải: Đối với câu e này, ta thấy PT mũ số khác Nên ta định chia bớt cho số để tìm mối quan hệ số lại Kinh nghiệm ta chia cho số lớn số nhỏ Cách 1: Chia cho số lớn 125 PT ⇔ - 4.+ + = ⇔ - 4.+ + = ( Đặt t = > ) PT thành - 4t + t + 6t = ⇔ Với t = ⇔ = ⇔ x = log (Chú ý: a = b ⇔ x = log b) Với t = ⇔ = ⇔ x = log Vậy phương trình có nghiệm Cách 2: Chia cho số nhỏ PT ⇔ - 4.+ + = ⇔ - 4.+ + = (HS tự làm tiếp) Ví dụ 2: Giải phương trình: a log (4 + 4).log (4 + 1) = → HD giải: Điều kiện:(luôn đúng) PT ⇔ log (4.4 + 4).log (4 + 1) = ⇔ log [4.(4 + 1)].log (4 + 1) = ( Ta có log b + log c = log bc ) ⇔ [log + log(4 + 1)].log (4 + 1) = ⇔ [2 + log(4 + 1)].log(4 + 1) = ( đặt t = log(4 + 1) PT thành (2 + t).t = ⇔ t + 2t - = ⇔ Với t = ⇔ log(4 + 1) = ⇔ + = ⇔ = = ⇔ x = Với t = -3 ⇔ log(4 + 1) = -3 ⇔ + = ⇔ = - = < (vơ nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x = b + log (x - 1) = log → HD giải: Điều kiện: ⇔ PT ⇔ + log (x - 1) = log (ta có log b = α log b) ⇔ + log (x - 1) = 2log (ta có log b = ) ⇔ + log (x - 1) = ( Đặt t = log (x - 1) ) PT thành + t = ⇔ t + t - = ⇔ Với t = ⇔ log (x - 1) = ⇔ x - = ⇔ x = (nhận) Với t = -2 ⇔ log (x - 1) = -2 ⇔ x - = = ⇔ x = (nhận) Vậy phương trình có nghiệm x = 3, x = c log (x - 1) - 5log (x - 1) + = → HD giải: Điều kiện: (x - 1) > ⇔ x - ≠ Nghề nghiệp không làm nên cao quý người mà người làm nên cao quý nghề nghiệp (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong PT ⇔ [log (x - 1)] - 10.log (x - 1) + = ⇔ [4log (x - 1)] -10.log (x - 1) + = ⇔ 16[log (x - 1)] - 10.log (x - 1) + = ( đặt t = log (x - 1)) PT thành 16t - 10t + = ⇔ Với t = ⇔ log (x - 1) = ⇔ x - = = ⇔ x = + Với t = ⇔ log (x - 1) = ⇔ x - = = ⇔ x = + Vậy phương trình có nghiệm x = + , x = + Chú ý: Cần phân biệt log b ≠ log b d log + log = log(x + 2) → HD giải: Điều kiện:⇔ x > Ta có - = (2 - ) (2 - )(2 + ) = - = Nên ta đặt t = - ⇒ + = Ta có PT ⇔ - log + log = log(x + 2) ⇔ - log + log = log ⇔ - ( log + log ) + log = log ⇔ log + log = ⇔ log = ⇔ = t = ⇔ x - = ⇔ x = ⇔ x = ± Do x > ⇒ nhận x = e log (4x + 12x + 9) = - log (6x + 23x + 21) → HD giải: Điều kiện:⇔ (*) PT ⇔ log (2x + 3) = - log [(3x + 7)(2x + 3)] ⇔ 2log (2x + 3) = - [log (3x + 7) + log(2x + 3)] ⇔ 2log (2x + 3) = - log (3x + 7) Đặt t = log (2x + 3) ⇒ = log (3x + 7) PT ⇔ 2t = - ⇔ 2t - 3t + = ⇔ t=1 v t = Với t = ⇔ log (2x + 3) = ⇔ 2x + = 3x + ⇔ x = - ( loại khơng thỏa (*)) Với t = ⇔ log (2x + 3) = ⇔ 2x + = (3x + 7) ⇔ (2x + 3) = 3x + ⇔ 4x + 9x + = ⇔ Vậy phương trình có nghiệm x = BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải phương trình sau: 1) + = 30 2) + - 17 = 3) - 10.3 + = 4) 64.9 - 84.12 + 27.16 = 5) - 9.2 + = 6) x + x − − 5.2 x −1+ 7) 3.3 - 10.3 + = 8) 3.2 - 8.2 + = 9) - 9.2 + = 10) 25 = 25 + 24.5 11) (2 - ) + (2 + ) = 14 12) ( − 15 ) ( x + + 15 x2 − ) x −6 = =8 13) - 3.4 - 3.2 + = 14) - 6.2 - + = 15) ( + 1) + 2( - 1) = 3.2 16) + 5-2= 10 17) (5 - ) + 7(5 + ) = 18) + = 19) 3.4 + 2.9 = 5.6 20) (7 + 5) + ( - 5)(3 + 2) + 3(1 + ) + - = 21) (2 + ) + (2 - ) = 22) (2 + ) + (7 + 4)(2 - ) = 4(2 + ) 23) ( - 1) + ( + 1) - = 24) 3.8 + 4.12 - 18 - 2.27 = 25) - 2.3 + = 26) (7 + 4) - 3(2 - ) + = 27) log + log x = 28) - 4log = 29) - log = 30) log (x - 8x + 16) + log (-x + 5x - 4) = 31) + = log 32) log log x - log = + log 33) log (-x) - 2logx + = 34) log x - log x = log - 35) log (5 - 1).log(2.5 - 2) = 36) 5log x + log x + 8log x = 37) log (4 + 15.2 + 27) + 2log = 38) log + log 5x - 2,25 = log 39) 3log - 4log x = 2log x 40) log 2.log = log 41) log (lgx + + 1) - 2log ( + 1) = 42) + = 43) lg x - lgx + = Nghề nghiệp không làm nên cao quý người mà người làm nên cao quý nghề nghiệp (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong 44) log x + 40log x = 14.log x 45) log (x - 1) - 5log (x - 1) - 3376 = 46) log (2 + x) + log x = 47) log (2x - 9x + 9) + log (4x - 12x + 9) = 48) log(9 + 7) = + log (3 + 1) 49) lg (x - 1) + lg (x - 1) = 25 50) + = log 9x 51) log (2x + x - 1) + log(2x - 1) = 52) + = + 53) - 3.2 - = 54) log (x + 1) - 6log + = 55) (3 + 2) = ( - 1) + 56) = 2(0,3) + 57) = 6.(0,7) + 58) 3.16 + 2.81 = 5.36 59) - 8.3 - 9.9 = 60) 5.3 - 7.3 + = 61) 8.3 + = 62) (26 + 15) + 2(7 + 4) - 2(2 - ) = 63) + = + 64) lg x - 20lg + = 65) + = 66) - = 3- 67) - = 68) + = + 68) log 27 - log + log 243 = 69) + = 70) - - 6(2 - 2.2) = DẠNG 4: MŨ HÓA - LOGARIT HÓA → PP: giúp ta chuyển PT mũ - log PT log - mũ mà ta biết cách giải Cần ý: ♂ a = b ⇔ log a = log b ⇔ f(x) = g(x).log b ( log a = log b ⇔ f(x).log a = g(x) ) ♀ log f(x) = log g(x) Đặt t = log f(x) = log g(x) Khi đó: a = f(x) b = g(x) ⇒ chuyển phương trình mũ Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a 5.8 = 500 → HD giải: Điều kiện x ≠ Nhận xét ta không để đưa PT số đồng thời số mũ chúng khác hoàn toàn Do ta thử LOG HÓA PT mũ Để thực ta cần chọn số cho Logarit Việc chọn " số " giúp bạn giải nhanh chậm tốn cuối đích đến tìm đáp số Cách 1: Lấy log vế với số PT ⇔ log (5.8) = log 500 ⇔ log + log = log (5.2) (Để phân tích 500 = 5.2 ta chia cho số nguyên tố) ⇔ x + log = + 2log2 ⇔ (x - 3) + log - = ⇔ (x - 3) + log = ⇔ (x - 3)1 + = ⇔ x=3 v + = Với + = ⇔ x + log = ⇔ x = -log Vậy PT có nghiệm x = v x = -log Cách 2: Lấy log vế với số ( = ) PT ⇔ log (5.8) = log (5.2) ⇔ log + log 2= 3log + ⇔ x.log + = 3log + ⇔ (x - 3).log + - = ⇔ (x - 3).log + = ⇔ (x - 3)log + ⇔ x = v x = = - log b x = 1000x → HD giải: Điều kiện x > PT ⇔ lgx = lg1000x ⇔ lgx.lgx = lg1000 + lgx ⇔ lg x = + 2lgx ( Đặt t = lgx ) PT thành t - 2t - = ⇔ ⇔ ⇔ Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a log (log x + + 9) = 2x Nghề nghiệp không làm nên cao quý người mà người làm nên cao quý nghề nghiệp (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong → HD giải: Điều kiện x > PT ⇔ log x + + = ⇔ log x = ⇔ x = = (nhận) b log log x = log log x → HD giải: Điều kiện: ⇔ x > Đặt t = log log x ⇔ log x = (1) Mặt khác t = log log x ⇔ log x = (2) Lại có log x = log 5.log x nên từ (1) (2) ta có = 2.log Hay = log ⇔ t = log (log 5) Thay vào (2) ta được: log x = ⇔ x = c 3log (1 + + ) = 2log → HD giải: Điều kiện: x > Khác biệt câu c câu b nằm chỗ dạng PT câu b log = log với tốn ta gặp phải m.log = n.log Kinh nghiệm ta chọn k bội số chung nhỏ số m n Đặt 6t = 3log (1 + + ) = 2log Ta có: ⇔ Do + + = ⇔ + + = ( Giải tiếp cách chia bớt số dùng dạng ) BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải phương trình sau: 1) = 72 2) = 3) = x 4) = 36.3 5) = 6) = 36 7) 5.2 = 50 8) = 9) x = 10) 5.3 = 11) = 12) x = 10 13) = x 14) log (x - 3x - 13) = log x 15) log (1 + ) = log x 16) 2log ( + ) = log x 17) log (x + 2) = log x 18) log (x + 2x + 1) = log (x + 2x) 19) log (log x) = log (log x) 20) 3log (x + 2) = 2log (x + 1) 21) log (76 + ) = log x 22) log (1 + ) = log x 23) log (x + 1) + log (2x + 1) = 24) = 1,5 25) log [2log (1 + 3log x)] = 26) log (x + 2) = log 27) 3.2 = 8.4 DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ → PP: xét PT mũ - logarit f(x) = (*) với x∈ D ☺Nếu f(x) đơn điệu D (đồng biến nghịch biến D ) PT (*) có khơng q nghiệm Nghĩa có nghiệm có nghiệm ☻Nếu y = f(x) đơn điệu D (đồng biến nghịch biến D ) f(u) = f(v) ⇔ u = v với u, v ∈ D ☼ Nếu y = f(x) có đạo hàm đến cấp k liên tục D, đồng thời f (x) có m nghiệm phân biệt phương trình f (x) = có khơng q m + nghiệm Chú ý: đạo hàm (a )' = u' a lna đạm hàm (log u)' = Hầu hết phương pháp dạng sau nhiều phép tính tốn, biến đổi dễ đưa dạng toán Cho nên bạn cần ý học tìm hiểu kỹ dạng Đó tiền đề để bạn sử dụng phương pháp để giải dạng toán khác Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a = - x → HD giải: PT ⇔ - + x = Xét f(x) = - + x với x ∈ R Ta có f'(x) = ln2 + > ∀x ∈ R ( > ln2 > ) ⇒ f(x) đồng biến R, mà f(1) = nên phương trình f(x) = có nghiệm x = b = + + Nghề nghiệp không làm nên cao quý người mà người làm nên cao quý nghề nghiệp (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong → HD giải: Bài tốn có đến số khác nhau, ta định chia cho số lớn PT ⇔ = ++ ( Nhậm nghiệm thử ta thấy x = thỏa mãn ) Do < ; ; < nên ln < , ln < , ln < Do f '(x) = ln +ln + 2.ln < ∀x ∈ R Nên hàm số f(x) nghịch biến R, mà f(2) = nên phương trình f(x) = có nghiệm x = C + = 6x + → HD giải: nhận xét vế phương trình " hàm mũ ", vế lại " hàm đa thức " Không thể biến đổi dạng đề cập chuyên đề nên ta định sử PP hàm số Xét f(x) = + = 6x + với x ∈ R Ta có f '(x) = ln3 + ln5 - hàm số liên tục Và f '(0) = ln3 + ln5 - < , f '(1) = 3ln3 + 5ln5 - > Nên phương trình f '(x) = có nghiệm x = x Bảng biến thiên: −∞ +∞ x x f '(x) + f (x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = có khơng q hai nghiệm phân biệt Mà f(0) = f(1) = nên nghiệm phương trình cho x = x = Để ứng dụng PP hàm số cách hiệu trước tiên bạn nên " nhẩm nghiệm " PT cho trước Ứng với số nghiệm tìm ta đề xuất cách giải d (2 - ) + (2 + ) = → HD giải: PT ⇔ + = Xér f(x) = + với x ∈ R Vì < ; < nên ln < ln < Do đó, f'(x) = ln + ln < ∀x ∈ R Nên hàm số f(x) nghịch biến R, mà f(1) = nên phương trình f(x) = có nghiệm x = e = + 2log (6x - 5) → HD giải: Điều kiện 6x - > ⇔ x > Đặt y - = log (6x - 5) = 6x - (1) PT cho trở thành = + 2log (6x - 5) ⇔ = + 6log (6x - 5) ⇔ = + 6log ⇔ = + 6(y - 1) ⇔ = 6y - (2) Lấy (1) trừ (2) ta được: - = 6x - 6y ⇔ + 6(x - 1) = 7+ 6(y - 1)⇔ f(x - 1) = f(y - 1) Dễ thấy f(t) = + 6t hàm số đồng biến R, mà f(x - 1) = f(y - 1) ⇔ x - = y - ⇔ x = y Khi phương trình cho có dạng (1) ⇔ - 6x + = (3) ( nhẩm nghiệm x = 1, x = 2) Xét hàm số g(x) = - 6x + ∀x ∈ R Ta có g'(x) = 7.ln7 - nên g'(x) = ⇔ x = + log Bảng biến thiên: −∞ +∞ x x g'(x) + g (x) Nghề nghiệp không làm nên cao quý người mà người làm nên cao quý nghề nghiệp (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = có khơng q hai nghiệm phân biệt Mà f(1) = f(2) = nên x = 1, x = nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a.log x + log (2x - 1) + log (7x - 9) = → HD giải: Điều kiện x > Xét hàm số f(x) = log x + log (2x - 1) + log (7x - 9) với x > Ta có f '(x) == + + > ∀x > Vậy hàm số f(x) đồng biến ( ; +∞) nên phương trình f(x) = có nghiệm có nghiệm Mà f(2) = nên phương trình cho có nghiệm x = b x.log x = 27 → HD giải: x > Viết phương trình cho dạng log x - = Xét hàm số f(x) = log x - với x > Ta có f '(x) = + > ∀x > nên hàm số y = f(x) đồng biến (0; +∞) nên phương trình f(x) = có nghiệm có nghiệm Mà f(3) = nên phương trình có nghiệm x = c + log x = → HD giải: x > PT ⇔ + log = ⇔ + log (x + x) - log (x + 1) = ⇔ + log (x + x) = + log (x + 1) Đặt f(t) = + log t ( t > 0) Ta có f '(t) = ln2 + > ∀t > Nên hàm số y = f(t) đồng biến (0; + ∞) Lại có f(x + x) = f(x + 1) ⇔ x + x = x + ⇔ Vậy x = nghiệm phương trình BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải phương trình sau: 1) - + x = 2) (0,5) = 2x + 3) + = 4) () + = 5) + x - 66 = 6) + = 5x + 7) - = 8) = 8x + 9) = 3x - 10) - + x - = 11) + + = 12) = - 2x 13) = + 14) + (3 + ) + (3 - ) = 15) = x + 16) + = 17) 9.3 - = 5.4 18) = - 19) + = 20) + + = 10 21) 25 + 10 = 22) + = 13 23) 4.3 - + - x = 24) () + () = 25) log (x + 2) = - x 26) log(x - 2) = - x + 2x + 27) x + log(x - x - 6) = + log(x + 2) 28) log(x - 6x + 5) = log(x - 1) + - x 29) x = x - x 30) (1 + x)(2 + 4) = 3.4 31) log (1 + cosx) = 2cosx 32) + = + 33) x + = 2x 34) log = + x - 35) + + = 28x - 18 36) (4 + 2)(2 - x) = 37) + = - + 44log (2 - + ) 38) + = x - 9x + x + 39) log(x - x - 12) + x = log(x + 3) + 40) x(log - 1) = log(2 + 1) - log6 41) 3x - 2x = log (x + 1) - log x 42) (1 + ).log + log2 = log(27 - ) 43) log (x - 2x - 2) = log (x - 2x - 3) 44) = 45) (2 + ) + x(2 - ) = + x 46) - = - 47) log (log x) + log (log x) = 48) log x + log x + log x = log x 49) log (x - ).log (x + ) = log (x - ) DẠNG 6: TUYỂN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO - ĐẶC BIỆT Nghề nghiệp không làm nên cao quý người mà người làm nên cao quý 10 nghề nghiệp (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong Ở chương trình trung học phổ thơng hành dạng tốn đề cập phù hợp với học sinh từ dạng đơn giản đến phức tạp Đối với dạng 6, chun đề dành chút " tốn giải trí " mở mang " tư " cho bạn học sinh phương pháp giải " không giống " ! Mời bạn thử sức • Sử dụng phương pháp đối lập ( đánh giá vế phương trình ) Ví dụ 1: Giải phương trình + = - 2x - x → HD giải: điều kiện ∀x ∈ R Ta có Vế Trái = + Trong = ≥ = = ≥ = Vậy Vế Trái ≥ + = Mặt khác, vế phải = - 2x - x = - (x + 1) ≤ Vậy vế trái vế phải ⇔ VT = VP = ⇔ x = -1 Ví dụ 2: Giải phương trình + = + 2.3 → HD giải: điều kiện ∀x ∈ R Ta có pt ⇔ + = + 2.3 ⇔ = + 2.3 - Ta có Vế Trái = = ≥ Về Phải = + 2.3 - = - (3 - 1) ≤ Vậy phương trình có nghiệm ⇔ VT = VP = ⇔ ⇔ x = -1 Ví dụ 3: Giải phương trình log (x - 1) + = log (2x - 4x + 2) → HD giải: x - > ⇔ x > Ta có PT ⇔ = log (2x - 4x + 2) - log (x - 1) Ta có VT = = ≥ VP = log (2x - 4x + 2) - log (x - 1) = log[2(x - 1)] - log (x - 1) = + 2log(x - 1) - log (x - 1) = - [log (x - 1) - 1] ≤ Do phương trình cho có nghiệm ⇔ VT = VP = ⇒ ⇔ ⇔ x = (nhận x > 1) Ví dụ 4: Giải phương trình - = (x - 1) → HD giải: Ta có VP = (x - 1) ≥ ⇔ x - 2x + ≥ ⇔ x - x ≥ x - Mặt khác VT = - ≤ (do > 1, hàm đồng biến x - x ≥ x - ) Do phương trình cho có nghiệm ⇔ VT = VP = ⇔ x = • Dạng a - a = v - u ⇔ a + u = a + v ⇒ dùng tính đơn điệu hàm số Ví dụ 1: Giải phương trình - = (x + 1) → HD giải: Đặt u = x + 3x + ; v = 2x + 5x + v - u = (x + 1) PT thành - = v - u ⇔ + u = + v Xét f(t) = + t ∀t ∈ R có f '(t) = ln5 + > ∀t ∈ R ⇒ f(t) đồng biến R, mà f(u) = f(v) ⇔ u = v ⇔ (x + 1) = ⇔ x = -1 • Dạng log u - log v = v - u ⇔ log u + u = log v + v ⇒ dùng tính đơn điệu hàm số Ví dụ 2: Giải phương trình log = x + 3x + → HD giải: Điều kiện > ⇔ ∀x ∈ R Đặt u = x + x + 3; v = 2x + 4x + v - u = x + 3x + PT thành log u - log v = v - u ⇔ log u + u = log v + v Nghề nghiệp không làm nên cao quý người mà người làm nên cao quý 11 nghề nghiệp (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong Xét f(t) = log t + t ∀t > có f '(t) = + > ∀t > ⇒ f(t) đồng biến (0; +∞) mà f(u) = f(v) ⇔ u = v ⇔ x + 3x + = ⇔ BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải phương trình sau: a) log = x - b) 2log x = log x.log ( - c) - = d) log = 3x - 8x + e) + = x + x f) log = 2x - 6x + g) log ( + 2) + (0,2) = CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ CAO NHẤT TRONG KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2014 Windylamphong@gmail.com - Lamphong9x_vn@yahoo.com Nghề nghiệp không làm nên cao quý người mà người làm nên cao quý 12 nghề nghiệp (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) ... log + log x = 28) - 4log = 29) - log = 30) log (x - 8x + 16) + log (-x + 5x - 4) = 31) + = log 32) log log x - log = + log 33) log (-x) - 2logx + = 34) log x - log x = log - 35) log (5 - 1) .log( 2.5... = Ta có PT ⇔ - log + log = log( x + 2) ⇔ - log + log = log ⇔ - ( log + log ) + log = log ⇔ log + log = ⇔ log = ⇔ = t = ⇔ x - = ⇔ x = ⇔ x = ± Do x > ⇒ nhận x = e log (4x + 12x + 9) = - log (6x... 1) .log( 2.5 - 2) = 36) 5log x + log x + 8log x = 37) log (4 + 15.2 + 27) + 2log = 38) log + log 5x - 2,25 = log 39) 3log - 4log x = 2log x 40) log 2 .log = log 41) log (lgx + + 1) - 2log ( + 1) = 42)