HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013) I GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ: Lý thuyết: * Giới hạn hữu hạn: a) lim(un + vn) = limun + limvn c) lim(un.vn) = limun.limvn b) lim(un – vn) = limun – limvn u n lim u n  d) lim (nếu limvn �0) v n lim v n e) Nếu un �0 , n limun = a a �0 lim un  a f) limkun = klimun 1 Đặc biệt: a) lim  b) lim k  với k nguyên dương n n n c) Nếu un = c (c số) limun  limc  c d) limq = q  u * Tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un) là: S  u1  u  u   u n   n với q  1 q * Giới hạn vô cực: un a) Nếu limun = a limvn = �� lim  un b) Nếu limun = a > 0, limvn = > 0, n lim  � c) Nếu limun = � limvn = a > limun.vn = � Đặc biệt: a) limnk = � với k nguyên dương b) limqn = � q >1 Bài tập mẫu: Bài 1: Tính giới hạn sau: 4n  3n2  n  2n  5n3  lim a) lim b) lim c) 2n  2n2  3n3  n2 1 n(4  )  4n  n  lim n  42  lim Giải: a) lim 7 2n  n(2  ) 2 n n 5 n (3   )   2 3n  n  n n n n 3  lim  lim b) lim 1 2n  n2(2  ) 2  n n 3 n (   )   3 2n  5n  n n n n lim  lim  lim  c) 1 3n  n n3(3 ) 3 n n Bài 2: Tính giới hạn sau: n(2n  1)(3n  2) 4n5  n2  (2  3n)3(n  1)2 lim a) lim b) c) lim (7  2n)3 (2n  1)(3  n)2(n2  2) 1 4n5 3 n3(2  )3n2(1 )2 (2  )3(1 )2 3 (2  3n) (n  1) n n  lim n n   2  lim Giải: a) lim 1 1 4n5 4 n5(  4) 4 n n 1 1 n.n(2  ).n(3  ) (2  ).(3  ) n(2n  1)(3n  2) 2.3 n n n n  lim  lim   b) lim 3 7 (7  2n) (2) n3(  2)3 (  2)3 n n 1 1 n5(4   ) 4  4n5  n2  n n n n  lim  2 c) lim(2n  1)(3  n)2(n2  2)  lim 2 3 2.(  1) 2 n(2  )n (  1) n (1 ) (2  ).(  1) (1 ) n n n n n n Bài 3: Tính giới hạn sau: 2n2  n  a) lim n  n  b) lim 9n2  n  c) lim 1 4n2 1 2n 8n3  8 n2(2   ) 2  2 2n  n  n n  lim n n   2  lim Giải: a) lim n  n  7 1 n2(1 3  ) 1 3  n n n n 1 1 n 9  9  2 9n  n  n n  lim n n  93  lim b) lim 3 2 8n  8 n3 8 3 n n 1 n 4 4 1 4n n n c) lim  lim  lim    1 1 1 2n   n(  2) 2 n n Bài 4: Tính giới hạn sau: (2) n  3n 2n  4n  3n  n  5n lim a) lim b) lim n c) lim n d) (2)n 1  3n 1 n.3n 3.4   n  5n 5 n n(2  )  1� Giải: a) lim 2n   lim n  lim n  lim[(2  ) ]  lim[(2  ) � � �]  2.0  n.3n n.3n 3n n 3n n �3 � n �1 � 3 n  � � (1  n ) 1 n 4n  �4 �  4  lim  lim  lim b) lim n n 1 3.4  �1 � 4n (3  n ) 3 n 3� � 4 �4 � n n �3 � �4 � 3n 4n 3n n ( n  n  1)   n n n � � � � 1 n n 4 5 �5 �  5 5  lim  lim n  lim � �  1 c) lim n n n n n n n n 4  5 1 n � � � � ( n  n  1)  1 � � � � 5 n 5n �5 � �5 � n n �2 � (2) n [ n  1] n n � 1 1 (2)  � � �  lim  lim   d) lim n 1 n 1 (2) n 1  3n 1 �2 � 31 n 1 ( 2) [ n 1  1] 1 � � �3 � Bài 5: Tính giới hạn sau: a) lim( n  2n  n  2) b) lim( n  n  n  2) c) lim( n  n  n) n Giải: a) lim( n  2n  n  2)  lim[ n  2n  (n  2)]  lim 2 [ n  2n  (n  2)][ n  2n  (n  2)] n  2n  (n  2) 4 n(6  ) 6 n  2n  (n  2) 6n  n n  lim  lim  lim  3 = lim 2 2 1 n  2n  n  n  2n  n  n(    ) 1 1 n n n n b) lim( n  n  n  2)  lim ( n  n  n  2)( n  n  n  2) n2  n  n2   lim (n  n)  (n  2) n2  n  n2  2 n(1  )  n2 1 n n  lim  lim   = lim 2 1 n  n  n2  n(    ) 1  1 n n n n ( n  n  n)( (n  n )  n n  n  n ) 3 lim( n  n  n)  lim c) (n  n )  n n  n  n = lim = n3  n  n3 (n  n )  n n  n  n n2 lim  lim n2 (n  n )  n n  n  n  lim   1 1  1 (1  n (1  )  n   n )   1 n n n n Ghi nhớ: Nhân với lượng liên hợp của: a) A �B nhân với lượng liên hợp là: A mB Khi đó: ( A �B )( A mB ) = A – B2 b) A � B nhân với lượng liên hợp là: A m B Khi đó: ( A � B )( A m B ) = A2 – B c) b) A � B nhân với lượng liên hợp là: A m B Khi đó: ( A � B )( A m B ) = A – B d) A �B nhân với lượng liên hợp là: A mB A  B2 3 Khi đó: ( A �B )( A mB A  B2 ) = A �B3 e) A �3 B nhân với lượng liên hợp là: A mA B  B2 Khi đó: ( A �3 B )( A mA B  B2 ) = A3 �B A �3 B nhân với lượng liên hợp là: A m3 AB  B2 Khi đó: ( A �3 B )( A m3 AB  B2 ) = A �B Bài 6: Tính giới hạn sau: 4n   2n  n2 1  n 1 lim a) b) lim c) lim n   n 1 3n  n  4n   n f) Giải: a) lim n   n 1  lim n   n 1 ( n   n  1)( n   n  1) n   n 1  lim( n   n  1)  � n   n 1 = lim n2 1  n 1 ( n   n  1)( n   n  1) n2 1  n 1  lim  lim b) lim 3n  (3n  2)( n   n  1) (3n  2)( n   n  1) n (1  ) n n 1 n  lim   = lim 3.1 1 (3n  2)( n   n  1) n(3  )n(    ) n n n n2 c) lim = lim 4n   2n  n  4n   n  lim [ 4n   (2n  1)]( 4n   2n  1)( n  4n   n) ( n  4n   n)( n  4n   n)( 4n   2n  1) [4n   (2n  1) ]( n  4n   n) (n  4n   n )( 4n   2n  1)  lim 4n( n  4n   n) (4n  1)( 4n   2n  1) 4   1) 4(    1) 4.2 n n n n  lim   = lim 4.4 1 1 1 n(4  )n(    ) (4  )(    ) n n n n n n Bài 7: Tính giới hạn sau: a) lim(n  2n  3n  5) b) lim(3n  2n  1) c) lim(n  n n  1) Giải: a) lim(n  2n  3n  5)  lim n (1    )  � n n n b) lim(3n  2n  1)  lim n (3   )  � n n 1  )  � c) lim( n  n n  1)  lim n ( 1  n n2 Bài 8: Tính giới hạn sau: 3n  2n  n  4n  3n  n  5n  a) lim b) lim c) lim 2n  2n  4n  6n  3 n3 (   )  2 3n  2n  n n n  lim n n n 0 0  lim Giải: a) lim 5 2n  n (2  ) 2 n n 4 n (1   )   3 n  4n  n n  lim n n  �  lim b) lim 5 2n  n3 (  )  n n n n3 7 n (3    )    5 3n  n  5n  n n n n n n  �  lim  lim c) lim 6 4n  6n  n (   )  2 4 n n n n n n Bài 9: Tính tổng: 1 1 a) S =     n  b) S = + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + + (0,9)n – + 2 2 1 1 1 Giải: a) Ta có: u1 = , q = Vậy: S =     n    1 2 2 2 1 n 1 �9 � �9 � �9 �  � � � �  � �  = + 10 = + = 10 b) Ta có: S = + 10 � 10 � � 10 � 10 � � 1 10 Bài 10: Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn dạng phân số, biết: a) 0,7777 b) 5, 212121 c) 0,32111 7 7    = 10  Giải: a) 0,7777 = 10 10 10 1 10 21 172 21 21 21     =  100   b) 5, 212121 =  33 33 100 100 100 1 100 4n (  32 1000 289 32 1      = c) 0,32111 = 100  900 100 10 10 10 Bài tập tự luyện Bài 1: Tính giới hạn sau: 6n  3n  n  n  4n  3n  2n  n a) lim (2) b) lim ( ) c) lim (0) d) lim (3) 3n  2 2n  3n  n  n3  2n  2n  n  n4 1  lim lim e) lim (0) f) ( ) g) ( ) n  4n  3 3n  2n  2n  n  Bài 2: Tính giới hạn sau: n4 2n(3  n ) (3  5n) (n  2) lim  ) lim a) lim (1) b) (10) c) 2 ( (n  1)(2  n)(n  1) (1  n)(2n  5)  7n  10n Bài 3: Tính giới hạn sau: n n 2 n  2n   n  7n  5n  lim a) lim ( ) b) (0) c) lim (1) n  n 2n  2n  n  12 Bài 4: Tính giới hạn sau:  5n 3n  2.5n 4.3n  n 1  lim lim a) lim (0) b) ( ) c) (7) 3n.4n  3.5n 2.5n  n  2.3n  6n 2n  5n 1 4n 1  6n  lim lim d) lim (-5) e) (0) f) ( ) 2n (3n 1  5)  5n 5n  8n Bài 5: Tính giới hạn sau: 1 a) lim( n  n  n) (  ) b) lim( n  n  n) ( �) c) lim( n  n   n) (  ) 2 d) lim( n  n  n  2) (2) e) lim( 4n  3n   2n) (  ) f) lim n  5( 2n   2n  1) ( ) g) lim( n  2n   n) ( ) Bài 6: Tính giới hạn sau: n  4n  4n  1 2n   n  lim a) lim (1) b) ( ) c) ( ) lim  n 1  n2  n 1 9n   n d) lim 4n   2n  (1) e) lim n(  n  n) 16 ( ) 4n   2n n  2n  n Bài 7: Tính giới hạn sau: a) lim(n  2n  n  1) ( �) b) lim(n  5n  2) ( �) c) lim(n  3n  n  2) ( �) Bài 8: Tính giới hạn sau: � 3n  5n  3n  n  �2 n  � � lim lim a) lim � ( ) b) ( ) c) ( �) � n2  2n  n � n 1� Bài 9: Tính tổng: 1 1 10 1 ( 1) n    n 1  ĐS:  a) S =      n  ĐS: b) S = -1 + 3 3 11 10 10 10 c) S = + 0,3 + (0,3)2 + (0,3)3 + + (0,3)n + ĐS: Bài 10: Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn dạng phân số, biết: 721 101 a) 7, 282828 ĐS: b) 0,3333 ĐS: c) 1,020202 ĐS: 99 99 II GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ: Lý thuyết: * Giới hạn hữu hạn điểm: (x)  g(x)]  lim f (x)  lim g(x) a) xlim[f �x x �x x �x (x)  g(x)]  lim f (x)  lim g(x) b) xlim[f �x x �x x �x (x).g(x)]  lim f (x) lim g(x) c) xlim[f �x x �x x �x d) xlim �x f (x) f (x) xlim �x g(x) �0  với xlim �x 0 g(x) lim g(x) x �x f (x)  e) Nếu f(x) �0 : xlim �x lim f (x) f (x)  lim f (x) f) xlim �x x �x x �x 0 f (x)  L � lim f (x)  lim f (x)  L * Giới hạn bên: xlim �x x �x x �x * Giới hạn hữu hạn vô cực: (cách giải tương tự dãy số) f (x)  � [f (x)]  � * Giới hạn vô cực: a) xlim b) xlim �� �� x k  � với k nguyên dương * Đặc biệt: a) xlim �� x k  � k số lẻ lim x k  � k số chẵn b) xlim c) �� x �� lim x  x lim c  c Chú ý: a) x �x b) x �x0 , c số c  c , c số c) xlim ��� d) lim x ��� c 0 xk * Quy tắc tìm giới hạn: lim f (x)  L x �x lim g(x) L>0 L0 L