HƯỚNG DẪN ƠN TẬP CHƯƠNG III HÌNH HỌC 11 NĂM HỌC 2012 – 2013 A Lý thuyết: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng: * Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (  ) Ký hiệu: d  () d  a �() � d  ( ) � � � da � d  ( ) d  b �() * Nếu � * Nếu � a �() � � a va� b ca� t � d  AC � � d  BC * Trong tam giác ABC, � d  AB � ()  AB ta� iI � * Nếu () mặt phẳng trung trực AB � � I la� trung � ie� m cu� a AB (t� � c la� IA  IB) � * Nếu M thuộc mp trung trực AB MA = MB * Nếu AB, AC, AD vng góc với đt d AB, AC, AD đồng phẳng (phải chung điểm A) a// b ()//() � � � b  ( ) � d  () * Nếu � * Nếu � a  () d  () � � A d  () a  () � � � ()//() � a // b * Nếu � * Nếu � d  (  ) b  (  ) � � AH  (  ) * Nếu + H hình chiếu vng góc A ()  O (  ) H + OH hình chiếu vng góc AO  � � �900 + AOH góc AO mp () với 00 �AOH la� h� nh chie� u vuo� ng go� c cu� a b tre� n () �b� � a  b� * Định lý ba đường vng góc: Nếu � a b � * Nếu: + O tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC + Đường thẳng d qua O vng góc với  ABC � d trục  ABC Khi đó: M �d � MA = MB = MC * Giao điểm đường trung trực  ABC tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC * Nếu  ABC tam giác vng A tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC trung điểm cạnh huyền BC * Nếu  ABC tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC giao điểm đường cao (hoặc đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực) * Nếu ABCD hình vng (hoặc hình chữ nhật) tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng giao điểm đường chéo * Trong tam giác : + Giao điểm đường cao gọi trực tâm + Giao điểm đường trung tuyến gọi trọng tâm Bài tập mẫu Phương pháp: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng d  a �() � d  AC � � � d  ( ) � d  BC d  b �() Sử dụng: * Nếu � * ABC , Nếu � d  AB � � a va� b ca� t � la� h� nh chie� u vuo� ng go� c cu� a b tre� n () �b� � a  b� * Định lý ba đường vng góc: Nếu � a  b � Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vng B có cạnh SA vng góc với mp(ABC) a) Chứng minh rằng: BC  (SAB) b) Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh : AH  SC Giải: Phân tích cách giải (phương pháp phân tích lên): (nháp) a) Trình bày: Ta có: + BC  AB (gt) BC  (SAB) + BC  SA (vì SA  (ABC) ) Vậy: BC  (SAB) (đpcm) BC  AB (gt) b) BC  SA (vì SA  (ABC) S AH  SC AH  (SBC) H A H  SB (gt ) (1) A H  BC A C BC  (SAB) (cm câu a) (2) Trình bày: Ta có: AH  SB (gt) (1) Ta lại có : BC  (SAB) (cm câu a) � BC  AH �(SAB) (2) Từ (1) (2) � AH  (SBC) � AH  SC (đpcm) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA  (ABCD) a) Chứng minh : DB  (SAC) , CD  (SAD) BC  (SAB) b) Gọi I, J trung điểm SC SD Chứng minh: IJ  (SAD) Giải: a) * DB  (SAC) : DB  (SAC) B S DB  AC (gt) DB  SA (vì SA  (ABCD)) Trình bày: Ta có: + DB  AC (gt) + DB  SA (vì SA  (ABCD) ) Vậy: DB  (SAC) (đpcm) * CD  (SAD) : CD  (SAD) CD  AD (gt) J I A CD  SA (vì SA  (ABCD)) Trình bày: Ta có: + CD  AD (gt) + CD  SA (vì SA  (ABCD) ) Vậy: CD  (SAD) (đpcm) * CD  (SAD) : BC  (SAB) BC  AB (gt) D B C BC  SA (vì SA  (ABCD)) Trình bày: Ta có: + BC  AB (gt) + BC  SA (vì SA  (ABCD) ) Vậy: BC  (SAB) (đpcm) IJ  (SAD) b) Trình bày: Ta có: + CD  (SAD) + IJ // CD (đường TB) CD  (SAD) (cmt) IJ // CD Vậy: IJ  (SAD) (đpcm) Bài 3: Cho tứ diện SABC có SA vng góc với mp(ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC, SBC Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng qui b) SC  (BHK ) c) HK  (SBC) Giải: a) Trình bày: Gọi I giao điểm SK BC Ta có: + BC  SK (gt) + BC  SA (vì SA  (ABC)) � BC  (SAI) � BC  AI � AI đường cao  ABC � H�AI (H trực tâm  ABC) Vậy: AH, SK, BC đồng qui I (đpcm) Phân tích: Gọi I giao điểm SK BC AH, SK, BC đồng quy I S H�AI AI đường cao  ABC K A BC  AI H BC  (SAI) BC  SK (gt) C I B BC  SA (vì SA  (ABC)) b) SC  (BHK ) SC  (BHK) SC  BK (K trực tâm  SBC) SC  BH BH  (SAC) BH  AC (H trực tâm  ABC) BH  SA (vì SA  (ABC)) Trình bày: Ta có: + BH  AC (H trực tâm  ABC) + BH  SA (vì SA  (ABC)) � BH  (SAC) � SC  BH SC  BK (K trực tâm  SBC) � SC  (BHK) (đpcm) c) HK  (SBC) Ta có: + SC  (BHK ) (theo câu b) � HK  SC (1) Ta lại có: + BC  (SAI) �HK (theo câu a) � HK  BC (2) Từ (1) (2) � HK  (SBC) (đpcm) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với mp(ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vng góc điểm A SB, SC, SD a) Chứng minh rằng: AH  SC AK  SC Từ suy AH, AK, AI nằm mặt phẳng b) Chứng minh rằng: HK  (SAC) Từ suy HK  AI Giải: a) * Ta có: AH  SB (gt) (1) S Ta lại có: + BC  AB (gt) + BC  SA (vì SA  (ABCD)) I K � BC  (SAB) �AH � BC  AH (2) Từ (1) (2) � AH  (SBC) � AH  SC (đpcm) (a) H * Ta có: AK  SD (gt) (1) Ta lại có: + CD  AD (gt) A D + CD  SA (vì SA  (ABCD)) � CD  (SAD) �AK � CD  AK (2) O B Từ (1) (2) � AK  (SCD) � AK  SC (đpcm) (b) C � * AI  SC (c) Từ (a), (b) (c) AH, AK, AI nằm mặt phẳng b) Ta có: + BD  AC (đường chéo hình vng ABCD) + BD  SA (vì SA  (ABCD)) � BD  (SAC) (1) SK SH � HK // BD (2)  Ta có:  SAB =  SAD � SB = SD � SH = SK � SD SB Từ (1) (2) suy ra: HK  (SAC) �AI � HK  AI A Phương pháp: Xác định tính góc đường thẳng d mặt phẳng (  ) a) Tìm hình chiếu vng góc đường thẳng d mp(  )   O H Cụ thể: Ta có: AH  (  ) � OH hình chiếu vng góc AO (  ) �   góc AO mp(  ) với O = AO �() � AOH b) Nếu đt d vng góc với mp(  ) � góc đt d mp(  ) 900 c) Tính góc: Vận dụng tỉ số góc nhọn tam giác vng � o� i ke� � o� i * sin  * cos  * tan  huye� n huye� n ke� d) Tính cạnh: Áp dụng: + Định lý Pitago ca� nh + Trong tam giác đều: đường cao = + Trong hình vuông: đường chéo = cạnh 2 Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng ABCD cạnh a, có cạnh SA = a SA vng góc với mp(ABCD) a) Gọi M, N hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng SB, SD Tính góc đường thẳng SC mp(AMN) S b) Tính góc đường thẳng SC mp(ABCD) Giải: a) * Ta có: AM  SB (gt) (1) Ta lại có: + BC  AB (gt) N + BC  SA (vì SA  (ABCD)) M a2 � BC  (SAB) �AM � BC  AM (2) Từ (1) (2) � AM  (SBC) � AM  SC (đpcm) (a) A D * Ta có: AN  SD (gt) (1) Ta lại có: + CD  AD (gt) + CD  SA (vì SA  (ABCD)) B C � CD  (SAD) �AN � CD  AN (2) Từ (1) (2) � AN  (SCD) � AN  SC (đpcm) (b) Từ (a) (b) � SC  (AMN) Vậy : Góc SC (AMN) 900 b) Ta có: SA  (ABCD) � AC hình chiếu vng góc SC (ABCD) � góc SC (ABCD) � SCA �  SA  a  � SCA � : Xét tam giác vuông SAC A, ta có: tanSCA � = 450 * Tính SCA AC a (vì AC đường chéo = cạnh = a ) Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, SB vuông góc với đáy BC = 2a, AC = a, SB = a Xác định tính góc cạnh SA vá mp(ABC) S Giải: Ta có: SB  (ABC) � AB hình chiếu vng góc SA � góc SA (ABC) (ABC) � SAB �  SB � : + Xét tam giác vuông SAB A, ta có: tanSAB a * Tính SAB AB 2a + AB = BC2  AC2  4a2  a2  3a2  a C B a �  SB  a  � � = 300 Vậy: tanSAB SAB AB a 3 A Bài tập tự luyện Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD có cạnh SA vng góc với mp(ABCD) SI SK  Gọi I, K hai điểm lấy hai cạnh SB SD cho Chứng minh: SB SD a) BD  SC b) IK  (SAC) c) Xác định tính góc SC mp(ABCD), biết SA  a , AC = a ĐS: 600 HD: a) C/m: BD  (SAC) b) C/m: IK // BD Bài 2: Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với mp(ABC) có tam giác ABC vng cân B SM SN  Trong mp(SAB) kẻ AM vng góc với SB M Trên cạnh SC lấy điểm N cho SB SC Chứng minh rằng: a) BC  (SAB) b) AM  (SBC) c) SB  AN; HD: SB  (AMN) d) Xác định tính góc cạnh bên SC mp(ABC), biết AB = a, SC = 2a ĐS: 450 Bài 3: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC BCD hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi I trung điểm cạnh BC a) Chứng minh rằng: BC  (ADI) b) Gọi AH đường cao tam giác ADI Chứng minh rằng: AH  (BCD) a Bài 4: Cho hình thoi S.ABCD có đáy hình thoi ABCD có SA = SB = SC = SD = Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh rằng: a) SO  (ABCD) b) AC  (SBD) a c) BD  (SAC) d) Xác định tính góc SA (ABCD), biết SA  ĐS: 600 Bài 5: Trong mp(  ) cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm AC BD, S điểm nằm mp(  ) cho SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng: a) SO  (  ) b) Nếu mp(SAB) kẻ SH  AB H AB  (SOH) c) Xác định tính góc cạnh bên SB mp(ABCD), biết BD = , SO = ĐS: 300 Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, BC = a SB vng góc với mp(ABCD) a) Chứng minh mặt bên tam giác vuông HD: Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCD), (SAD) tam giác vuông B, B, C, A b) Gọi K hình chiếu vng góc B SA CMR: BK  SD ; HD: C/m: BK  (SAD) c) Xác định tính góc cạnh bên SC mp(ABCD), biết SA = 2a ĐS: 450 Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA vng góc với đáy (ABC) Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh rằng: BC  (SAI) b) Gọi O trực tâm tám giác ABC Chứng minh rằng: CO  (SAB) c) Kẻ OH  SI Chứng minh rằng: OH  SC a d) Xác định tính góc cạnh bên SB mp(ABC), biết SA = ĐS: 300 Hai mặt phẳng vng góc * Góc hai mặt phẳng (ABM) (ABN) cắt theo giao tuyến AB N MI  AB � � góc (ABM) (ABN) Nếu � MIN NI  AB � * Diện tích hình chiếu vng góc đa giác : M Nếu S diện tích đa giác H nằm (  ), S1 diện tích đa giác H1 nằm (  ), H1 hình chiếu vng góc H S1  Scos với  góc mp(  ) (  ) A  * Hai mp(  ) (  ) vng góc với Kí hiệu: ()  () I d �() � � ()  () * Nếu � B d  () � * Hình lăng trụ đứng: hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Độ dài cạnh bên chiều cao lăng trụ đứng Hai mặt đáy song song, vng góc với cạnh bên Các mặt bên hình chữ nhật * Hình lăng trụ đứng có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác, gọi hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác, * Hình lăng trụ đều: hình lăng trụ đứng có đáy đa giác VD: Hình lăng trụ tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác * Hình hộp đứng: hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành * Hình hộp chữ nhật: hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật * Hình lập phương: hình lăng trụ đứng có đáy hình vng * Hình chóp đều: + Đáy đa giác + Các mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với đáy góc + Các cạnh bên tạo với đáy góc + Chân đường cao trùng với tâm đáy Bài tập mẫu Phương pháp : a) Chứng minh hai mặt phẳng () () vuông góc với d �() � � ()  () Sử dụng định lí: Nếu � d  () � b) Xác định tính góc hai mặt phẳng: MI  AB � � góc (ABM) (ABN) (hình trên) Nếu � MIN NI  AB � Chú ý: AB giao tuyến mặt phẳng (ABM) (ABN) Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt a S phẳng (ABC) SA = a) Gọi H trung điểm BC Chứng minh rằng: (SAH)  (ABC) b) Xác định tính góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) c) Tính diện tích tam giác SBC Giải: a) Ta có: + BC  SA (vì SA  (ABC)) C A + BC  AH (vì AH đường cao  ABC đều) Suy ra: BC  (SAH) BC �(ABC) H Vậy: (SAH)  (ABC) (đpcm) B b) Ta có: + BC  (SAH) (c/m câu a) � BC  SH BC  AH � Suy ra: SHA góc mp(ABC) (SBC) �  SA = a : a  a  � � = 300 Xét tam giác vng SAH A, ta có: tanSHA SHA AH 2 a 3 c) Ta có: SA  (ABC) �  ABC hình chiếu vng góc  SBC SABC a2 3 a2 (ca� nh)2 � �S Vậy: SABC  SSBC cosSHA (vì )   :  S  SBC � e� u cos300 2 2 1 �a � �a � a2 2 S  SH.BC Cách khác: SBC = SA  AH BC  � � � �.a  2 �2 � � � Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Cạnh bên SA vng góc với mp(ABCD) S a) Chứng minh rằng: (SAD)  (SCD), (SAC)  (SBD), (SAB)  (SBC) b) Gọi BE, DF hai đường cao  SBD E Chứng minh rằng: (ACF)  (SBC), (ACE)  (SDC), (AEF)  (SAC) F Giải: a) * (SAD)  (SCD) Ta có: + CD  AD (gt) + CD  SA (vì SA  (ABCD)) A � CD  (SAD) CD �(SCD) � (SAD)  (SCD) (đpcm) D * (SAC)  (SBD) Ta có: + BD  AC (đường chéo hình vng) B C + BD  SA (vì SA  (ABCD)) � BD  (SAC) BD �(SBD) � (SAC)  (SBD) (đpcm) * (SAB)  (SBC) Ta có: + BC  AB (gt) BC  SA (vì SA  (ABCD)) � BC  (SAB) BC �(SBC) � (SAB)  (SBC) (đpcm) b) * (ACF)  (SBC) Ta có: + DA  SA (vì SA  (ABCD)) DA  AB (gt) � DA  (SAB) � DA  SB DF  SB (gt) � SB  (ADF) � SB  AF (1) Ta lại có: BC  (SAB) �AF � BC  AF (2) Từ (1) (2) � AF  (SBC) mà AF �(ACF) � (ACF)  (SBC) (đpcm) * (ACE)  (SDC) Ta có: + AB  SA (vì SA  (ABCD)) AB  AD (gt) � AB  (SAD) � AB  SD BE  SD (gt) � SD  (ABE) � SD  AE (1) Ta lại có: CD  (SAD) �AE � CD  AE (2) Từ (1) (2) � AE  (SDC) mà AE �(ACE) � (ACE)  (SDC) (đpcm) * Ta có: + AF  (SBC) � AF  SC (1) + AE  (SDC) � AE  SC (2) Từ (1) (2) � SC  (AEF) mà SC �(SAC) � (AEF)  (SAC) (đpcm) Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA vng góc với mp(ABC) Gọi H hình chiếu vng góc A SB AB = a , SA = a S a) Chứng minh rằng: (SAB)  (SBC), (SBC)  (AHC) b) Xác định tính góc hai mp(SBC) (ABC) Giải: a) * (SAB)  (SBC) Ta có: + BC  AB (gt) BC  SA (vì SA  (ABC)) H � BC  (SAB) mà BC �(SBC) � (SAB)  (SBC) (đpcm) A C * (SBC)  (AHC) Ta có: + AH  SB (gt) (1) + BC  (SAB) �AH � BC  AH (2) B Suy ra: AH  (SBC) mà AH �(AHC) � (SBC)  (AHC) (đpcm) b) Ta có: + BC  AB (gt) BC  (SAB) � BC  SB � góc hai mp(SBC) (ABC) Vậy: SBA �  SA  a  � SBA � : Xét tam giác vuông SAB A, ta có: tanSBA � = 600 * Tính SBA AB a Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi Gọi O tâm hình thoi SB vng S a góc với mp(ABCD) BD = a SB = a) Chứng minh rằng: (SBD)  (ABCD) b) Gọi H hình chiếu vng góc B SO H Chứng minh rằng: (BHC)  (SAC) C B c) Xác định tính góc hai mp(SAC) (ABCD) Giải: a) Ta có: + AC  BD (đường chéo hình thoi) O + AC  SB (vì SB  (ABCD)) D � AC  (SBD) mà AC �(ABCD) � (SBD)  (ABCD) (đpcm) A b) Ta có: + BH  SO (gt) (1) Ta lại có: + AC  (SBD) �BH � AC  BH (2) Từ (1) (2) � BH  (SAC) mà AC �(SAC) � (BHC)  (SAC) (đpcm) S c) Ta có: + AC  (SBD) �SO (c/m câu a) � SO  AC BD  AC � góc hai mp(SAC) (ABCD) � SOB SB a a a 3��  :   SOB = 30 OB 6 a Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 2a, H chân đường cao hình chóp C A Gọi M trung điểm BC �  Xét tam giác vuông SOB B, ta có: tan SOB H M B a) Chứng minh rằng: (SBC)  (SAM) b) Xác định tính góc hai mp(SBC) (ABC), biết SH = a Giải: a) Ta có: + BC  AM (gt) + BC  SM (gt)  Suy ra: BC (SAM) mà BC �(SBC) � (SBC)  (SAM) (đpcm) b) Ta có: + BC  AM (gt) + BC  SM (gt) � Suy ra: SMH góc hai mp(SBC) (ABC) �  SH Xét tam giác vng SHM vng H, ta có: tan SMH HM 2a a �  a : a  � SMH � = 600 Mà: AM = Suy ra: tan SMH  a � HM = AM = 3 A Ghi nhớ: Nếu G trọng tâm tam giác ABC N P AG  AM , GM  AM 3 G GM  AG B C M Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, SO đường cao hình chóp Gọi M a trung điểm CD SM = S a) Chứng minh rằng: (SAC)  (SBD), (SCD)  (SOM) b) Xác định tính góc hai mp(SCD) (ABCD) Giải: a) * Ta có: + AC  BD (gt) + AC  SO (vì SO  (ABCD)) � AC  (SBD) mà AC �(SAC) � (SAC)  (SBD) (đpcm) A D * Ta có: + CD  SM (gt) CD  OM (gt) � CD  (SOM) mà CD �(SCD) � (SCD)  (SOM) (đpcm) M O B b) Ta có: + CD  SM (gt) CD  OM (gt) C góc hai mp(SCD) (ABCD) � � SMO �  OM  a : a  � SMO � = 300 Xét tam giác vng SOM O, ta có: cosSMO SM Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB  (BCD) Trong  BCD vẽ đường cao BE EF cắt O, a mp(ADC) vẽ DK  AC K Biết BE = a AB = a) CMR: * (ADC)  (ABE) HD: c/m: CD  (ABE) * (ADC)  (DFK) HD: c/m: DF  (ABC) � DF  AC c/m: AC  (DFK) b) Xác định tính góc hai mp(ADC) (BCD) ĐS: 300 Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BC = a SA vng góc với đáy a) Chứng minh rằng: (SAB)  (SBC) b) Gọi H hình chiếu vng góc A SB K điểm SC CMR: (AHK)  (SBC) 3a c) Xác định tính góc mp(SBC) (ABC) Biết SC = 2a SA = ĐS: 600 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SB vng góc với đáy Kẻ BK vng góc với AD K BK = SB = a) Chứng minh rằng: (SAB)  (SAC), (SBD)  (SCD), (SAD)  (SBK) b) Xác định tính góc hai mp(SAD) (ABCD) ĐS: 300 Bài 4: Trong mp(  ) cho tam giác ABC vng B Một đoạn thẳng AD vng góc với (  ) A a a � � , biết AB = DB = a) CMR: ABD góc hai mp(DBC) (ABC) Tính ABD b) CMR: (ABD)  (BCD) c) Gọi H, K giao điểm DB DC với mp(P) qua A  với DB CMR: HK // BC Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có SA = SB = SC = a a) Chứng minh rằng: (SBD)  (ABCD) HD: AC  (SBD) b) Chứng minh rằng:  SBD vuông S HD: c/m:  SAC =  ABC =  ADC Bài 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SH đường cao Chứng minh rằng: a) SA  BC HD: c/m: BC  (SAH) b) SB  AC HD: c/m: AC  (SBH) Bài 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Gọi O tâm cùa hình vng ABCD a) Tính độ dài đoạn thẳng SO b) Gọi M trung điểm SC Chứng minh rằng: (MBD)  (SAC) HD: BD  (SAC) � c) Tính độ dài đoạn OM tính góc hai mp(MBD) (ABCD) ĐS: MOC = 450 a HD: *  SOC vuông O M trung điểm SC � OM = � * Vì BD  (SAC) � BD  OM �(SAC) BD  OC Vậy: MOC góc mp(MBD) (ABCD) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 60 0, cạnh a SC = SC vng góc với mp(ABCD) a a) CMR: (SBD)  (SAC) b) Trong  SCA kẻ IK  SA K Tính IK ĐS: IK = IK IA a 3a  HD: b)  AKI ~  ACS � ; IA = ; AC = 2IA; SA = SC SA 2 � c) CMR: BKD  90 suy mp(SAB)  (SAD) a HD: *  ABD cạnh a � IB = ID = IK = �  BKD vuông K � * C/m: SA  (BDK) � SA  DK SA  BK � BKD góc mp(SAB) (SAD) Khoảng cách: * Nếu AH  (  ) AH khoảng cách từ * Nếu a b chéo nhau, AB  a, AB  b AB A  A đến mặt phẳng ( ) đoạn vuông góc chung a b a  O b A H  Bài tập mẫu B S Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có ABC tam giác vng cân B AC = 2a, cạnh SA vuông góc với mp(ABC) SA = a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) b) Gọi O trung điểm AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC) H Giải: a) Kẻ AH  SB (1) a Ta có: + CB  AB (gt) CB  SA (vì SA  (ABC)) K � � Suy ra: CB  (SAB) CB  AH (SBC) (2) 2a A O B C Từ (1) (2), ta có: AH  (SBC) Vậy: AH khoảng cách từ A đến mp(SBC) * AB2 + BC2 = AC2 � 2AB2 = 4a2 � AB = a 1 1 2a a *      � AH  � AH  AH SA AB2 a 2a 2a 3 � b) Dựng OK // AH OK  (SBC) Vậy OK khoảng cách từ O đến mp(SBC) 1 a a * OK = AH   2 Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD cạnh a, tâm O Cạnh bên 2a S a) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD) b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) Giải: a) Ta có: SO  (ABCD) � SO khoảng cách từ S đến mp(ABCD) �a � a 14 * SO = SA  OB  4a  � � 2 � � A b) Gọi M trung điểm CD Kẻ OH  SM (1) O Ta có: + CD  SO (vì SO  (ABCD)) CD  OM B Suy ra: CD  (SOM) �OH � CD  OH (2) Từ (1) (2), ta có: OH  (SCD) Suy ra: OH khoảng cách từ O đến mp(SCD) 1 30 7a 2 � � OH = a 210      * OH = 2 2 2 OH OM SO a 7a 7a 30 30 2 H D C M Bài tập tự luyện Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABC) ĐS: SH = a � = 600 Gọi O giao Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD cạnh a có góc BAD điểm AC BD Đường thẳng SO vng góc với mp(ABCD) SO = trung điểm BC, BE a) CMR: (SOF)  (SBC) HD: BC  (SOF) b) Tính khoảng cách từ O A đến mp(SBC) 3a Gọi E, F 3a HD: Kẻ OH  SF, c/m OH  (SBC) 3a * d(A, (SBC)) = IK = 2OH = HD: Gọi I  FO �AD , dựng IK  SF � IK  (SBC) * d(O, (SBC)) = OH = Vì AD // (SBC) nên d(A, (SBC)) = d(I, (SBC)) = IK � = 600 SA = SB = SD Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD cạnh a có góc BAD a 15 a a) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD) độ dài cạnh SC ĐS: SH = (H hình a chiếu vng góc S (ABCD) hay H trọng tâm  ABD), SC = b) CMR: (SAC)  (ABCD) HD: Vì SH  (ABCD) c) CMR: SB  BC HD: SC2 = SB2 + BC2 �  SBC vuông B (theo địng lý Pitago) � , tan  = d) Gọi  góc hai mp(SBD) (ABCD) Tính tan  ĐS:   SOH = 10 11 ... tan  huye� n huye� n ke� d) Tính cạnh: Áp dụng: + Định lý Pitago ca� nh + Trong tam giác đều: đường cao = + Trong hình vng: đường chéo = cạnh 2 Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình... hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Độ dài cạnh bên chiều cao lăng trụ đứng Hai mặt đáy song song, vng góc với cạnh bên Các mặt bên hình chữ nhật * Hình lăng trụ đứng có đáy tam giác, tứ... (ABCD) b) AC  (SBD) a c) BD  (SAC) d) Xác định tính góc SA (ABCD), biết SA  ĐS: 600 Bài 5: Trong mp(  ) cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm AC BD, S điểm nằm mp(  ) cho SA = SC, SB =