CHƯƠNG I HÌNH HỌC 11 (12 – 13) I Phép biến hình: * Nếu phép biến hình F viết F(M) = M �hay M � = F(M), ta gọi M �là ảnh điểm M qua phép biến hình F * Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng II Phép tịnh tiến: Lý thuyết: uuuuu r r uuuuur uuuu r N * Nếu Tvr (M)  M �� MM � * Nếu Tvr (M)  M �và Tvr (N)  N�� M �� v N  MN � MN  M �� x �x� * Phép tịnh tiến theo vectơ – khơng phép đồng tức � y �y� r u r * Tvr (d)  d � v v�cùng phương r x  xM  a � với v  (a;b) yM � yM  b � M� * Biểu thức tọa độ: Nếu Tvr (M)  M �� M � (xM + a; yM + b) M � =� * Phép tịnh tiến: + Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với + Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng + Biến tam giác thành tam giác + Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính Bài tập mẫu: Bài 1: uCho tam giác ABC có G trọng tâm Xác định ảnh u tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo uur uur vectơ AG Xác định điểm D cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A uuur (B)  B� Giải: * Dựng hình bình hành AB B� G � TAG D u u u r � T (C)  C � Dựng hình bình hành AC C� G AG uuur (A)  G uuur (ABC)  GB�� A TAG C Vậy: TAG u u u r u u u r uuur (D)  A � * Ta có: TAG DA  AG Dựng điểm D cho A G trung điểm DG C B Bài 2: Tìm ảnh điểm A(0; 2), B(1; 3) qua phép tịnh tiến Tvr trường hợp sau: r r r C' B' a) v  (1;1) b) v  (2;1) c) v  (0;0) (1;3) (2;3) (0;2) Giải: a) Tvr (A)  A � b) Tvr (A)  A � c) Tvr (A)  A � (2;4) (1;4) (1;3) a) Tvr (B)  B� b) Tvr (B)  B� c) Tvr (B)  B� Bài 3: Cho điểm A(1; 4) Tìm tọa độ điểm B cho A  Tvr (B) (tức A ảnh B), biết: r r r a) v  (2; 3) b) v  (3;1) c) v  (0;0) r x  xA  a � với v  (a;b) yB  yA  b � B Giải: Ghi nhớ: A  Tvr (B) � B(xA – a; yA – b) hay B  � a) A  Tvr (B) � B(-1; 7) b) A  Tvr (B) � B(4; 3) c) A  Tvr (B) � B(1; 4) r  Tvr (M) , biết: Bài 4: Tìm tọa độ vectơ v cho M � a) M(-1; 0), M � (3; 8) b) M(-5; 2), M � (4; -3) c) M(-1; 2), M � (4; 5) r r (M) � v  (x � M  T Giải: a) Ghi nhớ: v M � xM ;yM � yM ) r r r a) v  (4;8) b) v  (9; 5) c) v  (5;3) Bài 5: ra) Tìm tọa độ C” ảnh điểm C(3; -2) cách thực liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v  (2;4) phép vị tự tâm O, tỉ số r b) Tìm tọa độ ảnh điểm D(-5; 1) cách thực liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v  (3;2) phép quay tâm O, góc 900 c) Tìm tọa độ E” ảnh điểm E(5; 2) cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số -3 phép quay tâm O, góc - 900 � (1;2) V(O,2) (C� )  C� ( 2; 4) Giải: a) Gọi C” điểm cần tìm Ta có: Tvr (C)  C� � )  D� (3; 2) (2;3) Q(O,90 ) (D� b) Gọi D” điểm cần tìm Ta có: Tvr (D)  D� � )  E� (6;15) (15; 6) Q(O,90 ) (E� c) Gọi E” điểm cần tìm Ta có: V(O,3) (E)  E� r Bài 6: Tìm ảnh d qua phép tịnh tiến theo v , biết: r r a) d: x + 3y – = với v  (2; 1) b) d: 2x – y – = với v  (2; 1) Giải: a) * Cách 1: Gọi Tvr (d)  d� Khi d’ // d nên PT đt d’ có dạng: x + 3y + C = (3; 1) �d’ nên – + C = � C = Vậy: d’: x + 3y = Chọn A(1; 0) � d Khi đó: Tvr (A)  A � (3; 1) �d’ chọn B(-2; 1) � Tvr (B)  B� (0;0) �d’ * Cách 2: Chọn A(1; 0) � d � Tvr (A)  A � x  xA � x  yA� x y1  �  xB� xA � yB� yA � 0 0 � x – = -3y – � x + 3y =  x x  x� 2 �x� � � � � * Cách 3: Gọi M(x; y) �d, Tvr (M)  M �  y 1 y  y� 1 �y� � ’ ’ ’ Ta có: M �d � x + 3y – = � x – + 3y + – = � x + 3y’ = � M’ �d’: x + 3y = b) * Cách 1: Gọi Tvr (d)  d� Khi d’ // d nên PT đt d’ có dạng: 2x – y + C = Đt d’ qua điểm A’ B’ nên PT đt d’ là: (2; 2) �d’ nên + + C = � C = -6 Vậy: d’: 2x – y – = Chọn A(0; -1) � d Khi đó: Tvr (A)  A � (2; 2) �d’ chọn B(1; 1) � Tvr (B)  B� (3;0) �d’ * Cách 2: Chọn A(0; -1) � d � Tvr (A)  A � x  xA � x  yA� x y  �  xB� xA � yB� yA � 3  � 2x – = y + � 2x – y – =  x x  x� 2 �x� � � � � * Cách 3: Gọi M(x; y) �d, Tvr (M)  M �  y 1 y  y� 1 �y� � ’ ’ Ta có: M �d � 2x – y – = � 2x – – y – – = � 2x’ – y’ – = � M’ �d’: 2x –ry – = r Bài 7: Tìm PT đt d qua phép tịnh tiến theo v : d biến thành d’, biết: d’: 2x + 3y – = với v  (2; 1) Giải: * Cách 1: Gọi Tvr (d)  d� Khi d // d’ nên PT đt d có dạng: 2x + 3y + C = Đt d’ qua điểm A’ B’ nên PT đt d’ là: Chọn A’(2; -1) � d’ Khi đó: Tvr (A)  A �� A(4; 0) �d nên + + C = � C = -8 Vậy: d: 2x + 3y – = * Cách 2: Chọn A’(2; -1)�d’, Tvr (A)  A �� A(4; 0)�d chọn B’(-1; 1)�d’, Tvr (B)  B�� B(1; 2)�d x  xA x  yA x y  �  Đt d qua điểm A, B nên PT đt d là: xB  xA yB  yA 1  � 2x – = -3y � 2x + 3y – = x  x� 2 � x�  x � �� y  y� 1 y�  y1 � � ’� ’ � ’ ’ Ta có: M d 2x + 3y – = � 2x – + 3y – – = � 2x + 3y – = � M �d: 2x + 3y – = r Bài 8: Tìm tọa độ vectơ v cho Tvr (d)  d�với d: 3x – y + = d’: 3x – y – = r � v  (0; 8) Giải: Chọn A(0; 1)�d B(0; -7)�d’ Khi đó: Tvr (d)  d� r ) Bài 9: Tìm tọa độ vectơ v cho Tvr (C)  (C� * Cách 3: Gọi M’(x’; y’)� d’, Tvr (M)  M �� M = � a) (C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = (C’): (x + 5)2 + (y – 1)2 = b) (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = (C’): x2 + y2 + 4x – 6y + 10 = Giải: a) Từ (C), ta có: tâm I(2; -3) từ (C’), ta có: tâm I’(-5; 1) r ) � v  (7;4) Khi đó: Tvr (C)  (C� b) Từ (C), ta có: tâm I(1;r -2) từ (C’), ta có: tâm I’(-2; 3) ) � v  (3;5) Khi đó: Tvr (C)  (C� r Bài 10: Tìm ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo v , biết: r r a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – = với v  (3; 4) b) (C): (x + 3)2 + (y – 1)2 = với v  (3;1) Giải: a) * Cách 1: (C) có tâm I(2; -1) bán kính R = (5; 5) R’ = R = Vậy: Tvr (C)  (C') :(x  5)2  (y  5)2  Khi đó: Tvr (I)  I � x�  x � x  x� 3 � �� y�  y � y  y� 4 � 2 ’ ’ Ta có: M �(C) � x + y – 4x + 2y – = � (x – 3) + (y + 4)2 – 4x’ + 12 + 2y’ + – = 2 2 � x�  6x�   y�  8y�  16  4x�  12 2y�  8  � x�  y�  10x�  10y�  42  � * Cách 2: Gọi M(x; y) �(C), Tvr (M)  M � � M’ �(C� ) : x2 + y2 – 10x + 10y + 42 = b) * Cách 1: (C) có tâm I(-3; 1) bán kính R = (6;2) R’ = R = Vậy: Tvr (C)  (C'):(x  6)2  (y  2)2  Khi đó: Tvr (I)  I � x�  x  �x  x� 3 � �� y�  y1 1 � �y  y� ) : (x + 6)2 + (y – 2)2 = Ta có: M �(C) � (x’ + + 3)2 + (y’ – – 1)2 = � M’ �(C� � * Cách 2: Gọi M(x; y) �(C), Tvr (M)  M � r Bài 11: Phép tịnh tiến theo vectơ v  (3;m) Tìm m để đt d: 4x + 6y – = biến thành qua r phép tịnh tiến theo vectơ v r Giải: Từ đt d � VTCP d là: u  (6;4) r r m  � 12 = -6m � m = -2 Để Tvr (d)  d � v phương u � 6 Bài tập tự luyện: uuur Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Dựng ảnh tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD uuur Xác định điểm F cho phép tịnh tiến theo vectơ AC biến F thành A Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M, N, E, F trung điểm cạnh AB, CD, AD, MN Hãy tìm phép tịnh tiến biến  AFM thành  ENF r Bài 3: Tìm ảnh điểm sau qua phép tịnh tiến theo vectơ v , biết: r r a) A(2; -3) với v  (7;2) ĐS: A’(9; -1) b) B(8; 2) với v  (7;4) ĐS: B’(1; 6) r r c) C(1; 2) với v  (4;3) ĐS: C’(-3; 5) d) D(-5; -6) với v  (4; 9) ĐS: D’(-1; -15) r Bài 4: a) Tìm tọa độ điểm C cho A(3; 5) ảnh C qua phép tịnh tiến theo vectơ v  (1;2) r b) Tìm tọa độ điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v  (3; 5) , biết Tvr (M)  N N(-7; 2) c) r Cho điểm D(-5; 6) Tìm tọa độ điểm E cho D ảnh E qua phép tịnh tiến theo vectơ v  (2; 8) r d) Cho điểm A(1; 4) Tìm tọa độ điểm B cho A  Tvr (B) với v  (3;9) ĐS: a) C(4; 3) b) M(-10; 7) c) E(-3; 14) d) B(4; -5) r r Bài 5: Tìm tọa độ vectơ v cho Tv (A)  B , biết: a) A(-10; 1), B(3; 8) b) A(-5; 2), B(4; -3) c) A(-1; 2), B(4; 5) d) A(0; 0), B(-3; 4) e) A(5; -2), B(2; 6) f) A(2; 3), B(4; -5) r r r ĐS: a) v  (13;7) b) v  (9; 5) c) v  (5;3) r r r d) v  (3;4) e) v  (3;8) f) v  (2; 8) r Bài 6: a) Cho đt d: 2x – y + = Tìm ảnh đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v  (4; 3) r b) Cho đt d: x – 4y – = Tìm PT đt d’ cho Tvr (d)  d� với v  (2;5) r c) Cho đt d: 5x + 3y + = Tìm ảnh đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v  (2; 1) r d) Tìm ảnh đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v  (3;7) , biết: đt d: 4x – y – = ĐS: a) 2x – y – = b) x – 4y – 20 = r c) 5x + 3y + 18 = d) 4x – y – = ’ Bài 7: Tìm đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v : d biến thành d : r r a) d’: 2x + 3y – = với v  (2; 1) b) d’: 2x – 4y – = với v  (3; 1) r r c) d’: x – 6y + = với v  (2;4) d) d’: 5x – 3y + = với v  (2; 3) ĐS: a) 2x +3y – = b) 2x – 4y + = c)r x – 6y – 24 = d) 5x – 3y + = Bài 8: Tìm ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v , biết: r a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – = với v  (3; 4) ĐS: (x – 5)2 + (y + 5)2 = r b) (C): x2 + y2 + 6x – 4y + = với v  (3; 5) ĐS: (x + 6)2 + (y + 3)2 = 12 r c) (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 16 với v  (1;4) ĐS: (x – 1)2 + (y + 1)2 = 16 r d) (C): (x + 4)2 + (y – 1)2 = với v  (5;3) ĐS: (x – 1)2 + (y – 4)2 = r ) , biết: Bài 9: Tìm tọa độ vectơ v cho Tvr (d)  d�và Tvr (C)  (C� ’ a) d: 3x – 2y + = d : 3x – 2y – = b) d: 2x + y – = d’: 2x + y + = c) (C): (x + 3)2 + (y – 2)2 = (C’): (x – 5)2 + (y – 7)2 = 2 ’ 2 d) (C): (x r – 5) + (y + 4) = (Cr): (x + 2) + (y – 9) = r r ĐS: a) v  (1; 4) b) v  (0; 8) c) v  (8;5) d) v  (7;13) r Bài 10: Phép tịnh tiến theo vectơ v  (3m; 6) Tìm m để đt d: 4x + 2y – = biến thành r qua phép tịnh tiến theo vectơ v ĐS: m = -4 III Phép quay x�  y y� x � x� y � * Phép quay tâm O, góc -900: Q(O,900 ) (M)  M � =� y�  x � � Lý thuyết: * Phép quay tâm O, góc 900: Q(O,90 ) (M)  M � =� Bài tập mẫu: Bài 1: Tìm ảnh điểm sau qua phép quay tâm O, góc 900, biết: a) A(3; -4) b) B(-2; 1) c) C(4; 5) d) D(-2; -3) e) E(0; -5) � � Q (A)  A Q (B)  B Giải: a) (O,90 ) (4; 3) b) (O,90 ) (-1; -2) c) Q(O,90 ) (C)  C� (-5; 4) d) Q(O,90 ) (D)  D� (3; -2) e) Q(O,90 ) (E)  E� (5; 0) 0 0 Bài 2: Tìm ảnh điểm sau qua phép quay tâm O, góc -900, biết: a) A(2; 5) b) B(-4; 2) c) C(-3; -1) � Q (A)  A Q (B)  B� Giải: a) (O,90 ) (5; -2) b) (O,90 ) (2; 4) c) Q(O,90 ) (C)  C� (-1; 3) Bài 3: Tìm tọa độ điểm A cho Q(O,90 ) (A)  B , biết: 0 0 a) B(3; -5) b) B(-2; 7) Giải: a) Q(O,90 ) (A)  B � A(-5; -3) c) Q(O,90 ) (A)  B � A(-1; 3) 0 c) B(-3; -1) d) B(4; 6) b) Q(O,90 ) (A)  B � A(7; 2) d) Q(O,90 ) (A)  B � A(6; -4) 0 Bài 4: Tìm tọa độ điểm C cho D ảnh C qua phép quay tâm O, góc quay -90 0, biết: a) D(-5; 1) b) D(-4; -7) c) D(2; 3) d) D(4; -8) Giải: a) Q(O,90 ) (C)  D � C(-1; -5) b) Q(O,90 ) (C)  D � C(7; -4) 0 c) Q(O,90 ) (C)  D � C(-3; 2) d) Q(O,90 ) (C)  D � C(8; 4) Bài 5: Tìm ảnh đt d qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết đt d: 5x – 2y – = Giải: * Cách 1: Gọi Q(O,90 ) (d)  d� 0 Chọn A(0; -1) �d � Q(O,90 ) (A)  A � (1; 0)�d’ B(2; 4) � Q(O,90 ) (B)  B� (-4; 2)�d’ x  xA � y  yA � x1 y  � � 2x + 5y – =  Đt d’ qua điểm A’, B’ là: xB� xA � yB� yA � 4   � d  d� * Cách 2: Gọi Q(O,90 ) (d)  d� nên PT đt d’ có dạng: 2x + 5y + C = Chọn A(0; -1) �d � Q(O,90 ) (A)  A � (1; 0)�d’ Khi đó: + C = � C = -2 Vậy: d’: 2x + 5y – = 0 0 x�  y � x  y� � �� � * Cách 3: Gọi M(x; y)�d � Q(O,90 ) (M)  M � y� x y  x� � � ’ ’ ’ Ta có: M �d: 5x – 2y – = � 5y – 2(-x ) – = � 2x + 5y’ – = � M’�d’: 2x + 5y – = Bài 6: Tìm ảnh đt d qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết đt d: 2x – 5y + = Giải: * Cách 1: Gọi Q(O,90 ) (d)  d� Chọn A(2; 1)�d � Q(O,90 ) (A)  A � (1; -2)�d’ B(-3; -1) � Q(O,90 ) (B)  B� (-1; 3)�d’ 0 0 x  xA � y  yA � x1 y  � � 5x + 2y – =  xB� xA � yB� yA � 1 3 � d  d� * Cách 2: Gọi Q(O,90 ) (d)  d� nên PT đt d’ có dạng: 5x + 2y + C = Chọn A(2; 1)�d � Q(O,90 ) (A)  A � (1; -2)�d’ Khi đó: – + C = � C = -1 Đt d’ qua điểm A’, B’ là: 0 Vậy: d’: 5x + 2y – = x� y x  y� � � �� � * Cách 3: Gọi M(x; y)�d � Q(O,90 ) (M)  M � y�  x � y  x� � ’ ’ ’ Ta có: M �d: 2x – 5y + = � 2(-y ) – 5x + = � –5x – 2y’ + = � M’�d’: 5x + 2y – = Bài 7: Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết a) (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = b) x2 + y2 – 4x + 2y – = Giải: a) * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(2; -5) bán kính R = ) : (x – 5)2 + (y – 2)2 = Khi đó: Q(O,90 ) (I)  I � (5; 2) bán kính R’ = R = Vậy: Q(O,90 ) (C)  (C� x�  y � x  y� � �� � * Cách 2: Gọi M�(x; y)�(C) � Q(O,90 ) (M)  M � y� x y  x� � � Ta có: M �(C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = � (y’ – 2)2 + (-x’ + 5)2 = � (x’ – 5)2 + (y’ – 2)2 = � M’�(C’): (x – 5)2 + (y – 2)2 = b) * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(2; -1) bán kính R = Khi đó: Q(O,90 ) (I)  I � (1; 2) bán kính R’ = R = Vậy: (x – 1)2 + (y – 2)2 = x�  y � x  y� � �� � * Cách 2: Gọi M�(x; y)�(C) � Q(O,90 ) (M)  M � y� x y  x� � � 2 ’ ’ ’ Ta có: M �(C): x + y – 4x + 2y – = � (y ) + (-x ) – 4y + 2(-x’) – = 2 � x�  y�  2x�  4y�   � M’�(C’): x2 + y2 – 2x – 4y – = Bài 8: Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết: (x + 4)2 + (y – 1)2 = 16 Giải: * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(-4; 1) bán kính R = ) : (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16 Khi đó: Q(O,90 ) (I)  I � (1; 4) bán kính R’ = R = Vậy: Q(O,90 ) (C)  (C� 0 0 0 0 x� y x  y� � � �� � * Cách 2: Gọi M�(x; y)�(C) � Q(O,90 ) (M)  M� y�  x � y  x� � 2 ’ ’ Ta có: M �(C): (x + 4) + (y – 1) = 16 � (–y + 4) + (x – 1) = 16 � (y’ – 4)2 + (x’ – 1)2 = 16 � M’�(C’): (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16 Bài 9: Cho tam giác ABC, trọng tâm G a) Tìm ảnh điểm B qua phép quay tâm A góc quay 900 C" b) Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay 900 A c) Tìm ảnh tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay 90 Giải: a) Dựng AB = AB’ (AB, AB’) = 900 Khi đó: B’ ảnh điểm B qua phép quay tâm A, góc quay 900 b) Dựng AC = AC’ (AC, AC’) = 900 B' ’ ’ B Khi đó: B C ảnh BC qua phép quay tâm A, góc quay 90 G c) Dựng GA = GA’và (GA, GA’) = 900, GB = GB” A' (GB, GB”) = 900, GC = GC” (GC, GC”) = 900 Khi đó: Tam giác A’B”C” ảnh tam giác ABC qua phép quay tâm G, góc quay 900 B" C Bài 10: Cho  ABC có tâm O phép quay tâm O, góc quay 120 a) Xác định ảnh đỉnh A, B, C qua phép quay Q(O,120 ) b) Tìm ảnh  ABC qua phép quay Q(O,120 ) C' 0 OA  OB � � Q(O,120 ) (A) = B; Giải: a) Ta có: � (OA,OB)  120 � OB  OC OC  OA � � � Q(O,120 ) (B) = C; � � Q(O,120 ) (C) = A � (OB,OC)  120 (OC,OA)  1200 � � b) Vậy: Q(O,120 ) (  ABC) =  BCA A 0 120 O120 120 0 Bài 11: Cho hình vng ABCD tâm O a) Tìm ảnh điểm C qua phép quay tâm A, góc quay 900 b) Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay tâm O, góc quay 900 Giải: a) Dựng AE = AC (AE, AC) = 900 Vậy: Q(A ,90 ) (C) = E b) Ta có: Q(O,90 ) (B) = C; Q(O,90 ) (C) = D B C D E C O 0 B A Vậy: Q(O,90 ) (BC) = CD Bài 12: Cho hình vng ABCD tâm O, M trung điểm AB, N trung điểm OA Tìm ảnh A M  AMN qua phép quay tâm O, góc quay 900 B ’ ’ Giải: Gọi M , N trung điểm OA OD Ta có: Q(O,90 ) (A) = D; Q(O,90 ) (M) = N M' Q(O,90 ) (M’) = N’ N 0 0 O Vậy: Q(O,90 ) (  AMN) =  DM’N’ N' D F C Bài 13: Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương, O tâm đườngAtròn ngoại tiếp Tìm ảnh  OAB qua phép dời hình cóuuđược cách thực liên tiếp phép quay tâm O, gócEquay u r 600 qua phép tịnh tiến theo vectơ OE O Giải: Ta có: * Q(O,60 ) (O) = O; Q(O,60 ) (A) = B; Q(O,60 ) (B) = C D B 0 C � Q(O,60 ) (  OAB) =  OBC uuur uuur uuur * TOE (O) = E; TOE (B) = O; TOE (C) = D uuur  Vậy: TOE ( OBC) =  EOD Bài 14: Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương, O tâm đường tròn ngoại tiếp I trung điểm AB F Q a) Tìm ảnh  AIF qua phép quay (O,120 ) A E b) Tìm ảnh  AOF qua phép quay Q(E,60 ) 0 Giải: a) Gọi J trung điểm CD Ta có: Q(O,120 ) (A) = C; Q(O,120 ) (I) = J; Q(O,120 ) (F) = B Vậy: Q(O,120 ) (  AIF) =  CJB 0 I O D B J b) Ta có: Q(E,60 ) (A) = C; Q(E,60 ) (O) = D; Q(E,60 ) (F) = O Vậy: Q(E,60 ) (  AOF) =  CDO 0 C Bài 15: Cho hai hình vng vng ABCD BEFG (hình bên) Tìm ảnh  ABG phép quay tâm B, góc quay -900 C D Giải: Ta có: Q(B,90 ) (A) = C; Q(B,90 ) (B) = B; Q(B,90 ) (G) = E G F Vậy: Q(B,90 ) (  ABG) =  CBE 0 0 A E B Bài 16: Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương, O tâm đường tròn ngoại tiếp Tìm F phép quay biến  AOF thành  CDO EA  EC � A E � Q(E,60 ) (A) = C Giải: Ta thấy: * � (EA, EC)  60 � EO  ED EF  EO � � � Q(E,60 ) (O) = D; * � � Q(E,60 ) (F) = O *� 0 (EO, ED)  60 (EF, EO)  60 � � B Q (  AOF) Vậy: (E,60 ) =  CDO O D C Bài 17: Cho hai tam giác ABD CBE (hình bên) Tìm phép quay biến  ACD thành  BCE BA  BC � C � Q(B,60 ) (A) = C Giải: Ta thấy: * � (BA, BC)  60 � BD  BE � � Q(B,60 ) (D) = E *� (BD, BE)   60 � Vậy: Q(B,60 ) ( ABD) =  CBE A Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm ảnh điểm sau qua phép quay tâm O, góc 90 , biết: a) A(4; -2) b) B(-5; 3) c) C(-6; -7) d) D(2; 9) ’ ’ ’ ĐS: a) A (2; 4) b) B (-3; -5) c) C (7; -6) d) D’(-9; 2) Bài 2: Tìm ảnh điểm sau qua phép quay tâm O, góc -900, biết: a) E(3; 5) b) F(-4; 6) c) M(7; -2) d) N(-3; -8) * Q(B,60 ) (B) = B D 0 B E ĐS: a) E’(5; -3) b) F’(6; 4) c) M’(-2; -7) d) N’(-8; 3) Bài 3: Tìm tọa độ điểm M cho Q(O,90 ) (M)  N , biết: a) N(-3; 2) b) N(4; -7) c) N(-5; -1) d) N(5; 9) ĐS: a) M(2; 3) b) M(-7; -4) c) M(-1; 5) d) M(9; -5) Bài 4: Tìm tọa độ điểm E cho F ảnh E qua phép quay tâm O, góc quay -90 0, biết: a) F(4; 7) b) F(3; -2) c) F(5; -6) d) F(-3; -8) ĐS: a) E(-7; 4) b) E(2; 3) c) E(6; 5) d) E(8; -3) Bài 5: Tìm ảnh đt d qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết : a) d: 2x – 3y + = b) d: 3x + y = c) d: y – = d) d: x + = e) d: – 4x + 2y + = f) d: 2x + 5y – = g) d: x – 7y – = ĐS: a) d’: 3x + 2y + = b) d’: x – 3y = c) d’: x + = d) d’: y + = e) d’: 2x + 4y – = f) d’: 5x – 2y – = g) d’: 7x + y – = 0 Bài 6: Tìm ảnh đt d qua phép quay tâm O, góc quay -90 , biết : a) d: x + 3y – = b) d: 2x – y + = c) d: 3x – 2y = ĐS: a) d’: 3x – y – = b) d’: x + 2y – = c) d’: 2x + 3y = Bài 7: Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết a) (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = b) (C): x2 + (y – 2)2 = 2 c) (C): x + y – 4x – 2y – = d) (C): x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = ĐS: a) (C’): (x + 1)2 + ( y + 1)2 = b) (C’): (x + 2)2 + y2 = c) (C’): (x + 1)2 + (y – 2)2 = d) (C’): (x + 2)2 + (y + 1)2 = 16 Bài 8: Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết a) (C): (x – 3)2 + (y + 5)2 = 16 b) (C): (x + 3)2 + y2 = 25 c) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – = d) (C): x2 + y2 + 10x – 8y – = ĐS: a) (C’): (x + 5)2 + (y + 3)2 = 16 b) (C’): x2 + (y – 3)2 = 25 ’ 2 c) (C ): (x + 2) + (y + 3) = 16 d) (C’): (x – 4)2 + (y – 5)2 = 49 Bài 9: Cho tam giác ABC điểm O Xác định ảnh tam giác qua phép quay tâm O góc 60 Bài 10: Cho hình bình hành ABCD tâm O a) Tìm ảnh OC qua phép quay tâm B, góc quay 900 b) Tìm ảnh  AOB qua phép quay tâm O, góc quay -900 Bài 11: Cho hình vng ABCD có tâm O theo chiều âm a) Tìm ảnh điểm A qua phép quay tâm C, góc quay -900 b) Tìm ảnh đường thẳng AD qua phép quay tâm O, góc quay 900 Bài 12: Cho tam giác ABC, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm phép quay biến  ABC thành Bài 13: Cho hình vng ABCD tâm O Tìm phép quay biến hình vng ABCD thành Bài 14: Cho  ABC Về phía ngồi tam giác, dựng ba tam giác BCA1, ACB1, ABC1 a) Tìm phép quay biến  AC1C thành  ABB1 b) Tìm phép quay biến  ACA1 thành  B1CB IV Phép vị tự: Lý thuyết: x�  kx � � a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M’ Ký hiệu: V(O,k) (M)  M � y�  ky � ) b) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) Viết: V(O,k) (C)  (C� Gọi I, R I’, R’ tâm bán kính đường tròn (C) (C’) Khi đó: V(O,k) (I)  I �và R’ = k R Bài tập mẫu: Bài 1: Tìm ảnh điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) A(-3; 4), k = -2 b) B(2; -6), k = c) C(4; 5), k = Giải: a) V(O,2) (A)  A� (6; -8) b) c) V(O,3) (C)  C� (12; 15) d) V (B)  B� (1; -3) V (D)  D� (2; 8) (O, ) 2 (O,  ) d) D(-3; -12), k =  Bài 2: Tìm tọa độ điểm A cho B ảnh A qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: 1 a) B(-2; 6), k = b) B(0; 3), k = c) B(3; -1), k = -3 d) B(-5; -2), k =  V (A)  B � A(0; 9) Giải: a) V(O,2) (A)  B � A(-1; 3) b) (O, ) V (A)  B � c) V(O,3) (A)  B � A(-1; ) d) (O, ) A(10; 4) Bài 3: Tìm tỉ số k, biết V(O,k ) (A)  A� : ’ a) A(-2; 4), A (1; -2) b) A(4; 5), A’(-8; -10) c) A(-3; -8), A’(-9; -24) �k =  � k = 2 �k = Giải: a) V(O,k ) (A)  A� b) V(O,k ) (A)  A� c) V(O,k ) (A)  A� Bài 4: Tìm ảnh đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) d: 4x – 3y + = 0, k = -3 b) d: x – 4y + = 0, k = ’ ’ � d // d nên PT đt d có dạng: 4x – 3y + C = Giải: a) * Cách 1: Gọi V(O,3) (d)  d� Chọn A(2; 3)�d � V(O,3) (A)  A� (-6; -9) �d’ Khi đó: -24 + 27 + C = � C = -3 Vậy: PT đt d’ là: 4x – 2y – = * Cách 2: Chọn A(2; 3)�d � V(O,3) (A)  A� (-6; -9) �d’ B(-1; -1) �d � V(O,3) (B)  B� (3; 3) �d’ x  x A� y  y A� x 6 y9  � � 12x – 9y – =  PT đt d’ qua điểm A’, B’ là: x B� x A� y B� y A�   � 4x – 3y – = V (d)  d� � d’ // d nên PT đt d’ có dạng: x – 4y + C = b) * Cách 1: Gọi (O, ) V (A)  A� Chọn A(-2; 0) �d � (O, ) (-1; 0) �d’ Khi đó: -1 + C = � C = ’ Vậy: PT đt d là: x – 4y + = V (A)  A� V (B)  B� * Cách 2: Chọn A(-2; 0)�d � (O, 12 ) (-1; 0) �d’ B(6; 2) �d � (O, 12 ) (3; 1) �d’ x  x A� y  y A� x 1 y   � � x – 4y + =  x B� x A� y B� y A�  1  Bài 5: Tìm ảnh đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) (C): (x – 2)2 + (y + 4)2 = 1, k =  b) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – = 0, k = V (C)  (C� ) Giải: a) Gọi (O, ) Từ (C), ta có: tâm I(2; -4) bán kính R = PT đt d’ qua điểm A’, B’ là: 1 (I)  I� (-1; 2) bán kính R’ =  R = Vậy: (C’): (x + 1)2 + (y – 2)2 = 2 ) Từ (C), ta có: tâm I(3; -2) bán kính R = b) Gọi V(O,4) (C)  (C� Khi đó: V(O,4) (I)  I� (12; -8) bán kính R’ = R = 16 Vậy: (C’): (x – 12)2 + (y + 8)2 = 256 Bài 6: Cho tam giác ABC Tìm ảnh B, C qua phép vị tự tâm A, tỉ số k, biết: Khi đó: V (O,  ) a) k = 2 V (C)  E c) k =  b) k = M uuur uuur uuur uuur V (B)  D B Giải: a) Dựng AD  AB , AE  AC � (A ,21) (A ,2) D uuur uuuu r uuur uuur b) Dựng AM  2AB , AN  2AC A P C E � V(A ,2) (B)  M V(A ,2) (C)  N Q uuur r uuur uuu uuur V (B)  Q V (C)  P c) Dựng AQ   AB , AP   AC � (A , 23) (A , 23) 3 Bài 7: Cho hình bình hành ABCD (theo chiều âm) có tâm O Tìm ảnh hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = uuuu r uuur A' B' Giải: a) Dựng OA �  2OA � V(O,2) (A)  A � A uuur uuur u u u u r u u u r ; OC� B OB�  2OB � V(O,2) (B)  B�  2OC � V(O,2) (C)  C� O uuuu r uuur C D OD�  2OD � V(O,2) (D)  D� D' C' Vậy: A’B’C’D’ ảnh hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm ảnh điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) A(-3; 5), tỉ số k = -3 b) B(4; -1), tỉ số k = c) C(-1; 3), tỉ số k = d) D(-2; -8), tỉ số k =  e) E(3; 9), k = f) F(3; -7), tỉ số k = 3 ĐS: a) A’(9; -15) b) B’(8; -2) c) C’(-4; 12) d) D’(1; 4) e) E’(2; 6) f) F’(1;  ) Bài 2: Tìm tọa độ điểm E cho F ảnh E qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: 1 a) F(-2; 8), tỉ số k = b) F(3; -2), tỉ số k = c) F(5; 1), tỉ số k =  ĐS: a) E(-1; 4) b) E(6; -4) c) F(-20; -4) Bài 3: Tìm ảnh đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) d: 5x – 2y + = 0, tỉ số k = b) d: 3x + y – = 0, tỉ số k = -2 c) d: 4x – y = 0, tỉ số k  d) d: x + 3y – = 0, tỉ số k =  3 ’ ’ ’ ĐS: a) d : 5x – 2y + = b) d : 3x + y + = c) d : 4x – y = d) d’: 3x + 9y + = Bài 4: Tìm ảnh đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) (C): (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4, tỉ số k = -3 b) (C): x2 + y2 – 2x + 6y – = 0, tỉ số k = 1 c) (C): (x + 2)2 + (y – 8)2 = 9, tỉ số k = d) (C): x2 + y2 + 6x – 18y + = 0, tỉ số k =  ’ 2 ’ 2 ĐS: a) (C ): (x + 9) + (y – 3) = b) (C ): (x – 4) + (y + 12) = 12 c) (C’): (x + 1)2 + (y – 4)2 = d) (C’): (x – 1)2 + (y + 3)2 = 87 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A, G trọng tâm tam giác Tìm ảnh tam giác ABC qua phép vị tự: a) Tâm G, tỉ số k = b) Tâm G, tỉ số k = c) Tâm A, tỉ số k = -2 Bài 6: Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác Gọi D, E, F theo thứ tự trung điểm cạnh BC, CA, AB Xác định ảnh tam giác ABC qua phép vị tự tâm G, tỉ số k = 10 N ... số k biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) Viết: V(O,k) (C)  (C� G i I, R I , R’ tâm bán kính đường tròn (C) (C’) Khi đó: V(O,k) (I)  I �và R’ = k R B i tập mẫu: B i 1: Tìm ảnh i m sau... tròn ngo i tiếp tam giác ABC Tìm phép quay biến  ABC thành B i 13: Cho hình vng ABCD tâm O Tìm phép quay biến hình vng ABCD thành B i 14: Cho  ABC Về phía ng i tam giác, dựng ba tam giác BCA1,... B i 14: Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương, O tâm đường tròn ngo i tiếp I trung i m AB F Q a) Tìm ảnh  AIF qua phép quay (O,120 ) A E b) Tìm ảnh  AOF qua phép quay Q(E,60 ) 0 Gi i: