bộ giáo dục đào tạo - kú thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm học 2002 2003 ®Ị chÝnh thøc - môn thi: toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bµi (3 điểm) Khảo sát hàm số y = x2 + x − x−2 − x − ( m − 4) x + m − m Xác định m để đồ thị hàm số y = x+m2 có tiệm cận trùng với tiệm cận tơng ứng đồ thị hàm số khảo sát Bài (2 điểm) Tìm nguyên hàm F(x) hàm số x3 + x + x − f ( x) = biÕt r»ng F(1) = x2 + x + 1 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x 10 x 12 x+2 y= đờng thẳng y = Bài (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có khoảng cách đờng chuẩn 36 bán kính qua tiêu điểm M nằm elíp (E) 15 Viết phơng trình tắc elíp (E) Viết phơng trình tiếp tuyến elíp (E) điểm M Bài (2,5 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có toạ độ xác định hệ thức: → → → A = (2; 4; - 1) , OB = i + j − k , C = (2; 4; 3) , OD = i + j − k Chøng minh r»ng AB ⊥ AC, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB TÝnh thÓ tích khối tứ diện ABCD Viết phơng trình tham số đờng vuông góc chung hai đờng thẳng AB CD Tính góc đờng thẳng mặt phẳng (ABD) Viết phơng trình mặt cầu (S) ®i qua ®iĨm A, B, C, D ViÕt phơng trình tiếp diện () mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) Bài (1 điểm) Giải hệ phơng trình cho hệ thức sau: y y +1 C x +1 : C x : C xy −1 = : : hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh Chữ kí giám thị giám thị 2: kú thi tèt nghiÖp trung häc phổ thông năm học 2002 2003 - bé gi¸o dơc đào tạo h−íng dÉn chÊm §Ị chÝnh thøc môn toán * Bản hớng dẫn chấm thi có trang * I C¸c chó ý chÊm thi 1) Hớng dẫn chấm thi (HDCT) nêu biểu điểm chấm thi tơng ứng với đáp án nêu dới 2) Nếu thí sinh có cách giải đúng, cách giải khác với đáp án, ngời chấm cho điểm theo số điểm qui định dành cho câu ( hay phần ♦) ®ã 3) ViƯc vËn dơng HDCT chi tiÕt tíi 0,25 điểm phải thống tất tổ chấm thi môn Toán Hội đồng 4) Sau cộng điểm toàn làm tròn điểm môn thi theo qui định chung II Đáp án cách cho ®iĨm Bµi (3 ®iĨm) (2, ®iĨm) - Tập xác định R \ { 2} - Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: (0, 25 điểm) x2 + x −  x =1 , y' = ⇔  x −2  x=3 ( x − 2) y’< víi ∀ x ∈ (− ∞ ; ) ∪ (3 ; ∞ ) : hàm số nghịch biến khoảng ( ; 1), (3 ;+∞ ) y’ > víi ∀ x ∈ (1; ) ∪ (2; 3): hµm sè đồng biến khoảng (1; 2), (2; 3) b) Cực trị: Hàm số có hai cực trị: cực tiểu yCT = y(1) = , cực đại yCĐ = y(3) = - c) Giíi h¹n: ♦ y =− ♦ x+2 − lim y = lim x → 2− x → 2− ,y'= − x + 4x − x −2 =+ ∞, lim y = lim x → 2+ x → 2+ − x + 4x − x −2 = − ∞ (0, 25 điểm) Đồ thị có (0, 25 điểm) tiệm cận ®øng x = - ♦ (0, 75 ®iÓm) lim [ y − ( − x + 2)] = lim ( − ) = §å x→∞ x→∞ x thị có tiệm cận xiên y = - x + (0, 25 điểm) d) Bảng biến thiên: x y’ y −∞ - +∞ +∞ + + + CT - Đồ thị: - -2 CĐ - - - (0, 25 điểm) Hớng dẫn chấm thi TNTHPT năm 2003: đề thức Vẽ dạng đồ thị : + Giao với Oy: điểm (0; 2,5) + Đồ thị có tâm đối xứng điểm ( ; 0) + Đồ thị có hai tiƯm cËn: x = vµ y = - x + (0, 50 ®iĨm) ( 0, ®iÓm) ♦ y = −x+2+ m − 6m − , x+m2 đồ thị có tiệm cận đứng x = vµ chØ lim y = ∞ x→ m − 6m − = ∞ Qua giíi h¹n cã + m – = hay m = x→2 x + m − ⇔ lim ♦ Víi m = ta cã y= − x2 + 4x − = − x+2 − x−2 x −2 (0, 25 ®iĨm) ; nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y = - x +2 Vậy giá trị cần tìm m m = Bài (2 ®iÓm ) (1 ®iÓm) ♦ f ( x) = ⇒ ∫ x3 + x + x − ( x + 1) = x +1− (0, 25 ®iĨm) ( x + 1) x2 x3 + x + x − dx = +x+ + C; x +1 ( x + 1) ♦ V× F (1) = (0, 75 điểm) 13 x2 13 nên C = − Do ®ã F ( x) = +x+ − x +1 6 (0, 25 ®iĨm) ( điểm) Giải phơng trình: x − 10 x − 12 = x+2 ta tìm đợc cận lấy tích phân là: - (0, 25 điểm) Diện tích hình phẳng S cần tìm S= 6 x − 10 x − 12 16 − x + 10 x + 12 dx = (14 − x − ) dx − dx = x+2 x+2 x+2 −1 −1 ∫ ∫ H−íng dÉn chấm thi TNTHPT năm 2003: đề thức = (14 x − x − 16 ln x + ) = 63 − 16 ln −1 (0, 75 điểm) Bài (1, điểm) (1 điểm) Giả sử điểm M góc phần t thứ M = (x; y) Khi theo đầu ta có hệ thức: bán kính qua tiªu MF = a + ex = 15, MF = a - ex = 9, khoảng cách ®−êng chuÈn: a e = 36 VËy a = 12, e = , x= (0, 75 điểm) Vì c = a.e = vµ cã b = a - c = 80 nên phơng trình tắc elíp (E) 2 x 144 y + =1 80 (0, 25 ®iĨm) (0, ®iĨm) Tiếp tuyến với elíp (E) điểm M( ; 11 ) Trên elíp (E) điểm có toạ độ (- x + 11 y = 32 (0, 25 ®iĨm) 11 11 11 9 ), ( ; ), (- ; ) 2 2 ; có bán kính qua tiêu 15 Do ta có phơng trình tiếp tuyến với elíp (E) điểm (tơng ứng) lµ : - x + 11 y = 32 , x − 11 y = 32 , x + 11 y = 32 (0, 25 điểm) Bài (2, điểm) (1 điểm) Theo đầu ta có A= (2; 4; -1), B = (1; 4; -1), C = (2; 4; 3), D = (2; 2; -1) Do ®ã: → → ⇒ AB ⊥ AC AB AC = ( −1).0 + 0.0 + 0.4 = → → ⇒ AC ⊥ AD AC AD = 0.0 + 0.( −2) + 4.0 = → → AB AD = ( −1).0 + 0.( −2) + 0.0 = ⇒ AB ⊥ AD (0, 75 ®iĨm) ♦ ThĨ tÝch khèi tø diƯn ABCD tÝnh theo c«ng thøc VABCD = → → → [ AB , AC ] AD = (do → → [ AB , AC ] = (0; 4; 0) ) (0,2 điểm) (0, 75 điểm) Đờng thẳng CD nằm mặt phẳng (ACD) mà mặt phẳng (ACD) AB nên đờng vuông góc chung AB CD đờng thẳng qua A vuông góc với CD Vậy đờng thẳng có vectơ phơng u = → → [ AB, CD ] = (0; 2; 1) phơng trình tham số lµ:  x =2   y = − 2t  z = −1 + t  → → (0, 50 điểm) Mặt phẳng (ABD) có vectơ ph¸p tuyÕn n = [ AB , AD ] = (0; 0; 2) Vậy góc nhọn mặt phẳng (ABD) xác định biểu thức: Hớng dẫn chấm thi TNTHPT năm 2003: đề thức n.u → → n u sin ϕ = = 0.0 + 0.( −2) + 2.1 = 22 ( −2) + 12 = 5 (0, 25 điểm) (0, 75 điểm) Phơng trình mặt cầu (S) có dạng: x + y + z + ax + by + cz + d = Bèn ®iĨm A, B, C, D nằm mặt cầu nên có toạ độ thoả mãn phơng trình Do hệ số a, b, c, d nghiệm hệ phơng trình sau: A ∈ (S )  21 + 4a + 8b − 2c + d =  18 + 2a + 8b − 2c + d = B ∈ (S )   C ∈ (S )  29 + 4a + 8b + 6c + d =  + 4a + 4b − 2c + d = D (S ) Giải hệ cã a = − , b = -3, c = - 1, d = Do phơng trình mặt cầu (S) là: x + y + z − 3x − y − z + = 21 2 Mặt cầu (S) có tâm K = ( ; 3; 1) bán kính R = (0, 50 điểm) ; phơng trình mặt phẳng (ABD) là: z + = Phơng trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABD) có dạng z + d = Mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S) khoảng cách từ tâm K đến mặt phẳng R: 1.1 + d 2 + +1 = 21 − 21 ⇒ d1 = 2 , d2 = − 21 + 2 VËy cã hai tiÕp diƯn cđa mặt cầu (S) cần tìm là: (1): z + (2): z Bài (1 điểm) y y +1 HÖ thøc C x +1 : C x 21 − 2 21 + 2 =0 =0 (0, 25 ®iÓm) y −1 : Cx = : : với x y số nguyên dơng mà y+1 x cho hệ phơng trình sau: y+1  Cy C x  x +1 =   y  C x +1 C y−x1  = ♦ Gi¶i hƯ: x! x +1 ( x + 1)!    y!( x + − y )! = 5( y + 1)!( x − y − 1)!  6( x − y )( x + − y ) = 5( y + 1) x = ⇔ ⇔  ( x + 1)! x! x +1 y =   = =  y!( x + − y )! 2( y − 1)!( x − y + 1)!  6y (0, 50 ®iĨm) (0, 50 ®iĨm) - HÕT - Bộ giáo dục đào tạo - kú thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm học 2003 – 2004 -đề thức môn thi: toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài (4 điểm) Cho hàm số y = x x có đồ thị (C) Khảo sát hàm số Viết phơng trình tiÕp tun cđa (C) ®i qua ®iĨm A(3; 0) TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay hình phẳng giới hạn (C) đờng y = 0, x = 0, x = quay quanh trục Ox Bài (1 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ®o¹n [ ; π ] y = sin x − sin x Bµi (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elÝp (E): x2 y2 + =1 25 16 cã hai tiêu điểm F1 , F2 Cho điểm M(3; m) thuộc (E), viết phơng trình tiếp tuyến cđa (E) t¹i M m > Cho A B hai điểm thuộc (E) cho A F1 + B F2 = H·y tÝnh A F2 + B F1 Bài (2,5 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2) Chøng minh A, B, C, D lµ bốn điểm đồng phẳng Gọi A hình chiếu vuông góc điểm A mặt phẳng Oxy Hãy viết phơng trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C, D Viết phơng trình tiếp diện () mặt cầu (S) điểm A Bài (1 điểm) Giải bất phơng trình (với hai ẩn n, k ∈ N) P n+5 (n − k ) ! ≤ 60 A kn++23 - hÕt Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: giáo dục đào tạo kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm học 2003 – 2004 h−íng dÉn chÊm ®Ị thức Môn thi: Toán Bản hớng dẫn chấm có trang I C¸c chó ý chÊm thi 1) Hớng dẫn chấm thi (HDCT) nêu biểu điểm chấm thi tơng ứng với đáp án dới 2) Nếu thí sinh có cách giải khác với đáp án, ngời chấm cho điểm theo số điểm qui định dành cho câu ( hay phần ) 3) Việc vận dụng HDCT chi tiết tới 0,25 điểm phải thống tất tổ chấm thi môn Toán Hội đồng 4) Sau cộng điểm toàn làm tròn điểm môn thi theo qui định chung II Đáp án cách cho điểm (4 điểm) Bài 1 (2, điểm) - Tập xác định R - Sù biÕn thiªn: 0, 25 a) ChiỊu biến thiên: y = x x , y ' = x 2− 2x ,  x=0 y' = ⇔   x=2 ; y’< víi ∀ x ∈ (0; ) : hàm số nghịch biến khoảng (0 ; ) , y’ > víi ∀ x ∈ (− ∞ ; ) (2; +): hàm số đồng biến khoảng (- ; 0), (2; +) 0, 75 b) Cực trị: Hàm số có hai cực trị: cực đại yCĐ = y(0) = 0, cực tiểu yCT = y(2) = c) Giới hạn: lim x y=, lim y = + , đồ thị tiệm cận x+ d) Bảng biến thiên: x -∞ y’ + 0 - 0, 25 0, 25 +∞ + +∞ C§ y − -∞ − CT 0, 25 e) Tính lồi, lõm điểm uốn đồ thị: y= 2x 2, y = x = Ta cã y(1) = -∞ x , +∞ - låi ® uèn U( 1; − - Đồ thị: y Đồ thị + 0, 25 lâm ) y O -1 Vẽ dạng đồ thị : + Giao víi Oy: (0; 0) + Giao víi Ox: (0; 0) , (3; 0) + Tâm đối xứng đồ thị: x U(1; 0, 50 ) (1,0 điểm) Nêu đợc điều kiện cần đủ để đờng thẳng d víi hƯ sè gãc k ®i qua ®iĨm (3; 0) có phơng trình y = k(x-3) tiếp xúc với (C) hệ phơng trình sau có nghiệm   x − x = k ( x − 3) x − 2x = k 0, 25 0, 50 0, 25 Tìm đợc hai nghiƯm (x; k) lµ: (0 ; 0) , (3 ; 3) Viết đợc hai phơng trình tiếp tuyÕn: y = , y = 3x – (0,50 điểm) 3 V = π ∫ ( x − x ) dx = π ∫ ( x − =π( x + x ) dx 0, 25 x x x 81π − + ) = (®vtt) 63 35 0, 25 (1 điểm) Bài Tính đạo hàm hàm số y = 2sinx − sin x : 0, 25 y' = cosx − 4sin x cosx • Tìm đợc điểm tới hạn đoạn [0; ] : y’ = ⇔ x∈ { π π 3π , , } 0, 25 π Tính giá trị y(0), y(), y( ) , y ( ) , y ( ) 4 2 ⇒ y = , max y = [0; π ] [0; π ] 0, 50 (1,5 điểm) Bài (0,75 điểm) 16 ) x 16 y + =1 ViÕt đợc phơng trình tiếp tuyến (E) M: 25 5.16 3x y + = Hay 25 • Tìm tọa độ điểm M(3; m) thuộc (E), m>0: M = (3; (0, 75 điểm) Tìm đợc A F1 + A F2 = B F1 + B F2 = 10 0, 50 0, 25 0, 50 Tính đợc A F2 + B F1 = 20 – (A F1 + B F2 ) = 12 0, 25 (2,5 điểm) Bài (1 điểm) → → → → AB , AC , AD ®ång ph¼ng ⇔ [ AB, AC ] AD → → → AB = (0; 4; 0) , AC = ( 3; 4; ) , AD = ( 3; 0; ) ; Nêu đợc ba vectơ Tính đợc: → → [ AB, AC ] = (0; 0; − 12) → → = 0, → ; [ AB, AC ] AD = 3.0 + 0.0 + 0.(-12) = ( Ghi chó: NÕu thÝ sinh lËp ln ®iĨm cho nằm mặt phẳng z = chấm đạt điểm tối đa) 0,2 0, 75 (1,0 điểm) Nêu đợc A = (1; -1; 0), phơng trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x + y + z + ax + by + cz + d = (*) Nêu đợc bốn điểm A, B , C , D nằm mặt cầu (S) nên có toạ độ thoả mãn phơng trình (*) hệ số a, b, c, d nghiệm hệ phơng trình :       + 2a − 2b + d = A' ∈ (S) 14 + 2a + 6b + 4c + d = B ∈ (S) 29 + 8a + 6b + 4c + d = C ∈ (S) 21 + 8a − 2b + 4c + d = D ∈ (S) 0, 50 Giải hệ tìm đợc: a = − , b = -1, c = - 1, d = 1; phơng trình mặt cầu (S) : x + y + z − 5x − y − 2z + = 0, 50 (0,50 điểm) Tìm đợc tâm I = ( ; 1; 1) mặt cầu (S) vectơ pháp tuyến IA' = ( − ; − 2; − 1) cđa tiÕp diƯn () 0, 25 Viết đợc phơng trình tiếp diện () mặt cầu (S) điểm Alà: 3x + 4y + 2z +1= (1 điểm) Bài Viết đợc: 0, 25 P n+5 (n k ) ! ≤ 60 A kn++23 k≤n ⇔   (n + 5)(n + 4)(n − k + 1) ≤ 60 Xét với n > : khẳng định bất phơng trình vô nghiệm Xét với n {0, 1, , 3} tìm đợc nghiệm (n; k) bất phơng trình là: (0; 0) , (1; 0) , (1; 1) , (2; 2) , (3; 3) - HÕT - 0, 50 0, 25 0, 25 Bảng biến thiªn: −∞ x y’ + y 0 1 - + +∞ +∞ -1 −∞ 0,50 -3 c) Đồ thị: Giao điểm đồ thị với trục tung (0; 1) y 1 O 0,50 x -1 -3 Câu (1,0 điểm) Câu (1,5 điểm) (1,0 điểm) Khi x = y =1; y(3) = 0,50 Phơng trình tiếp tuyến cần tìm lµ: y -1 = y′(3) (x -3) hay y = 9x – 26 0,50 y′ = - 2sin(2x -1), y′′ = -4cos(2x -1) 0,50 y′′ + 4y = -4cos(2x -1) + 4cos(2x -1) = (0,75 ®iĨm) x2 + y2 – 2x – 15 = ⇔ (x - 1)2 + y2 = 16 Đờng tròn cho có tâm I(1; 0), bán kính R = 0,50 0,75 (0,75 điểm) Tiếp tuyến cần tìm nhận vectơ IA = (0;4) vectơ pháp tuyến Phơng trình tiếp tuyÕn lµ: 0(x -1) + 4(y - 4) = y = Câu (2,0 điểm) (0,75 điểm) Đờng thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng (), nhận vectơ G n = (1; 2; 2) vectơ phơng x +1 y z = = Phơng trình tắc đờng thẳng là: 2 0,75 0,75 (1,25 điểm) Mặt phẳng () song song với mặt phẳng () nên () nhận n vectơ pháp tuyến Phơng trình () là: 1(x + 1) - 2(y – 2) + 2(z - 3) = ⇔ x – 2y + 2z – = 0,75 Khoảng cách hai mặt phẳng () () là: d = d (M, ()) = Câu (2,0 ®iÓm) 1.( −1) − 2.2 + 2.3 + + (−2) + 2 2 = = 0,50 (1,0 ®iĨm) π π 0 I = ∫ cos x sin xdx = ∫ sin xd(sin x) I= sin x π 2 = [( ) -0]= 2 0,50 0,50 (1,0 ®iĨm) ĐK: n N, n Phơng trình cho cã d¹ng: n! (n + 1)! − −7 = 2!(n − 2)! (n − 1)! ⇔ n − 5n − 14 = ⎡n = Nghiệm thoả mãn điều kiện n = n = Phơng trình có nghiệm n =7 ……….HÕt……… 0,50 0,50 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM 2008 LẦN Mơn thi: TỐN – Trung học phổ thông không phân ban Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3,5 điểm) Cho hàm số y = x − 3x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho Tìm giá trị tham số m để phương trình x − 3x − m = có ba nghiệm phân biệt Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x) = 2x − đoạn [ 0; 2] x −3 Tính tích phân I = ∫ 3x + 1dx Câu (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A ( 2; 1) , B ( −1; ) C (1; − ) Chứng minh tam giác ABC cân đỉnh A Viết phương trình đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC vuông góc với đường thẳng AB Câu (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( −2; 1; − ) đường thẳng d x −1 y +1 z = = có phương trình −1 Chứng minh đường thẳng OM song song với đường thẳng d Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M vng góc với đường thẳng d Câu (1,0 điểm) Tìm hệ số x khai triển nhị thức Niutơn ( 2x − 1) 10 Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2008 LẦN Mơn thi: TỐN – Trung học phổ thơng khơng phân ban ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản Hướng dẫn chấm có 03 trang I Hướng dẫn chung Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm Hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với Hướng dẫn chấm thống thực Hội đồng chấm thi Sau cộng điểm tồn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm) II Đáp án thang điểm CÂU Câu (3,5 điểm) ĐÁP ÁN ĐIỂM (2,5 điểm) a) Tập xác định: D = \ 0,25 b) Sự biến thiên: • ⎡x = Chiều biến thiên: y ' = 3x − 6x; y ' = ⇔ ⎢ ⎣ x = y ' > ⇔ x ∈ ( − ∞; ) ∪ ( 2; + ∞ ) y ' < ⇔ x ∈ ( 0; ) Hàm số đồng biến khoảng ( − ∞; ) ( 2; + ∞ ) 0.75 Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) • Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = − • Giới hạn: lim y = + ∞, lim y = − ∞ • Tính lồi lõm điểm uốn đồ thị: y '' = 6x − 6; y '' = ⇔ x = x −∞ +∞ y" − + x →+ ∞ Đồ thị x →−∞ Điểm uốn U (1; −2 ) lồi lõm 0,50 • Bảng biến thiên x −∞ + y' y +∞ − 0 + 0,50 +∞ −4 −∞ c) Đồ thị: y Đồ thị qua gốc tọa độ O cắt trục Ox điểm ( 3;0 ) −1 O x −2 0,50 −4 (1,0 điểm) Phương trình x − 3x − m = ⇔ x − 3x = m (1) Câu (2,0 điểm) Số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = x − 3x đường thẳng y = m 0,50 Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt − < m < 0,50 (1,0 điểm) Xét đoạn [ 0; 2] , ta có: f ' ( x ) = f (0) = −5 ( x − 3) < f ( ) = −3 max f ( x ) = f ( ) = f ( x ) = f ( ) = −3 [0; 2] [0; 2] 0,50 0,50 (1,0 điểm) Đặt t = 3x + ⇒ t = 3x + ⇒ 2tdt = 3dx Đổi cận: x = ⇒ t = x = ⇒ t = 2 2 2 14 I = ∫ t dt = t = 31 9 0,50 0,50 Câu (0,75 điểm) (1,5 điểm) 0,75 Ta có AB = AC = 10 Vậy tam giác ABC cân đỉnh A (0,75 điểm) Câu (2,0 điểm) ⎛ ⎞ JJJG Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có G ⎜ ; − ⎟ ; BA = ( 3;1) ⎝ 3⎠ 0,50 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ Phương trình đường thẳng cần tìm: ⎜ x − ⎟ + 1⎜ y + ⎟ = hay 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 9x + 3y − = 0,25 (1,0 điểm) Vectơ phương đường thẳng d đường thẳng OM G JJJJG G JJJJG u = ( 2; − 1; ) OM = ( −2; 1; − ) ; u phương OM 0,75 Mặt khác, O ( 0; 0; ) ∉ d Suy OM song song với d 0.25 (1,0 điểm) Câu (1,0 điểm) G Vectơ pháp tuyến mặt phẳng cần tìm u = ( 2; − 1; ) 0,50 Phương trình mặt phẳng cần tìm: ( x + ) − 1( y − 1) + ( z + ) = hay 2x − y + 2z + = 0,50 Số hạng tổng quát khai triển nhị thức Niutơn ( 2x − 1) 10 k Tk +1 = C10 ( 2x ) 10 − k ( −1) k k 10 − k = ( −1) 210− k C10 x k Ta có 10 − k = ⇔ k = ( k = 0, 1, , 10 ) 0,50 0,50 Hệ số x ( −1) 27 C10 ……….Hết……… BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM 2008 LẦN Mơn thi: TỐN – Trung học phổ thông phân ban Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ BAN (8,0 điểm) Câu (3,5 điểm) Cho hàm số y = 3x − , gọi đồ thị hàm số ( C ) x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm có tung độ −2 Câu (1,5 điểm) Giải phương trình log3 ( x + ) + log ( x − ) = log ( x ∈ \ ) Câu (1,0 điểm) Giải phương trình x − 2x + = tập số phức Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông B, đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Biết AB = a, BC = a SA = 3a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Gọi I trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a II PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN (2,0 điểm) A Thí sinh Ban KHTN chọn câu 5a câu 5b Câu 5a (2,0 điểm) 1 Tính tích phân I = ∫ ( 4x + 1) e x dx Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = −2x + 4x + đoạn [ 0; 2] Câu 5b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; − 2; ) , N ( −3; 4; ) mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 2y + z − = Viết phương trình đường thẳng MN Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P) B Thí sinh Ban KHXH&NV chọn câu 6a câu 6b Câu 6a (2,0 điểm) Tính tích phân J = ∫ ( 6x − 4x + 1) dx Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = 2x − 6x + đoạn [ −1; 1] Câu 6b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 2; − 1; 3) mặt phẳng (P) có phương trình x − 2y − 2z − 10 = Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A vng góc với mặt phẳng (P) Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2008 LẦN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Mơn thi: TỐN – Trung học phổ thơng phân ban ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản Hướng dẫn chấm có 04 trang I Hướng dẫn chung Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm Hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với Hướng dẫn chấm thống thực Hội đồng chấm thi Sau cộng điểm tồn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm) II Đáp án thang điểm CÂU Câu (3,5 điểm) ĐÁP ÁN ĐIỂM (2,5 điểm) a) Tập xác định: D = \ \ {−1} 0,25 b) Sự biến thiên: • Chiều biến thiên: y ' = ( x + 1) , y ' > với ∀x ∈ D 0,75 Hàm số đồng biến khoảng ( − ∞; −1) ( −1; + ∞ ) • Cực trị: Hàm số khơng có cực trị • Giới hạn, tiệm cận: lim − y = + ∞, lim + y = − ∞ Tiệm cận đứng: x = −1 x →( −1) x →( −1) 0,50 lim y = 3, lim y = Tiệm cận ngang: y = x →− ∞ x →+ ∞ • Bảng biến thiên: x −∞ y' −1 + + +∞ y −∞ +∞ 0,50 c) Đồ thị: ⎛2 ⎞ Đồ thị cắt trục Ox điểm ⎜ ; ⎟ , cắt trục Oy điểm ( 0; − ) ⎝3 ⎠ y 0,50 −1 O x −2 (1,0 điểm) Câu (1,5 điểm) Điểm thuộc đồ thị có tung độ y = −2 điểm ( 0; −2 ) ; y ' ( ) = 0,50 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = ( x − ) − hay y = 5x − 0,50 Phương trình cho tương đương ⎧x + > ⎪⎪ ⎨x − > ⎪ ⎪⎩log ( x − ) = log 0,50 ⎧x > ⇔⎨ ⎩x − = 0,50 ⎧x > ⎪ ⇔ ⎨ ⎡ x = ⇔ x = ⎪ ⎢ x = −3 ⎩⎣ 0,50 Nghiệm phương trình x = Câu (1,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Δ = − = 4i = ( 2i ) 0,50 Nghiệm phương trình là: x = + i x = − i 0,50 (1,0 điểm) Tam giác ABC vng B, nên diện tích tam giác ABC là: SΔABC = S a2 BA.BC = 2 I A C B 0,50 a3 Thể tích khối chóp S.ABC: VS.ABC = SA.SΔABC = 0,50 (1,0 điểm) SA ⊥ ( ABC ) BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB (định lý ba đường vng góc) Tam giác SBC vng B, nên BI = SC Tam giác SBC vuông B tam giác SAB vuông A, nên: a 13 SC = SB2 + BC = SA + AB2 + BC = 13a Vậy BI = Câu 5a (2,0 điểm) 0,50 0,50 (1,0 điểm) Đặt u = x + ⇒ du = 4dx; dv = e x dx, ta chọn v = e x I = ( 4x + 1) e x1 = 5e − − 4e x 0,50 − ∫ e x dx = e + 0,50 (1,0 điểm) ⎡x = Trên đoạn [ 0; 2] , ta có: f ' ( x ) = −8x + 8x; f ' ( x ) = ⇔ ⎢ ⎣ x = Tính f ( ) = 3, f (1) = f ( ) = −13 lập bảng biến thiên hàm số, ta được: max f ( x ) = f (1) = f ( x ) = f ( ) = −13 (2,0 điểm) 0,50 [0; 2] [0; 2] Câu 5b 0,50 (1,0 điểm) JJJJG G Vectơ phương đường thẳng MN: MN = ( − 4;6; ) hay u = ( − 2;3;1) Phương trình đường thẳng MN: x −1 y + z = = −2 0,50 0,50 (1,0 điểm) Trung điểm đoạn thẳng MN: I ( −1; 1; 1) Khoảng cách từ I đến (P): d ( I, (P) ) = Câu 6a (2,0 điểm) −2 + + − + +1 0,50 = 0,50 (1,0 điểm) ( J = 2x − 2x + x )1 0,50 = (16 − + ) − ( − + 1) = 0,50 (1,0 điểm) Trên đoạn [ −1;1] , ta có: f ' ( x ) = 6x − 12x; f ' ( x ) = ⇔ x = Tính f ( ) = 1, f ( −1) = −7 f (1) = −3 lập bảng biến thiên hàm số, ta được: max f ( x ) = f ( ) = f ( x ) = f ( −1) = −7 (2,0 điểm) 0,50 [ −1; 1] [ −1; 1] Câu 6b 0,50 (1,0 điểm) Khoảng cách từ A đến (P): d ( A, ( P ) ) = = + − − 10 1+ + 12 = 0,50 0,50 (1,0 điểm) G n (1; − 2; − ) vectơ phương đường thẳng cần tìm ⎧x = + t ⎪ Phương trình đường thẳng cần tìm: ⎨ y = −1 − t ⎪ z = − 2t ⎩ ……….Hết……… 0,50 0,50 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM 2008 LẦN Mơn thi: TỐN – Bổ túc trung học phổ thông Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3,5 điểm) 2x − , gọi đồ thị hàm số ( C ) x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm A ( 2; 3) Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f (x) = x − 3x − đoạn [ −1; 3] Tính tích phân I = ∫ (3x − 2x + 1)dx Câu (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (1; ) đường thẳng Δ có phương trình 3x + 4y − = Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ Viết phương trình đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng Δ Câu (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; − 2; ) đường thẳng d có x −1 y z +1 phương trình = = Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng có phương trình 2x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M vng góc với đường thẳng d Câu (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n cho A 2n − 8C2n + 36 = (trong A kn số chỉnh hợp chập k n phần tử C kn số tổ hợp chập k n phần tử) Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2008 LẦN Mơn thi: TỐN – Bổ túc Trung học phổ thơng ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản Hướng dẫn chấm có 03 trang I Hướng dẫn chung Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm Hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với Hướng dẫn chấm thống thực Hội đồng chấm thi Sau cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm) II Đáp án thang điểm CÂU Câu (3,5 điểm) ĐÁP ÁN ĐIỂM (2,5 điểm) a) Tập xác định: D = \ \ {1} 0,25 b) Sự biến thiên: • Chiều biến thiên: y ' = −1 ( x − 1) < 0, ∀ x ∈ D 0,75 Hàm số nghịch biến khoảng ( − ∞; 1) (1; + ∞ ) • Cực trị: Hàm số khơng có cực trị • Giới hạn, tiệm cận: l im+ y = + ∞, lim− y = − ∞ Tiệm cận đứng: x = x →1 x →1 0,50 lim y = Tiệm cận ngang: y = x→ ∞ • Bảng biến thiên: x −∞ y' y +∞ − − 0,50 +∞ −∞ c) Đồ thị: ⎛1 ⎞ Đồ thị cắt trục Ox điểm ⎜ ; ⎟ ⎝2 ⎠ y cắt trục Oy điểm ( 0; 1) 0,50 O 1 x (1,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Hệ số góc tiếp tuyến A: y ' ( ) = −1 0,50 Phương trình tiếp tuyến: y = − ( x − ) + hay y = − x + 0,50 (1,0 điểm) ⎡x = Trên đoạn [ −1; 3] , ta có: f ' ( x ) = 3x − 3; f ' ( x ) = ⇔ ⎢ ⎣ x = −1 f ( −1) = 0, f (1) = − f ( 3) = 16 max f ( x ) = f ( 3) = 16 f ( x ) = f (1) = − 0,50 0,50 [ −1; 3] [ −1; 3] (1,0 điểm) ( )0 0,50 = (1 − + 1) − = 0,50 I = x3 − x + x Câu (1,5 điểm) 1 (0,75 điểm) Khoảng cách A đến Δ: d ( A, Δ ) = 3.1 + 4.2 − 32 + 42 = 0,75 (0,75 điểm) Phương trình đường thẳng qua A song song với Δ có dạng d: 3x + 4y + C = 0, với điều kiện C ≠ −1 A ∈ d ⇔ 3.1 + 4.2 + C = ⇔ C = −11 (thỏa mãn điều kiện) Phương trình đường thẳng d: 3x + 4y − 11 = 0,50 0,25 Câu (2,0 điểm) (1,0 điểm) ⎧ x −1 y z +1 = = ⎪ Tọa độ giao điểm N ( x; y; z ) cần tìm thỏa mãn: ⎨ ⎪⎩2x − y + z − = 0,50 Giải hệ ta được: N ( 3; 1; ) 0.50 (1,0 điểm) G n = ( 2; 1; 3) vectơ pháp tuyến mặt phẳng cần tìm Câu (1,0 điểm) 0,50 Phương trình mặt phẳng cần tìm: ( x − 1) + 1( y + ) + ( z − ) = hay 2x + y + 3z = 0,50 Điều kiện: n ∈ `, n ≥ 0,25 Ta có: A 2n − 8C2n + 36 = ⇔ n ( n − 1) − n! + 36 = 2!( n − ) ! ⎡n = ⇔ n − n − 12 = ⇔ ⎢ ⎣ n = −3 0,50 0,25 Đối chiếu điều kiện, ta có n = ……….Hết……… ... biến thiên: x y y - +∞ +∞ + + +∞ CT - Đồ thị: - -2 CĐ - -∞ -∞ (0, 25 ®iĨm) H−íng dÉn chÊm thi TNTHPT năm 2003: đề thức Vẽ dạng đồ thị : + Giao với Oy: điểm (0; 2,5) + Đồ thị có tâm đối xứng... x − 10 x − 12 16 − x + 10 x + 12 dx = (14 − x − ) dx − dx = x+2 x+2 x+2 −1 Hớng dẫn chấm thi TNTHPT năm 2003: ®Ị chÝnh thøc = (14 x − x − 16 ln x + ) = 63 16 ln (0, 75 điểm) Bài (1, điểm)... AB , AD ] = (0; 0; 2) VËy góc nhọn mặt phẳng (ABD) xác ®Þnh bëi biĨu thøc: H−íng dÉn chÊm thi TNTHPT năm 2003: đề thức n.u n u sin ϕ = = 0.0 + 0.( −2) + 2.1 = 22 ( −2) + 12 = 5 (0, 25 ®iĨm)