Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Nguyễn Quốc Thịnh I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π ) phương trình:  cos3x + sin3x  5 sin x + ÷ = cos2x + 1+ 2sin2x     π π x=  x ≠ − 12 + mπ  HD: Điều kiện:  PT ⇔ 5cos x = 2cos2x + ⇔ cos x = ⇔  π x ≠ x = π + nπ  12  2 2 Baøi (ĐH 2002B) Giải phương trình: sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x  π x = k HD: PT ⇔ cos x.sin9x.sin2x = ⇔ sin2x.sin9x = ⇔  x = kπ  Baøi (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm phương trình: cos3x − 4cos2x + 3cosx − = π 3π 5π 7π HD: PT ⇔ 4cos2 x(cos x − 2) = ⇔ cos x = ⇔ x = ; x = ;x= ;x= 2 2 2sin x + cos x + Bài (ĐH 2002A–db1) Cho phương trình: = a (a tham số) sin x − 2cos x + 1 Giải phương trình a = Tìm a để phương trình có nghiệm π HD: 1) x = − + kπ 2) − ≤ a ≤ (Đưa PT bậc sinx cosx) Baøi (ĐH 2002A–db2) Giải phương trình:  x tan x + cos x − cos2 x = sin x 1+ tan x.tan ÷  2  cos x ≠ x HD: x = k2π Chú ý: Điều kiện:  1+ tan x.tan = cos x ≠ −  cos x Baøi HD: Baøi HD: Baøi HD: (ĐH 2002B–db1) Giải phương trình: tan4 x + 1= ( 2− sin2 2x) sin3x cos4 x π 2π 5π 2π Điều kiện: cosx ≠ PT ⇔ sin3x = ⇔ x = + k ; x = +k 18 18 sin4 x + cos4 x 1 (ĐH 2002B–db2) Giải phương trình: = cot2x − 5sin2x 8sin2x π Điều kiện: sin2x ≠ PT ⇔ cos2 2x − 5cos2x + = ⇔ x = ± + kπ = sin x (ĐH 2002D–db1) Giải phương trình: 8cos2 x  cos x ≠ Điều kiện:  sin x > Trang 78 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Nguyễn Quốc Thịnh π 3π 5π 7π + k2π ; x = + k2π ; x = + k2π ; x = + k2π 8 8 (ĐH 2002D–db2) Xác định m để phương trình: PT ⇔ x = Bài (*) 2( sin4 x + cos4 x) + cos4x + 2sin2x − m=  π có nghiệm thuộc đoạn  0;   2 10 HD: − ≤ m≤ −2  π Đặt t = sin2x (*) có nghiệm thuộc  0;  ⇔ f (t) = 3t2 − 2t = m+ có nghiệm t∈[0;1]  2 cos2x Bài 10 (ĐH 2003A) Giải phương trình: cot x − 1= + sin2 x − sin2x 1+ tan x HD: Điều kiện: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0, tan x ≠ π PT ⇔ (cos x − sin x)(1− sin x.cos x + sin2 x) = ⇔ x = + kπ Bài 11 (ĐH 2003B) Giải phương trình: cot x − tan x + 4sin2x = sin2x sin x ≠ π HD: Điều kiện:  PT ⇔ 2cos2 2x − cos2x − 1= ⇔ x = ± + kπ  cos x ≠ 2 x π  2x Baøi 12 (ĐH 2003D) Giải phương trình: sin  − ÷tan x − cos =  4 HD: Điều kiện: cos x ≠  x = π + k2π (1 − sin x )(1 + cos x )(sin x + cos x ) = PT ⇔ ⇔ π  x = − + kπ  Bài 13 (ĐH 2003A–db1) Giải phương trình: cos2x + cos x( 2tan2 x − 1) = HD: Điều kiện: cosx ≠ π PT ⇔ (1+ cos x)(2cos2 x − 5cos x + 2) = ⇔ x = (2k + 1)π , x = ± + k2π Bài 14 (ĐH 2003A–db2) Giải phương trình: 3− tan x( tan x + 2sin x) + 6cos x = π + kπ Baøi 15 (ĐH 2003B–db1) Giải phương trình: 3cos4x − 8cos6 x + 2cos2 x + = π π HD: PT ⇔ cos2x(−2cos4 x + 5cos2 x − 3) = ⇔ x = + k , x = kπ x π  ( − 3) cos x − 2sin2  − ÷ Bài 16 (ĐH 2003B–db2) Giải phương trình:   = 2cos x − 1 π HD: Điều kiện: cos x ≠ PT ⇔ − 3cos x + sin x = ⇔ x = + (2k + 1)π cos2 x( cos x − 1) Bài 17 (ĐH 2003D–db1) Giải phương trình: = 2(1+ sin x) sin x + cos x  π HD: Điều kiện: sin x + ÷ ≠  4 HD: Điều kiện: cosx ≠ PT ⇔ (1+ cos2x)(3cos2 x − sin2 x) = ⇔ x = ± Trang 79 Nguyễn Quốc Thịnh Đề thi Tốt nghiệp – Đại học PT ⇔ (1+ sin x)2(1+ cos x) = ⇔ x = − π + kπ , x = π + k2π 2cos4x sin2x π HD: Điều kiện: sin2x ≠ PT ⇔ 2cos2 2x − cos2x − 1= ⇔ x = ± + kπ Baøi 19 (ĐH 2004B) Giải phương trình: 5sin x − = 3(1− sin x)tan2 x Bài 18 (ĐH 2003D–db2) Giải phương trình: cot x = tan x +  π  x = + k2π HD: Điều kiện: cos x ≠ PT ⇔ 2sin2 x + 3sin x − = ⇔  π x = + k2π  Bài 20 (ĐH 2004D) Giải phương trình: (2cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin2x − sin x  π  x = ± + k2π HD: PT ⇔ (2cos x − 1)(sin x + cos x) = ⇔   x = − π + kπ  Baøi 21 (ĐH 2004A–db1) Giải phương trình: 4( sin3 x + cos3 x) = cos x + 3sin x HD: Baøi 22 (ĐH 2004A–db2) Giải phương trình: 1− sin x + 1− cos x = HD:  π 1 = Bài 23 (ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: 2cos x + ÷+   sin x cos x HD: Bài 24 (ĐH 2004B–db2) Giải phương trình: sin4x.sin7x = cos3x.cos6x HD: Baøi 25 (ĐH 2004D–db1) Giải phương trình: 2sin x.cos2x + sin2x.cos x = sin4x.cos x HD: Bài 26 (ĐH 2004D–db2) Giải phương trình: sin x + sin2x = 3(cos x + cos2x) HD: Baøi 27 (ĐH 2005A) Giải phương trình: cos2 3x.cos2x − cos2 x = π Baøi 28 (ĐH 2005B) Giải phương trình: 1+ sin x + cos x + sin2x + cos2x =  π  x = − + kπ HD: PT ⇔ (sin x + cos x)(2cos x + 1) = ⇔   x = ± 2π + k2π  Baøi 29 (ĐH 2005D) Giải phương  π  π cos4 x + sin4 x + cos x − ÷sin 3x − ÷− =  4  4 π HD: PT ⇔ sin2 2x + sin2x − = ⇔ x = + kπ Bài 30 (ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm khoảng (0; π ) phương trình:  x 3π  4sin2 − 3cos2x = 1+ 2cos2  x − ÷  4 HD: PT ⇔ 2cos2 4x + cos4x − = ⇔ x = k Trang 80 trình: Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Nguyễn Quốc Thịnh  π 5π 17π 5π HD: PT ⇔ cos 2x + ÷ = cos(π − x) ⇔ x = ; x= ; x=  6 18 18  π Bài 31 (ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: 2cos3  x − ÷− 3cos x − sin x =  4 3 2 HD: PT ⇔ cos x + sin x + 3cos x.sin x + 3cos x.sin x − 3cos x − sin x = Xét trường hợp:  cos x = π a) Nếu cos x = PT ⇔  ⇔ x = + kπ sin x − sin x = b) Nếu cos x ≠ ta chia vế PT cho cos3 x  cos x ≠ π Khi đó: PT ⇔  ⇔ x = + kπ tan x =  π π Vậy: PT có nghiệm: x = + kπ x = + kπ Baøi 32 (ĐH 2005B–db1) Giải ( sin x.cos2x + cos x tan x − 1) + 2sin x = phương trình  π  x = + k2π HD: Điều kiện: cos x ≠ PT ⇔ 2sin2 x + sin x − 1= ⇔   x = 5π + k2π  π  cos2x − Bài 33 (ĐH 2005B–db2) Giải phương trình : tan + x÷− 3tan x = 2  cos2 x π HD: Điều kiện: cos x ≠ PT ⇔ tan3 x = −1 ⇔ x = − + kπ  3π  sin x − x÷+ =2 Bài 34 (ĐH 2005D–db1) Giải phương trình: tan   1+ cos x  π  x = + k2π HD: Điều kiện: sin x ≠ PT ⇔ 2sin x = ⇔   x = 5π + k2π  Baøi 35 (ĐH 2005D–db2) Giải phương trình: sin2x + cos2x + 3sin x − cos x − =  π  x = + k2π   sin x =  x = 5π + k2π HD: PT ⇔ (2sin x − 1)(sin x − cos x − 1) = ⇔  ⇔ sin x − π  =  π ÷   4  x = + k2π  x = π + k2π  Baøi 36 (ĐH 2006A) Giải phương trình: 2( cos6 x + sin6 x) − sin x.cos x − 2sin x = π PT ⇔ 3sin2 2x + sin2x − = ⇔ x = + kπ 5π Đối chiếu điều kiện, kết luận PT có nghiệm: x = + 2mπ HD: Điều kiện: sin x ≠ Trang 81 : Nguyễn Quốc Thịnh Baøi 37 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học (ĐH 2006B) Giải phương trình:  x cot x + sin x 1+ tan x.tan ÷ =  2 x HD: Điều kiện: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0, cos ≠  π  x = 12 + kπ cos x sin x PT ⇔ + = ⇔ sin2x = ⇔  sin x cos x  x = 5π + kπ  12 Bài 38 (ĐH 2006D) Giải phương trình: cos3x + cos2x − cos x − 1=  x = kπ HD: PT ⇔ sin2 x(2cos x + 1) = ⇔  2π + k2π x = ±  Baøi 39 (ĐH 2006A–db1) Giải phương trình: cos3x.cos3 x − sin3x.sin3 x = 2+ π π HD: PT ⇔ cos4x = ⇔ x = ± + k 16 2  π 2sin 2x − ÷+ 4sin x + 1=  6  x = kπ HD: PT ⇔ sin x( 3cos x + sin x + 2) = ⇔  7π + k2π x =  Bài 41 (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: ( 2sin2 x − 1) tan2 2x + 3( 2cos2 x − 1) = π π HD: Điều kiện: cos2x ≠ PT ⇔ cos2x( tan2 2x − 3) = ⇔ x = ± + k Bài 42 (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình: cos2x + (1+ 2cos x)(sin x − cos x) = Baøi 40 (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình:  π  x = + kπ HD: PT ⇔ (sin x − cos x)(cos x − sin x + 1) = ⇔  π x = + k2π   x = π + k2π Baøi 43 (ĐH 2006D–db1) Giải phương trình: cos3 x + sin3 x + 2sin2 x =  π  x = − + kπ HD: PT ⇔ (cos x + sin x)(1− cos x)(sin x + 1) = ⇔  x = k2π  x = − π + k2π  Bài 44 (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: 4sin3 x + 4sin2 x + 3sin2x + 6cos x =  π  x = − + k2π HD: PT ⇔ (sin x + 1)(−2cos2 x + 3cos x + 2) = ⇔   x = ± 2π + k2π  Baøi 45 (ĐH 2007A) Giải phương trình: ( 1+ sin2 x) cos x + ( 1+ cos2 x) sin x = 1+ sin2x Trang 82 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Nguyễn Quốc Thịnh  π  x = − + kπ HD: PT ⇔ (sin x + cos x)(1− sin x)(1− cos x) = ⇔  π x = + k2π   x = k2π Bài 46 (ĐH 2007B) Giải phương trình: 2sin2 2x + sin7x − 1= sin x  π π x = + k  π 2π HD: PT ⇔ cos4x( 2sin3x − 1) = 0) ⇔  x = + k  18  5π 2π  x = 18 + k  x x  sin + cos ÷ + 3cos x =  2  π  x = + k2π  π HD: PT ⇔ 1+ sin x + 3cos x = ⇔ cos x − ÷ = ⇔   6  x = − π + k2π  1 Baøi 48 (ĐH 2007A–db1) Giải phương trình: sin2x + sin x − − = 2cot2x 2sin x sin2x π π HD: Điều kiện sin2x ≠ PT ⇔ cos2x( 2cos2 x + cos x + 1) = ⇔ x = + k Baøi 49 (ĐH 2007A–db2) Giải phương trình: 2cos2 x + 3sin xcos x + 1= 3(sin x + 3cos x) Baøi 47 (ĐH 2007D) Giải phương trình:   π π 2π HD: PT ⇔ 2cos2  x − ÷− 3cos x − ÷ = ⇔ x = + kπ  6  6  5x π  x π 3x Bài 50 (ĐH 2007B–db1) Giải phương trình: sin − ÷− cos − ÷ = 2cos  4  4  π 2π x = + k   3x  π HD: PT ⇔ cos  2cos x + ÷+ ÷ = ⇔  π x = + k2π 2 4     x = π + k2π sin2x cos2x Bài 51 (ĐH 2007B–db2) Giải phương trình: + = tan x − cot x cos x sin x π HD: Điều kiện: sin2x ≠ PT ⇔ cos x = − cos2x ⇔ x = ± + k2π  π  Baøi 52 (ĐH 2007D–db1) Giải phương trình: 2sin x − ÷cos x = 12    π  π 5π π π HD: PT ⇔ sin 2x − ÷ = cos = sin ⇔ x = + kπ hay x = + kπ 12  12 12  Bài 53 (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình: (1– tan x)(1+ sin2x) = 1+ tan x  π x = − + kπ HD: Điều kiện: cos x ≠ PT ⇔ (cos x + sin x)(cos2x − 1) = ⇔    x = kπ Trang 83 Nguyễn Quốc Thịnh Baøi 54 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học (ĐH 2008A) Giải phương trình: + sin x  7π  = 4sin − x÷    3π  sin x − ÷  2  3π  HD: Điều kiện: sin x ≠ 0, sin x − ÷≠  2  π  x = − + kπ    π PT ⇔ (sin x + cos x)  + 2 ÷ = ⇔  x = − + kπ  sin x cos x    5π  x = + kπ Baøi 55 (ĐH 2008B) Giải phương sin3 x − 3cos3 x = sin x cos2 x − 3sin2 xcos x trình: π π π + k ; x = − + kπ Bài 56 (ĐH 2008D) Giải phương trình: 2sin x(1+ cos2x) + sin2x = 1+ 2cos x 2π π HD: PT ⇔ (2cos x + 1)(sin2x − 1) = ⇔ x = ± + k2π ; x = + kπ Bài 57 (ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm khoảng (0; π ) phương trình:  x 3π  4sin2 − 3cos2x = 1+ 2cos2  x − ÷  4  π HD: PT ⇔ −2cos x = 3cos2x − sin2x ⇔ cos 2x + ÷ = cos( π − x) 6  HD: PT cos2x( sin x + 3cos x) = ⇔ x = 5π 2π 7π +k hay x = − + h2π 18 5π 17π 5π Do x∈ (0;π ) nên chọn x = ; x= ; x= 18 18 ⇔ x= Baøi 58 (ĐH 2008A–db2) Giải phương trình:  π 2cos3  x − ÷− 3cos x − sin x =  4 HD: PT ⇔ cos3 x + sin3 x + 3cos2 x.sin x + 3cos x.sin2 x − 3cos x − sin x = Xét trường hợp:  cos x = π a) Nếu cos x = PT ⇔  ⇔ x = + kπ sin x − sin x =  b) Nếu cos x ≠ ta chia vế PT cho cos3 x  cos x ≠ π Khi đó: PT ⇔  ⇔ x = + kπ  tan x = π π Vậy: PT có nghiệm: x = + kπ x = + kπ Baøi 59 (ĐH 2008B–db1) Giải sin x cos2x + cos2 x( tan2 x − 1) + 2sin3 x = π + kπ π 5π PT ⇔ 2sin2 x + sin x − 1= ⇔ x = + k2π ; x = + k2π 6 HD: Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ Trang 84 phương trình: Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Nguyễn Quốc Thịnh π  cos2x − tan + x÷− 3tan2 x = 2  cos2 x π HD: Điều kiện: cos x ≠ PT ⇔ tan3 x = −1 ⇔ x = − + kπ  3π  sin x − x÷+ = Bài 61 (ĐH 2008D–db1) Giải phương trình: tan   1+ cos x  π  x = + k2π HD: Điều kiện: sin x ≠ PT ⇔ (cos x + 1)(2sin x − 1) = ⇔   x = 5π + k2π  sin2 x + cos2 x + 3sin x − cos x − = Baøi 62 (ĐH 2008D–db2) Giải phương trình:  sin x = HD: PT ⇔ (2sin x − 1)(sin x − cos x − 1) = ⇔  sin x − π  = ÷   4 π 5π π ⇔ x = + k2π ; x = + k2π ; x = + k2π ; x = π + k2π 6 (1− 2sin x)cos x = Bài 63 (ĐH 2009A) Giải phương trình: (1+ 2sin x)(1− sin x) HD: Điều kiện: sin x ≠ 1, sin x ≠ −   π π PT ⇔ cos x − 3sin x = sin2x + 3cos2x ⇔ cos x + ÷ = cos 2x − ÷  3  6 π 2π ⇔ x= − + k 18 Baøi 64 (ĐH 2009B) Giải phương trình: sin x + cos x.sin2x + 3cos3x = 2( cos4x + sin3 x) Baøi 60 (ĐH 2008B–db2) Giải phương trình:  π  x = − + k2π  π HD: PT ⇔ sin3x + 3cos3x = 2cos4x ⇔ cos 3x − ÷ = cos4x ⇔   6  x = π + k 2π  42 Baøi 65 (ĐH 2009D) Giải phương trình: 3cos5x − 2sin3x cos2x − sin x =  π π x= + k    π 18 HD: PT ⇔ cos5x − sin5x = sin x ⇔ sin − 5x÷ = sin x ⇔  π 3  2 x = − + kπ   π (1+ sin x + cos2x)sin x + ÷ Bài 66 (ĐH 2010A) Giải phương trình:   = cos x 1+ tan x HD: Điều kiện: cos x ≠ 0; 1+ tan x ≠ π 7π PT ⇔ sin x + cos2x = ⇔ x = − + k2π ; x = + k2π 6 Baøi 67 (ĐH 2010B) Giải phương trình: (sin2x + cos2x)cos x + 2cos2x − sin x = HD: PT ⇔ (sin x + cos x + 2)cos2x = ⇔ x = Trang 85 π π +k Nguyễn Quốc Thịnh Đề thi Tốt nghiệp – Đại học sin2x − cos2x + 3sin x − cos x − 1= π 5π HD: PT ⇔ (2sin x − 1)(cos x + sin x + 2) = ⇔ x = + k2π ; x = + k2π 6 Baøi 69 (ĐH 2011A) Baøi 68 (ĐH 2010D) Giải phương trình: Trang 86 ... 2sin x − ÷cos x = 12    π  π 5π π π HD: PT ⇔ sin 2x − ÷ = cos = sin ⇔ x = + kπ hay x = + kπ 12  12 12  Bài 53 (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình: (1 tan x) (1+ sin2x) = 1+ tan x  π x =... 16 2  π 2sin 2x − ÷+ 4sin x + 1=  6  x = kπ HD: PT ⇔ sin x( 3cos x + sin x + 2) = ⇔  7π + k2π x =  Baøi 41 (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: ( 2sin2 x − 1) tan2 2x + 3( 2cos2 x − 1) ... phương trình:   = 2cos x − 1 π HD: Điều kiện: cos x ≠ PT ⇔ − 3cos x + sin x = ⇔ x = + (2k + 1) π cos2 x( cos x − 1) Baøi 17 (ĐH 2003D–db1) Giải phương trình: = 2 (1+ sin x) sin x + cos x  π