Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN Xét hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến với (C) M ( x0 ; y0 ) : (y y = f ' ( x0 )( x - x0 ) + y0 = f ( x0 ) ) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k - Hồnh độ tiếp điểm x0 nghiệm phương trình: f’(x0) = (*) - Giải PT (*) tìm hồnh độ tiếp điểm x0 Þ tung độ tiếp điểm y0 Þ tốn trở dạng Dạng Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) qua điểm M ( a; b ) Cách (Phương pháp tiếp điểm) - Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với (C) điểm M ( x0 ; y0 ) , suy tiếp tuyến D có phương trình dạng y = f ' ( x0 )( x - x0 ) + f ( x0 ) () - Vì M ( a; b ) Ỵ D nên b = f ' ( x0 )( a - x0 ) + f ( x0 ) (**) - Giải phương trình (**) tìm x0 Þ tốn trở dạng Cách (Phương pháp điều kiện tiếp xúc) - Đường thẳng D qua M ( a; b ) , với hệ số góc k (chưa biết k ) có phương trình dạng y = k ( x - a) + b (***) ìï f ( x ) = k ( x - a ) + b (1) - Điều kiện cần đủ để D tiếp xúc với (C ) hệ í có nghiệm (2) ïỵ f ' ( x ) = k - Thế (2) vào (1), giải phương trình tìm x , sau thay x vào (2) tìm k , thay k vào phương trình (***) Þ phương trình tiếp tuyến cần lập Chú ý : ìï f ( x ) = g ( x ) a) Đ/k để hai đường cong y = f ( x ) y = g ( x ) tiếp xúc hệ í có nghiệm ïỵ f ' ( x ) = g ' ( x ) b) Hai đường thẳng song song có hệ số góc nhau, vng góc có tích hệ số góc -1 c) Hệ số góc tiếp tuyến k = f '( x0 ), k = tan j ( j góc hợp tiếp tuyến trục hoành) k -a = tan j + ka ax - y0 + b e) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) tới đường thẳng D : y = ax + b ( Û ax - y + b = ) : a2 +   f) DABC vuông A AB AC = ; DABC cân A AB = AC d) Tiếp tuyến có hệ số góc k (chưa biết k ) tạo với đường thẳng y = ax + b góc j Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến điểm ax + b Bài Tìm a, b để đồ thị hàm số y = cắt Oy A ( 0; -1) đồng thời tiếp tuyến A có hệ số góc x -1 Đáp số: a = -4, b = Bài Cho hàm số y = f ( x ) = x3 + x + mx + có đồ thị (Cm) a) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C ( 0;1) , D, E b) Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) D E vng góc với Đáp số: a )0 ¹ m < GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái b) m = ± 65 Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chun đề khảo sát hàm số Ơn thi đại học 2011 Bài (ĐH Huế khối D-1998) Chứng minh hàm số y = - x + 2mx - 2m + qua điểm cố định A B Tìm m để tiếp tuyến A B vng góc với Đáp số: m = ; m = 4 Bài (ĐH khối B-2004) Cho hàm số y = x - x + x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến d (C) điểm uốn chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ Đáp số: y = - x + / 3 Bài (HV Quân Y 1997) Cho hàm số y = x + - m( x + 1) có đồ thị (Cm) a) Viết phương trình tiếp tuyến (Cm) tai giao điểm (Cm) với Oy b) Tìm m để tiếp tuyến nói chắn hai trục toạ độ tam giác có diện tích Đáp số: a ) y = - mx + - m b)m=9 ± 5; m = -7 ± 2x -1 Bài Cho hàm số y = có đồ thị (C) Cho M (C) có xM = m Tiếp tuyến (C) M x -1 cắt hai tiệm cận A, B Gọi I giao điểm hai tiệm cận Chứng minh M trung điểm AB diện tích tam giác IAB khơng đổi x +1 Bài Cho hàm số y = có đồ thị (C) Chứng minh tiếp tuyến (C) tạo với hai tiệm cận x -1 (C) tam giác có diện tích khơng đổi Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc x + x - x - có đồ thị (C) Viết phương tình 3 tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đương thẳng d : y = x + m Bài (ĐH khối D-2005) Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = x - x + Gọi M điểm thuộc (Cm) có 3 hồnh độ x = -1 Tìm m để tiếp tuyến (C m) điểm M song song với đường thẳng x - y = Đáp số: m = ( 3m + 1) x - m + m m ¹ giao điểm giao Bài 10 Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = ( ) x+m điểm (C) với trục Ox song song với đường thẳng d : y + 10 = x Viết phương trình tiếp tuyến Đáp số: m = - ; y = x 5 3x - Bài 11 Cho hàm số y = có đồ thị (C) Viết phương tình tiếp tuyến (C) tạo với trục hồnh x -1 góc 450 Đáp số: y = - x + 2; y = - x + Bài (DB1 ĐH khối B-2002) Cho hàm số y = f ( x ) = Dạng 3: Đ/k tiếp xúc hai đường Bài 12 (DB1 ĐH khối D-2008) Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = - x - ( 2m + 1) x - m - Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx - m - Đáp số: m = 0; m = 1/ Bài 13 Cho hµm sè y = x - x + m Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox ỏp s: m = ±2 Dạng 4: Tìm điểm cho tiếp tuyến thoả mãn tính chất 2x -1 Bài 14 (DB2 DDH khối B-2003) Cho hàm số y = có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai đường x -1 tiệm cận (C), Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với IM GV: Hồng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Ơn thi đại học 2011 2x có đồ thị (C) Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp x +1 tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A, B tam giác OAB có diện tích Đáp số: M ( -1/ 2; -2 ) ; M (1;1) Bài 15 (ĐH khối D-2007) Cho hàm số y = x có đồ thị (C) Viết phương trình d (C) cho d x -1 hai tiệm cận (C) cắt tạo thành tam giác cân x+2 Bài 17 (DB2 DDH khối B-2003) Cho hàm số y = có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến 2x + đồ thị (C), biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ O Đáp số: y = - x - Bài 18 (ĐH Cơng Đồn 2001) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) hàm số y = x + x - 12 x - cho tiếp tuyến (C) M qua gốc tọa độ Bài 19 Tìm đường thẳng y = -2 điểm kẻ đến đồ thị (C): y = x - x + hai tiếp tuyến vuông Bài 16 (DB2 ĐH khối D-2007) Cho hàm số y = góc với ĐS: M ( 55 / 27; -2 ) Bài 20 (ĐHSP Hà Nội II, khối B, 1999) Tìm trục hồnh điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) hàm số y = - x + x + ĐS: a > 2; -1 ¹ a < -2 / Bài 21 Tìm m để đồ thị (C): y = x - x3 - x + ln ln có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng y = mx x+2 Bài 22 Tìm m để từ điểm A ( 0; m ) kẻ tiếp tuyến với đồ thị (C): y = cho tiếp điểm x -1 nằm hai phía với trục hồnh Bài 23 Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C): y = x3 - x2 + cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = ĐS: A(3; 1) B(–1; –3) Bài 24 Cho hàm số y = x - 3x + có đồ thị (C) Gọi d đường thẳng qua điểm A(3; 4) có hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến (C) M N vng ĐS: m = góc với 18 ± 35 CHUYÊN ĐỀCỰC TRỊ Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị Hàm bậc ba: y=f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) Đạo hàm y’ = f’(x) = 3ax2 + 2bx + c Hàm số có cực trị (có CĐ CT) Û f’(x) = có hai nghiệm phân biệt Û D y ' > Chú ý: + Hai cực trị CĐ,CT đối xứng qua điểm uốn ìïD y ' > , x1 , x2 nghiệm y ' = ïỵ y( x1 ) y( x2 ) < ( Û PT ax + bx + cx + d = ( a ¹ ) có ba nghiệm phân biệt) + Hai giá trị CĐ, CT trái dấu í Hàm trùng phương: y=f(x) = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0) Đạo hàm y’ = f’(x) = 4ax + 2bx = 2x(2ax + b) GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm s ộ ỡa ờớ ợb = Hm số có cực trị Û ê ; ê ìa ¹ êí ëê ỵa.b > Ơn thi đại hc 2011 ỡa ợa.b < Hm s có cực trị Û í Chú ý: + Nếu hàm số có cực trị điểm cực trị tạo thành tam giác cân + Để nhận biết điểm x0 hoành độ CĐ hay CT, ta có hai dấu hiệu: Dấu hiệu (Xét dấu đạo hàm y’): Lập bảng biến thiên Dấu hiệu (Xét dấu đạo hàm y”): Dựa vào điều kiện sau ìï y ' ( x0 ) = x0 điểm CĐ Û í ïỵ y '' ( x0 ) < ìï y ' ( x0 ) = x0 điểm CT Û í ïỵ y '' ( x0 ) > Bài Tìm m để hàm số sau có cực đại cực tiểu 1) y = x + mx + ( m + ) x - ( 2m + 1) é m < -2 ìm ¹ -2 Đáp số: 1) ê 2) í ëm > î-3 < m < Bài (ĐH Bách khoa HN-2000) Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx - ( m - 1) x - khơng có cực trị 2) y = ( m + ) x3 + x + mx - Bài (ĐH Khối B 2002) Tìm m để hàm số y = mx + ( m - ) x + 10 có điểm cực trị Đáp số: m < -3;0 < m < x - mx + có cực đại mà khơng có cực tiểu Bài (ĐH kiến trúc-1999) Tìm m để hàm số y = mx - ( m - 1) x + (1 - 2m ) có cực trị Bài (ĐH cảnh sát-2000) Tìm m để hàm số y = Bài (ĐH khối A DB1 - 2001) Tìm m để hàm số y = ( x - m ) - x đạt cực tiểu điểm có hồnh độ x = Đáp số: m = -1 2 Bài (ĐH khối B - 2002) Tìm m để hàm số y = mx - ( m - ) x + 10 có ba cực trị Đáp số: m < < m < Bài tập tự luyện Bài Chứng minh hàm số sau có cực đại cực tiểu 1) y = x - ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + x + mx - m + x - m +1 Bài Tìm m để hàm số sau có cực đại cực tiểu 1) x - ( m - 1) x + ( 2m - 3m + ) x - m ( m - 1) 2) y = 3) y = 2) y = mx3 + 3mx - ( m - 1) x - x + ( m + ) x + 3m + 4) y = x +1 Bài Tìm m để hàm số 1) y = x - 2mx + ( m - 1) x + đạt cực đại x = 2) y = - mx + ( m - ) x + m - có cực đại x = mx + ( m + 1) + mx + x - 2mx + 3) y = đạt cực tiểu x = x-m x2 - x + m 4) y = có giá trị cực đại x -1 Bài Tìm m để hàm số y = ( x - 1) ( x - 4mx - 3m + 1) có hai giá trị cực trị trái dấu Bài Cho hàm số y = x - ( m + 1) x + ( m + 1) x + GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số 1) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị dương 2) Tìm m để hàm số nhận x = + làm điểm cực tiểu Ôn thi đại học 2011 Dạng 2: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Phương trình đường thẳng qua CĐ CT hàm bậc ba y = f ( x) = ax + bx + cx + d * Chia f(x) cho f’(x) ta được: f ( x) = Q( x) f '( x) + Ax + B ìï y1 = f ( x1 ) = Ax1 + B * Khi đó, giả sử ( x1 ; y1 ) , ( x2 ; y2 ) điểm cực trị thì: í ïỵ y2 = f ( x2 ) = Ax + B * Vậy PT đường thẳng qua điểm cực trị là: y = Ax + B Bài Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x - x - x + Đáp số: y = -6 x + Bài (ĐH khối A-2002) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = - x + 3mx + (1 - m ) x + m3 - m Đáp số: y = x - m + m Bài Tìm m để hàm số y = x + ( m - 1) x + ( m - ) x - có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = -4 x + ĐS: m = 1; m = Bài Tìm m để hàm số y = x + ( m - 1) x + 6m (1 - 2m ) x có điểm cực trị nằm đường thẳng y = -4 x ĐS: m = Bài Tìm m để hàm số y = x - x + m x + m có điểm cực cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x - ĐS: m = 2 Bài tập tự luyện m Bài (ĐH – DB2 khối A 2007) Tìm m để đồ thị hàm số y = x + m + có cực trị điểm A, B x-2 cho đường thẳng AB qua gốc tọa độ O ĐS: m = Bài Tìm m để hàm số y = x + mx + x + có đường thẳng qua hai điểm cực trị vng góc với đường thẳng y = x - 2 ĐS: m = ± 10 Bài Tìm m để hàm số y = x - x - mx + có CĐ, CT cách đường thẳng D : y = x - Bài Tìm m để hàm số y = x - ( m + 1) x + m + có hai giá trị cực trị trái dấu đường thẳng qua hai cực trị qua điểm M ( -1; ) Bài Tìm tập hợp trung điểm hai cực trị hàm số y = x - mx - x + m + 3 Dạng : Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị thỏa mãn điều kiện Bài Tìm m để hàm số y = x - ( m + ) x + ( 5m + 1) x - ( 4m3 + 1) có hai điểm cực trị nhỏ Đáp số: - < m < 3 Bài (ĐH khối B DB2 - 2006) Tìm m để hàm số y = x + (1 - 2m ) x + ( - m ) x + m + có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 Đáp số: m < -1; < m < Bài (CĐ - 2009) Tìm m để hàm số y = x - ( 2m - 1) x + ( - m ) x + có cực đại cực tiểu đồng thời điểm cực trị hàm số có hồnh độ dương Đáp số: - < m < 1, m ¹ 4 Bài (HV quan hệ quốc tế 1996) Tìm m để hàm số y = x - 2mx + 2m + m có điểm cực trị lập thành tam giác Đáp số: m = 3 Bài Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 2mx + 2m + m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác Đáp số: m = 3 Bài (ĐH khối A BD1 - 2004) Tìm m để hàm số y = x - 2m x + có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân Đáp số: m = ±1 Bài Chứng minh hàm số y = x - ( m + 1) x + 3m ( m + ) x + ln có cực đại, cực tiểu Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm có hồnh độ dương Đáp số: m > Bài (Khối B - 2007) Tìm m để hàm số y = - x + x + ( m - 1) x - 3m - có cực đại cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số cách gốc tọa độ O Đáp số: m = ± 2 Bài Tìm m để hàm số y = x + 2(m - 2) x + m - 5m + có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Đáp số: m = 2 Bài 10 Tìm m để hàm số y = x + ( m - 1) x + ( m - 4m + 1) x - ( m + 1) đạt cực trị x1 , x2 thỏa mãn 1 + = ( x1 + x2 ) x1 x2 Đáp số: m = 1; m = Bài 11 (ĐH Khối A 2005) Tìm m để hàm số y = mx + tiệm cận xiên có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu đến x Bài tập tự luyện Bài Tìm m để hàm số 1) y = x - mx + mx - đạt cực đại hai điểm x1 , x2 cho x1 - x2 ³ ỉ - 65 ự ộ1 - 65 S: m ẻ ỗỗ -Ơ; ; +Ơ ữữ ỳẩờ ỷ ố ø 1 2) y = mx3 - ( m - 1) x + ( m - ) x + đạt cực trị hai điểm x1 , x2 cho x1 + x2 = 3 3) y = x - mx + x + m có cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm Bài Cho hàm số y = x + ( m + 1) x + ( m + 4m + 3) x Gọi x1 , x2 điểm cực trị hàm số 1) Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm > 2) Tìm m cho A = x1 x2 - ( x1 + x2 ) đạt giá trị lớn ĐS: 1) -5 < m < -3 + ; GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái 2) m = -4 max A = Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chun đề khảo sát hàm số Ơn thi đại học 2011 Bài (ĐH Khối B 2005) CMR với m, đồ thị hàm số y = khoảng cách hai điểm cực đại cực tiểu bẳng Bài (ĐH Khối A 2007) Tìm m để đồ thị hàm số y = x + ( m + 1) + m + x +1 có cực trị 20 x + ( m + 1) + m + 4m có cực đại, cực tiểu, đồng x+2 thời điểm cực trị với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O ĐS: m = -4 ± Bài Tìm m để hàm số y = x - mx - x + m + có khoảng cách điểm CĐ CT nhỏ 13 ĐS: m = ; khoảng cách = CHUYÊN ĐỀ TƯƠNG GIAO Phương pháp chung: · Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số cho: f ( x) = g ( x) (1) · Khảo sát nghiệm phương trình (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C1) (C2) Chú ý: * (1) vơ nghiệm Û (C1) (C2) khơng có điểm chung * (1) Có n nghiệm Û (C1) (C2) có n điểm chung * Nghiệm x0 (1) hồnh độ điểm chung (C1) (C2) Khi tung độ điểm chung y0 = f ( x0 ) y0 = g ( x0 ) · Xét phương trình f ( x ) = ax + bx + cx + d = (1) a) Đ/k để (1) có 1, 2, nghiệm · · · ìïf (x ) có cực đại, cực tiểu (1) có nghiệm phân biệt í ïỵyCĐ y CT < ìïf (x ) có cực đại, cực tiểu (1) có nghiệm phân biệt í ïỵyCĐ y CT = é f (x ) cực đại, cực tiểu ê (1) có nghiệm ê ìïf (x ) có cực đại, cực tiểu ê íïy y > ë ỵ CĐ CT b Đ/k để (1) có nghiệm lập thành cấp số cộng, cấp số nhân * Đ/k (1) có nghiệm lập thành CSC: Đ/k cần: G/s (1) có nghiệm x1 , x , x lập thành CSC x = - (1) (2) ( 3) b vào (1) giá trị 3a tham số Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm đ/k cần vào PT (1) để xem có nghiệm lập thành CSC hay khơng * Đ/k (1) có nghiệm lập thành CSN: Đ/k cần: G/s (1) có nghiệm x1 , x , x lập thành CSN x = - d vào (1) giá trị a tham số GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm đ/k cần vào PT (1) để xem có nghiệm lập thành CSN hay không Chú ý: Nếu a = Þ x = -d Þ f ( x ) = Þ c = b 3d Xét phương trình f ( x ) = ax + bx + c = (d ¹ ) (2) Đặt t = x đ/k t ³ ta phương g (t ) = at + bt + c = (*) a) Đ/k để (2) vơ nghiệm, có 1,2, 3,4 nghiệm * (2) vô nghiệm (*) vơ nghiệm có nghiệm t £ t < ìït = * (2) có nghiệm (*) có nghiệm í ïỵt < * (2) có nghiệm (*) có nghiệm t < < t ìït = * (2) có nghiệm (*) có nghiệm í ïỵt > * (2) có nghiệm (*) có nghiệm < t < t b) Đ/k để (2) có nghiệm lập thành cấp số cộng ìD > ï ì ï0 < t < t ït = 9t (2) có nghiệm lập thành CSC Û (*) có nghiệm í Ûí t = t ï ỵ2 ït t > ït + t > ỵ1 ax + b Xét phương trình = mx + n ( 3) cx + d ỉ dư - Đưa phương trình dạng: f (x ) = Ax + Bx + C = (**) ỗx - ữ ố ỡD > d ï (3) có nghiệm phân biệt (**) có nghiệm phận biệt - ổ d c ùf ỗ - c ữ ứ ợ ố Chỳ ý: Trên điều kiện trường hợp tổng quát, giải toán cụ thể ta cố gắng nhầm nghiệm để phân tích phương trình dạng tích điều kiện đơn giản Bài tập: Dạng 1: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành k điểm phân biệt Bài (DB2 ĐH Khối D -2002) Tìm m để đồ thị hàm số y = x - mx + m - cắt trục hoành điểm phân biệt Đáp số: < m ¹ 2 Bài (DB1 ĐH Khối B -2003) Tìm m để đồ thị hàm số y = ( x - 1) x + mx + m cắt trục hoành ( ) điểm phân biệt Đáp số: m > 4;0 < m ¹ Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 3x + (1 - m ) x + + 3m cắt trục hoành a) điểm b) điểm c) điểm Đáp số: a )m < b)m=1 c)m>1 Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số y = x + ( m + 1) x + 2mx + m cắt trục hoành điểm phân biệt có 2 hồnh độ âm GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 Đáp số: < m < ( ) ( ) Bài 6:Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 2mx + 2m - x + m - m cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ dương Đáp số: < m < ( ) Bài 7: Tìm m để đồ thị hàm số y = ( x - 1) x - 2mx - m - cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lớn -1 Đáp số: Bài 8: Tìm m để đồ thị hàm số y = x - x + 18mx - 2m cắt trục hoành điểm phân biệt thỏa mãn x1 < < x < x Đáp số: m < Bài (ĐH khối A 2010) Tìm m để đồ thị hàm số y = x - x + (1 - m ) x + m cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 < Đáp số: - < m < 1; m ¹ Dạng 2: Tìm đ/k để đồ thị (C) cắt đường thẳng d k điểm phân biệt Bài (CĐ -2008) Tìm m để đồ thị hàm số y = x cắt đường thẳng d : y = - x + m hai điểm phân x -1 biệt ém < Đáp số: ê ëm > Bài 10: Cho hàm số y = 8 x - x - 4x + Tìm m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số 3 3 điểm phân biệt 35 < m ¹ -4 Bài 11 (DB2 ĐH Khối D -2003) Cho hàm số y = 2x - 3x - có đồ thị (C), gọi d k đường thẳng qua Đáp số: - điểm M ( 0; -1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng d k cắt (C) điểm phân biệt Đáp số: - < k ¹ Bài 12 (ĐH Khối D -2006) Cho hàm số y = x - 3x + có đồ thị (C), gọi d đường thẳng qua điểm A ( 3;20 ) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt Bài 13 (ĐH Khối D -2009) Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị y = x - ( 3m + ) x + 3m điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ (C ) m hàm số Đáp số: - < m < 1, m ¹ Bài 14: Tìm để đường thẳng d : y = x + 2m cắt đồ thị hàm số y = 3x + hai điểm phân biệt A, B x -4 Tìm m để đoạn thẳng AB ngắn Đáp số: x +1 có đồ thị (C) x -1 a) Chứng minh đường thẳng d : 2x - y + m = cắt (C) hai điểm phân biệt A, B hai nhánh (C) b) Tìm m để độ dài AB ngắn Bài 15: Cho hàm số y = GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 Dạng 3: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hồnh điểm lập thành cấp số cộng, cấp số nhân Bài 16: Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 3mx + 2m ( m - ) x + 9m - m cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng Đáp số: m = Bài 17: Tìm m để đồ thị hàm số y = x - ( 3m + 1) x + ( 5m + ) x - cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng Đáp số: m = Bài 18: Tìm m để đồ thị hàm số y = x - ( m + 1) x + 2m + cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng với hệ số góc Đáp số: m = 4; m = Bài 19: (ĐH Khối D -2008) Chứng minh đường thẳng qua điểm I (1;2 ) k ( k > -3) cắt đồ thị hàm số y = x - 3x + điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp chung: Để vẽ đồ thị hàm số có mang dấu GTTĐ ta thực bước sau: Bước 1: Phá dấu GTTĐ + Xét dấu biểu thức chứa bên dấu GTTĐ + Sử dụng đ/n khử dấu GTTĐ (viết hàm số cho nhiều biểu thức) Bước 2: Vẽ đồ thị phần ghép lại (vẽ chung hệ trục toạ độ Các kiến thức sử dụng: · Đ/n GTTĐ: ì A A ³ + A =í ỵA A < · Một số tính chất đồ thị: Đồ thị hàm số y = f(x) y= - f(x) đối xứng qua trục hoành Ox Đồ thị hàm số y = f(x) y = f(-x) đối xứng qua trục tung Oy Đồ thị hàm số y = f(x) y = - f(-x) đối xứng qua gốc toạ độ O Bài toán tổng quát: · ì( C1 ) : y = f ( x) ïï Từ đồ thị (C): y = f(x), suy đồ thị hàm số sau: í( C2 ) : y = f ( x ) ï ïỵ( C3 ) : y = f ( x) Dạng 1: Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x) suy đồ thị ( C1 ) : y = f ( x ) ìïf ( x ) f ( x ) ³ B1: Ta có ( C1 ) : y = f ( x ) = í ïỵ-f ( x ) f ( x ) < B2: Từ đồ thị (C) suy đồ thị (C1) sau: - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía Ox (1) (2) (do 1) GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái Trang 10 `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số - Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox - Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox Minh hoạ · Ơn thi đại học 2011 (do 2) Dạng 2: Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x) suy đồ thị ( C2 ) : y = f ( x ) ìïf ( x ) x ³ (1) B1: Ta có ( C2 ) : y = f ( x ) = í ïỵf ( - x ) neáu x < (2) B2: Từ đồ thị (C) suy đồ thị (C 2) sau: - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía phải trục Oy - Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục tung - Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) (do 1) (do 2) Minh hoạ · Dạng 3: Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x) suy đồ thị ( C3 ) : y = f ( x ) ìf ( x ) ³ ï B1: Ta có ( C2 ) : y = f ( x ) = íé f ( x) (1) ïê - f ( x) (2) ỵë B2: Từ đồ thị (C) suy đồ thị (C 3) sau: - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía Ox - Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox - Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox (nếu có) (do 1) (do 2) Minh hoạ GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái Trang 11 `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Chuyên đề khảo sát hàm số Ví dụ: VD1: Cho hàm số y = - x + x (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Từ đồ thị (C), suy đồ thị hàm số sau: a) y = - x + x b) y = - x + x Ôn thi đại học 2011 c) y = - x + x x +1 (1) x -1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Từ đồ thị (C), suy đồ thị hàm số sau: x +1 x +1 x +1 x +1 a) y = b) y = c) y = d) y = x -1 x -1 x -1 x -1 Bài tập: VD2: Cho hàm số y = e) y = x +1 x -1 Bài tập 1: Cho hàm số y = x - x + 12 x - có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Tìm m để phương trình x - x + 12 x + = m có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình x - x + 12 x + = m có nhiều nghiệm Đáp số: b) < m < c) £ m £ Bài tập (Khối B - 2009) Cho hàm số y = x - x có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Tìm m để phương trình x x - = m có nghiệm phân biệt Đáp số: < m < Bài tập tự luyện Bài tập (Khối A - 2006) Cho hàm số y = x - x + 12 x - có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Tìm m để phương trình x - x + 12 x - = m có nghiệm phân biệt Đáp số: < m < Bài tập 2: Cho hàm số y = - x + x - 10 có đồ thị (C) c) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) d) Tìm m để phương trình - x + x - 10 = m có nghiệm phân biệt Đáp số: < m < GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên Yên Bái Trang 12 `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ ... x - ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + x + mx - m + x - m +1 Bài Tìm m để hàm số sau có cực đại cực tiểu 1) x - ( m - 1) x + ( 2m - 3m + ) x - m ( m - 1) 2) y = 3) y = 2) y = mx3 + 3mx - ( m -. .. + ) x - ( 2m + 1) é m < -2 ìm ¹ -2 Đáp số: 1) ê 2) í ëm > -3 < m < Bài (ĐH Bách khoa HN-2000) Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx - ( m - 1) x - khơng có cực trị 2) y = ( m + ) x3 + x + mx - Bài (ĐH... Bài Tìm m để hàm số 1) y = x - mx + mx - đạt cực đại hai điểm x1 , x2 cho x1 - x2 ³ ỉ - 65 ự ộ1 - 65 S: m ẻ ỗỗ - ; ; +Ơ ữữ ỳẩờ ỷ ố ø 1 2) y = mx3 - ( m - 1) x + ( m - ) x + đạt cực trị hai điểm