Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG Kí hiệu Pn Ank Cnk P(A) limun Xác suất biến cố A Giới hạn dãy số (un) lim f (x) x→ x0 lim f (x) x→−∞ lim f (x) x→+∞ lim f (x) x→ x0+ lim f (x) x→ x0− Tên gọi Diễn giải Số hoán vò n phần tử Permutation Số chỉnh hợp chập k n phần tử Số tổ hợp chập k n phần tử Combinatory Probability Limit Giới hạn hàm số f(x) x dần tới x0 Giới hạn hàm số f(x) x dần tới âm vô cực Giới hạn hàm số f(x) x dần tới dương vô cực Giới hạn bên phải hàm số f(x) x dần tới x0 Giới hạn bên trái hàm số f(x) x dần tới x0 Đạo hàm hàm số y = f(x) Đạo hàm cấp hai hàm số y = f(x) Đạo hàm cấp n hàm số y = f(x) y' f'(x) y'' hoaëc f''(x) y(n) hoaëc f(n) (x) dy hoaëc df(x) Vi phân hàm số y = f(x) n(A) A Số phần tử hữu hạn tập A Differenttial - Võ Thanh Hùng - THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp - - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Các giá trò lượng giác cung (góc) α: • sinα xác đònh ∀α ∈R sin(α + k2π) = sinα; cosα xác đònh ∀α ∈R cos(α + k2π) = cosα • - ≤ sinα ≤ (sinα≤ 1) - ≤ cosα ≤ (cosα ≤ 1) π • tanα xác đònh α ≠ + kπ tan(α + kπ) = tanα; cotα xác đònh α ≠ kπ vaø cot(α + kπ) = cotα • Dấu giá trò lượng giác góc α: Phần tư I II III IV Giá trò lượng giaùc sinα + + cosα + + tanα + + cotα + + Bảng giá trò lượng giác đặc biệt: π π π α (00) (300) (450) (600) 3 sinα 2 cosα 2 tanα 3 cotα kxñ 3 Công thức lượng giác bản: π (900) kxñ π (α ≠ + kπ , k ∈ Z) 2 cos α π • 1+ cot2 α = (α ≠ kπ, k ∈ Z) • tanα.cotα = ( α ≠ k , k ∈ Z) 2 sin α Giá trò lượng giác cung có liên quan đặc biệt: Cung đối:(-α) Cung bù:(π - α) Cung π: (π + π Cung phụ:( - α) α vaø α α) vaø α sin(-α) = -sinα sin(π - α) = sinα vaø α sin(π + α) = -sinα π sin( - α) = cosα cos(-α) = cosα cos(π - α) = cos(π + α) = -cosα π tan(-α) = -tanα -cosα tan(π + α) = tanα cos( - α) = sinα cot(-α) = -cotα tan(π - α) = cot(π + α) = cotα π tan( - α) = cotα -tanα π cot(π - α) = cot( - α) = tanα -cotα • sin2α + cos2α = • 1+ tan2 α = - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 Các công thức lượn giác thường sử dụng: Công thức cộng: Công thức nhân đôi: Công thức hạ bậc: cos(a - b) = cosacosb + sin2a = 2sinacosa 1+ cos2a cos a = 2 sinasinb cos2a = cos a - sin a cos(a + b) = cosacosb = cos2a - 1− cos2a sin2 a = sinasinb = - 2sin2a sin(a - b) = sinacosb 2tana 1− cos2a tan2a = cosasinb tan2 a = 1− tan2a 1+ cos2a sin(a + b) = sinacosb + cosasinb tana − tanb tan(a − b) = 1+ tanatanb tana + tanb tan(a + b) = 1− tanatanb Công thức biến tích thành tổng: Công thức biến đổi tổng thành tích: cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)] u+ v u− v cosu + cosv = 2cos cos 2 sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)] u+ v u− v cosu - cosv = -2sin sin 2 sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)] u+ v u− v sinu + sinv = 2sin cos 2 u+ v u− v sinu - sinu = 2cos sin 2 • Công thức nhân ba: sin3a = 3sina - 4sin3a cos3a = 4cos3a - 3cosa • Công thức sina + cosa: π π sina + cosa = sin(a + ) sina - cosa = sin(a - ) 4 π π sina + cosa = cos(a - ) sina - cosa = - cos(a + ) 4  Ghi chuù: - Taøi liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 §1 HÀM SỐ LƯNG GIÁC I- ĐỊNH NGHĨA: Hàm số sin hàm số côsin: a) Hàm số sin: • Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực sinx sin: R → R x  y = sinx gọi hàm số sin, kí hiệu y = sinx • Tập xác đònh hàm số sin là: D = R b) Hàm số côsin: • Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực cosx cos: R → R x  y = cosx gọi hàm số côsin, kí hiệu y = cosx • Tập xác đònh hàm số côsin là: D = R Hàm số tang hàm số côtang: a) Hàm số tang: sinx • Hàm số tang hàm số xác đònh công thức y = cosx (cosx ≠ 0), kí hiệu y = tanx π • Tập xác đònh hàm số y = tanx là: D = R\{ + kπ, k ∈ Z} b) Hàm số côtang: cosx • Hàm số côtang hàm số xác đònh công thức y = sinx (sinx ≠ 0), kí hiệu y = cotx • Tập xác đònh hàm số y = cotx là: D = R\{kπ, k ∈ Z} - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11  Nhắc lại đònh nghóa hàm số chẵn, hàm số lẻ Xét tính chẵn, lẻ hàm số y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x) vaø y = cot(x) * Nhận xét: Hàm số y = sinx hàm số lẻ, hàm số y = cosx hàm số chẵn, từ suy hàm số y = tanx y = cotx hàm số lẻ II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC:  Giải nghóa từ tuần hoàn, lấy ví dụ thực tế đời sống Tìm số T cho f(x + T) = f(x) với x thuộc tập xác đònh hàm số: a) y = sinx; b) y = tanx • Hàm số y = sinx hàm số tuần hoàn với chu kì 2π • Hàm số y = cosx hàm số tuần hoàn với chu kì 2π • Hàm số y = tanx y = cotx hàm số tuần hoàn, với chu kì π III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC: Hàm số y = sinx: • Hàm số y = sinx xác đònh với x ∈ R -1 ≤ sinx ≤ 1; • Là hàm số lẻ; • Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π a) Sự biến thiên đồ thò hàm số y = sinx đoạn [0; π]: Hàm số y = sinx đồng biến [0; Bảng biến thiên: x π π ] nghòch biến [ ; π] 2 π π y= sinx 0 * Chú ý: Vì hàm số y = sinx hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thò hàm số đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta đồ thò hàm số đoạn [-π; 0] b) Đồ thò hàm số y = sinx R: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 c) Tập giá trò hàm số y = sinx: Tập giá trò hàm số y = sinx T = [-1; 1] Hàm số y = cosx: • Hàm số y = cosx xác đònh với x ∈ R -1 ≤ cosx ≤ 1; • Là hàm số chẵn; • Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π; • Hàm số y = cosx đồng biến [-π; 0] nghòch biến [0; π] • Bảng biến thiên: x -π π y = cosx -1 -1 • Đồ thò hàm số y = cosx: • Tập giá trò hàm số y = cosx T = [-1; 1] Đồ thò hàm số y = sinx, y = cosx gọi chung đường hình sin Hàm số y = tanx: π • Tập xác đònh: D = R\{ + kπ , k ∈ Z}; • Là hàm số lẻ; • Là hàm số tuần hoàn với chu kì π; π a) Sự biến thiên hàm số y = tanx nửa khoảng [0; ): - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 Hàm số y = tanx đồng biến nửa khoảng [0; Bảng biến thieân: π -π x π ) π y = tanx +∞ * Nhận xét: Khi x gần π đồ thò hàm số y = tanx gần π b) Đồ thò hàm số y = tanx D: đường thẳng x = π π • Đồ thò hàm số y = tanx (− ; ) : 2 • Đồ thò hàm số y = tanx D: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 • Tập giá trò hàm số y = tanx T = (-∞; +∞) Hàm số y = cotx: • Tập xác đònh: D = R\{kπ, k ∈ Z}; • Là hàm số chẵn; • Là hàm số tuần hoàn với chu kì π; a) Sự biến thiên đồ thò hàm số y = cotx khoảng (0; π): Hàm số y = cotx nghòch biến khoảng (0; π) π x π +∞ y = tanx -∞ b) Đồ thò hàm số y = cotx D: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 • Tập giá trò hàm số y = cotx T = (-∞; +∞)  Ghi chuù: 10 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 §2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM I– ĐẠO HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ THƯỜNG GẶP: Đònh lí 1: Hàm số y = x n ( n ∈ N , n > 1) có đạo hàm x ∈ R và: (xn)' = nxn - * Nhận xét: Đạo hàm hàm 0: (c') = (c = const) Đạo hàm hàm số y = x 1: (x)' = Đònh lí 2: Hàm số y = x có đạo hàm x dương và: ( x)'= x II– ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG: Đònh lí: Giả sử u = u(x), v = v(x) hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác đònh Ta có: • (u + v)' = u' + v'; • (u - v)' = u' - v'; u u'v − v'u (v = v(x) ≠ 0) • (u.v)' = u'v + v'u; • ( v)'= v2 Tổng quát: (u1 ± u2 ± ± un)' = (u1)' ± (u2)' ± ± (un)' Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = x2 - x4 + x Giaûi:  Tính đạo hàm hàm số y = 5x3 - 2x5, y = − x3 x Hệ quả: Hệ 1: Nếu k số (ku)' = ku' v' Hệ 2: ( )'= − ( v = v( x) ≠ 0) v v III– ĐẠO HÀM CỦA HÀM HP: Hàm hợp: Giả sử u = g(x) hàm số x, xác đònh khoảng (a; b) lấy giá trò khoảng (c; d); y = f(u) hàm số u, xác đònh (c; d) lấy giá trò R Khi đó, ta lập hàm số xác đònh (a; b) lấy giá trò R theo quy tắc sau: x  f(g(x)) Ta gọi hàm số y = f(g(x)) hàm hợp hàm y = f(u) với u = g(x) Ví dụ 1: Hàm số y = (1 - x3)10 hàm số hợp hàm số với u = Ví dụ 2: Tìm hàm số hợp hàm số y = f(u) = u3 bieát u = x2 + Giaûi: 108 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 Đạo hàm hàm hợp: Đònh lí: Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x u' x hàm số y = f(x) có đạo hàm u y'u hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x là: y'x = y'u.u'x Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = (1 - 2x)3 Giải:  Ghi chú: - Taøi liệu lưu hành nội - 109 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = x − x + x − ; b) y = 1 − x + x − 0,5 x ; x x3 x2 d) y = 3x (8 − 3x ) − + − 1; Bài 2: Tìm đạo hàm hàm số sau: c) y = a) y = (x7 - 5x2)3; b) y = (x2 + 1)(5 - 3x2); c) y = 3− 5x n ; e) y = (m+ ) (m, n laø số) x − x+ x Bài 3: Tìm đạo hàm hàm số sau: d) y = 110 - Tài liệu lưu hành noäi boä - 2x ; x2 − Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 a) y = x2 − x x + 1; c) y = x3 a2 − x2 b) y = (a số); − 5x− x2 ; 1+ x d) y = 1− x Baøi 4: Cho y = x − 3x + Tìm x để: a) y’ > 0; b) y’ < Bài tập nâng cao: Bài 1: Bằng đònh nghóa, tính đạo hàm hàm số sau: a) y = + x − x taïi x0 = 1; b) y = x − x + x0 = Bài 2: Cho f(x) = x5 + x3 - 2x - Chứng minh rằng: f'(1) + f'(-1) = -4f(0) x2 x3 Baøi 3: Cho f(x) = , g(x) = Giải bất phương trình f(x) ≤ g(x) − x CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI - Tài liệu lưu hành nội - 111 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 §3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC Giới hạn hàm số y =  Tính sin x : x sin0,01 sin0,001 , máy tính bỏ túi 0,01 0,001 sinx =1 x→ x tanx Ví dụ 1: Tính lim x→ x Giải: Đònh lí 1: lim sin2x Ví dụ 2: Tính lim x→ x Giải: Đạo hàm hàm số y = sinx: Đònh lí: Hàm số y = sinx có đạo hàm x ∈ R (sinx)’ = cosx * Chú ý: Nếu y = sinu u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu π Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = sin(3x + ) Giải: 112 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 Đạo hàm hàm số y = cosx: π  Tính đạo hàm hàm số y = sin( − x) Đònh lí: Hàm số y = cosx có đạo hàm x ∈ R (cosx)’ = -sinx * Chú ý: Nếu y = cosu u = u(x) thì: (cosu)’ = -u’.sinu Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = cos(x3 - 1) Giải: Đạo hàm hàm số y = tanx:  Tính đạo hàm hàm f (x) = sinx cosx (x ≠ π + kπ , k ∈ Z) * Đònh lí: Hàm số y = tanx có đạo hàm x ≠ π + kπ, k ∈ Z vaø: cos2 x * Chú ý: Nếu y = tanu u = u(x) ta có: u' (tanu)'= cos2 u Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = tan(3x2 + 5) Giaûi: (tanx)'= Đạo hàm hàm số y = cotx: π  Tính đạo hàm hàm số y = tan( − x) với x ≠ kπ , k ∈ Z Đònh lí: Hàm số y = cotx có đạo hàm x ≠ kπ, k ∈ Z vaø: (cotx)'= − sin x - Tài liệu lưu hành nội - 113 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 * Chú ý: Nếu y = cotu u = u(x), ta có: u' (cotu)'= − sin u Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = cot3(3x - 1) Giải:  Ghi chuù: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: sinx + cosx a) y = 5sinx - 3cosx; b) y = ; c) y = sinx − cosx xcotx; sinx x + d) y = ; e) y = 1+ 2tanx ; f) y = sin 1+ x2 x sinx Bài 2: Chứng nminh hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: a) y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x; π π 2π 2π b) y = cos2 ( − x) + cos2 ( + x) + cos2 ( − x) + cos2 ( + x) − 2sin2 x 3 3 Bài 3: Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng: a) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x; b) f(x) = - sin(π + x) + 2cos 2π + x ( ) Bài 4: Tìm đạo hàm hàm số sau: x −1 2x + x2 + 2x + a) y = ; b) y = ; c) y = ; d) 5x − − 3x − 4x x2 + x + y= x − 3x 114 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 Bài 5: Tìm đạo hàm hàm số sau: )(7x − 3) ; x2 a) y = (9 - 2x)(2x3 - 9x2 + 1); b) y = (6 x − d) y = tan2x - cot2x; x e) y = cos 1+ x ; c) y = (x − 2) x2 + f '(1) πx , biết f(x) = x2 ϕ(x) = 4x + sin ϕ '(1) 2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Giải bất phương trình sau: x2 + x + x2 + a) y’ < với y = ; b) y’ ≥ với y = ; c) y’ > với y = x−1 x+ 2x − x + x+ Bài 2: Giải bất phương trình f'(x) > g'(x), biết rằng: a) f(x) = x3 +x - , g(x) = 3x2 + x + ; b) f(x) = 2x3 - x2 + , g(x) = x3 + x2 - Baøi 6: Tính CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI - Tài liệu lưu hành nội - 115 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 §4 VI PHÂN Đònh nghóa:  Cho hàm số f(x) = x , x0 = ∆ x = 0.01 Tính f'(x0)∆ x Ta gọi tích f'(x)∆x vi phân hàm số y = f(x) x ứng với số gia ∆x Kí hiệu df(x) dy, tức là: dy = df(x) = f'(x)∆x * Chú ý: Áp dụng đònh nghóa vào hàm số y = x, ta có: dx = d(x) = (x)'∆x = 1.∆x = ∆x Do đó, với hàm số y = f(x) ta có: dy = df(x) = f'(x)dx Ví dụ: Tìm vi phân hàm số sau: a) y = x3 - 5x + 1; b) y = sin3x Giaûi: Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng: f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f'(x0)∆x Ví dụ: Tính giá trò gần Giải: 3.99  Ghi chuù: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Tìm vi phân hàm số sau: x a) y = (a, b số); a+b (x2 + 4x + 1)(x2 − x) Bài 2: Tìm dy, bieát: a) y = tan x ; b) y = b) y = CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 116 - Tài liệu lưu hành nội - cos x − x2 Taøi liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 - Tài liệu lưu hành nội - 117 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 §5 ĐẠO HÀM CẤP HAI I– ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x ∈ (a; b) Khi đó, hệ thức y' = f'(x) xác đònh hàm số khoảng (a; b) Nếu hàm số y' = f'(x) lại có đạo hàm x ta gọi đạo hàm y' đạo hàm cấp hai hàm số y = f(x) kí hiệu y'' f''(x) * Chú ý: • Đạo hàm cấp ba hàm số y = f(x) đònh nghóa tương tự kí hiệu y''' f'''(x)hoặc f3(x) • Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1, kí hiệu f n - 1(x) (n ∈ N, n ≥ 4) Neáu fn - 1(x) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f(x), kí hiệu y(n) fn(x) fn(x) = (f(n - 1)(x))' II– Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI: Đạo hàm cấp hai f''(t) gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t Ví dụ: Xét chuyển động có phương trình s(t) = Asin(ωt + ϕ) (A, ω, ϕ số) Tìm gia tốc tức thời thời điểm t chuyển động Giải:  Ghi chuù: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: a) Cho f(x) = (x + 10)6 Tính f''(2) π π b) Cho f(x) = sin3x Tính f ''(− ) , f ''(0) , f ''( ) 18 Bài 2: Tìm đạo hàm cấp hai hàm soá sau: 1 a) y = ; b) y = ; c) y = tanx; 1− x 1− x CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 118 - Tài liệu lưu hành nội - d) y = cos2x Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 - Tài liệu lưu hành nội - 119 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 * ÔN TẬP CHƯƠNG V * 120 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 BAØI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: x3 x2 3x2 − 6x + a) y = b) y = − + − ; c) y = ; − + x − 5; x x x 7x 4x 1+ x − x2 + 7x + ( + x )( x − ) d) y = ; e) y = ; f) y = x x2 − 3x 1− x Bài 2: Tìm đạo hàm hàm số sau: cosx 3cosx t2 + 2cost a) y = x sinx − ; b) y = ; c) y = ; x 2x + sint - Tài liệu lưu hành nội - 121 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 2cosϕ − sinϕ tanx ; e) y = ; 3sinϕ + cosϕ sinx + Bài 3: Cho hàm số f(x) = 1+ x Tính f(3) + (x - 3)f'(3) d) y = Bài 4: Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng: f(x) = 3x + f) y = cotx x −1 60 64 − + x x3 Baøi 5: Viết phương trình tiếp tuyến: x+ a) Của hypebol y = điểm A(2; 3); x−1 b) Của đường cong y = x3 + 4x2 - điểm có hoành độ x0 = -1; c) Của parabol y = x2 - 4x + điểm có tung độ y0 = f '(0) cosx Bài 6: Cho f(x) = , g(x) = xsinx Tính g'(0) x f '(0) Bài 7: Cho hàm số f(x) = tanx g(x) = Tính g'(0) 1− x Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho chuyển động thẳng xác đònh phương trình s = t - 3t2 - 9t, t tính giây s tính mét a) Tính vận tốc chuyển động t = 2s b) Tính gia tốc chuyển động t = 3s c) Tính gia tốc thời điểm vận tốc triệt tiêu d) Tính vận tốc thời điểm gia tốc triệt tiêu x2 Bài 2: Cho hai hàm số y = y = Viết phương trình tiếp tuyến với x 2 đồ thò hàm số cho giao điểm chúng Tính góc hai tiếp tuyến kể CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 122 - Tài liệu lưu hành nội -