Trần Só Tùng 12 Hướng dẫn Bài tập Giải tích CHƯƠNG I: KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 5/4 Chứng minh bất đẳng thức sau: a) tan 550 > 1, b) • < sin 200 < 20 c) log > log π + tan + tan100 18 = a) Ta có: tan 55 = tan(45 + 10 ) = − tan100 − tan π 18 1+ x f ( x) = Xét hàm số: Ta có: 1− x f ′( x ) = > 0, ∀x ≠ (1 − x) 0 ⇒ f(x) đồng biến khoảng xác định π  (1) ÷  18  π π π π tan > > > ; tan < tan = Mặt khác: 18 18 18 18 1+ π  1 = 1, f  ÷> f  ÷= Từ đó: Từ (1) suy đpcm  18    1− Ta có: tan 550 = f  ⇒ < tan π log a (a + 1) > log a +1 (a + 2) (1) Thật vậy, xét A = log a +1 ( a + 2) (dễ dàng thấy A > 0) log a (a + 1) Ta cần chứng minh A < Ta có A= = log a +1 ( a + 2) log a +1 ( a + 2) + log a +1 a = log a +1 ( a + 2).log a +1 a ≤ = log a (a + 1) log a +1 ( a + 2) a log a +1 ( a + 1) ≤ =1 2 ⇒A < Áp dụng, với a = 2, log > log Cách khác: Xét hàm số f ( x) = log x ( x + 1) với x > Hàm số f(x) nghịch biến với x > ⇒ f(2) > f(3) ⇒ log > log Bài 4/5 Giải hệ phương trình: Trang Hướng dẫn Bài tập Giải tích 12 Trần Só Tùng 2 x + = y + y + y  a)  y + = z + z + z  2 z + = x + x + x (*) Đặt f (t ) = t + t + t , t ∈ R Ta có: f ′(t ) = 3t + 2t + > 0, ∀t ∈ R ⇒ f(t) đồng biến R 2 x + = f ( y )  Hệ cho: (*) ⇔  y + = f ( z ) (1)  z + = f ( x)  Ta chứng minh nghiệm ( x0 ; y0 ; z0 ) (nếu có) hệ (1) thoả mãn x0 = y0 = z0 Giả sử khơng vậy, cho x0 > y0 Từ tính đồng biến f(t) R, ta có: f ( x0 ) > f ( y0 ) ⇔ z0 + > x0 + 1⇔ z0 > x0 ⇔ f ( z0 ) > f ( x0 ) ⇔ y0 + > z0 + ⇔ y0 > z0 ⇒ x0 > y0 > z0 > x0 Điều vơ lí chứng tỏ x0 = y0 = z0 Do đó: 2 x + = x3 + x + x (1) ⇔  x = y = z x = y = z =1 ⇔  x = y = z = −1  x3 + x − x − = ( x + 1)( x − 1) = ⇔ ⇔ x = y = z x = y = z Vậy nghiệm hệ là: (1; 1; 1), (–1; –1; –1)  y = x − 12 x +  c)  z = y − 12 y +   x = z − 12 z + (1) (*) (2) (3)  8  1 Từ (1) suy ra: y =  x − x + ÷ = ( x − 1)2 +  ≥ ⇒ y ≥ 6 3   Tương tự, ta có: Hàm số z ≥ 2, x ≥ f (t ) = 6t − 12t + tam thức bậc hai có GTNN t = − b = , đồng biến t 2a > Ta viết hệ (*) dạng:  y = f ( x)  (*) ⇔  z = f ( y )   x = f ( z) ( x, y, z ≥ > 1) • Nếu x ≤ y tính đồng biến hàm f(t) t ≥ ta suy f(x) ≤ f(y), y3 ≤ z3 tức: ⇒y ≤ z ⇒ f(y) ≤ f(z) ⇒ z ≤ x3 ⇒ z ≤ x Vậy có: x ≤ y ≤ z ≤ x suy x = y = z ( x − 2)3 = 0; ( y − 2)3 = 0; ( z − 2)3 = Từ hệ (*) ta được: Vậy: x = y = z = • Nếu x > y f(x) > f(y) tức y > z ⇒ y > z ⇒ f(y) > f(z) ⇒ z > x3 ⇒ z > x Vậy có: x > y > z > x Điều vơ lí chứng tỏ hệ có nghiệm nhất: x = y = z = Trang Trần Só Tùng 12 Hướng dẫn Bài tập Giải tích CHƯƠNG II: HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Bài 6/62: Giải phương trình mũ phương pháp sử dụng tính đơn điệu 2 i) 2x−1 − 2x − x = (x − 1)2 ⇔ 2x−1 − 2x − x = (x2 − x) − (x − 1) ⇔ 2x−1 + (x − 1) = 2x − x + (x2 − x) (*) Đặt t(t) = 2t + t Ta có: f ′(t) = 2t ln2 + > 0, ∀t ⇒ f (t) đồng biến (–∞; +∞) Do đó: (*) ⇔ x2 − x = x − ⇔ x = PT có nghiệm x = Cách khác: Ta có: (x − 1)2 ≥ ⇒ x2 − x ≥ x − ⇒ 2x − x ≥ 2x−1 (x − 1)2 = Do đó: VT ≤ 0, VP ≥ Cho nên: PT ⇔  x−1 ⇔ x = x2 − x 2 = m) 2x+1 − 4x = x − ⇔ x (2 − x ) = x − • x = nghiệm phương trình • x > 1: VT < 0; VP > • x < 1: VT > 0; VP < ⇒ PT có nghiệm x = x n) x = + ⇔ x x =3 x x +1 x ⇔   +   = PT có nghiệm x =  ÷  ÷  4  4 o) x + x = x + • Dễ thấy PT có nghiệm x = 0, x = (PT khơng có nghiệm nhất) Xét hàm số: f ( x) = x + x − x − Ta có: f ′ ( x) = x ln + x ln − f ′′( x) = x ln + x ln 0, với ∀x ∈ R ⇒ hàm số f ′( x ) đồng biến R Mặt khác f ′( x) liên tục R f′(−1) ′(1) < ⇒ PT f ′( x) = có nghiệm x0 ∈ (–1; 1) Ta có bảng biến thiên sau: Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có khơng nghiệm Vậy nghiệm phương trình là: x = 0; x = Bài tập tương tự: a) 3x + x = x + b) 3x + x = x + q) 3x + 8x = x + x ⇔ x − x = x − 3x Sử dụng định lí La–grăng: "Nếu hàm số f(x) liên tục [a; b], có đạo hàm khoảng f (b) − f (a ) (a; b) tồn điểm c ∈ (a; b) cho: f ′(c) = " b−a Xét hàm số: f ( x) = (a + 1) − a liên tục R f(7) = f(3) Trang x x Hướng dẫn Bài tập Giải tích 12 Trần Só Tùng x − x − Ta có: f ′(a) = x(a + 1) − xa Theo định lí La–grăng ∃ c ∈ (3; 7) cho: x = x = f (7) − f (3) f ′( c ) = = ⇔ x(c + 1) x −1 − xc x −1 = ⇔  ⇔ x −1 x −1 −3 x =1 (c + 1) − c = Vậy phương trình có nghiệm: x = 0, x = Bài tập tương tự: r), s) (Còn tiếp) Trang