Số phức Trần Só Tùng CHƯƠNG IV IV CHƯƠNG SỐ PHỨC PHỨC SỐ I SỐ SỐ PHỨC PHỨC I Khái niệm số phức  Tập hợp số phức: C  Số phức (dạng đại số) : z  a  bi (a, b �R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vò ảo, i = –1)  z số thực  phần ảo z (b = 0) z ảo  phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo � a  a' a  bi  a�  bi �� � (a, b, a', b'�R)  Hai số phức nhau: b  b' � Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b �R) biểu r diễn điểm M(a; b) hay u  (a; b) mp(Oxy) (mp phức) Cộng trừ số phức:    b b� i    b b� i   a  bi    a�   a  bi    a�  bi �   a  a�  bi �   a  a�  Số đối z = a + bi laø –z = –a – bi r r r r  u biểu diễn z, u' biểu diễn z' u  u'biểu diễn z + z’ r r u  u' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức :  aa�    ab� ba� i   a  bi   a' b'i   � �bb�  k(a  bi )  ka  kbi (k �R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi laø z  a  bi �z � z '  z.z'; �1 � ;  z  z ; z �z'  z �z'; zz z.z  a2  b2 z z �2 �  z số thực  z  z ; z số ảo  z   z Môđun số phức : z = a + bi uuuu r  z  a2  b2  zz  OM  z �0, z�C , z  0� z  zz '  z z'  z z  z' z'  z  z' �z�z' �z  z' Chia hai số phức: z' z'.z z'.z 1  z' z1    z  z (z  0)  z z.z z z Căn bậc hai số phức: Trang 102  z'  w � z'  wz z Số phức Trần Só Tùng  z  x  yi bậc hai số phức w  a  bi  z2  w  �x2  y2  a � � 2xy  b  w = có bậc hai z =  w �0 có hai bậc hai đối  Hai bậc hai a > � a  Hai bậc hai a < � a.i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A �0)   B2  4AC   �0 : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2  bậc hai )  B � , (  2A B 2A Chú ý: Nếu z0  C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) 10 Dạng lượng giác số phức:  z  r(cos  i sin) (r > 0) dạng lương giác z = a + bi (z  0) � � r  a2  b2 � a � �� cos  r � b � sin  � r   acgumen cuûa z,   (Ox,OM )    : (*) có nghiệm kép: z1  z2    z  1� z  cos  i sin ( �R) 11 Nhân, chia số phức dạng lượng giác Cho z  r(cos  i sin) , z'  r '(cos ' i sin ') :  z.z'  rr '. cos(   ')  i sin(   ')  z r   cos(   ')  i sin(   ') z' r ' 12 Công thức Moa–vrơ:   r (cos  i sin)  r n(cosn  i sinn) , n ( n�N* )   cos  i sin   cosn  i sinn 13 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:   i sin ) (r > 0) có hai bậc hai là:  Số phức z  r(cos� �  � r� cos  i sin � � 2� � � � �  � � � � va� r � cos  i sin � r � cos�   � i sin�   � � � 2� � �2 � � �2 � z  r (cos�   i sin  )  Mở rộng: Số phức (r > 0) có n bậc n là: n Trang 103 Trần Só Tùng n Số phức �   k2   k2 r� cos  i sin n n � � , k  0,1, , n � � VẤN ĐỀ 1: Thực phép toán cộng – trừ – nhân – chia Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, bậc hai số phức Chú ý tính chất giao hoán, kết hợp phép toán cộng nhân Tìm phần thực phần ảo số phức sau: �1 � �2 � i  (2  3i ) �(5 i ) a) (4�) b)  i  �  2i � c)   3i   �  i � �3 � �3 � Baøi � ��3 �1 3 i � �   2i � i d) � � ��2 �2 3 i 2 i g)  1 i i m k) i m o) 1 i 2 i �3 � � �   i� e) �  i � � �4 � � � h)  2i l) p) a i a a i a a i b i a Bài Thực phép toán sau: a) (1 i)  (1�) b) (2  i )3  (3 i )3 i2 �1 � d) �  3i � �2 � e) (1  2i )  (1  i ) (3  2i )  (2  i ) f) (2  3i)(3 i ) i) 1 i 1 i m) q) 3i (1  2i )(1  i )  3i  5i c) (3 4i)2 f) (2  i)6 g) (1  i)3  (2i)3 h) (1 i )100 i) (3 3i )5 Bài Cho số phức z  x  yi Tìm phần thực phần ảo số phức sau: zi a) z2  2z 4i b) iz  Bài Phân tích thành nhân tử, với a, b, c  R: a) a2  b) 2a2  c) 4a4  9b2 d) 3a2  5b2 e) a4  16 f) a3  27 g) a3  h) a4  a2  Bài Tìm bậc hai số phức: a) 1 3i b)  5i c) 1 6i e)   i f) 7 24i g) 40 42i 2 i)  k) 5 12i l) 8 6i i Trang 104 d) 5 12i h) 11 3.i m) 33 56i Số phức Trần Só Tùng VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình tập số phức Giả sử z = x + yi Giải phương trình ẩn z tìm x, y thoả mãn phương trình Giải phương trình sau (ẩn z): a) z  z 0 b) z  z 0 Baøi c) z  z 2  4i e) z  z  1  8i d) z  z 0 f) (4  5i )z   i  z i  g)   1  z i i) z  3z   12i h) 2i   3i z 1 i 2i k) (3 2i)2(z  i )  3i � � 3 i � 3 i m) z� � � � 1� iz � l)  (2 i)z  3 i  � � 2i � 3 5i   4i o) z p) (z  3i )(z2  2z  5)  q) (z2  9)(z2  z  1)  r) 2z3  3z2  5z  3i   Bài Giải phương trình sau (aån x): a) x  3.x  0 b) x  3.x  0 c) x2  (3 i )x   3i  e) 3x  x   g) 3x  24  i) ( x  2)5   d) 3i.x2  2x  4 i  f) i.x  2i.x   h) x  16  k) x2   l) x2  2(1 i )x   2i  m) x2  2(2  i )x  18 4i  o) ix2  4x  4 i  p) x2  (2  3i )x  Bài Tìm hai số biết tổng tích chúng là:  1 3i  4 4i a)  3i va� b) 2i va� Bài Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận  làm nghiệm: a)   3 4i b)    i c)   2 5i d)   2 i e)    i f)   i 5 i 2 i Bài Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm z1, z2 thoả mãn điều kiện ra: g)   (2  i)(3 i) h)   i 51  2i 80  3i 45  4i 38 i)   a) z2  mz  m 1 0, � k : z12  z22  z1z2  b) z2  3mz  5i  0, � k : z13  z23  18 c) x2  mx  3i  0, � k : z12  z22  Bài Cho z1, z2 hai nghiệm phương trình  1 i 2 z2  (3 2i)z 1 i  Tính giá trò biểu thức sau: a) A  z12  z22 Bài b) B  z12z2  z1z22 Giải hệ phương trình sau: Trang 105 c) C  z1 z2  z2 z1 Trần Só Tùng Số phức  z1  z 4  i a)  2  z1  z 5  2i  z1 z   5.i b)  2  z1  z   2.i �z1  z2  z3  � d) �z1  z2  z3  �z z z  �1 �z  12 �z  8i  � e) � �z   � �z  �z  2i  z � �z12  z22  5 2i � g) � h) � �z1  z2   i �z  i  z  Baøi Giải hệ phương trình sau: �x  y  5 i �x  2y  1 2i a) � b) � 2 �x  y  3 i �x  y  8 8i �1 1 �   i d) �x y 2 �x2  y2  1 2i � �x2  y2  6 � e) �1 �x  y  � �x  y  5 i g) � 2 �x  y  1 2i �x  y  h) � 3 �x  y  2  3i � �z1  z2  c) �2 �z1 ( z2 )  �z  �z  i  � f) � �z  3i  � �z  i � �z12  z22  4z1z2  i) � �z1  z2  2i �x  y  c) � �xy  7 4i �x  y  3 2i � f) �1 17    i � �x y 26 26 VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Giả sử số phức z = x + yi biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp điểm M tìm hệ thức x y Xác đònh tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: a) z  z   b) z  z  1 i  c) z  z  2i  z  i Baøi d) 2i.z   z  e) 2i  z  z  g) z  i  z   3i h) z  3i 1 z i f) z  i) z  1 i  k)  z  i  z l) z   m)  z  i  Bài Xác đònh tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: a) z  2i số thực b) z   i số ảo c) z.z  VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác số phức Sử dụng phép toán số phức dạng lượng giác Tìm acgumen số phức sau: a)   3.i b) – 4i c) 1 3.i     d) cos  i sin e)  sin  i cos f) (1  i )(1  i ) 4 8 Baøi Thực phép tính sau: Bài Trang 106 Số phức Trần Só Tùng a) 3 cos20o  i sin20o   cos25o  i sin25o  c)  cos120o  i sin120o   cos 45o  i sin 45o   cos18o  i sin18o   cos 72o  i sin 72o  e) (cos 45  i sin 45 ) g) (cos15  i sin 15 ) �  � �  � cos  i.sin � 3� cos  i.sin � b) 5� � 6� � 4�  ��  � �  cos  i sin � 3� cos  i sin � d) � �� 4� � o o cos85  i sin85 f) cos 40o  i sin 40o 2(cos 45o  i sin 45o) h) 3(cos15o  i sin15o) 2 � 2 2 � 2 2� cos  i sin  i sin ) � � � 3 i) k)   � �  2(cos  i sin ) 2� cos  i sin � 2� � 2 Baøi Viết dạng lượng giác số phức sau: a)  i b) 1 i c) (1  i )(1  i ) (cos d) 2.i.(  i ) 1 i 1 i i e) f) i)  i  2i l)  0i i k) g) sin   i cos  h) m) tan 5 i Viết dạng đại số số phức sau: � �  cos  i sin � a) cos 45o  i sin 45o b) � c)  cos120o  i sin120o  6� � 3 i d) (2  i)6 e) f) (1 i )(1 2i) i Baøi 1 i g) 2i  k) � 3 3 � cos  i sin � � 4� 2� Baøi 40 � 1 i � h)  1 i 3 i) (2 2i)7.� � � 1 i � 100 1 i � �   �m) l) � 17 cos  i sin � � � � 1 i � � 4 �  3 i � 60 Tính: a)  cos12o  i sin12o  0 d) � �  cos30  i sin30  � � 21 b)   i  16 c) (  i ) e) (cos15o  i sin15o )5 f) (1 i )2008  (1 i)2008 12 2008   3i  1 3  i 1   i  g)  h) i)    2   i    2i   1   2008  , bie� t z  k) (cos  i sin )i 5.(1  3i ) l) z z 3 z2008 Bài Chứng minh: a) sin5t  16sin5 t  20sin3 t  5sint b) cos5t  16cos5 t  20cos3 t  5cost c) sin3t  3cos2 t  sin3 t d) cos3t  4cos3 t  3cost Trang 107 Trần Só Tùng Số phức II ÔN ÔN TẬP TẬP SỐ SỐ PHỨC PHỨC II Bài Thực phép tính sau: 16 � � � 1 i � b) �1 i � � � � � � � a) (2 i )(3 2i )(5 4i) 1 i � � 1 i � c) � � � � � 1 i � � 1 i � � e) (2 4i )(5 2i )  (3 4i )(6 i ) d) 3 7i 5 8i   3i  3i f) 1 i  i  i3   i 2009 h) 1 i  i   i n, (n �1) g) i 2000  i1999  i 201  i 82  i 47 k) i 5(i )7  (i )13  i 100  (i )94 Cho số phức z1  1 2i, z2  2  3i, z3  1 i Tính: i) i.i 2.i i 2000 Bài a) z1  z2  z3 d) b) z1z2  z2z3  z3z1 z z z e)   z2 z3 z1 z12  z22  z32 Baøi Rút gọn biểu thức sau: c) z1z2z3 f) z12  z22 z22  z32 a) A  z4  iz3  (1 2i )z2  3z 1 3i, v� � i z  2 3i 1 3 i Bài Tìm số thực x, y cho: x  y a) (1 2i )x  (1 2y)i  1 i b)  i 3 i 3 i c) (4  3i)x2  (3 2i)xy  4y2  x2  (3xy  2y2)i Bài Tìm bậc hai số phức sau: a) 8 6i b) 3 4i c) 1 i d) 7 24i b) B  (z z2  2z3)(2 z z2), v� � i z 2 � 1 i � f) � g)  h) i, –i i � � 3 i � 2 � � 1 3 i 1  i i) k) l) 2 1 i 3 m)  1 i 1 i 2 1 i Baøi Tìm bậc ba số phức sau: a) i b) –27 c)  2i d) 18 6i Bài Tìm bậc bốn số phức sau: a)  i 12 b)  i c) 2i d) 7 24i Baøi Giải phương trình sau: a) z  125  b) z4  16  c) z3  64i  d) � 1 i � e) � � 1 i � � z3  27i  Trang 108 Số phức Trần Só Tùng e) z7  2iz4  iz3   f) z6  iz3  i  1 g) z10  (2 i )z5  2i  Bài Gọi u1; u2 hai bậc hai z1  3 4i v1; v2 hai bậc hai z2  3 4i Tính u1  u2  v1  v2 ? Bài 10 Giải phương trình sau tập số phức: a) z   b) z2  2z   c) z2  4z  10  d) z2  5z   e) 2z2  3z   f) 3z2  2z   g) (z  z)(z  z)  h) z2  z   i) z2  z  k) l)  z  2i  +2 z  2i    m) z3  z 2z  3z   3i n) 4z2  z  o) iz2  (1 2i )z  1 p) (1 i )z2   11i  Bài 11 Giải phương trình sau tập số phức: �4z  i � 4z  i a) �  6 � z i �z  i � b)  z  5i   z  3  z2  z  3  c)  z2  2z  6 z2  2z  16  e)  z  i   z2 �  2z  2  g) z2  (5 14i )z 2(12 5i )  d) z3   1 i  z2   3 i  z  3i  f) z2  2iz  2i  1 h) z2  80z 4099 100i  i) (z  3 i )2  6(z  3 i )  13  k) z2  (cos  i sin)z i cos sin  Bài 12 Giải phương trình sau tập số phức: a) x2  (3 4i )x  5i  1 b) x2  (1 i )x  2 i  c) 3x2  x   d) x2  x  1 e) x3  1 Bài 13 Giải phương trình sau biết chúng có nghiệm ảo: a) z3  iz2  2iz   b) z3  (i  3)z2  (4  4i)z  4i  Tìm m để phương trình sau:  z  i   z2  2mz  m2  2m  a) Chỉ có nghiệm phức b) Chỉ có nghiệm thực c) Có ba nghiệm phức Bài 15 Tìm m để phương trình sau: z3  (3 i )z2  3z  (m i )  có nghiệm thực Bài 16 Tìm tất số phức z cho (z  2)(z  i ) laø số thực Bài 17 Giải phương trình trùng phương: a) z  8(1 i )z2  63 16i  b) z4  24(1 i )z2  308 144i  Baøi 14 c) z4  6(1 i )z2  5 6i  z1, z2 Baøi 18 Cho hai nghiệm phương z2   1 i 2 z   3i  Tính giá trò biểu thức sau: a) z12  z22 b) z12z2  z1z22 �1 � �1 �   z  � d) z1 � e) z2 z13  z1z23 � � �z � � � �2 z1 � �z1 z2 � Trang 109 c) z13  z23 f) z1 z2  z2 z1 trình: Trần Só Tùng Số phức Cho z1, z2 hai nghiệm phương trình: x2  x  1 Tính giá trò biểu thức sau: Bài 19 a) x12000  x22000 b) x11999  x1999 c) x1n  x2n, n�N Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thoả mãn hệ thức sau: z 3 a) b) z2  z2  c) z  z i z Bài 20 Hãy Bài 21 tính S  1 z  z2  z3  zn1 tổng biết 2 2  i sin n n Bài 22 Viết dạng lượng giác số phức sau: 2 i a) i  i  i  i  b) (1 i )(2  i ) c) 1 i �  �   cos  i sin � d) 1 sin  i cos ,    e) 3� f) cot  i,     � 6� 2  g) sin  i(1 cos ),    Bài 23 Tìm môđun acgumen số phức sau: z  cos a) 2  2i   (1 i) (1 i )6 2  2i  b) (1 i )4  3 i 10  2  2i  c)  1 i 3   1 i 3 n n   d)  sin  i cos 8   e) cos  i sin f) 2 3i 4  1 cos  i sin  g) 1 sin  i cos ,    h) i)  3i , 0   1 cos  i sin Bài 24 Tìm môđun acgumen số phức sau: a) 2 Bài 25  2i   (1 i )6 b) (1 i )4  c)  1 i 3   1 i 3 n   i    2i   2i  Chứng minh biểu thức sau có giá trò thực: (1 i) 2 a)   i 5    i 5 n � � � � c) �1 i � �1 i � � � � � n n 19 7i � �20  5i � b) � � � � � � 9 i � �7 6i � 10 5 � � � � d) �1 i � �1 i � � � � � � � � � e) �i  �  �i  � � � � � Bài 26 Trong số phức z thoả mãn điều kiện z   3i  Tìm số phức z có môđun nhỏ Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức sau: Bài 27 4i 2 6i ; (1 i)(1 2i); i 1 3 i a) Chứng minh ABC tam giác vuông cân Trang 110 Số phức Trần Só Tùng b) Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD hình vuông Bài 28 Giải phương trình sau, biết chúng có nghiệm ảo: a) z3  (2  2i )z2  (5 4i)z  10i  b) z3  (1 i )z2  (i  1)z  i  c) z3  (4  5i )z2  (8 20i )z  40i  Cho đa thức P (z)  z3  (3i  6)z2  (10 18i)z 30i a) Tính P (3i) b) Giải phương trình P (z)  Baøi 29 Baøi 30 Giải phương trình � z 1� z � 2 �, bieát z  3 4i z  � � nghiệm phương trình Bài 31 Giải phương trình sau: a) z  2z3  z2  2z 1 b) z4  2z3  z2  2z  1 d) z4  4z3  6z2  4z 15  c) z4   1 2 z3   2 2 z2   1 2 z 1 e) z6  z5  13z4  14z3  13z2  z 1 Bài 32 Giải phương trình sau: � � b) �z  i �  �z  i � a) (z2  3z  6)2  2z(z2  3z  6)  3z2  Baøi 34 � � � � � � d) �z  i � �z  i � �z  i � 1 �z  i � �z  i � �z  i � 2z  i �1 Chứng minh rằng: z �1  iz Cho số phức z1, z2, z3 Chứng minh: c) (z2  z  1)4  6z2(z2  z  1)2  5z4  Bài 33 2 2 2 a) z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3 2    1 z    1 z   1 z  b) 1 z1z2  z1  z2  1 z1 c) 1 z1z2  z1  z2 2 2 2 2 2 d) Nếu z1  z1  c z1  z2  z1  z2  4c2 Chaân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 111 Trần Só Tùng Số phức Trang 112