Nguyên hàm – Tích phân CHƯƠNG III III CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, HÀM, TÍCH TÍCH PHÂN PHÂN VÀ VÀ ỨNG ỨNG NGUYÊN DỤNG DỤNG II TÍCH TÍCH PHÂN PHÂN II Khái niệm tích phân  Cho hàm số f liên tục K a, b  K Nếu F nguyên hàm f K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân f từ a đến b kí hiệu b f (x)dx � a b f (x)dx  F (b)  F (a) � a  Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x, tức là: b b b a a a f (x)dx  � f (t)dt  � f (u)du   F (b)  F (a) �  Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b] diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thò y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b S � f (x)dx b là: a Tính chất tích phaân  f (x)dx  �  b a f (x)dx   � f (x)dx � a b b kf (x)dx  k� f (x)dx �  b a (k: a const)  b b b a a a f (x)dx �� g(x)dx  f (x) �g(x)dx  � �  Nếu f(x)  [a; b]  b c b a a c f (x)dx  � f (x)dx  � f (x)dx � b f (x)dx �0 � a  Neáu f(x)  g(x) [a; b] b b a a f (x)dx �� g(x)dx � Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b u(b) a u(a) f  u(x) u'(x)dx  �f (u)du � đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục K, y = f(u) liên tục hàm hợp f[u(x)] xác đònh K, a, b  K b) Phương pháp tích phân phần Trang 84 Nguyên hàm – Tích phân Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K, a, b  K thì: b b b udv  uv  � vdu � a a a Chú ý: – Cần xem lại phương pháp tìm nguyên hàm – Trong phương pháp tích phân phần, ta cần chọn b cho b vdu dễ tính � udv � a a VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm F(x) f(x), sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân: b f (x)dx  F (b)  F (a) � a Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Tính tích phân sau: Bài 2 a) ( x  x  1)dx d) 1 x �x2  2dx e) 2 2 2 x  2x � x3 dx c) x x e (x  f) � x  5 7x dx l) � x 1   x2)dx x x i) e2 dx 2 �x  1dx b) � Baøi  4 dx x2 (x  x x  x)dx h) � d)   x  23 x  44 x dx 8� � � � 4x  dx m) � � 2� 1� x � Tính tích phân sau: Bài a) x  1 ( x  1)(x  x  1)dx g) � k) 3 x 1 b) ( x   e )dx x xdx �x   x 2 dx e) � 03 3x 1 x 1 x Tính tích phân sau:   a) sin(2 x  ) dx b) dx dx  (2sin x  3cosx  x)dx �  Trang 85 (x2  x x  x)dx c) � f) c) x �  x2  9dx  sin3x  cos2x dx � Nguyên hàm – Tích phân d)  tan x.dx � g)  e) cos2 x  dx h) � 1 sin x 3tan � xdx   1 cos x dx � 1 cos x    sin(  x) (tan x  cot x)2dx dx k) � l) �    sin(  x)  Bài Tính tích phân sau: e  e x x a) � ex  e x dx b) dx ex  e) d) g) k) ln2 � ex  ecosx sin xdx h) � e ln x � x l) dx (x  1).dx � x  x ln x x e (1 � x 4e � 1 x x2 xe � e x )dx x dx  f) i) (2cot �   2 sin � x.cos2 xdx m)  4 cos � xdx 2x 1e  c) � x e 2 dx x 1e f) dx � x i) � e m) dx x  5) dx 1 ln x dx x dx � 1 ex VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính g(x)dx � a Nếu viết g(x) dạng: g(x)  f  u(x) u'(x) b u(b) a u(a) g(x)dx  � �f (u)du  Dạng 2: Giả sử ta cần tính �f (x)dx  x(b) Đặt x = x(t) (t  K) a, b  K thoả mãn  = x(a),  =  b b  a a f  x(t) x'(t)dt  � g(t)dt �f (x)dx  �  g(t)  f  x(t) x'(t) Dạng thường gặp trường hợp sau: Trang 86 Nguyên hàm – Tích phân f(x) có chứa Cách đổi biến   �t � 2 a x hoaëc x  a cost, �t �   x  a tant,   t 2 2 a x hoaëc x  a cot t, 0 t   �  � a x , t ��  ; \  0 sint � 2� � 2 hoaëc x a � � a x , t � 0;  \ � � cost �2 Bài Tính tích phân sau (đổi biến số dạng 1): 1 x3 x5 19 x (  x ) dx dx a)  b)  c)  2 (  x ) x  0 d)  g) k) exdx  e  1 � x2  ln3 x  f) dx x 1 x2dx � e) 2x  x  xdx x  a sint, h) x  2x  e l)  dx 1 x2 dx ln2 1 x2 x � ex �1 ex dx i)  ln x dx 2x e m)  1  ln x ln x dx x   sin x n) o) cos x sin x dx p) dx dx 2    2  sin x sin x  cos x cos x  sin x 0 Bài Tính tích phân sau (đổi biến số dạng 2): a) sin x dx  1 b) x2 dx  x 3 g) � 1 dx x2  2x  e) k) � dx x x 1  l) 2 � x2  dx x3 f) x i)  x2 1 x  x dx dx 2  ( x  1)( x  2) h) 4 x x c) d)  x dx dx m) xdx  x 1 dx 1  x  x 2x  x � dx VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân phương pháp tích phân phần Với P(x) đa thức x, ta thường gặp dạng sau: Trang 87 Nguyên hàm – Tích phân b P (x).exdx � a u dv P(x) exdx  x sin xdx 2 � x cos xdx b) lnx P(x) 2 ( x  sin x) cos xdx e)  x tan2 xdx � 3x e sin xdx  o) x ln xdx p) dx i) ln( x  x) dx e e e 2x x ln xdx cos x sin xdx ln m) xdx e ( x  2)e l) cos xdx f)  h) e x xe dx x c) 0 k) a P(x) sinxdx  ln  P (x).l n xdx � a P(x) cosxdx g) b P (x).sin xdx � a d) b P (x).cos xdx � Tính tích phân sau: Bài a) b ln x x dx e q) x(e 2x  x  1)dx 1 VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân hàm số có chứa giá trò tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân đoạn nhỏ Tính tích phân sau: Bài 2 a) x  dx d) g) �x  dx e) 2  6x  9dx h) Baøi d) �1 sinxdx   x  dx f) x �  dx i) �4 xdx 1 Tính tích phân sau:   cos x dx   x  x  x dx  2 a) ( x   x  2)dx � x �x c) 3 2 b) x  x dx b) �1 sin2x.dx c)  �sinx dx   2 e) �1 cosxdx Trang 88  f) �1 cos2xdx Nguyên hàm – Tích phân  2 g) �tan x  cot x  2dx   cos x cos x  cos3 xdx i) h) � 2 �1 sinxdx   VAÁN ĐỀ 5: Tính tích phân hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số hữu tỉ Tính tích phân sau: Bài 1 d) g) dx b)  x  5x  dx a)  xx x 1  x  dx e) x dx f) 1  x  x 1 3 dx h) x(x  1) 3 2x  6x  9x  � i)  5x  x  x dx 3x  3x  dx dx l) �3 x2  3x  2 x  3x  Baøi Tính tích phân sau: dx 3x  dx a)  b)  x 1 x  2x   1 � 2 (x  2) (x  3) g) � x(1 x4) dx h) k)  1 x2008 � x(1 x2008) f) dx �  x2 l) 1 x2 � 1 x4 � x 1 x dx i) x  2x  4x  dx  x2  c) x  x1 �x2  dx dx x2 dx � (3x 1)3 m) e) dx (1  x) � x 1 d)  x  11 dx x k) x dx  x  2x  c) x4 �2 2 (x  1) dx dx m) dx  x4 dx � 1 x2 VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số vô tỉ Tính tích phân sau: Bài 1 2 x a) x  1dx b) 0 d) 1  10 g) x dx dx k) x �x  x 1 x1  3x  dx x  e) x3 � x 1 dx c) f) 4x  h) x x  1dx l) � i) x x2  Trang 89  x5 1 4x  2  dx x4 x 1  x dx 2x  1 dx  m) x5  x3 � 3x  1 x dx dx dx Nguyên hàm – Tích phaân 2 1 x n) � 1 xdx 1 x dx x � b) e) � 2 k) � Baøi a) d)  h) x  x2  dx l) cos xdx b) �7 cos2x x sin x cos5 xdx e) h) 1 cos x � 1 3cosx  f) dx tan x �  cos x �12x  4x  8dx  � 1 cos2 x  cos xdx  cos2 x cos xdx �2 cos2x dx i)  sin2x  sin x � 1 3cos x dx Tính tích phân sau: ln3 � a) 0 cos xdx Baøi e cos x  cos2 xdx c)  sin2x  sin x x2  x  �1 cos dx x3dx � sin x � �1 x m) � i) x dx  (1 x2)3  dx (1 x ) 1 x Tính tích phân sau: g) � 1 x2  2008 2 x3  1 f) dx � 1x x3 10  x2 dx � dx � c) dx 11 x2  x dx �x  2008dx x2  �2 g) � � p) d) dx x x2  Tính tích phân sau: Bài a) o) ln2 dx b) ex  e2xdx � c) ex  1 3ln x ln x dx x � d) ln3 ln2 x ln2 x ln x � ln3 g) �x 0 dx ex (e  1) ex  e) 2x �x(e ln2  x  1)dx f) dx h) �x � 1 ex e  e x ln2 dx i) exdx (ex  1)3 x �e  1dx VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số lượng giác Bài Tính tích phân sau: Trang 90 Nguyên hàm – Tích phân a)  b) sin x cos xdx d)  sin e) xdx  2 sin � h) x cos4 xdx  l) x  cos3 x)dx n) o) tan3 xdx � � sin x 1 cos x Baøi a) sin i) x cos xdx  cos x tan �    cos x sin x cos xdx b) cos2x(sin � x  cos x)dx e)  sin x.ln(cos x)dx � xdx p) a) � dx  sin x h) dx � sin x.cos3 x   /3 dx �sin4 x.cos x s)  /6  sin x  cos x dx sin x  cos x    c)   cos x tan x  cos x cos x dx � 1 cos x dx � sin x  cos x  dx   (tan x  e sin x cos x) dx f)  sin3 x � (tan2 x  1)2.cos5 x dx i)  1  sin x   �  b) e) g)  3 sin xdx 2  sin x  9cos x Tính tích phân sau:   dx 0 d) sin x cos x   cos x   x cos5 xdx Tính tích phân sau:  Bài  cos3 x r) dx � 1 cos x dx sin � m) dx � cos x   3x 0 g)   d)  2 cos  q) f)    sin xdx (sin � sin x 1  cos x dx 0 k) c) tan xdx   0 g)  h)  dx �  cos x c)  0   cos x dx �  cos x f)   sin x  cos x    Trang 91 i) sin x dx �  sin x �sin x  2cosx  dx dx �  sin x � dx  cos x cos(x ) dx Nguyên hàm – Tích phân k)  (1 sin x)cos x � (1 sin x)(2  cos x) d) l)  sin x cos(x  (2 x  1) cos xdx b)  ) dx � m)  sin xsin(x xdx   sin � xdx cos(ln x)dx g) � e) h)    e � sin xdx l)   ) sin2 x sin xcos3 xdx o) x cos f)  2 dx x 2x1 sin2xe � dx ln(sin x) dx i)  2 xdx xdx (2x  1)cos �  xsin x cos � m) x tan2 xdx � 0 e �  cos xdx �cos2 x  2 x � 2x c) n)  1  cos x k) dx �  Tính tích phân sau: Bài a) dx   ln(1 tan x)dx �  p) dx cos 0 x VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân hàm số mũ logarit Sử dụng phép toán luỹ thừa logarit Xem lại phương pháp tìm nguyên hàm Tính tích phân sau: Bài 1 ln e x dx a)  x 1 e ln d) ex  e x 1 ln g) � x 1 e dx x  e 5 b) dx e) ln  ln dx h) a)  2x e  1.e dx e2x dx � ex  d)  b) xe (e  cos x ) cos xdx e ln x  ln(ln x) dx g) � x e 4 dx i) � x 0e 1 ln3 � m) dx x e 1 dx 2x dx c) xe x dx x 0e e x e sin xdx �x 1 ex dx x  1 e f) ln x x ln x 2x e dx dx l) � � x e  x (ln x ) Bài Tính tích phân sau: e k) c) e) x ln1  x  dx e  ln x  ln h)   x ln x  Trang 92 e 1 ln2 x f) � dx x  x  dx i)  e3 ln(ln x) dx x e2 � Nguyên hàm – Tích phân lnx k) �2 dx x l)  ln(sin x) � cos x  dx m) ln(x  1) � x  dx VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ  Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số lẻ [-a; a] a �f (x)dx  a  Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số chẵn [-a; a] a a a f (x)dx �f (x)dx  2� Vì tính chất phần lý thuyết SGK nên tính tích phân có dạng ta chứng minh sau: Bước 1: Phân tích I  a �f (x)dx  a a a f (x)dx �f (x)dx  � � � �J  �f (x)dx; K  � f (x)dx� � � � a � a Bước 2: Tính tích phân J  �f (x)dx phương pháp đổi biến a Đặt t = – x – Nếu f(x) hàm số lẻ J = –K I=J+K=0 – Nếu f(x) hàm số chẵn J = K  I = J + K = 2K Dạng Nếu f(x) liên tục hàm chẵn R thì:  f (x)  (với   R+ a > 0) �ax  1dx  �f (x)dx  Để chứng minh tính chất này, ta làm tương tự    � f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) � �J  � dx; K  � dx� I � dx  � dx  � dx x x x x x � � a  a  a  a  a    �  � Để tính J ta đặt: t = –x �� 0; Dạng Nếu f(x) liên tục � � 2� �   0 �f (sin x)dx  �f (cos x)dx Để chứng minh tính chất ta đặt: Dạng Nếu f(x) lieân f (a  b  x)   f (x) đặt: t=a+b–x tục Trang 93 t  x f (a  b  x)  f (x) Nguyên hàm – Tích phân Đặc biệt, a + b =  đặt t=–x a + b = 2 đặt t = 2 – x Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác đònh nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x)  g(x) dễ xác đònh so với f(x) Từ suy nguyên hàm f(x) Ta thực bước sau: Bước 1: Tìm hàm g(x) Bước 2: Xác đònh nguyên hàm hàm số f(x)  g(x), tức là: �F (x)  G(x)  A(x)  C1 (*) �F (x)  G(x)  B(x)  C � Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F (x)  f(x) Tính tích phân sau (dạng 1): Baøi    d) x  x  x  x dx cos4 x � a)   ln x  1 x2 dx � b)  sin x h)   x4 �x dx 1  b) sin2 x d) � x dx   g) i)   sin x  1 x2 � dx   x  cos x �   sin x  1 2x c) dx �x dx 1 (e dx  1)(x2  1) f) sin x  cos x dx h) � 6x    n cos x * dx (n  N ) b) � n n cos x  sin x sin x �sin x  xdx x4  sin x � dx 1 x  �x 1 (4 dx  1)(x2  1)  x2 sin2 x dx i) � x  1  Tính tích phân sau (dạng 3): Bài  � x2 1 dx e)  x  3 1 ex   a) f) sin xsin3x cos5x �   2 x dx 1 x  x  1    � � 1 x � dx � �cosx.ln� 1 x � � Tính tích phân sau (dạng 2): Bài a) 1 x2 )dx c) �cos xln(x   e) � 1 cos x dx   1 g)  A(x)  B(x)  C nguyên hàm cos x  sin7 x dx � sin7 x  cos7 x dx Trang 94 c) Nguyên hàm – Tích phân d)  � 2009 sin 2009 2009 x  cos sin  x x dx e)  cos4 x � f) dx cos x  sin x 4 sin4 x � dx 4 cos x  sin x Baøi Tính tích phân sau (dạng 4):  a) d) x.sin x � dx  cos x   b) ln(1 tan x)dx � e) dx  sin x x dx �  sin x �x.cos xdx xdx  i) xsin x � 1 cos x xsin x dx m) 0 x.sin � dx � 9 4cos2 x l) sin4x ln(1 tan x)dx � xsin x cos � f)    xsin x dx �  cos x  �1 sin x � ln� dx � � 1 cos x � �  h)  c)  k) � 2 g) x  cos x xdx Tính tích phân sau (dạng 5): Bài a) d) g)  sin x dx � sin x  cos x b)   cos x dx � sin x  cos x  � sin x dx 6 sin x  cos x e) h) x.sin2xdx l) �x ex x 1 e  e o) sin x  cos x � dx sin x  cos x � ex x x 1 e  e dx dx �4 sin x  cos x 2cos � cos x dx � sin x  cos x  n)  c) sin x dx � sin x  cos x f)  � dx x 1 e  e dx Trang 95 cos4 x dx 4 sin x  cos x i)  2 2sin � x.sin2xdx k) e x �x  m) � e x x x 1 e  e dx