Trần Só Tùng logarit Hàm số luỹ thừa – mũ – CHƯƠNG II II CHƯƠNG HÀM SỐ SỐ LUỸ LUỸ THỪA THỪA –– HÀM HÀM SỐ SỐ MŨ MŨ HÀM HÀM SỐ SỐ LOGARIT LOGARIT –– HÀM I LUỸ LUỸ THỪA THỪA I Đònh nghóa luỹ thừa Số mũ α Cơ số a Luỹ thừa aα aα = an = a.a a (n thừa số a) aα = a = 1 a α = a −n = n a a∈R α = n∈ N* α =0 a≠0 α = −n ( n ∈ N * ) a≠0 m (m ∈ Z , n ∈ N * ) n α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N * ) α= m a>0 a α = a n = n a m (n a = b ⇔ b n = a) a>0 a α = lim a rn Tính chất luỹ thừa • Với a > 0, b > ta coù: α β a a = a α +β ; aα = aα −β β a α β ; (a ) = a α β α α ; (ab) = a b α α aα a ;   = α b b • a > : aα > aβ ⇔ α > β ; < a < : aα > aβ ⇔ α < β • Với < a < b ta coù: am < bm ⇔ m> ; am > bm ⇔ m< Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên số a phải dương Đònh nghóa tính chất thức • Căn bậc n a số b cho bn = a • Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta coù: n n n ab = a b ; n a na = (b > 0) ; b nb n ap = ( n a ) (a > 0) ; p mn a = mn a p q n m = ap = aq (a > 0) ; Đặc biệt n a = mn am n m • Nếu n số nguyên dương lẻ a < b n a < n b Nế u Nếu n số nguyên dương chẵn < a < b n a < n b Chú ý: + Khi n lẻ, số thực a có bậc n Kí hiệu n a + Khi n chẵn, số thực dương a có hai bậc n hai số đối Công thức lãi kép Trang 51 Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng Gọi A số tiền gửi, r lãi suất kì, N số kì Số tiền thu (cả vốn lẫn lãi) là: C = A(1+ r )N Thực phép tính sau:: Bài 3 7 a) A = ( −1)  − ÷  8 c) b) d) f) 23.2−1 + 5−3.54 − ( 0,01) g) G = D= ( ) 322 − 1256.( −16) ( −2) ( −18) 24.( −50) E= ( −25) ( −4) ( −27) e) 2 + 83 C= −3) ( −15) 84 ( B= 92.( −5) ( −6)  2  7  − ÷ ( −7)  − ÷  7  14  −2 10−3 :10−2 − ( 0,25) + 10−2 10−2 ( 0,01) −3 F= 253 ( −5)    ( h) 1 )( 1 H = 43 − 103 + 253 23 + 53 ) 81.5 3.5 12   64. ÷ K= i) I = k)    3  185 27  ÷ 32   Bài Viết biểu thức sau dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: a) 4 23 x x , ( x ≥ 0) b) b3 a , ( a, b ≠ 0) a b c) d) e) a8 3 Bài Đơn giản biểu thức sau: a) a 0,5 0,5 − a0,5b0,5 +b a− b + 0,5 2b 0,5 a + b0,5 1    x2 − y2 x2 + y2 ÷ x2 y2 2y + − c)  ÷ 1  ÷ x+ y x− y 2  xy + x y xy − x y  e) g) ( a − b ) ( a + a b + b ) 3 a−1 + ( b + c) 3 2 23 a1,5 + b1,5 f) b b b b  a0,5 + a0,5 −  a0,5 + b)  − ÷ ÷  a + 2a0,5 + a −  a0,5 1 1 1  2 2  x2 + 3y2 ÷ x − 3y x −y + ÷ d)  x− y ÷ 1    x2 − y2 ÷ ÷    f) ( a − b ) ( a + b ) ( a + b ) 4 −1  b2 + c2 − a2  −2  1+ ( a + b + c) ÷ −1  ÷ 2bc a−1 − ( b + c)   1   2  a +2 a − ÷ (a2 + 1) −  ÷ 1 a− ÷  ÷ 2  a + 2a +  a Bài Đơn giản biểu thức sau: Trang 52 h) 4 2 Trần Só Tùng logarit a) a− 3b a− 6b Hàm số luỹ thừa – muõ –  ab  ab − b b)  ab − ÷: a− b a + ab   a+ x   c)  a x + x a − a2 + x + 2a x ÷  ÷  a x + ax  24 d) + a − x2 ax2 − a2x 3 a − 23 ax + x2 − x a− x   x x− x  a3 a − 2a3 b + a2b2 a2b − ab2    :3a +  x3 +   f)  e)   x3 − 3 3  a − b  − x ÷ − x÷   a − ab  ÷ ÷   x −  x +    a2b − ab2 −1 a + b  ( − a − b) + a g)   a2 − 23 ab + b2 a2 − b2  Bài So sánh cặp số sau: a) ( 0,01) 5−2 − vaø5−3 ( ) vaø10 ( 2) −3 e) ( 0,001) −0,3 vaø3 100 vaø( 2) −4 h)  ÷  5 −5  5 và ÷  4 − 2 a) 3,2m < 3,2n b) m ( 2) m − > ( 2) a) ( a − 1) d) ( 1− a) − g) a ( 2a + 1) ( − a) e) h) − b)  2  ÷  5 > ( − a) 17 − x−2  1 = ÷  9 x+1 x = Trang 53 125 −x e)  ÷  ÷    27  10 n −1 f) ( − 1) m −0,2 c)  ÷  a < ( − 1) < a2 − f)   >    ÷  ÷  a  a i) a−0,25 < a− a 1− a a) 4x = 1024 d) ( 3) − m)  π  và π   ÷  ÷  2  2 n − và( 0,125) c)  ÷ >  ÷  9  9 n     m n d)  ÷ >  ÷ e) ( − 1) < ( − 1)     Bài Có thể kết luận số a nếu: f) i) 0,02−10 vaø5011    2 k) ( l)  ÷  ÷ ) ( ) − vaø −  5   Bài So sánh hai số m, n nếu: − c) d) 5300 vaø 8200 g) b)  π ÷ và π ÷  4  4 − 27 = 64 c) 81 − 3x = 32 x2 −5x+6 f)  ÷  2 =1 n Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng −x  0,25 g) 322x−8 =  ÷ 0,125   h) 0,2 = 0,008 k) 5x.2x = 0,001 l) ( 12) ( 3) = x x Giải bất phương trình sau: Baøi a) 0,1 > 100 d) 7x+2 49 ≥ 343 e)  1÷  3 ( x b)  ÷ > 0,04  5 x 3x−7 i)  ÷  49  x x+ x 1 h) 27x.31− x < 27 Bài 10 Giải phương trình sau: x x+ a) + 2 = 20 b) 3x + 3x+1 = 12 d) 4x−1 + 4x + 4x+1 = 84 e) 42x − 24.4x + 128 = g) g) 3.9x − 2.9− x + = h) 3x2 −5x+6 = Trang 54 m) 71− x.41− x = c) 0,3x > x f) < 7x−3  7 = ÷  3 28 100 9 x i)  ÷ >  64  c) 5x + 5x−1 = 30 f) 4x+1 + 22x+1 = 48 i) 4x + 2x+1 − 24 = Trần Só Tùng logarit Hàm số luỹ thừa – mũ – II LOGARIT LOGARIT II Đònh nghóa • Với a > 0, a ≠ 1, b > ta coù: loga b = α ⇔ aα = b  a > 0, a ≠ Chú ý: loga b có nghóa  b > lgb = logb = log10 b • Logarit thập phân: lnb = loge b • Logarit tự nhiên (logarit Nepe): (với n  1 e = lim 1+ ÷ ≈ 2,718281)  n Tính chất loga a = 1; • loga 1= 0; loga ab = b ; loga b a = b (b > 0) • Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > Khi đó: + Nếu a > loga b > loga c ⇔ b > c + Neáu < a < loga b > loga c ⇔ b < c Các qui tắc tính logarit Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta coù:  b • loga(bc) = loga b + loga c • loga ữ = loga b loga c loga bα = α loga b  c Đổi số Với a, b, c > a, b ≠ 1, ta có: loga c • logb c = hay loga b.logb c = loga c loga b • loga b = logb a • log α c = a loga c (α ≠ 0) α Thực phép tính sau: log2 4.log1 a) b) log5 log27 25 log d) 4log2 + e) log2 Baøi log9 27 g) c) loga a f) log8 27 +4 loga3 a.loga4 a1/3 log1 a7 + 4log81 h) log3 6.log8 9.log6 i) 92log3 l) 25log5 + 49log7 m) 53−2log5 a k) 81log3 + 27log9 36 + 34log9 Trang 55 Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng log6 n) log8 o) 31+ log9 + 42−log2 + 5log125 27 +4 log 3.log3 36 p) q) lg(tan10) + lg(tan20) + + lg(tan890) r) log8  log4(log2 16) log2 log3(log4 64) Bài Cho a > 0, a ≠ Chứng minh: loga(a + 1) > loga+1(a + 2) HD: Xeùt A = = loga+1(a + 2) loga(a + 1) loga+1 a(a + 2) = loga+1 a.loga+1(a + 2) ≤ loga+1 a + loga+1(a + 2) loga+1(a + 1)2 < =1 2 So sánh cặp số sau: Bài a) log3 vaølog4 b) log0,1 vaølog0,20,34 c) log3 1 vaølog1 80 15+ 2 vaølog5 2 d) log1 e) log13150 vaølog17 290 f) g) log710 vaølog1113 h) log2 vaølog3 i) log910 vaølog10 11 HD: = log6 log6 vaø3 1 < < log1 80 15+ d) Chứng minh: log1 e) Chứng minh: log13150< < log17 290 g) Xeùt A = log710 − log1113 = log7 10.log711− log713 log711  10.11.7 10 11 + log7 log7 ÷ >  log7 log711 7.7.13 7 h, i) Sử dụng Bài Tính giá trò biểu thức logarit theo biểu thức cho: log49 32 theo a a) Cho log2 14 = a Tính = b) Cho log15 = a Tính log2515 theo a c) Cho lg3 = 0,477 Tính lg9000 ; lg0,000027 ; log81100 log1 28 d) Cho log7 = a Tính theo a Tính giá trò biểu thức logarit theo biểu thức cho: 49 a) Cho log25 = a ; log2 = b Tính log3 theo a, b b) Cho log30 = a ; log30 = b Tính log30 1350 theo a, b Baøi c) Cho log14 = a ; log14 = b Tính log35 28 theo a, b d) Cho log2 = a ; log3 = b; log7 = c Tính log140 63 theo a, b, c Bài Chứng minh đẳng thức sau (với giả thiết Trang 56 Trần Só Tùng logarit biểu thức cho có nghóa): b) logax(bx) = a) bloga c = cloga b Hàm số luỹ thừa – mũ – loga b + loga x 1+ loga x c) loga c logab c = 1+ loga b a+ b = (logc a + logc b) , với a2 + b2 = 7ab e) loga(x + 2y) − 2loga = (loga x + loga y) , với x2 + 4y2 = 12xy f) logb+c a + logc−b a = 2logc+ b a.logc−b a , với a2 + b2 = c2 d) logc g) 1 1 k(k + 1) + + + + + = loga x loga2 x loga3 x loga4 x logak x 2loga x h) loga N.logb N + logb N.logc N + logc N.loga N = i) 1−lgz , 1−lg x neáu loga N.logb N.logc N logabc N 1− lgy y = 10 vaøz = 10 x = 10 1 1 + + + = k) log2 N log3 N log2009 N log2009! N l) loga N − logb N logb N − logc N số nhân = loga N logc N , với số a, b, c lập thành cấp Trang 57 Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng III HÀM HÀM SỐ SỐ LUỸ LUỸ THỪA THỪA III HÀM SỐ SỐ MŨ MŨ –– HÀM HÀM SỐ SỐ LOGARIT LOGARIT HÀM Khái niệm a) Hàm số luỹ thừa y = xα (α số) Số mũ α Hàm số y = xα Tập xác đònh D α = n (n nguyên dương) y = xn D=R y = xn D = R \ {0} y = xα D = (0; +∞) α = n (n nguyên âm n = 0) α số thực không nguyên Chú ý: Hàm số y= xn không đồng với hàm số y = n x (n∈ N*) b) Hàm số mũ y = ax (a > 0, a ≠ 1) • Tập xác đònh: D = R • Tập giá trò: T = (0; +∞) • Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghòch biến • Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang • Đồ thò: y y y=ax y=ax x x a>1 c) Hàm số logarit y = loga x (a > 0, a ≠ 1) 0 hàm số đồng biến, < a < hàm số nghòch biến • Nhận trục tung làm tiệm cận đứng • Đồ thò: Trang 58 Trần Só Tùng logarit y Hàm số luỹ thừa – mũ – y y=loga x x O y=logax O 01 Giới hạn đặc biệt • lim(1+ x→0 x) x x  1 = lim  1+ ÷ = e x→±∞  x Đạo hàm • ( xα ) ′ = α xα −1 (x > 0) ; ( n x) ′ = Chú ý: • • ( uα ) ′ = α uα −1.u′ n n xn−1 ( ex ) ′ = ex ; ( eu ) ′ = eu.u′ ( loga x ) ′ = xln1 a ; u′ ( loga u ) ′ = uln a Bài ( n u) ′ =  vớ i x > nế u n chẵ n  vớ ÷ i x ≠ nế u n lẻ   ( au ) ′ = au lnau ′ x x • lim e − = x→0 x ln(1+ x) =1 x→0 x • lim ( ax ) ′ = ax lna ; ( ln x ) ′ = x u′ n n un−1 ( ln u ) ′ = u′ (x > 0); u Tính giới hạn sau: x+1 x x a) lim  x ÷ x→+∞  1+ x  b) lim  1+   ÷ x→+∞  x x+1 d) lim  3x −   ÷ x→+∞  3x +  ln x − g) lim x→e x − e x e) lim  x + ÷ x→+∞  2x − 1 2x−1 c) lim  x + ÷ x→+∞  x −  x f) lim  2x + 1÷ x→+∞  x −  e2x − x→0 3x ex − e x→1 x − h) lim i) lim ( ) ex − e− x esin2x − esin x l) lim m) lim x ex − x→0 sin x x→0 x x→+∞ Bài Tính đạo hàm hàm số sau: k) lim x+ x−1 a) y = x2 + x + b) y = d) y = sin(2x + 1) e) y = cot 1+ x2 Trang 59 c) y = f) y = x2 + x − x2 + 1− 2x 1+ 2x Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tuøng x+ x2 + x + h) y = 11 9+ 65 x9 i) y = 4 x2 − x + Bài Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = (x2 − 2x + 2)ex b) y = (x2 + 2x)e− x c) y = e−2x.sin x g) y = sin d) y = e2x+ x e) g) y = 2x.ecosx h) y = x− x y = xe f) y = 3x e2x + ex e2x − ex i) y = cos xe cot x x − x+ Bài Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = ln(2x2 + x + 3) b) y = log2(cos x) c) y = ex.ln(cos x) e) y = log1 (x − cos x) d) y = (2x − 1)ln(3x2 + x) ln(2x + 1) f) y = log3(cos x) ( ) ln(2x + 1) i) y = ln x + 1+ x2 x + 2x + Chứng minh hàm số cho thoả mãn hệ thức g) y = Bài h) y = ra: a) − y = xe x2 2; b) y = (x + 1)ex; y′ − y = ex xy′ = (1− x2)y c) y = e4x + 2e− x; y′′′ − 13y′ − 12y = g) y = e− x.sin x; y′′ + 2y′ + 2y = i) y = esin x; l) y = x x e ; h) y = e− x.cos x; y( 4) + 4y = y′ cos x − ysin x − y′′ = k) y = e2x.sin5x; y′′ − 4y′ + 29y = y′′ − 2y′ + y = ex m) y = e4x + 2e− x; y′′′ − 13y′ − 12y = x n) y = (x + 1)(e + 2010); Baøi d) y = ae − x + be −2x; y′′ + 3y′ + 2y = y′ = 2xy + ex(x2 + 1) x +1 Chứng minh hàm số cho thoả mãn hệ thức ra:   a) y = ln ÷;  1+ x  ; xy′ = y  yln x − 1 1+ x + ln x 1+ ln x ; 2x2y′ = (x2y2 + 1) c) y = sin(ln x) + cos(ln x); y + xy′ + x2y′′ = d) y = x(1− ln x) xy′ + 1= ey b) y = x2 + x x2 + + ln x + x2 + 1; 2y = xy′ + ln y′ 2 Bài Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số chæ ra: a) f '(x) = f (x); f (x) = ex(x2 + 3x + 1) e) y = b) f '(x) + f (x) = 0; x f (x) = x3 ln x c) f '(x) = 0; f (x) = e2x−1 + 2.e1−2x + 7x − d) f '(x) > g'(x); f (x) = x + ln(x − 5); g(x) = ln(x − 1) e) f '(x) < g'(x); f (x) = 52x+1; g(x) = 5x + 4xln5 Trang 60 Trần Só Tùng logarit Hàm số luỹ thừa – mũ – Trang 61