Khảo sát hàm số CHƯƠNG II CHƯƠNG ỨNG DỤNG DỤNG ĐẠO ĐẠO HÀM HÀM ĐỂ ĐỂ ỨNG KHẢO SÁT SÁT KHẢO VÀ VẼ VẼ ĐỒ ĐỒ THỊ THỊ CỦA CỦA HÀM HÀM VÀ SỐ SỐ I TÍNH TÍNH ĐƠN ĐƠN ĐIỆU ĐIỆU CỦA CỦA HÀM HÀM SỐ SỐ I Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghòch biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f(x)  0, x  I b) Nếu f nghòch biến khoảng I f(x)  0, x  I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Neáu f (x)  0, x  I (f(x) = số hữu hạn điểm) f nghòch biến I c) Nếu f(x) = 0, x  I f không đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác đònh hàm số – Tính y Tìm điểm mà y = y không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y  (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghòch biến hàm số Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau: x2  x 4 a) y   2x2  4x  b) y  d) y  x3  2x2  x  e) y  (4  x)(x  1)2 f) y  x3  3x2  4x  h) y   x4  2x2  i) y  g) y  x  2x2  Trang c) y  x2  4x  x  x 2 10 10 Khaûo sát hàm số k) y  n) y  Bài 2x  x l) y  m) y  1 1 x 2x2  x  26 4x2  15x  o) y   x  3 p) y  1 x x 3x Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y  6x4  8x3  3x2  d) y  x1 2 x 2x  x g) y  2x   3 x � �  x � �2 2� k) y  sin2x � b) y  e) y  x2  c) y  x2  x x  3x  h) y  x  x2 x2  x  x2  x  f) y  x  3 2 x i) y  2x  x2 � �   x � l) y  sin2x  x � �2 2� VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghòch biến tập xác đònh (hoặc khoảng xác đònh) Cho hàm số y  f (x, m) , m tham số, có tập xác đònh D  Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D  Hàm số f nghòch biến D  y  0, x  D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y'  ax2  bx  c thì: � � a b � � c �0 �  y' �0,x�R � � � a � � �  �0 � � � � a b � � c �0 �  y' �0,x�R � � � a � � �  �0 � � 3) Đònh lí dấu tam thức bậc hai g(x)  ax2  bx  c :  Neáu  < g(x) dấu với a b ) 2a  Nếu  > g(x) có hai nghiệm x 1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a  Nếu  = g(x) dấu với a (trừ x =  4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g(x)  ax2  bx  c với số 0: � 0 �  x1  x2  � �P  � S � � 0 �   x1  x2 � �P  � S �  x1   x2 � P  5) Để hàm soá y  ax3  bx2  cx  d có độ dài khoảng đồng biến Trang Khảo sát hàm số (nghòch biến) (x1; x2) d ta thực bước sau:  Tính y  Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghòch biến: �a �0 �  � (1)  Biến đổi x1  x2  d thành (x1  x2)2  4x1x2  d2 (2)  Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) nó: Bài 2x  x3 c) y   3x2  9x  x Bài Chứng minh hàm số sau nghòch biến khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) nó: a) y  5x  cot(x  1) b) y  cos x  x c) y  sin x  cos x  2x a) y  x3  5x  13 b) y  Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác đònh (hoặc khoảng xác đònh) nó: Bài a) y  x3  3mx2  (m 2)x  m c) y  Baøi b) y  x3 mx2   2x  x m mx  d) y  x m x m Tìm m để hàm số: a) y  x3  3x2  mx  m nghòch biến khoảng có độ dài 1 x  mx  2mx  3m nghòch biến khoảng có độ dài baèng b) y  c) y   x3  (m 1)x2  (m 3)x  đồng biến khoảng có độ dài Bài Tìm m để hàm số: a) y  x3  (m 1)x2  (m 1)x  đồng biến khoảng (1; +) b) y  x3  3(2m 1)x2  (12m 5)x  đồng biến khoảng (2; +) c) y  mx  (m��2) đồng biến khoảng (1; +) x m d) y  x m đồng biến khoảng (–1; +) x m Trang Khảo sát hàm số II CỰC CỰC TRỊ TRỊ CỦA CỦA HÀM HÀM SỐ SỐ II I Khái niệm cực trò hàm số Giả sử hàm số f xác đònh tập D (D  R) x0  D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b)  D vaø x0  (a; b) cho f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trò cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b)  D x0  (a; b) cho f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 điểm cực trò f điểm (x 0; f(x0)) đgl điểm cực trò đồ thò hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trò Nếu hàm số f có đạo hàm x đạt cực trò điểm f (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trò điểm mà đạo hàm đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f (x0) > f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò hàm số Qui tắc 1: Dùng đònh lí  Tìm f (x) Trang Khảo sát hàm số  Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm đạo hàm  Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trò xi Qui tắc 2: Dùng đònh lí  Tính f (x)  Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …)  Tính f (x) f (xi) (i = 1, 2, …) Neáu f (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Bài Tìm cực trò hàm số sau: a) y  3x2  2x3 b) y  x3  2x2  2x  x4 e) y  x4  4x2   x2   x2  3x  3x2  4x  g) y  h) y  x x1 Bài Tìm cực trò hàm số sau: d) y  4x2  2x  a) y  (x  2)3(x  1)4 b) y  d) y  x x2  e) y  x2  2x  Baøi 2x2  x  c) y   x3  4x2  15x x4 f) y    x2  2 x  2x  15 i) y  x c) y  3x2  4x  x2  x  f) y  x  2x  x2 Tìm cực trò hàm số sau: x 2x  a) y  x2  b) y  d) y  x2  5x  5 2ln x e) y  x  4sin2 x c) y  ex  4e x f) y  x  ln(1 x2) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò điểm x0 f (x0) = x0 đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trò điểm x f (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý:  Hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d có cực trò  Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trò ta tính giá trò cực trò y(x0) hai cách: + y(x0)  ax03  bx02  cx0  d + y(x0)  Ax0  B , Ax + B phần dư phép chia y cho y Trang Khảo sát hàm số P (x) ax2  bx  c = (aa 0) có cực trò  Phương trình y Q(x) a' x  b' b' = có hai nghiệm phân biệt khác  a' Khi x0 điểm cực trò ta tính giá trò cực trò y(x0) hai cách: P (x0) P '(x0) y(x0)  y(x0)  hoaëc Q(x0) Q '(x0)  Hàm số y   Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai  Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, đònh lí Vi–et Bài Chứng minh hàm số sau có cực đại, cực tiểu: a) y  x3  3mx2  3(m2  1)x  m3 Baøi b) y  2x3  3(2m 1)x2  6m(m 1)x  Tìm m để hàm số: a) y  (m 2)x3  3x2  mx  coù cực đại, cực tiểu b) y  x3  3(m 1)x2  (2m2  3m 2)x  m(m 1) coù cực đại, cực tiểu c) y  x3  3mx2  (m2  1)x  đạt cực đại x = d) y  mx4  2(m 2)x2  m có cực đại x  Bài Tìm m để hàm số sau cực trò: a) y  x3  3x2  3mx  3m Baøi b) y  mx3  3mx2  (m 1)x  Tìm a, b, c, d để hàm số: a) y  ax3  bx2  cx  d đạt cực tiểu x = đạt cực đại taïi x = 27 b) y  ax  bx  c có đồ thò qua gốc toạ độ O đạt cực trò bằng –9 x = Bài Tìm m để hàm số : a) y  x3  2(m 1)x2  (m2  4m 1)x  2(m2  1) đạt cực trò hai điểm x1, x2 cho: 1   (x  x ) x1 x2 2 x  mx2  mx  đạt cực trò hai ñieåm x 1, x2 cho: x1  x2 �8 b) y  1 c) y  mx3  (m 1)x2  3(m 2)x  đạt cực trò hai điểm x 1, x2 3 cho: x1  2x2  Trang Khảo sát hàm số Bài Tìm m để đồ thò hàm soá : 900m2 729 b) y  x4  mx2  4x  m có điểm cực trò A, B, C tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm Bài Tìm m để đồ thò hàm số : a) y   x3  mx2  có hai điểm cực trò laø A, B vaø AB2  a) y  2x3  mx2  12x  13 có hai điểm cực trò cách trục tung b) y  x3  3mx2  4m3 có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ c) y  x3  3mx2  4m3 có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng (d): 3x  2y   VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trò 1) Hàm số bậc ba y  f (x)  ax3  bx2  cx  d  Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B  Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) điểm cực trò thì: �y1  f (x1)  Ax1  B �y  f (x )  Ax  B �2 2  Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm đường thẳng y = Ax + B P (x) ax2  bx  c  Q(x) dx  e P '(x0)  Giả sử (x0; y0) điểm cực trò y0  Q '(x0) 2) Hàm số phân thức y  f (x)   Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình P '(x) 2ax  b  đường thẳng qua hai điểm cực trò là: y  Q '(x) d Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trò đồ thò hàm số : Baøi a) y  x3  2x2  x  b) y  3x2  2x3 c) y  x3  3x2  6x  Khi haøm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trò đồ thò hàm số: Bài a) y  x3  3mx2  3(m2  1)x  m3 b) y  x3  3(m 1)x2  (2m2  3m 2)x  m(m 1) Bài Tìm m để hàm số: a) y  2x3  3(m 1)x2  6(m 2)x  có đường thẳng qua hai điểm cực trò song song với đường thẳng y = –4x + Trang Khảo sát hàm số b) y  2x3  3(m 1)x2  6m(1 2m)x có điểm cực đại, cực tiểu đồ thò nằm đường thẳng y = –4x c) y  x3  mx2  7x  có đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – d) y  x3  3x2  m2x  m có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng (): y  x 2 III GIÁ GIÁ TRỊ TRỊ LỚN LỚN NHẤT NHẤT III VÀ GIÁ GIÁ TRỊ TRỊ NHỎ NHỎ NHẤT NHẤT CỦA CỦA HÀM HÀM SỐ SỐ VÀ Đònh nghóa: Giả sử hàm số f xác đònh miền D (D  R) �f (x) �M ,x�D a) M  max f (x) � � x0 �D : f (x0)  M D � �f (x) �m,x�D b) m f (x) � � x0 �D : f (x0)  m D � Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng max f (x)  f (b), f (x)  f (a) [a;b] [a; b] biến [a; b] [a;b] b) Nếu hàm số f max f (x)  f (a), f (x)  f (b) [a;b] biến nghòch [a;b] VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng  Tính f (x)  Xét dấu f (x) lập bảng biến thiên  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b]  Tính f (x)  Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm x1, x2, …, xn [a; b] (nếu có) Trang Khảo sát hàm số  Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn)  So sánh giá trò vừa tính kết luận M  max f (x)  max f (a), f (b), f (x1), f (x2), , f ( xn) [a;b] m f (x)  min f (a), f (b), f (x1), f (x2), , f (xn) [a;b] Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a) y  x  4x  b) y  4x3  3x4 c) y  x4  2x2  Baøi d) y  x2  x  e) y  x1 f) y  x2  2x  2x2  4x  x2  x4  x2  1 x2  x  h) i) y  (x  0) y (x  0) x x  x x3  x Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a) y  2x  3x2  12x  treân [–1; 5] b) y  3x  x3 treân [–2; 3] g) y  x2  c) y  x4  2x2  treân [–3; 2] 2] 3x  e) y  treân [0; 2] x g) y  d) y  x4  2x2  treân [–2; x1 treân [0; 4] x 1 x  x2 h) y  treân [0; 1] 1 x  x k) y   x  4 x f) y  4x2  7x  treân [0; 2] x i) y  100  x2 [–6; 8] Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: 2sin x  a) y  b) y  c) y  2sin2 x  cos x  sin x  cos x  cos x  d) y  cos2x  2sin x  e) y  sin3 x  cos3 x g) y  x2  2x   x2  2x  f) y  x2  x4  x2  h) y   x2  4x  x2  4x  IV ĐIỂM ĐIỂM UỐN UỐN CỦA CỦA ĐỒ ĐỒ THỊ THỊ IV Đònh nghóa: Điểm U  x0; f (x0) đgl điểm uốn đồ thò hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x cho hai khoảng (a; x0) (x0; b) tiếp tuyến đồ thò điểm U nằm phía đồ thò khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thò Tính chất:  Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng chứa điểm x0, f(x0) = f(x) đổi dấu x qua x U  x0; f (x0) điểm uốn đồ thò hàm số Trang Khảo sát hàm số  Đồ thò hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d (a  0) có điểm uốn tâm đối xứng đồ thò Tìm điểm uốn đồ thò hàm số sau: a) y  x  6x2  3x  b) y  x3  3x2  9x  c) y  x4  6x2  Baøi x4 e) y  x4  12x3  48x2  10 f) y  3x5  5x4  3x   2x2  Bài Tìm m, n để đồ thò hàm số sau có điểm uốn ra: d) y  a) y  x3  3x2  3mx  3m ; I(1; 2) b) I(1; 3) c) y  mx3  nx2  1; I(1; 4) e) y   Baøi y  x3  (m 1)x2  (m 3)x  ; 3 �2 � d) y  x3  mx2  nx  2; I � ; 3� �3 � x3 f) y  mx3  3mx2  ; I(–1; 2)  3mx2  ; I(1; 0) m Tìm m để đồ thò hàm số sau có điểm uốn: x5 4  x  (4m 3)x3  5x  Bài Tìm m, n để đồ thò hàm số: a) y  x  2x3  6x2  mx  2m có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2) y x3 2  x  mx  có điểm uốn đường thẳng y  x  3 c) y   x4  mx2  n có điểm uốn Ox b) y   V ĐƯỜNG ĐƯỜNG TIỆM TIỆM CẬN CẬN CỦA CỦA ĐỒ ĐỒ THỊ THỊ V Tìm tiệm cận đồ thò hàm soá sau: 2x  10x  2x  a) y  b) y  c) y  x1 1 2x 2 x Bài VI KHẢO KHẢO SÁT SÁT SỰ SỰ BIẾN BIẾN THIÊN THIÊN VI VÀ VẼ VẼ ĐỒ ĐỒ THỊ THỊ CỦA CỦA HÀM HÀM SỐ SỐ VÀ Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số  Tìm tập xác đònh hàm số  Xét biến thiên hàm số: + Tính y + Tìm điểm đạo hàm y không xác đònh + Tìm giới hạn vô cực, giới hạn vô cực tìm tiệm cận (nếu có) Trang 10 Khảo sát hàm số + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò hàm số  Vẽ đồ thò hàm số: + Tìm điểm uốn đồ thò (đối với hàm số bậc ba hàm số trùng phương) – Tính y – Tìm điểm y = xét dấu y + Vẽ đường tiệm cận (nếu có) đồ thò + Xác đònh số điểm đặc biệt đồ thò giao điểm đồ thò với trục toạ độ (trong trường hợp đồ thò không cắt trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thò để vẽ xác + Nhận xét đồ thò: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thò Hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d (a �0) :  Tập xác đònh D = R  Đồ thò có điểm uốn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng  Các dạng đồ thò: a>0 y’ = có nghiệm phân biệt  ’ = b2 – 3ac > a 0a < 0y’ = có nghiệm phân biệt y y  ab < y’ = 00 có x nghiệm y ab > 0 x x y x ax  b (c �0, ad  bc �0) : cx  d � d�  Tập xác đònh D = R \ � � �c Hàm số biến y   Đồ thò có tiệm cận đứng x   d tiệm cận c a Giao điểm hai tiệm cận tâm đối xứng c đồ thò hàm số  Các dạng đồ thò: ngang y  y y 0 x ad – bc > Baøi x ad – bc < Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số: a) y  x3  3x2  9x  b) y  x3  3x2  3x  d) y  (x  1)2(4 x) e) y  x3 x  3 Trang 12 c) y   x3  3x2  f) y   x3  3x2  4x  Khảo sát hàm số Bài Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số: a) y  x4  2x2  b) y  x4  4x2  c) y  x4  3x2  2 d) y  (x  1)2(x  1)2 e) y   x4  2x2  f) y  2x4  4x2  Bài Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số: x 2x  3 x a) y  b) y  c) y  x x1 x 1 2x 3x  x d) y  e) y  f) y  1 2x x 2x  Bài Vẽ đồ thò hàm số: a) y  x  x  b) y   x3  3x2  y  x4  2x2  d) y  x x1 Trang 13 c)