Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRƠNG NƠ - ĐĂKNƠNG ================================================================= Chun đề: TÍCH PHÂN A TĨM TẮT KIẾN THỨC I Bảng tính ngun hàm bản: Bảng Bảng Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( số) ax + C x 1 C  1 (ax  b) (ax  b) 1 C a  1 ln ax  b  C a  x x ax ax  b ln x  C ex ax C lna ex  C eaxb sinx -cosx + C sin(ax+b) cosx sinx + C cos(ax+b) cos2 x tanx + C cos (ax  b) tan(ax  b)  C a sin2 x -cotx + C sin (ax  b)  cot(ax  b)  C a u'(x) u(x) ln u(x)  C x  a2 x a ln C 2a x  a tgx  ln cosx  C ln x  x2  a2  C axb e C a 2 2 x a cotgx  cos(ax  b)  C a sin(ax  b)  C a ln sinx  C II ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục  a; b Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) thì: b b f (x)dx  F (x) a F (b)  F (a) ( Công thức NewTon - Leiptnitz) a Các tính chất tích phân: Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= a  f (x)dx  � Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định a : a b  a f (x)dx  f (x)dx Tính chất 2: a b b  Tính chất 3: Nếu f(x) = c khơng đổi  a; b thì: cdx c(b  a) a b  Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục  a; b f (x) 0 f (x)dx 0 a  Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục  a; b f (x) g(x) x   a;b b b f (x)dx g(x)dx a  a hai ha� ng so� ) Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục  a; b m�f (x) �M ( m,M la� b m(b  a) f (x)dx M (b  a) a  Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục  a; b b b b  f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx a  a a Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục  a; b k số b b k f (x)dx k.f (x)dx a  a Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục  a; b c số b c b f (x)dx f (x)dx  f (x)dx a  a c Tính chất 10: Tích phân hàm số  a; b cho trước không phụ thuộc vào biến số , b b b f (x)dx f (t)dt f (u)du  nghĩa : a a a B CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I Phương pháp phân tích * Nội dung: Sử dụng phép biến đổi đại số kết hợp với tính chất tích phân đưa tích phân cần tìm tích phân có bảng ngun hàm sau áp dụng định nghĩa II PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : b ' 1) DẠNG 1: Tính I = f[u(x)].u(x)dx cách đặt t = u(x) a Công thức đổi biến số dạng 1: b u (b ) a u (a)  f  u ( x ).u ' ( x)dx   f (t )dt (1) Cách thực hiện: Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= t u ( x)  dt u ' ( x) dx x b t u (b)  Bước 2: Đổi cận : x a t u (a ) Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta Bước 1: Đặt b u (b ) a u(a) I   f  u ( x).u ' ( x) dx   f (t ) dt (tiếp tục tính tích phân mới) ,ln x) đặt t = lnx x +, Khi f(x) có chứa n u(x) thường đặt t = u(x) +, Khi f(x) có mẫu số thường đặt t = mẫu Nhìn chung ta phải nắm vững công thức (1) vận dụng hợp lý CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( b 2) DẠNG 2: Tính I = f(x)dx cách đặt x =  (t) a Công thức đổi biến số dạng 2: b  a  I   f ( x)dx   f   (t ) ' (t )dt Cách thực hiện: x  (t )  dx  ' (t )dt x b t   Bước 2: Đổi cận : x a t  Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta Bước 1: Đặt b  a  I   f ( x)dx   f   (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) Chú ý: * Nếu f(x) có chứa: - p p� � +, (a2 - x2)n đặt x = a sin t với t �� ; � , x = a cost với t �[ 0; p] �2 2� - p p� � � ; �, x = a cot t với t �( 0; p) +, (a2 + x2)n đặt x = a tant với t �� � �2 2� a a n 2 +, ( x - a ) đặt x = x = sint cost III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: * Kiến thức: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D vi phân hàm số ký hiệu: dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx * Để tính nhanh em cần nhớ công thức sau: d(a.x + b) (a � 0) +, d(a.x + b) = a.dx � dx = a d(aex + b) x x d(ae + b) = ae dx � dx = +, a.ex Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= d(sinx) d(cosx) ; d(cosx) = - sinx.dx � dx = cosx - sinx dx dx d(a.x + b) = = ln(a.x + b) +, d(lnx) = x a.x + b a a.x + b a x.dx 2 +, d( x + a ) = x2 + a2 VI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Cơng thức tích phân phần: +, d(sinx) = cosx.dx � dx = b b u ( x).v' ( x)dx  u ( x).v( x) a  v( x).u ' ( x) dx b a a b b udv  u.v  a  vdu Hay: b a a Cách thực hiện: Bước 1: Đặt u u ( x) du u ' ( x)dx  dv v' ( x)dx v v ( x ) b b Bước 2: Thay vào cơng thức tích phân từng phần : udv  u.v  a  vdu b a Bước 3: Tính  u.v  ba a b vdu a Chú ý: b Giả sử cần tính tích phân �f(x)g(x)dx ta thực a Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm v(x) vi phân b / du = u (x)dx khơng q phức tạp Hơn nữa, tích phân �vdu phải tính a Đặc biệt: b i/ Nếu gặp b b �P(x) sinaxdx, �P(x) cosaxdx, �e ax a b ii/ Nếu gặp a a �P(x) ln xdx đặt u = ln x a b iii/ Nếu gặp P(x)dx với P(x) đa thức đặt u = P(x) b �e ax a sinaxdx , �e ax cosaxdx ta tính hai lần phần cách đặt u = eax a C MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG a Bài 1: 1) CMR f(x) lẻ liên tục [-a;a] (a>0) : f(x)dx 0 a Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= a a f(x)dx 2f(x)dx 2) CMR f(x) chẵn liên tục [-a;a] (a>0) : a Ví dụ: Tính tích phân p I= �cosx.ln(x + x2 + 1)dx - p Bài 2: 1) CMR f(x) hàm số liên tục đọan [-a; a] với a > thì: a a �f(x).dx = �(f(x) +f(- x)).dx - a Ví dụ: Tính tích phân Cho f (x) hàm số liên tục R thoả mãn f (x) + f (- x) = - 2.cos2x 3p Tính tích phân I = �f(x).dx - 3p a Bài 3: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [ 0; a] với a > 0, a �f(x)dx = �f(a x).dx Bài 4: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] thoả mãn f(x) = f( a +b - x) b b a+b �x.f(x)dx = �f(x).dx a a Hệ quả:   0 a) f(sinx)dx  f(cosx)dx     b) xf(sinx)dx   f(sinx)dx 2 Ví du: Tính tích phân p p b)J = � ( - tan2(sinx)).dx cos (cosx) 0 Bài 5: Nếu f (x) hàm số liên tục, tuần hồn có chu kỳ T : x.sinx.cos2x.dx ; a) I = � a+T T T �f(x)dx = �f(x)dx = �f(x)dx, " a �R a - T Ví dụ: Tính tích phân 2p ln(sinx + 1+ sin2 x)dx; a) I = � 2008p b) J = �sin 2007 x.dx   f (x) i   R+ vaøa >0 ; a �1 Bài 6:CMR f(x) liên tục chẵn R  x dx f (x)dx vớ a 1  Ví dụ : Tính tích phân sau:  1 sin2 x x4 1 x2 dx dx dx a)  x b)  c)  x 1 1 1 2x  1 1 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= D PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC Dạng bậc lẻ với hàm sin Phương pháp chung: Đặt t = cosx dt = - sinx.dx, sau đưa tích phân ban đầu tích phân theo biến t sin2 x = 1- cos2x = 1- t2 Chú ý: (sinx)2n+1 = (sin2 x)n.sinx = (1- t2)n.sinx Ví dụ (bậc sin lẻ) Tính tích phân I = p �cos x sin3 xdx Giải Đặt t = cosx � dt = - sin xdx p x = � t = 1, x = � t = p 0 1 �t3 t5 � � 2 2 � = (t t )dt = = � �I =� cos x(1 - cos x) sin xdx = - � t (1 - t )dt � � � �3 �0 15 Vậy I = 15 Dạng bậc lẻ với hàm cos Phương pháp chung: Đặt t = sinx dt = cosx.dx, sau đưa tích phân ban đầu tích phân theo biến t cos2 x = sin2 x = 1- t2 Chú ý: (cosx)2n+1 = (cos2 x)n.cosx = (1- t2)n.cosx Ví dụ (bậc cosin lẻ) Tính tích phân I = p �cos xdx Giải Đặt t = sin x � dt = cosxdx p x = � t = 0, x = � t = p p �I =� cos xdx = � (1 - sin x) cosxdx = 2 Vậy I = � 2t3 � t5 � 2 � (1 t ) dt = t + �= � � � � �0 15 15 Dạng bậc chẵn với hàm sin cos Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc 1+ cos2x 1- cos2x cos2 x = ;sin2 x = ;sinx.cosx = sin2x Chú ý: 2 Ví dụ (bậc sin cosin chẵn) Tính tích phân I = p �cos x sin2 xdx Giải p I = �cos p x sin2 xdx = p p 1 cos2 x sin2 2xdx = (1 - cos4x)dx + � cos2x sin2 2xdx � � 16 40 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= p p 0 p �x sin3 2x � p 1 � � = sin 4x + = = (1 cos4x)dx + sin 2xd(sin2x) � � � � 16 64 24 �0 32 16 � 8� Vậy I = Nhận xét: Ví dụ Tính tích phân I = p p 32 dx �cosx + sin x + Giải x 2x 2dt Đặt t = tg � dt = tg + dx � dx = 2 2 t +1 p x = � t = 0, x = � t = ( �I= �1 t 2t + 1+ t + t2 ) 2dt + t2 = +1 dt �t + = ln t + 1 = ln2 Vậy I = ln2 Dạng liên kết p Ví dụ Tính tích phân I = xdx �sin x + Giải Đặt x = p - t � dx = - dt x = � t = p, x = p � t = 0 (p - t)dt � I =- � = sin(p - t) + p p �( sin t + p p p p dt = � t t sin + cos 2 ( ) ) t dt sin t + p dt p dt = p� - I �I = � sin t + sin t + t p p p d p dt p = p tg t - p = � cos2 t - p = � p 2 t cos 4 Vậy I = p ( Tổng quát: p ( ) ( ) ) ( ) p = p p p xf(sin x)dx = � f(sin x)dx � 0 Ví dụ Tính tích phân I = p sin2007 x �sin2007 x + cos2007 x dx Giải p Đặt x = - t � dx = - dt p p x = 0� t = , x = � t = 2 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= sin2007 � I =- �sin 2007 p Mặt khác I + J = p ( p2 - t ) + cos ( p2 - t ) �dx = Tổng quát: ( p2 - t ) p 2007 sin x dx = � sin x + cosn x n +, I - 3J = p p cosn x p dx = , n �Z+ n � sin x + cos x n sin x dx J = � sin x + 3cosx p sin2 x - 3cos2 x dx = � sin x + 3cosx +, I + J = dx �sin x + � I +J = p cos2 x dx � sin x + 3cosx Giải p �(sin x - 3cosx)dx = ( - cosx p cos2007 t �sin2007 t + cos2007 t dx = J (1) p (2) Từ (1) (2) suy I = p n Ví dụ Tính tích phân I = dx = p 3sin x ) p = 1- (1) p dx � sin x + p 3cosx p Đặt t = x + � dt = dx p p p x = 0� t = , x = � t = dx = ( p p p 3 ) p ( ) d(cost) dt sin tdt 1 1 = � = � = � d(cost) � p cos t - p cost - cost + p sin t p sin t = cost - ln cost + p p = ln (2) � 1- I - 3J = - � � I = ln + � � � 16 �� Từ (1) (2) � � � � � 1- �I + J = ln � � � �J = 16 ln 1- 1- Vậy I = ln + , J = ln 16 16 ln(1 + x) dx Ví dụ Tính tích phân I = � + x2 p Giải Đặt x = tgt � dx = (1 + tg2t)dt p x = � t = 0, x = � t = ln(1 + tgt) �I =� ( + tg2t ) dt = + tg t p �ln(1 + tgt)dt Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= p - u � dt = - du p p t = 0� u = , t = � u = 4 Đặt t = p p = ) u � du � � p - tgu � � � � � � 1+ du = � ln � du � � �ln � � � � + tgu � � + tgu � p p 0 p I �ln2du - �ln ( + tgu ) du = ln2 Vậy I = p Ví dụ Tính tích phân I = � p = p + tg( �ln(1 + tgt)dt = - �ln � � �I = p ln2 cosx dx x +1 �2007 - p Giải Đặt x = - t � dx = - dt p p p p x=� t= , x= � t=4 4 - � I =- p p cos(- t) dt = - t � +1 p 2007 2007t cost t dt � p + 2007 - p = (1 + 2007t ) - costdt = � + 2007t p - = p �costdt - Tổng quát: p p �( - - p p I �I = costdt = 2� p - ) costdt 2007t + p �costdt = Với a > , a > 0, hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn [ - a; a ] a a f(x) f(x)dx �ax + 1dx = � - a Ví dụ 10 Cho hàm số f(x) liên tục � thỏa f(- x) + 2f(x) = cosx p Tính tích phân I = �f(x)dx - p Giải Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= p Đặt J = �f(- x)dx , x = - t � dx = - dt - p p p p � t= , x= � t=2 2 x=p �I= p �f(- t)dt = J p � 3I = J + 2I = p �[ f(- x) + 2f(x) ] dx - p = p p �cosxdx = 2�cosxdx = - p Vậy I = Vậy I = p Chú ý: Đôi ta phải đổi biến số trước lấy tích phân phần Ví dụ Tính tích phân I = p2 �cos xdx Giải Đặt t = x � x = t2 � dx = 2tdt p2 p x = � t = 0, x = �t= p � I = 2� t costdt = 2( tsint + cost ) p = p - Vậy I = p - e Ví dụ Tính tích phân I = �sin(ln x)dx Giải Đặt t = ln x � x = et � dx = et dt x = � t = 0, x = e � t = 1 �I = �et sintdt = ( sint - cost ) et Vậy I = = (sin1 - cos1)e + (sin1 - cos1)e + II TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải tốn Dạng b Giả sử cần tính tích phân I = �f(x) dx , ta thực bước sau a Bước Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: 10 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG =================================================================  e2x sin4 x Câu 99:I= �  e sin x  e sin2xdx  � x �x e x e lnx� e lnx  � Câu 100:I= � �  ex sin2 x Câu 101:I= �  e2x sin4 xd x  e sin x  e x 3 e2 sin x   3 e x ex � e2x.ln2 x e e2e x dx  �e lnxd e lnx   � 1 x� �    ex sin2 xd  e sin x  e sin2x dx  � x 3x x   e4x sin4 x e2 e sin x  2 2 x  Câu 102: I= 2 7 ln2 x  lnx  xlnx � 5e e� e� xln3 x � xln3 x � xln3 x � �xln3 x � 5e5 dx  d   � � � � � � � � � � 7e 1� x � � x � � x � 7� x � ex �e � �e � �e � �e �1 7e Câu 103 I   ln2 tanx  2cos2x   dx  sin2x   ln tanx  �    d sin2x 3 ln tanx d ln tanx      �   sin2x 2�  ln sin2x       ln2 12    ln 2 e� e� lnx �1 lnx lnx � �lnx � dx  d  1 �x � � x � x � Câu 104: I= �� � �� � x  � � ln3 x e � 3x3 �lnx � � �  3e3 e e lnx � lnx 1 2lnx lnx � 3 dx  d   � � � x x x �x � �x � 4e3 3 e� e� lnx �1 3lnx lnx � �lnx � �lnx � e Câu 106: I= �� � dx  d   � � � � � � � 1 �x3 � x4 �x3 � �x3 � 4�x3 � 4e12 e Câu 105: I= � 4 e� e� lnx � 1 xlnx lnx � � lnx � dx  � x � d� x � x 1� x � Câu 107: I= � �e � xe e� ln2 x �lnx � � 1� x � Câu 108: I= � �e � ��e   xlnx dx  xex � �e � �lnx � e �  7� �ex � e� ln2 x � �ln2 x � � �d� � 1� x � � x � � �e � �e 7e 7e �ln2 x � e  � � 4e � x � � 4�e � 4e 55 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= e 1 lnx e � lnx � lnx e dx  d   Câu 109: I= � � 1 �x � x x2 � � e e 1 2lnx e � lnx � dx  d  � � Câu 110: I= � � �x x lnx e � x2  1 e2 e 1 3lnx e � lnx � �lnx �e dx  d � � � �  x4 �x3 � �x3 �1 Câu 111: I= � � e3 �lnx � e  � ��e ��e � 2� �ex � 2e2e e� e� lnx � 1 xlnx lnx ��lnx � dx  d  � � � x x x �� x � 1 Câu 112: I= � �e � xe e� ln2 x �lnx � � 1� x � Câu 113: I= � �e �   xlnx dx  xex e� ln3 x �ln x � � 1� x � e� ln2 x ��ln2 x � d � �� � � x �� x � � �e ��e �ln2 x � e  � � 2e � x � � �e � 2e e� ln3 x � �ln3 x � � �d� � 1� x � � x � 4 e� e� xlnx �1 lnx  xlnx xlnx � �xlnx � dx  � x �d� x � x 1� x � Câu 114: I= � �e Câu 115: I= � �e �  3 xlnx dx  xex �e �� e e � � � �e � �e �ln3 x � e  � � 4e � x � � �e � 4e �xlnx � e e5 � �  � 5� ex � 5e5e Câu 116: I= e� x2 lnx � x � � 1� x � � �e �  1 2lnx  xlnx dx  ex e� x3 lnx �x � � 1� x � Câu 117: I= � �e � �e � � �e  1 3lnx  xlnx dx  e� xln2 x �lnx � � 1� x � Câu 118: I= � e� x2 lnx � �x2 lnx � � �d� � 1� x � � x � ex   lnx  xlnx dx  ex � �e �x2 lnx � e e10  � � ex � � 5e5e � � � e� x3 lnx � �x3 lnx � � �d� � 1� x � � x � e�xln x � � xln2 x � d � � � � 1� x � � x � � �e � �e � �e � �e 1�x3 lnx � e e18  � � ex � � 6e6e � � � �xln2 x � e e6  � � ex � � 6e6e � � � Câu 119: I= 1 4 ln2 x 3 lnx  xlnx � e 3e3 e� e� xln3 x � xln3 x � xln3 x � �xln3 x � dx  d   4e � � � � � � � � � � x 1� x � � x � � x � 4� x � e e e e e � � � � � � � �1 4e 3 7    4 ln  tanx 2ln  tanx ln4 3 dx  ln tanx d ln tanx   Câu 120: I= �         sin2x 2� 7  4  24  2cos x � 81   � � �2xcosx  x2 sinx � �x2 ��x2 � x dx  � d � � � � �� � 0� 0� � � cosx � cosx ��cosx � Câu 121: I= � � � � cos x � � � �� x4 56 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG =================================================================    x6cos3x 6 2 2 3 Câu 122: I= � x cosx 2xcosx  x sinx dx  � x cosx d x cosx  3 0 1119744    e3x sin3 x Câu 123: I= �       e3x sin3 xd  e sinx  e cosx dx  � x x   e4x sin4 x e2 e sinx  2 4  x Câu 124: I=  � x cosx   x8cos4x 8 2xcosx  x sinx dx  � x cosx d x cosx  3 16384.3  �x e x e ln3 x� e ln x  � Câu 125: I= � Câu 126: I= �  e2x sin2 x �      e x 3ln2 xex � e2x.ln6 x e e2e x dx  e ln xd e ln x   � � � x �   e2x sin2 xd  e sinx  e cosxdx  � x  x   � cos x � � � � �  26  2cos x �   �x3 � �3x2cosx  x3 sinx � �x3 ��x3 � 3 dx  � d � � � � �� � 0� 0� � � cosx � cosx ��cosx � Câu 127: I= � 3  e sin x e2 x e sinx   3 3x �� x6 Câu 128: I=  x6cos2x 6 � x cosx 3x cosx  x sinx dx  � x cosx d x cosx   512.36     ex sinx Câu 129: I= �      ex sinxd  e sinx  e cosxdx  � x x � 2x e 2x e lnx� 2e lnx  � Câu 130: I= �  �   e2x sin2 x e e sinx  2 2 x  e 2x e2x � e4x.ln2 x e e4e 2x dx  e lnxd e lnx   � � 1 x � �    89  3 10 � 3cos x 2   � ��3x2cosx  x3 sinx � �x3 � �x3 � x dx  � � �� � �d� � 0� 0� � cosx �� cosx � �cosx � Câu 131: I= � � �� cos x � � � �� 3   �x3 ��3x2cosx  x3 sinx � �x3 � �x3 � dx  � � �� � �d� � 0� 0� � cosx �� cosx � �cosx � Câu 132: I= � � �� cos x � 3x e 3x e lnx� 3e lnx  � Câu 133: I= � � � � � x9  412  12 � 4cos x �� x12 e 3x e3x � e6x.ln2 x e e6e 3x dx  e lnxd e lnx   � � 1 x � �   57 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG =================================================================    3 x4cos12x 4 3 3 3 x.cos x cos x  3xcos xsinx dx  x.cos x d x.cos x   Câu 134: I= � � 0 262144.3    e lnx � ex  xlnxex 2x Câu 135: I= � � x � e xe �     � e lnx � lnx � ln2 x e dx  � x d� x � 2x  2e � � e �e � 2e 2e � Câu 136: I=   � x cosx  2       3x cosx  x sinx dx  � x3.cosx d x3.cosx   x9cos3x 9  12288.3 4 e x x3 �ex  xex � �x � x e e dx  d    Câu 137: I= � � � � � � 3x � 2x 3x � e � e e �ex � 4e4x 4e4e 4e4 � e Câu 138: I=  � x cosx 3   x12cos4x 12 3x cosx  x sinx dx  � x cosx d x cosx   12 65536.3   e ln x � ex  xlnxex � 2x 2x � Câu 139: I= � e xe �     � e ln x � lnx � ln3 x e dx  � 2x d� x � 3x  3e � � e �e � 3e 3e �  x2cos4x 2 Câu 140: I= � x.cos x cos x  xsin2x dx  � x.cos x d x.cos x  3 2 128.3         3 e x x2 �ex  xex � �x � x e e dx  � 2x d� x � 3x  3e  Câu 141: I= � � � 2x � 2x � e � e e �e � 3e 3e 3e � e    Câu 142: I= � x.cos x  x3cos6x 3 cos x  xsin2x dx  � x.cos x d x.cos x  3 1536.33 e ln x � ex  xlnxex � 2x 3x � Câu 143: I= � e �   xe    2  � e ln x � lnx � ln4 x e dx  d  4x  4e � 3x � x � � � e �e � 4e 4e � Câu 144: I=  � x.cos x   x3cos9x 3 cos x  3xcos xsinx dx  � x.cos x d x.cos x  3 12288.33  e ln x � ex  xlnxex � 2x 3x � Câu 145: I= � e � xe      � e ln x � lnx � ln4 x e dx  d  4x  4e � 3x � x � � � e �e � 4e 4e � 58 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= Câu 146: I=  � x.cos x 2   x3cos6x 3 cos x  xsin2x dx  � x.cos x d x.cos x  3 3 1536.3      2  2 e x �x � x x �ex  xex � e e dx  d    Câu 147: I= � � � � � � x � 2x x � e � e e �ex � 2e2x 2e2e 2e2 � e Câu 148: I=  � x.cos x  x4cos8x 4 cos x  xsin2x dx  � x.cos x d x.cos x  3 4 16384.3        Câu 149: I=    �xln3 x 3ln2 x x2  � x2  ln6 x e e2  e � x2  1.ln3 x�  dx  � x2  1.ln3 xd x2  1.ln3 x   � 1 � x2  � x 2 � �  e    Câu 150: I= � x.cos x  x3cos9x 3 cos x  3xcos xsinx dx  � x.cos x d x.cos x  3 12288.33       Câu 151: I=  x2cos6x 2 � x.cos x cos x  3xcos xsinx dx  � x.cos x d x.cos x   512.32    3      Câu 152: I=  e3x sin6 x �  e3x sin6 xd  e sin x  e sin2xdx  � x x   e4x sin8 x e2 e sin x  2 4 x  Câu 153:  x3 x e 1 �  3  3  3  1 5x4ex  3x2ex dx  �x5 e x dx  �x5 e x 5x4ex  3x2e x dx  I  J 1 1 I = �x5 e x dx Đặt t = –x3  dt = –3x2dx , 1   t = , x = –1  t = x=0 t � 1� 1 t ( t).e �  � dt   � t.e dt   I1  I= � 30 � 3�  Với I1 = t te dt � du  dt �u  t �  � t dv  e dt v  et � � Đặt �  t I1 = e t 1 t e dt  � t e e 1  Vaäy I =  I1   3 59 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= 3 3 0 x10 e2 J  �x5 e x 5x4e x  3x2e x dx  �x5 e x d x5 e x dx   1 1 2x3 1 2e    3    e2 x5 e x 1 5x4e x  3x2e x dx =   ĐS: � 1 � x2  9� 1 Câu 154: � � � � � x � 5 dx  � x2  9dx  � x2  9� dx  I  J � � 3 � � � x  9� � x  9� x I= � x2  9dx  Ñaët t = x + x 9  x 9 = t – x  x =  x =  t = –9 , x =  t = 2 t2  t2   dx = dt 2t 2t2 2 �t2  � 9t  t  t2  � dt  dt � � � 2t � �2t2 � � 2t 2t � � � � 9� t  I= � � 3� t4  9t2  9t2  81 9� 81� �t2 243�9 dt  t � dt  �  �  = 3� 4� 4� t3 t � � t3 � � �2 �3  � x � J  � x  9� dx  � x2  9d � 3 � � � x  9� � x2  9� 1 ĐS: � � �  x2  16 x 9   =8 2 � dx =14 � � x2  � x Câu 155: � � 1 � � x2  16 � � �   � � x dx  I  J � 3� x  16 � �  dx I= �  Đặt t = x + x2  16  x=   � � � � 3 x 1 dx  � dx  �  � � 0 3� 2 � x  16 x  16 x  16 � � � � x2  16  2 x2  16 = t – x  x + 16 = t – 2tx + x t2  16 t2  16  dx = dt 2t 2t2 x=3  t=8, x=0  t=4 60 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= t2  16 8 82 dt   1ln t  ln8 ln4  ln2  I = � 2t 4t 2� t2  16 t 2t � � J �  � x2  16 � � � ĐS: � � � 1 � x  16 � � �  � � � � x 1 1 dx  � d�    � � � � x2  16 50 32 3� 2 x  16 x  16 � � x  16 � �     � � x 1 dx = ln2  �  3� 50 32 x  16 � �  Câu 156: � � � 3 x � 1 x � 1 2x  x2 dx  � dx  � 2x  x2 dx  I  J � � � � 1 � � 2� 2 2 2� x 1 x � x  1� x 1 x x 1 x � x  1� I= � 3 dx dt , Ñaët x = tgt  dx = cos2 t x2 1 x2  x = tgt =  t=  1���� x �  3   , x = tgt =  t x2   tg2x     3  t=  cost cos2 t  1  cost cost dt   1 cos2 t  cost dt  sin2 t(sint)/ dt  I= � =   � � sin t sint sin t cost cos t       2  d x2 1 x2 � � x 2x  x2 dx  � dx  ln x2 1 x2  ln � � � � 1 x2 � x2  � x2 1 x2 J �  x2 � x � 2     ln 1 2x  x2 dx = ĐS: � � � � 2� 2 x 1 x � x  1�     Câu 157: (1 x �   1 0   ) 1 3x 1 x2 dx  � (1 x2)3dx  � (1 x2)3 3x 1 x2 dx  I  J 61 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNƠNG ================================================================= I= � (1 x2)3dx Đặt x = sint  dx = cost dt x = sint =  t     , x = sint =  t =  x    t  2 1 x2  1 sin2 t  cos2 t  cost  cost   f(t) = cos4 t  (cos2 t)2  I=  cos �  cost  tdt  1 cos2t  (1 2cos2t  cos2 2t) 1� � 1 2cos2t  (1 cos4t) � (3 4cos2t  cos4t) � 4� � =  2 1� �2 3 (3 4cos2t  cos4t)  � 3t  2sin2t  sin4t �  I= � 80 8� �0 16    J  � (1 x ) 3x 1 x dx  � (1 x ) d   3 (1 x )  (1 x2)3 1   2 (1 x2)3 1 3x 1 x2 dx =  ĐS: � 16 Câu 158: � x3 � � 2x 1 x  � 2 � x � 1 x dx 1 � � � 2 1 x 1 x � � � � � � � x3 � �2x 1 x  � 2 2 � x x �  x 2 � dx  � dx  I  J � � 0 2  x 1 x 1 x � � � � � � 2 I= � x2 1 x dx Đặt x = sint  dx = cost dt  x = sint =  0x    t , x = sint =  t =   0t  cost > 1 x2  1 sin2 t  cos2 t  cost  cost 62 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG =================================================================  sin2 t 4 1� �4  costdt  � (1 cos2t)dt  � t  sin2t � =   I= � cost 2� �0  � x3 � 2x  x  � � 2 � x2 � x2 � x2 x4 1 x � dx  d  � � � 4 � 2� � � 1 x2  x 1 x � 1 x � 1 x � � � � � � 2 J �   � x3 � 2x  x  � � x2 �  1 x �  dx = � � 1 x2 1 x2 � � � � � � 2 ĐS: � Câu 159: � � � � 2 1 x � 1 x 1 x 1 x � 1 x 2 � � 1 dx  � dx  � dx  I  J 0 2 � � � 1 x � 1 x 1 x 1 x �1 x � 1 x � 1 x � � � � � 2 �    1 x dx Đặt x = cost  dx = –sint dt 1 x 2 I= �  x = cost =  0x 2  t  , x = cost =    t   2   1 x  1 cost  2cos2  1 x  1 cost  2sin2  t   t    t t  2cos 2 t t  2sin 2 t   ( sint)dt   2cos2 t dt  (1 cost)dt  I= �   � � t 2 sin   2 J �  cos =   1 2 � � � � 1 x � 1 x  x  x  x 2 � dx  � d�   1 � � � � � 1 x �1 x  x  x  x   � 1 x � � � �  2 ĐS: �  � � 1 x � 1 x � 1 dx =    1 1     2 1 x � � 1 x � 1 x � � �   63 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= Câu 160:  � xtan3x tan3x  � � I =� � Câu 161: I = Câu 162: I =    � ex tanx ex tanx  � � � � x ln5 e x ex  dx Đặt t = ex  �     ex tanx e � ex tanx.d ex tanx dx  dx  � � � cos x � x = ln5  t = , x =     e2  2 x x ex   t = e –  2t dt = e dx  t=0 2 2 t 2� � 2�dt  8�2 dt = dt  dt   dt � � � � � 0 2 t 4 t 4 t 4 � t2  �  I= t.2t dt  J Đặt t = 2tgu  � t  22 Ta có :    3x.tan2x � x2 tan6x 2 3 dx  �xtan x.d xtan x  � 4 cos2x � � 32 t = 2tgu =  u = 2 cos u du = 2(tg2u + 1) du  , t = 2tgu =  u = 2(tg2u  1)  1 du  du   J= � � 02 4tg2u   dt =    Vậy    4  I = 2t   x � x2 tan2x 2 dx  �xtanx.d xtanx  4 � cos2x � 32  xtanx� tanx  � Câu 163: I = � � Câu 164: I=  � e2x tan2x ex tanx  � � � � x � x dx  e tanx d ex tanx dx  � � � cos x � e Câu 165: I = � x5 x2  dx   t=1,x= x=0  I= = t � 1 2   Đặt t =      ex tanx 3 3  e4  2 x2  x  t = x +  tdt = xdx 3 t=2  t2dt  �(t4  2t2  1)t2dt (t  2t4  t2)dt  �  t7 t5 t3 2  = 848 105 64 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG =================================================================    x � x3 tan3x 3 2 � 2 4 x tan x tanx  dx  x tan x.d xtanx   Câu 166: I = �   � � � 0 cos2x � � 3.4 Câu 167:  � e3x tan3x ex tanx  � � I =� � x3 Câu 168: I = � 1 x    ex tanx e � x x e tanx d e tanx dx  dx  � � � cos x � x      e 4 dx  Ñaët t = 1 x2  t3 = + x2  xdx = t dt  x=  t=2,x=0  t=1 3�t5 t2 �2 141 (t3  1) t2 2 t  t  I= = �  �  dt  dt  �(t4  t)dt �5 � � � � �1 20 t 21 t 21  x3 tan3x � tanx  � Câu 169: I = � �   x � x4 tan4x 4 3 dx  �x tan x.d xtanx  4 � cos2x � Câu 170: I=  � ex tan2x ex tan2x  � � � � Câu 171: I = � dx x x2   = xdx �7 x2 x2  Đặt t = 2 x2   t = x +  tdt = xdx  x=4  t=5 , x=  tdt  � x2 tanx 2xtanx  � � �    e2   t=4 dt t3   ln I= � � (t  9)t (t  3)(t  3) t  Câu 172: I= �     ex tan2x 2e tanx � x x e tan x.d e tan x dx  dx  � � � cos x � x  ln   x2 � 4 x2 tanx.d x2 tanx  x tan x dx   � � cos2x � �   Câu 173: I=  � e2x tan4x ex tan2x  � � � � x  2e tanx � x 2 dx  e tan x d ex tan2x dx  � � � cos x �       ex tan2x 3 3  e4 4 65 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= 3 x5 dx Đặt t = x3   t2 = x3 +  2t dt = 3x2dx Câu 174: I= � x 1 x = 33  t = , x =  I=  t=1 tdt 2 �t3 �2 1 (t  1)dt  t = � �  �3 � � = (t3  t)dt 2 � � �1 t t (t2  1) � Câu 175: I=  � x2 tan6x tan3x  � � � �   3x.tan2x � x3 tan9x 3 3 dx  xtan x d xtan x   � � 3 cos2x � � 3.4  Câu 176: I= cos x � � dx Câu 177: I= �  Đặt t =  x=2 x 1 x3 = �3 x x2dx   e tan x e tan x d e tan x dx     �   x � � e2x tan6x ex tan3x  3e tan x dx  � � � � �   x3 1 x3 x x 3 3  e4  3 1 x2  t = + x  2tdt = 3x dx  t = , x = 33  t = 2 t t1  I= = dt  � dt ln t  � 2 (t  1)(t  1) (t  1)t 3 1� 1�  � ln  ln �  ln 3 � � Câu 178: I=  x2 tan4x� tan2x  � � �   2x.tanx � x3 tan6x 3 2 dx  � xtan x d xtan x  4 � 3 cos2x � 3.4     Câu 179: I=   �x 3ex tan2x � x e tan x e tan x  dx  � � 0 � � � cos x � � � e x    tan3x d ex tan3x dx    ex tan3x 2   e2 4 2 2x x 1 Câu 180: I = x  1dx = dx � x  Đặt t =  x=2  t= � x2 2 x2   t = x –  t dt = x dx 3, x=1  t=0 66 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= t dt 3� 3 1 �  I= �   dt  dt  dt � � � � � 0 t  � t2  1� t 1 dt J =� t 1   Đặt t = tgu  dt =  t = tgu = cos2 u  u=  du  (tg2u  1)du  cos2 u   , t = tgu = t2   u=0      cos u du  �du  u    3 Vậy J = � I= t 0 6 cos u 0  � x3 tanx 3x2.tanx  � � Câu 181: I= � �   x3 � 6 x3 tanx.d x3 tanx  x tan x dx   � � 13 cos2x � �   Câu 182: I=  � e tan x d e tan x dx    x � � e3x tan9x ex tan3x  3e tan x dx  � � � � � cos x � � Câu 183: I= � 03  x  ex tan3x 4  e  4 x1 dx 3x  Đặt t = x +  dt = dx, x = 10 x 10 t= ,x=0  t=1 3 t dx I= � 3t   Đặt u = 3t   u3 = 3t –  3u2du = 3dt  u2du = dt  t= 10  u=2 , t=1  u=1 �u5 u2 �2 46 (u  2)   I = 23 = � 2 � u2du  �(u4  2u)du �5 2� 15 � 1 � � u  � x4 tan2x 2xtanx  � �   x2 � 6 x4 tan2x.d x2 tanx  x tan x dx   � � cos2x � � 3.4  � x6 tan3x 2xtanx  � �   x2 � x8 tan4x 8 dx  x tan x.d x tanx   � � cos2x � � Câu 184: I= � Câu 185: I= � � �     67 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= Câu 186: I= 3x e �  � x     x � x e 1 x2  ex dx  �e 1 x2 d ex 1 x2 dx  � � � � 1 x2 � �  1 x  Câu 187: I= �  Đặt t =  x=4 ex 1 x2  1  xdx 2x  2x   t2 = 2x +  2tdt = 2dx  tdt = dx  t=3 , x=0  t=1 t2  tdt �t3 �3 10 I=  (t  1)dt   �  t� � 1 � t 2� 2� � �2 Câu 188: I=  x4 tan8x � tan2x  � � �   2x.tanx � x5 tan10x 5 2 dx  � xtan x d xtan x  4 � 5 cos2x � 5.4     Câu 189: I=  � x6 tan2x 3x2.tanx  � � � �   x3 � x9 tan3x 9 dx  �x tan x.d x tanx  � 4 cos2x � � 3.4  Câu 190:   x � I= 1ex x � ex x  ex dx  � e x.d ex x  � � � 0 x� � dx Đặt t = x(1 x) Câu 191: I= �  x=4  t=2,x=1 ex x  2 e  x  t2 = x  2tdt = dx  t=1 dt t  2ln  I= � � t(1 t) = t1 t (1 t)   2tdt 2  2ln  2ln  2ln 3 Câu 192: I=  � x3 tan9x tan3x  � � � �   3x.tan2x � x4 tan12x 3 3 dx  xtan x d xtan x   � � cos2x � �     68 Giáo viên: Lê Văn Linh TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG ================================================================= Câu 193: I=  � x9 tan3x 3x2.tanx  � � � �   x3 � x12 tan4x 12 3 dx  �x tan x.d x tanx  �  13 cos2x � �   Câu 194: I=  � e3x tan6x ex tan2x  � � � � ln8 Câu 195: I= � ln3  Đặt t =  x = ln8  x 2e tanx � x dx  e tan x d ex tan2x dx  � � � cos x � e2xdx ln8 ex  = � ln3  t = , x = ln3  I= � t Câu 196: I= � Câu 197: I= �  x=7   e  4  t=2 (t  1)dt  dt  2�  xtan2x � tan2x  � Đặt t = ex     x x ex   t = e +  2t dt = e dx (t  1).2t  ex.exdx   ex tan2x � �t3 �3 32 2�  t �  �3 � � �2   2x.tanx � x2 tan4x 2 2 dx  �xtan x.d xtan x  4 � cos2x � 32   dx x 21  x  t2 = + x  2tdt = dx  t=3 , x=2 2tdt  t=2 3� t �  2� dt  2�� 1  I= � �dt = 2 t  ln1 1 t1 t1 � t  1� 3 3� 4� � � 1 ln � = 2(3 – ln4 – + ln3) = 2(1 + ln3 – ln4) = �  x3 tan6x� tan2x  � Câu 198: I= � �   2x.tanx � x4 tan8x 4 2 dx  xtan x d xtan x   � � cos2x �     Câu 199: x e � �x x x � � 1 x2 � e 1 x2  ex dx  � e 1 x2d� ex � � � � 1 x2 � � � ex 1 x2 � � � � �  1 1 x2 � dx  � 2 � 69 ... 2x  Đặt t  x   2tdt dx J= x 1  2(t  2)tdt dx =  =  t t x 1 1 x  2x  2t  dt 1 t Bt  C   A  =   dt t 1 t  t 1 1 Đồng hệ số ta có: A  2; B 2; C  2 Vậy J =  ln t