ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 – HK2 – 2009. -:- 10V2 -:- Gv: Trần Mạnh Tùng – THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội PHẦN ĐẠI SỐ Một số dạng toán cơ bản I. PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Các bài toán về giải PT; BPT và Hệ BPT: Bài toán 1: Giải PT; BPT bậc nhất, bậc hai: * PP chung: Xét dấu. * Lý thuyết: Dấu nhò thức bậc nhất & Dấu tam thức bậc hai. Dấu của tích, thương. Bài 1. Giải các BPT sau: a/. 2 2 x 3x 10 2 x 4 − + ≤ − b/. 3 5 2x 1 3x 2 > − + − c/. 3 2 x 3x 2 0− + ≥ Bài toán 2: Giải PT; BPT có chứa căn thức và dấu giá trò tuyệt đối * PP chung: - Chứa GTTĐ: Xét khoảng, bình phương, sử dụng tính chất gttđ. - Chứa căn bậc 2: Bình phương, đặt ẩn phụ, đánh giá. Bài 2. Giải các PT; BPT sau: 2 2 2 a / . 2x 3 x x 1 b / . x 3x 4 x 2 0 c /. 4 3x 3x x 4 2− ≥ − + − − + + + − ≥ + − + − = Bài 3. Giải các PT; BPT sau: (Chú ý: Mẫu thức chứa ẩn) 2 2 x 1 x 2 6x 3 4 a / . 2 b / . 2 c / . x 2 x 1 x 3 2 x 4 − + + − + ≤ − ≥ − > − − − − − Bài 4. Giải các PT; BPT sau: 2 2 2 a / . 4x 3x 2x 3 b / . x x 12 8 x c / . 8 x 6x 5 2x 0− ≥ + + − < − − − + + − < Bài 5. Giải các PT; BPT sau: (Bằng PP đặt ẩn phụ) 2 2 2 2 2 a / . 2x 9x 6 9x 2x 0 b / . 4x x 2x 8x 3 c / . x 2x 8 6 (x 4)(x 2)− + + − = − − > − + − − − < − − + Bài 6. BPT Tích có chứa dấu & ( ) 2 2 2 2 9x 4 a / . (x 4) 3x 1 0 b / . 4x x 3 x 2x 3 0 c / . 3x 2 5x 1 − + − ≥ + − − + + ≤ ≤ + − Bài toán 3: Giải Hệ PT; BPT (Giải từng bất phương trình rồi tìm giao các tập nghiệm). Bài 7. 2 2 2 2 3x 2x 8 0 x 6x 5 0 a / . b / . x 2x 3 0 (x 1)(3x 8x 4) 0   − + + ≥ − + − >     − − < + − + >     Dạng 2: Các bài toán tìm điều kiện của tham số: Bài toán 1: (Tìm ĐK để biểu thức f(x) có dấu xác đònh trên R) Bài 8. Tìm m để 2 f (x) (m 1)x (2m 1)x m 3= − + + + − luôn âm. Bài toán 2: (Tìm ĐK để PT; BPT vô nghiệm hoặc nghiệm đúng x R∀ ∈ ) Bài 9. Tìm k để bpt sau: a) 2 kx 2kx k 2 0− − − < nghiệm đúng x R∀ ∈ . b) 2 (k 3)x 2(k 3)x 3k 2 0− − − + + < vô nghiệm. Bài toán 3: (Tìm ĐK để Hệ PT; BPT vô nghiệm hoặc có nghiệm) Bài 10. Tìm m để hệ sau: Tungtoan.sky.vn 091 3366 543 Page 1 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 – HK2 – 2009. -:- 10V2 -:- Gv: Trần Mạnh Tùng – THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội a/. 2 x 4x 3 0 4mx 2 0  − + − ≤  + >  vô nghiệm b/. 2 2x 3 5 3x x (k 1)x k 0 − ≥ −   − + + ≤  có nghiệm. Bài toán 4: (Phương trình trùng phương) Bài 11. Cho pt: 4 2 x 2mx 3m 2 0− + − = . Xác đònh m để PT: vô nghiệm; có 1 nghiệm; có 2 nghiệm pbiệt; có 3 nghiệm pbiệt; có 4 nghiệm pbiệt. Bài toán 5: (Tam thức bậc 2) Bài 12. Cho 2 f (x) (m 2)x (2m 1)x m 4= − + − + − . Tìm m để f(x): a) có 2 nghiệm phân biệt. b) có nghiệm kép bằng 3. c) có nghiệm thoả mãn |x 1 – x 2 | = 5. II. GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA GÓC; CUNG LƯNG GIÁC Dạng 1: Tính toán các giá trò lượng giác: Lý thuyết: +. Dấu của các giá trò lượng giác. +. Công thức biến đổi giữa các giá trò lượng giác. +. Quan hệ của 4 góc có liên quan đặc biệt. Bài 13. Tính theo yêu cầu đề bài i/. Cho 2 Sin a 3 = với 0 a 2 π < < . Tính các GTLG còn lại. ii/. Cho Cot a 3= − với 3 a ;2 2 π   ∈ π  ÷   . Tính giá trò 1 7 P tan a cosa sin a = + − iii/. Cho 2 2 3Sin a cos a 0− = với 0 a 2 π < < . Tính giá trò 5 A 7sin a tan a cosa = + − . Bài 14. a) Cho π π   = − < <  ÷   12 3 sin ; 2 . 13 2 a a Tính cos( ) 3 a π − ; b) Cho π   = = < <  ÷   1 1 sin ;sin ; 0 , 2 5 10 a b a b . CMR 4 a b π + = Bài 15. Chứng minh rằng: 1. cos( a + b)cos(a – b) = cos 2 a – sin 2 b 2. sina.sin( b – c) + sinb.sin( c- a) + sinc.sin( a – b) = 0 3. cosa.sin(b –c) + cosb.sin( c – a) + cosc.sin( a – b) = 0 4. cos( a + b)sin(a – b) + cos( b + c)sin(b –c ) + cos( c + a)sin( c – a) = 0 5. sin( ) sin( ) sin( ) 0 cos .cos cos .cos cos .cos a b b c c a a b b c c a − − − + + = 6. 4 4 3 1 sin cos cos4 4 4 a a a+ = + ; 7. 6 6 5 3 sin cos cos4 8 8 a a a+ = + 8. 2 2 2 2 tan 2 tan tan3 .tan 1 tan 2 .tan a a a a a a − = − ; Tungtoan.sky.vn 091 3366 543 Page 2 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 – HK2 – 2009. -:- 10V2 -:- Gv: Trần Mạnh Tùng – THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 9. 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 )(1 ) tan8 .cot cos cos2 cos4 cos8 2 a a a a a a + + + + = 10. 1 cos .cos( ).cos( ) cos3 3 3 4 x x x x π π − + = ; 11. 1 sin .sin( ).sin( ) sin3 3 3 4 x x x x π π − + = 12. 2 1 cos cos2 cos3 2cos 2cos cos 1 x x x x x x + + + = + − Bài 16. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 1. 2 2 2 2 2 cos cos ( ) cos ( ) 3 3 A x x x π π = + + + − 2. B = sin 2 (a + x) – sin 2 x – 2sinx.sina.cos( a + x) ( a lµ h»ng sè) 3. 2 2 2 2 4 sin sin ( ) sin ( ) 3 3 C x x x π π = + + + + 4. π π π π + + + + + + = − 2 2 tan .tan( ) tan( ).tan( ) tan( ).tan 3 3 3 3 3 x x x x x x Bài 17. Chứng minh rằng a) 2 1 cos .cos 5 5 4 π π = b) 2 3 4 5 sin .sin sin .sin 5 5 5 5 16 π π π π = c) 1 1 cos 2 2 . 2 2 2 2 n π + = + + + + d) 1 1 sin 2 2 . 2 2 2 2 n π + = − + + + (n dấu căn). Bài 18. Không dùng máy tính, tính giá trò các biểu thức sau: a) 4 5 cos .cos .cos 7 7 7 A π π π = b) 0 0 0 sin10 .sin50 .sin70B = c) 0 0 0 0 sin6 .sin 42 .sin 66 .sin 78C = d) = = 0 0 sin18 , cos18D E . Bài 19. Chứng minh rằng: a) NÕu cos 2 a + cos 2 b = m th× cos(a + b).cos( a – b) = m -1 b) NÕu sinb = sina.cos( a + b) th× 2tana = tan( a + b) c) NÕu 2sinb = sin(2a + b) th× 3tana = tan( a + b) d) NÕu m.sin(a + b) = cos(a – b) th× 1 1 1 .sin2 1 .sin2 S m a m b = + − − kh«ng phơ thc a,b Bài 20. Chøng minh r»ng trong tam gi¸c ABC ta cã : a) tan .tan tan .tan tan .tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A + + = b) cot cot cot cot .cot cot 2 2 2 2 2 2 A B C A B C + + = c) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1 d) tan tan tan 3 2 2 2 A B C + + ≥ e) cot cot cot 3 3 2 2 2 A B C + + ≥ f) cot cot cot 3A B C+ + ≥ . Bài 21. TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc sau: Tungtoan.sky.vn 091 3366 543 Page 3 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 – HK2 – 2009. -:- 10V2 -:- Gv: Trần Mạnh Tùng – THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 1. 4 4 4 4 1 3 5 7 sin sin sin sin 8 8 8 8 S π π π π = + + + 2. 4 4 4 4 2 3 5 7 cos cos cos cos 8 8 8 8 S π π π π = + + + 3. 4 4 4 4 4 4 3 3 5 7 9 11 sin sin sin sin sin sin 12 12 12 12 12 12 S π π π π π π = + + + + + Bài 22. Cho tam gi¸c ABC cã 4 4 4 a b c+ = . Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC nhän vµ 2sin 2 C = tanA.tanB Bài 23. Cho tam gi¸c ABC cã sin sin sin 2sin .sin 2sin 2 2 2 A B C A B C+ + − = . Chøng minh r»ng C = 120 0 Bài 24. Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC lµ vu«ng nÕu : 1. cos2A + cos2B + cos2C = - 1 2. tan2A + tan2B + tan2C = 0 3. sin4A + sin4B + sin 4C = 0 4. sinA +sinB + sinC = 1 + cosA +cosB + cosC Bài 25. Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC lµ c©n nÕu : 1. 2tanB + tanC = tan 2 B.tanC ; 2. tan tan ( )tan 2 A B a A b B a b + + = + 3. sin sin 1 (tan tan ) cos cos 2 A B A B A B + = + + 4. ( )cot tan 2 2 C B p a p− = Bài 26. Tam gi¸c ABC cã ®Ỉc ®iĨm g× nÕu nÕu : 1. + + = + +sin sin sin cos cos cos 2 2 2 A B C A B C 2. 2cos cos sin 2cos cos sin A C B B C A + = + 3. 2 2 1 cos 2 sin 4 B a c B a c + + = − 4. sin 2 2 A a bc = 5. 1 cos .cos .cos 8 A B C = Dạng 2: Chứng minh một số đẳng thức lượng giác cơ bản: Bài 27. Với ĐK các biểu thức lượng giác có nghóa. Hãy CMR: 2 2 1 1 a / . 1 1 tan a 1 cot a b / . 1 sin a cosa tan a (1 cosa)(1 tan a) cosa 1 c / . tan a 1 sin a cosa + = + + + + + = + + + = + sin sin 3 sin 5 d /. tan 3 cos cos3 cos5 1 a a e /. 2 cot 2a cot tan sin 2a 2 2 1 2 f /. cos2 cos( )cos( ) 4 4 α − α + α = α α − α + α   + = −  ÷   = π π α + α −α PHẦN HÌNH HỌC Một số dạng toán cơ bản I. ĐƯỜNG THẲNG 1. Lập PTTS; PTTQ; PTCT của đường thẳng. (Qua 2 điểm; Qua 1 điểm và song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước). Tungtoan.sky.vn 091 3366 543 Page 4 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 – HK2 – 2009. -:- 10V2 -:- Gv: Trần Mạnh Tùng – THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng cho trước Tính góc giữa hai đường thẳng cho trước. *. Chú ý một số bài toán: BT1: Tìm điểm đối xứng qua 1 đường thẳng cho trước; Đường thẳng đối xứng qua 1 điểm cho trước. BT2: Tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên 1 đường thẳng cho trước. BT3: Viết PT đường thẳng song song và cách đường thẳng (d) (cho trước) một khoảng bằng h (đã biết) BT4: Viết PT đường thẳng qua 1 điểm và cách đều 2 điểm cho trước. BT5: Viết PT đường phân giác (trong; ngoài, phân giác góc nhọn, góc tù). II. ĐƯỜNG TRÒN 1. Lập phương trình đường tròn (C): (Biết tâm và 1 điểm thuộc (C); Biết tâm và tiếp xúc với 1 đthẳng (d); Đi qua 3 điểm cho trước). 2. Nhận dạng phương trình đường tròn. (ĐK để một PT là PT đường tròn) 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): +. TT tại điểm thuộc (C) +. TT song song với 1 đường thẳng (d) cho trước +. TT đi qua 1 điểm không thuộc (C) +. TT vuông góc với 1 đường thẳng (d) cho trước III. ĐƯỜNG ELIP 1. Lập phương trình chính tắc của (E)_Xác đònh các yếu tố của (E): 2. Các bài toán liên quan đến bán kính qua tiêu: +. Cho biết điểm M thuộc (E). Tính MF 1 ; MF 2 . +. Cho biết hệ thức liên hệ giữa MF 1 ; MF 2 . Tìm tọa độ điểm M thuộc (E). Một số bài toán luyện tập Bài 28: Trong mặt phẳng Oxy cho M(3 ; 4), đt D : 2x – 3y + 5 = 0, d: 3x + 4y – 11 = 0. a) Tìm M’ đối x ứng với M qua D . b) Tìm d’ đối xứng với d qua M. Bài 29: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC với A(3 ; 4) , B(1 ; 3) , C(5 ; 0) i/. Viết phương trình tổng qt của đường thẳng BC. Tính chu vi và diện tích ∆ABC. Tính góc A. ii/ Lập pt đt đi qua A và cách đều B, C. iii/. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, xác định rõ tâm và bán kính. iv/. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (ABC) biết ∆ song song với đường thẳng d: 6x – 8y + 19 = 0 Bài 30: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ( ) )Rt( ty tx :d ∈    +−= +−= 36 416 a) Tìm tọa độ các điểm M ; N lần lượt là giao điểm của (d) với Ox; Oy. b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác OMN. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M. d) Viết phương trình chính tắc của Elip biết qua điểm N và nhận M làm một tiêu điểm Tìm điểm M thuộc Elíp sao cho M nhìn 2 tiêu điểm (E) dưới một góc vng Bài 31: Cho đường tròn (C) x 2 + y 2 - 2y – 3 = 0. M(1 ; 1), N(3 ; 3). D : x + y – 1 = 0. a) Chứng minh D cắt (C), tìm độ dài dây cung. Tungtoan.sky.vn 091 3366 543 Page 5 Chúc các em ôn và thi thật tốt ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 – HK2 – 2009. -:- 10V2 -:- Gv: Trần Mạnh Tùng – THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội b) Viết pt đt đi qua N và tiếp xúc với (C). c) Viết pt đt đi qua M và cắt (C) theo dây cung dài nhất, ngắn nhất. d) Viết pt đt đi qua N và cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 2. Bài 32: Cho 2 2 x y (E) : 1 25 16 + = . Có 2 tiêu điểm F 1 ; F 2 . a/. Hãy xác định các yếu tố của (E). b/. Biết K thuộc (E) và có tung độ bằng 3 . Tính KF 1 +5F 2 K- 7 c/. Cho A, B thuộc (E) thỏa AF 1 +BF 2 =8. Tính AF 2 +BF 1 d/. Tìm điểm M thuộc (E) sao cho MF 1 -3MF 2 =0 e/. Tìm điểm N thuộc (E) sao cho N nhìn 2 tiêu điểm (E) dưới một góc 60 0 . Tungtoan.sky.vn 091 3366 543 Page 6 . nghiệm hoặc có nghiệm) Bài 10. Tìm m để hệ sau: Tungtoan.sky.vn 091 3366 543 Page 1 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 – HK2 – 2009. -:- 10V2 -:- Gv: Trần Mạnh Tùng. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 – HK2 – 2009. -:- 10V2 -:- Gv: Trần Mạnh Tùng – THPT Lương Thế Vinh – Hà