Biểu diễn nhóm hữu hạn

55 90 0
  • Loading ...
1/55 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 26/04/2018, 15:01

TRƯƠNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN HUYỀN NGỌC BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI - 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ************* NGUYỄN HUYỀN NGỌC BIỂU DIỄN NHĨM HỮU HẠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học Th.S ĐỖ VĂN KIÊN HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu hồn thành khóa luận này, em nhận quan tâm, động viên, khích lệ thầy giáo, cô giáo tổ Đại số nói riêng thầy khoa Tốn trường Đại học sư phạm Hà Nội nói chung Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo, cô giáo, đặc biệt Th.S Đỗ Văn Kiên người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian qua để em hồn thành khóa luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy giáo bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Huyền Ngọc LỜI CAM ĐOAN Trong q trình nghiên cứu khóa luận “Biểu diễn nhóm hữu hạn” em có sử dụng số tài liệu tham khảo để hồn thành khóa luận Danh sách tài liệu tham khảo em đưa vào mục tài liệu tham khảo khóa luận Em xin cam đoan khóa luận hồn thành cố gắng nỗ lực thân với hướng dẫn tận tình Th.S Đỗ Văn Kiên thầy cô tổ Đại số Đây đề tài không trùng với đề tài tác giả khác Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để khóa luận hồn thiện Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Huyền Ngọc MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm 1.1.1 Khái niệm nhóm 1.1.2 Nhóm 1.1.3 Nhóm chuẩn tắc nhóm thương 1.1.4 Đồng cấu nhóm 1.1.5 Nhóm cyclic cấp nhóm 1.1.6 Nhóm hữu hạn 1.2 Vành trường 10 1.2.1 Vành 10 1.2.2 Trường 11 1.3 Môđun 11 1.3.1 Định nghĩa môđun 11 1.3.2 Môđun 12 1.3.3 Tổng trực tiếp tích Ten-xơ 12 1.3.4 Đồng cấu môđun 14 1.3.5 Tổng trực tiếp tích Ten-xơ hai đồng cấu môđun 14 CHƯƠNG LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN 16 2.1 Các định nghĩa ví dụ 16 2.1.1 Biểu diễn ma trận 16 2.1.2 Biểu diễn tuyến tính 18 2.2 Biểu diễn nhóm theo thuật ngữ môđun 22 2.3 Hai biểu diễn tương đương 24 2.3.1 Định nghĩa 24 2.3.2 Biểu diễn 24 2.3.3 Biểu diễn bất khả quy 25 2.3.4 Tổng trực tiếp tích Ten-xơ biểu diễn 25 2.3.5 Mối quan hệ biểu diễn tuyến tính biểu diễn bất khả quy 26 2.4 Đặc trưng biểu diễn 28 2.4.1 Vết biểu diễn 28 2.4.2 Đặc trưng biểu diễn 29 2.4.3 Đặc trưng tổng trực tiếp tích Ten-xơ biểu diễn 30 2.5 Bổ đề Schur 31 2.5.1 Định lý 2.5.1 (bổ đề Schur) 31 2.5.2 Các hệ 32 2.6 Đặc trưng biểu diễn bất khả quy 34 2.6.1 Tích vơ hướng 34 2.6.2 Đặc trưng bất khả quy 35 2.6.3 Số biểu diễn bất khả quy 37 2.7 Biểu diễn cảm sinh 38 CHƯƠNG BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN 40 3.1 Biểu diễn nhóm Abel 40 3.2 Biểu diễn nhóm đối xứng 42 3.2.1 Định nghĩa 42 3.2.2 Biểu diễn ࡿ࢔ (࢔ ≤ ૝) 42 3.3 Nhóm thay phiên 44 3.2.2 Biểu diễn nhóm ࡭࢔ (࢔ ≥ ૝) 45 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số ngành chiếm vị trí quan trọng tốn học, góp phần thúc đẩy phát triển tốn học nói riêng lồi người nói chung Ngày nay, khoa học kỹ thuật ngày phát triển, toán học nói chung Đại số nói riêng có bước tiến vượt bậc Những tư tưởng, phương pháp kết Đại số thâm nhập vào hầu hết lĩnh vực tốn học, từ tơpơ hình học tới giải tích xác suất lượng tử, số lĩnh vực học, vật lí lí thuyết, hóa học lượng tử,… Có thể nói ngành tốn học cần tới đại số đại cương hiểu biết cấu trúc đại số Trong nhóm hữu hạn đối tượng tốn học Nhóm hữu hạn nội dung có nhiều ứng dụng Đại số đại cương đặc biệt cấu trúc nhóm Vì vậy, với lòng u thích mong muốn tìm hiểu sâu nội dung góc độ sinh viên sư phạm toán phạm vi khóa luận tốt nghiệp, với giúp đỡ tận tình thầy giáo – Thạc sỹ Đỗ Văn Kiên, em xin trình bày hiểu biết đề tài “Biểu diễn nhóm hữu hạn” Mục đích nghiên cứu Trong q trình tìm hiểu đề tài giúp em làm quen với việc nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc độc lập, tìm hiểu sâu đại số đặc biệt hiểu rõ nhóm hữu hạn thơng qua biểu diễn Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm sâu khai thác làm bật đặc trưng biểu diễn nhóm hữu hạn, hình thức biểu diễn nhóm hữu Nguyễn Huyền Ngọc K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội hạn biểu diễn số nhóm đặc biệt Abel ,Cyclic, đối xứng, thay phiên Phương pháp nghiên cứu Đề tài hoàn thành dựa kết hợp phương pháp nghiên cứu, lý luận phân tích, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm có chương: • Chương Kiến thức chuẩn bị • Chương Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn • Chương Biểu diễn số nhóm đặc biệt Trong suốt trình thực hiện, bảo, giúp đỡ tận tình thầy giáo – Th.s Đỗ Văn Kiên, em hồn thành khóa luận tốt nghiệp cuối khóa Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Huyền Ngọc K36A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm 1.1.1 Khái niệm nhóm Định nghĩa 1.1.1 Một nhóm cặp (‫ܩ‬, ) ‫ ܩ‬là tập hợp khác rỗng ( ) phép toán hai ‫ ܩ‬thỏa mãn điều kiện sau: (G1) Kết hợp: Với ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ ܩ ∈ ݖ‬ta có ‫;ݖ)ݕݔ( = )ݖݕ(ݔ‬ (G2) Có đơn vị: Với ‫ ܩ ∈ ݔ‬tồn phần tử ݁ ∈ ‫ ܩ‬sao cho ‫;ݔ = ݔ݁ = ݁ݔ‬ (G3) Có nghịch đảo: Với ‫ ܩ ∈ ݔ‬luôn tồn phần tử ‫ ܩ ∈ ’ݔ‬sao cho ‫݁ = ݔ’ݔ = ’ݔݔ‬ Chú ý 1.1.1 +) Phần tử ݁ gọi phần tử đơn vị nhóm ‫ܩ‬ +) Phần tử ‫ݔ‬′ thỏa mãn điều kiện (G3) gọi phần tử nghịch đảo của‫ݔ‬, thường kí hiệu ‫ି ݔ‬ଵ Định nghĩa 1.1.2 Nếu phép toán ‫ ܩ‬thỏa mãn điều kiện (G4) Giao hoán: ‫ݔݕ = ݕݔ‬,với ‫ݔ‬, ‫ ܩ ∈ ݕ‬thì nhóm ‫ ܩ‬được gọi nhóm giao hốn (hay nhóm Abel) Mệnh đề 1.1.1 Cho ‫ ܩ‬là nhóm b1 Mỗi phần tử ‫ ݔ‬của ‫ ܩ‬chỉ tồn phần tử nghịch đảo ‫ି ݔ‬ଵ Đặc biệt : ݁ ିଵ = ݁ b2 Trong ‫ ܩ‬có luật giản ước, hay phần tử quy tức với ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ܩ ∈ ݖ‬ ‫ݖ = ݕ ⇒ ݖݔ = ݕݔ‬ ‫ݖ = ݕ ⇒ ݔݖ = ݔݕ‬ Nguyễn Huyền Ngọc K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội b3 Trong nhóm ‫ܩ‬, phương trình ܽ‫( ܾ = ݔ‬hoặc ‫ )ܾ = ܽݔ‬có nghiệm b4 Cho ‫ ܩ ∈ ݔ‬khi số nguyên dương n ta định nghĩa ‫ ݔ‬௡ = x x x n Khi với số nguyên m ta có ‫ି ݔ‬௡ = (‫ି ݔ‬ଵ )௡ ‫ ݔ‬௡ ‫ ݔ‬௠ = ‫ ݔ‬௡ା௠ (‫ ݔ‬௡ )௠ = ‫ ݔ‬௡௠ b5 Nếu ‫ ܩ‬là nhóm Abel với x, y thuộc G ta có (‫)ݕݔ‬௡ = ‫ ݔ‬௡ ‫ ݕ‬௡ Ví dụ 1.1.1 1) Các tập ℚ*, ℝ* lập thành nhóm giao hốn với phép nhân thông thường 2) Tập hợp số nguyên ℤ lập thành nhóm Abel với phép tốn cộng thông thường 3) Tập ܵଷ = ሼ݁; ݂ଵ = (23); ݂ଶ = (13); ݂ଷ = (12); ݂ସ = (123); ݂ହ = (132)ሽ tập phép phần tử lập thành nhóm với phép nhân ánh xạ, nhóm khơng giao hốn Ví dụ 1.1.2 Nhóm Quaternion Q8 nhóm sinh hai phần tử a b ba quan hệ sau: a = e, a = b , aba = b Q8 = a, b | a4 = e, a2 = b2 , aba = b Ta thấy quan hệ phần tử Q8 phần tử sau: Nguyễn Huyền Ngọc K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Tiên đề (iv) thỏa mãn α ,α = G ∑α ( t ).α ( t ) = G ∑ α ( t ) t∈G α ,α = ⇔ ≥0 t∈G G ∑ α (t ) = ⇔ α (t ) = t∈G Vậy biểu thức 〈ߙ, ߚ〉 xác định tích vơ hướng 2.6.2 Đặc trưng bất khả quy Định nghĩa 2.6.2 Đặc trưng biểu diễn bất khả quy gọi đặc trưng bất khả quy Mệnh đề 2.6.2 Các đặc trưng bất khả quy lập thành hệ trực chuẩn Tính chất thể qua định lý sau: Định lý 2.6.2 i) Nếu ߯ đặc trưng biểu diễn bất khả quy 〈߯, ߯〉 = ii) Nếu ߯ , ߯′ đặc trưng biểu diễn khơng đẳng cấu với 〈߯, ߯〉 = Chứng minh Giả sử ߮: ‫ܮܩ ⟶ ܩ‬ሺܸሻ biểu diễn ‫ܩ‬ Khi ta chọn tích vơ hướng 〈 , 〉 ܸ bất biến ߮ Tức thỏa mãn hệ thức 〈߮௦ ሺ‫ݔ‬ሻ, ߮௦ ሺ‫ݕ‬ሻ〉 = 〈‫ݔ‬, ‫ݔ∀ ;〉ݕ‬, ‫ܸ ∈ ݕ‬ Thật vậy, 〈 , 〉 chưa có tính chất ta thay tích vơ hướng x, y = ∑ ϕ s ( x ) ,ϕ s ( y ) với ‫ݔ‬, ‫ܸ ∈ ݕ‬ t∈G Khi đó, ta dễ dàng có 〈 , 〉ଵ bất biến ߮ Thật ϕ s ( x ) ,ϕ s ( y ) = ∑ ϕtϕ s ( x ) ,ϕtϕ s ( y ) = ∑ ϕts ( x ) ,ϕts ( y ) t∈G t∈G = ∑ ϕ u ( x ) , ϕ u ( y ) = x, y u∈G Nguyễn Huyền Ngọc 35 K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Điều chứng tỏ 〈 , 〉ଵ bất biến ߮ Khi đó, sở trực chuẩn 〈 , 〉 ܸ ma trận ߶௧ = ቀ߶௜௝ ሺ‫ݐ‬ሻቁ ߮௧ ma trận unita tức തതതതതതതതതതത ߶௧ ߶௧ᇱ = ߶௧ ′߶௧ = ‫ ݐ‬với ߶௧ᇱ = ൫߶′௜௝ ൯ ቀ߶′௜௝ ሺ‫ݐ‬ሻቁ = ቀ߶పఫ ሺ‫ݐ‬ሻቁ lúc തതതതതതതതതതത ta có ቀ߶௜௝ ሺ‫ି ݐ‬ଵ ሻቁ = ቀ߶పఫ ሺ‫ݐ‬ሻቁ Bây ta chứng minh định lý i) Giả sử ߯ đặc trưng biểu diễn bất khả quy ߮ cho sở ma trận unita ߶௧ = ቀ߶௜௝ ሺ‫ݐ‬ሻቁ ; ‫ ܩ ∈ ݐ‬khi χ ( t ) = ∑ φii ( t ) i Theo hệ 2.5.3 ta có χ, χ = ii) G n ∑φ ( t )ϕ ( t ) = G ∑ϕ ( t )φ ( t ) = n = −1 ii kk kk t ,i ,k ii t ,i ,k Cho biểu diễn bất khả quy ߮ ψ ‫ ܩ‬không đẳng cấu với Gọi ߯, ߯′ đặc trưng biểu diễn ߮ ψ cho sở ma trận unita ߶௧ = ቀ߶௜௝ ሺ‫ݐ‬ሻቁ ; ψ௧ = ൬ψ௜௝ ሺ‫ݐ‬ሻ൰ với ‫ܩ ∈ ݐ‬ Khi ta có χ ( t ) = ∑ φii ( t ) i χ ' ( t ) = ∑ φ jj ( t ) i Suy χ , χ ' = = G ∑φ ( t )(ψ ( t ) ) ii jj i, j 1 = G G Nguyễn Huyền Ngọc ∑ψ ( t )φ ( t ) = (theo hệ 2.5.3) −1 ii i, j 36 K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Hệ 2.6.2 Giả sử ܸ ‫ܩ‬-không gian với đặc trưng ߙ giả sử ܸ phân tích thành ‫ܩ‬-khơng gian bất khả quy V = W1 ⊕W2 ⊕ ⊕Wk Khi ܹ ‫ ܩ‬-không gian bất khả quy với đặc trưng λ ܹ௜ khơng đẳng cấu ܹ 〈ߙ, ߯〉 Định nghĩa 2.6.3 Số 〈ߙ, ߯〉 gọi số xuất ܹ ܸ hay số bội ܹ chứa ܸ Như ‫ ܩ‬-khơng gian có phân tích thành tổng trực tiếp ‫ ܩ‬-không gian bất khả quy Hệ 2.6.3 Hai biểu diễn ‫ ܩ‬có hàm đặc trưng đẳng cấu với Định lý 2.6.3 Biểu diễn ߮: ‫ܮܩ → ܩ‬ሺܸሻ bất khả quy đặc trưng ߯ఝ có chuẩn tức 〈߯ఝ , ߯ఝ 〉 = Định lý 2.6.4 Đặc trưng ‫ ீݎ‬của biểu diễn quy ‫ ܩ‬được cho |‫݊ |ܩ‬ế‫݁ = ݏ ݑ‬ công thức: ‫ ீݎ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = ൜ với ݁ đơn vị ‫ܩ‬ ݊ế‫݁ ≠ ݏ ݑ‬ Hệ 2.6.4 Mỗi biểu diễn bất khả quy chứa biểu diễn quy với bội số cấp Hệ 2.6.5 Giả sử ܹଵ , ܹଶ , … , ܹ௛ tất không gian bất khả quy đôi không đẳng cấu với với đặc trưng tương ứng ߯ଵ , ߯ଶ , … , ߯௛ cấp tương ứng ݊ଵ , ݊ଶ , … , ݊௛ Khi ta có: i) ݊ଵଶ +݊ଶଶ + ⋯ + ݊௛ଶ = |‫|ܩ‬ n ii) ∑ n χ ( s ) = với ‫\ܩ ∈ ݏ‬ሼ݁ሽ i =1 i i 2.6.3 Số biểu diễn bất khả quy Định nghĩa 2.6.4 Hàm ݂: ‫ ܩ → ܩ‬được gọi lớp hàm ‫ ܩ‬nếu ݂(‫ି ݐݏݐ‬ଵ ) = ݂(‫ )ݐ‬với ‫ݏ‬, ‫|ܩ| ∈ ݐ‬ Khi tập hàm lớp ‫ ܩ‬kí hiệu ܴீ (‫ )ܩ‬làm thành không gian vector ‫ܩ(ܨ‬, ℂ) Nguyễn Huyền Ngọc 37 K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Mệnh đề 2.6.3 Giả sử ݂ hàm lớp ‫ ܩ‬và ߮: ‫ܮܩ → ܩ‬ሺܸሻ biểu diễn bất khả quy bậc ݊ đặc trưng ߯ Khi phép biến đổi tuyến tính ϕ f = ∑ f ( t )ϕ ( t ) : V → V phép vị tự theo tỉ lệ λ = t∈G തതതതതത ߯̅ hàm định nghĩa തതതതതത ߯ሺ‫ݏ‬ሻ = ߯ሺ‫ݏ‬ሻ G n f ; χ Định lý 2.6.5 Gọi ߯ଵ , ߯ଶ , … , ߯௛ đặc trưng biểu diễn bất khả quy đôi khơng đẳng cấu ‫ܩ‬ Khi ߯ଵ , ߯ଶ , … , ߯௛ lập nên sở trực chuẩn không gian ‫ܭ‬ℂ ሺ‫ܩ‬ሻ lớp hàm ‫ܩ‬ 2.7 Biểu diễn cảm sinh Định nghĩa 2.7.1 Nếu ‫ ܩ ⊂ ܪ‬là nhóm ‫ ܩ‬thì biểu diễn ܸ ‫ ܩ‬giới hạn thành biểu diễn ‫ܪ‬ký hiệu ܴ݁‫ݏ‬ுீ ܸ Bây giờ, ta mô tả xây dựng quan trọng tạo biểu diễn ‫ ܩ‬từ không gian cho ‫ ܪ‬bất biến (∀ℎ ∈ ‫ܪ‬, ∀‫ܹ ∈ ݓ‬: ℎ‫)ݓ = ݓ‬ Với g ∈ G , không gian g W = { gw | w ∈W } phụ thuộc vào lớp kề gH ( gh )W = g ( hW ) = gW Với lớp kề ߜ ⊂ ‫ ܪ|ܩ‬ta viết ߜ ܹ cho không gian ܸ Ta nói ܸ cảm sinh ܹ phần tử ܸ viết tổng phần tử biến đổi W :V = ⊕ δ W δ ∈G|H Trong trường hợp ta viết ܸ = ‫݀݊ܫ‬ுீ ܹ = ‫ܹ݀݊ܫ‬ Mệnh đề 2.7.1 Cho ܹ biểu diễn ‫ܪ‬, ܷ biểu diễn ‫ ܩ‬và giả sử ܸ = ‫݀݊ܫ‬ுீ ܹ Thế đồng cấu ‫ܪ‬-mơđun ߮: ܹ → ܷ mở rộng tới đồng cấu ‫ܪ‬-môđun ߮: ܹ → ܷ mở rộng tới đồng cấu ‫ ܩ‬-môđun ߮෤: ܸ → ܷ nghĩa ‫݉݋ܪ‬ு ሺܹ, ܴ݁‫ܷݏ‬ሻ = ‫ ீ݉݋ܪ‬ሺ‫ܹ݀݊ܫ‬, ܷሻ Nguyễn Huyền Ngọc 38 K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Hệ 2.7.2 (đối xứng Frobenius) Nếu ܹ biểu diễn ‫ ܪ‬và ܷ biểu diễn ‫ ܩ‬thì 〈߯ூ௡ௗௐ; ߯௎ 〉ீ = 〈߯ௐ ; ߯ோ௘௦௎ 〉ு Hệ cho ta thấy ܹ, ܷ bất khả quy số lần xuất ‫ ܹ݀݊ܫ‬bằng số lần xuất ܴ݁‫ܷݏ‬ Nguyễn Huyền Ngọc 39 K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƯƠNG BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN 3.1 Biểu diễn nhóm Abel Định lý 3.1.1 Nhóm ‫ ܩ‬là nhóm Abel biểu diễn bất khả quy có cấp Chứng minh Gọi ݊ଵ , ݊ଶ , … ݊௛ cấp tất biểu diễn bất khả quy đôi khơng đẳng cấu ‫ܩ‬ Khi ta có |‫݊ = |ܩ‬ଵଶ + ݊ଶଶ + ⋯ + ݊௛ଶ Mặt khác, ‫ ܩ‬là nhóm Abel nên với ‫ܥ ∈ ݕ‬௦ (lớp liên hợp ‫ )ܩ‬ta có ‫ି ݔܽݔ = ݕ‬ଵ = ‫ି ݔݔ‬ଵ ܽ = ܽ Điều chứng tỏ ‫ܥ‬௦ chứa phần tử Do lớp liên hợp ‫ ܩ‬chứa phần tử Nhưng |‫ = |ܩ‬ℎ điều xảy ݊ଵ = ݊ଶ = ⋯ = ݊௛ = Tức biểu diễn bất khả quy có cấp Từ định lý ta có hệ sau: Hệ 3.1.2 Giả sử ‫ ܣ‬là nhóm Abel ‫ܩ‬ Khi biểu diễn bất khả quy ‫ ܩ‬đều có cấp nhỏ ሾ‫ܩ‬: ‫ܣ‬ሿ Định lý 3.1.3 Cho ܺ nhóm, tập hợp phần tử có dạng ‫ି ݔݕݔ‬ଵ ‫ି ݕ‬ଵ với ‫ݔ‬, ‫ ܺ ∈ ݕ‬gọi tập giao hoán tử ܺ kí hiệu ሾܺ, ܺሿ Ta dễ dàng có hai kết luận sau: i) Tập giao hốn tử ሾܺ, ܺሿ ܺ nhóm chuẩn tắc ܺ ii) Nhóm thương ܺ/ሾܺ, ܺሿ nhóm Abel Từ kết luận ta đến định lý sau: Nguyễn Huyền Ngọc 40 K36A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Định lý 3.1.4 Có tương ứng 1-1 biểu diễn cấp ‫ ܩ‬với biểu diễn bất khả quy nhóm Abel ‫ܩ‬/ሾ‫ܩ‬, ‫ܩ‬ሿ số biểu diễn cấp không đẳng cấu với ‫ ܩ‬bằng ൣ‫ܩ‬/ሾ‫ܩ‬, ‫ܩ‬ሿ൧ Chứng minh Giả sử ߮: ‫ܮܩ → ܩ‬ሺℂሻ biểu diễn bất khả quy cấp ‫ܩ‬ Do ‫ܮܩ‬ሺℂሻ Abel nên ‫ ߮݉ܫ‬cũng giao hốn Mặt khác với mọi‫ ∈ ݔ‬ሾ‫ܩ‬, ‫ܩ‬ሿ tồn tạiܽ, ܾ ∈ ‫ܩ‬: ‫ିܾܽܽ = ݔ‬ଵ ܾ ିଵ Khi ta có ߮ሺ‫ݔ‬ሻ = ߮ሺܾܽܽିଵ ܾ ିଵ ሻ = ߮ሺܽሻ߮ሺܾሻ߮ሺܽିଵ ሻ߮ሺܾ ିଵ ሻ = ߮௔ ߮௕ ߮௔ିଵ ߮௕ିଵ = ߮௔ ߮௔ିଵ ߮௕ ߮௕ିଵ = ‫݀ܫ‬ℂ Do ‫߮ݎ݁ܭ ∈ ݔ‬, điều chứng tỏ ሾ‫ܩ‬, ‫ܩ‬ሿ ⊂ ‫߮ݎ݁ܭ‬ Khi đó, ta có biểu diễn ߮ത: ‫ܩ‬/ሾ‫ܩ‬, ‫ܩ‬ሿ → ‫ܮܩ‬ሺℂሻ ߮ തതത௦ = ሺ‫ݏ‬ሾ‫ܩ‬, ‫ܩ‬ሿሻ = ߮ሺ‫ݏ‬ሻ; ‫ܩ ∈ ݏ‬ Do ሾ‫ܩ‬, ‫ܩ‬ሿ ⊂ ‫ ߮ݎ݁ܭ‬nên định nghĩa không phụ thuộc vào đại diện lớp kề ‫ݏ‬ሾ‫ܩ‬, ‫ܩ‬ሿ Biểu diễn ߮ có cấp ൣ‫ܩ‬/ሾ‫ܩ‬, ‫ܩ‬ሿ൧ nhóm Abel nên theo định lý 3.1.1 ta có ߮ത bất khả quy Ngược lại, giả sử cho biểu diễn bất khả quy ψ nhóm ൣ‫ܩ‬/ሾ‫ܩ‬, ‫ܩ‬ሿ൧ Vì ‫ܩ‬/ሾ‫ܩ‬, ‫ܩ‬ሿ Abel nên ψ có cấp cảm sinh biểu diễn cấp ψ ‫ ܩ‬xác định công thứcψ ( s ) = ψ (π ( s ) ) vơi ‫ܩ ∈ ݏ‬ ߨ: ‫ܩ → ܩ‬/ሾ‫ܩ‬, ‫ܩ‬ሿ phép chiếu tự nhiên Tương ứng ψ →ψ ngược tương ứng ߮ → ߮ത Rõ ràng ߮ଵ đẳng cấu với ߮ଶ ߮ തതതଵത đẳng cấu với തതതത ߮ଶ Do tương ứng 1-1 vừa thiết lập ‫ܩ‬/ሾ‫ܩ‬, ‫ܩ‬ሿ nhóm Abel số biểu diễn cấp không đẳng cấu với ‫ ܩ‬bằng |‫ܩ‬/ሾ‫ܩ‬, ‫ܩ‬ሿ| = ‫ܩ‬: ሾ‫ܩ‬, ‫ܩ‬ሿ Nguyễn Huyền Ngọc 41 K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 3.2 Biểu diễn nhóm đối xứng 3.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 3.2.1 Tập ܵ௡ gồm tất phép n phần tử ሼ1,2, … , ݊ሽ với phép hợp thành ánh xạ lập thành nhóm, gọi nhóm đối xứng bậc n Phần tử đơn vị ܵ௡ ánh xạ đồng ሼ1,2, … , ݊ሽ Phần tử nghịch đảo ߙ ∈ ܵ௡ ánh xạ ngược ߙ ିଵ ߙ Nhóm ܵ௡ abel ݊ = ݊ = - - Với ݊ = 1: ܵଵ = ሼ݁ሽ Với ݊ = 2: ܵଶ = ሼ݁; ሺ12ሻሽ 3.2.2 Biểu diễn ࡿ࢔ ሺ࢔ ≤ ૝ሻ - Với ݊ = ܵଵ = ሼ݁ሽ có biểu diễn biểu diễn tầm thường - ߮: ܵଵ → ℂ∗ Với ݊ = ܵଶ = ሼ݁; ሺ12ሻሽ ݁↦1 Dễ thấy ܵଶ ≅ ܼଶ tương tự ܼଶ ta có tất biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu ܵଶ sau: ߮: ܵଵ ⟶ ℂ∗ ߮: ܵଶ ⟶ ℂ∗ ሺ12ሻ ⟼ ሺ12ሻ ⟼ ݁⟼1 - ݁⟼1 Với ݊ = ta có ܵଷ ≅ ‫ܦ‬ଷ tương ứng với ‫ܦ‬ଷ , ܵଷ có biểu diễn cấp biểu diễn cấp với đặc trưng mô tả bảng sau: Nguyễn Huyền Ngọc 42 K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội ሺ123ሻ ሺ23ሻ −1 χଵ χଶ −1 χଷ - Với ݊ = 4, ta có ܵସ ={(e,(12),(13),(14);(23),(24),(34);(123),(132),(134),(143),(124), (142),(234),(243);(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432);(12)(34), (13)(24),(14)(32))} Ta tìm ܵସ có lớp liên hợp đại diện phần tử ݁, ሺ12ሻሺ34ሻ, ሺ123ሻ, ሺ1234ሻ Gọi ܵଷ nhóm ܵସ Khi ܵସ tích nửa trực tiếp ܵଷ nhóm chuẩn tắc ‫ = ܪ‬ሾ‫ܣ‬ସ , ‫ܣ‬ସ ሿ Nghĩa ta có ‫ܵ ⊳ ܪ‬ସ ; ‫ܵ ∩ ܪ‬ଷ = ሼ݁ሽ; ܵସ = ‫ܵܪ‬ଷ Mỗi biểu diễn ߮ ܵଷ mở rộng thành biểu diễn kí hiệu ߮ ܵସ nhờ công thức : ߮ሺℎ‫ݏ‬ሻ = ߮ሺ‫ݏ‬ሻ; ℎ ∈ ܵ, ‫ܵ ∈ ݏ‬ଷ Bằng cách ta thu biểu diễn bất khả quy ܵସ có cấp tương ứng 1,1 ܵସ đẳng cấu với nhóm ܱܵሺ3ሻ = ሼ‫ܱ ∈ ܣ|ܣ‬ሺ3ሻ; ݀݁‫ = ܣݐ‬1ሽ ܱሺ3ሻ tập phép biến đổi tuyến tính bảo tồn khoảng cách khơng gian Euclide ℝଷ Đẳng cấu xác định biểu diễn ܵସ ℝଷ hay ℂଷ cách mở rộng tuyến tính Cụ thể hơn, ܵସ đồng với nhóm gồm phần tử đơn vị phép quay khối lập గ phương góc , ߨ, ଶ ିగ ଶ xung quanh trục nối tâm mặt đối diện, phép quay góc ଶగ ିଶగ ଷ , ଷ xung quanh trục cặp đỉnh xuyên tâm đối phép quay góc ߨ xung quanh Nguyễn Huyền Ngọc 43 K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội trục nối cặp cạnh xuyên tâm đối Mỗi phép quay góc ߙ nói có ma trận dạng sau hệ tọa độ thích hợp ܿ‫ߙݏ݋‬ ൭ ‫ߙ݊݅ݏ‬ Phép quay có cấp 12π α −‫ߙ݊݅ݏ‬ ܿ‫ߙݏ݋‬ 0 0൱ vết + ܿ‫ߙݏ݋‬ Do đó, ký hiệu đặc trưng biểu diễn cấp nói ߯ସ giá trị tường minh ߯ସ lớp liên hợp cho bảng Từ ta có ߯ସ đặc trưng bất khả quy 〈߯ସ , ߯ସ 〉 = ሺ1 3ଶ + ሺ−1ሻଶ + ሺ−1ሻଶ + 0ଶ + 1ଶ ሻ = 24 Tích Ten-xơ biểu diễn với biểu diễn chiều ߯ଶ biểu diễn bất khả quy cấp với đặc trưng đôi khác ܵସ Từ ta có bảng tất đặc trưng bất khả quy đôi khác ܵସ ߯ଵ ߯ଶ ߯ଷ ߯ସ ߯ହ ݁ ሺ12ሻ ( 12)(34) (123) (1234) 1 1 -1 1 -1 2 -1 -1 -1 -1 -1 3.3 Nhóm thay phiên Định nghĩa 3.3.1 (Dấu phép thế) Kí số (hoặc dấu) phép ߙ kí hiệu sgn (α ) số xác định sau Nguyễn Huyền Ngọc 44 K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội sgn (α ) = α ( ∆n ) ∆n ∈ {−1, +1} Trong ∆n = Π 1≤i ≤ j ≤ n ( j − i ) ; α ( ∆n ) = 1≤iΠ (α ( j ) − α ( i ) ) ≤ j ≤n - Nếu sgn (α ) = ta nói ߙ phép chẵn - Nếu sgn (α ) = −1 ta nói ߙ phép lẻ Định nghĩa 3.3.2 Nhóm ‫ܣ‬௡ tất phép chẵn tập ‫ܣ‬௡ = ሼ1,2, … , ݊ሽ gọi nhóm thay phiên ݊ phần tử với ݊ ≥ 3.2.2 Biểu diễn nhóm ࡭࢔ ሺ࢔ ≥ ૝ሻ Với ݊ = 1,2 ‫ܣ‬ଵ , ‫ܣ‬ଶ có phần tử phần tử đơn vị Do chúng có biểu diễn biểu diễn tầm thường Sau ta xét biểu diễn ‫ܣ‬௡ ሺ ݊ = 3,4ሻ a) Với ݊ = Ta có ‫ܣ‬ଷ = ሼ݁, ሺ123ሻ, ሺ132ሻሽ Dễ thấy ‫ܣ‬ଷ ≅ ܼଷ tương tự ܼଷ ; ‫ܣ‬ଷ có biểu diễn bất khả quy cấp với đặc trưng mô tả bảng sau ߯ଵ (123) (132) 1 ܹ 1 ߯ଶ ߯ଷ b) ݁ ܹଶ -1 ܹଶ ܹ Với ݊ = ta có ‫ܣ‬௡ = ሼ݁; ሺ123ሻ; ሺ132ሻ; ሺ124ሻ; ሺ142ሻ; ሺ134ሻ; ሺ143ሻ; ሺ234ሻ; ሺ243ሻ; ሺ12ሻሺ34ሻ; ሺ13ሻሺ24ሻ; ሺ14ሻሺ23ሻሽ b.1 trước tiên ta tìm lớp liên hợp ‫ܣ‬ସ Nguyễn Huyền Ngọc 45 K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp i) Trường ĐHSP Hà Nội Với ‫ ݁ = ݔ‬ta có ݁ഥ = ሼ‫ܣ ∈ ݕ‬ସ |∃‫ܣ ∈ ݑ‬ସ : ‫ݑ = ݕ‬ ݁ ‫ିݑ‬ଵ ሽ Ta có với ‫ܣ ∈ ݑ‬ସ ‫ݑ = ݕ‬ ݁ ‫ିݑ‬ଵ = ݁ Vậy ݁̅ = ሼ݁ሽ ii) Với ‫ = ݔ‬ሺ12ሻሺ34ሻta có തതതതതതതതതതതത ሺ12ሻሺ34ሻ = ሼ‫ܣ ∈ ݕ‬ଷ |∃‫ܣ ∈ ݑ‬ସ : ‫ݑ = ݕ‬ ሺ12ሻሺ34ሻ ‫ିݑ‬ଵ ሽ ሺ12ሻሺ34ሻ tồn tại‫ = ݑ‬ሺ234ሻ ∈ ‫ܣ‬ସ cho Ta có ሺ12ሻሺ34ሻ ∈ തതതതതതതതതതതത ሺ14ሻሺ23ሻ = ሺ243ሻ ሺ12ሻሺ34ሻ ሺ234ሻ Làm tương tự với phần tử lại ta ሺ12ሻሺ34ሻ = ሼሺ12ሻሺ34ሻ; ሺ14ሻሺ23ሻ; ሺ13ሻሺ24ሻሽ iii) Với phần tử ‫ = ݔ‬ሺ123ሻሺ132ሻlàm tương tự phần i), ii) ta tìm തതതതതതതത = ሼሺ142ሻ; ሺ134ሻ; ሺ243ሻ; ሺ123ሻሽ ሺ123ሻ തതതതതതതത = ሼሺ132ሻ; ሺ234ሻ; ሺ124ሻ; ሺ143ሻሽ ሺ132ሻ Vậy ‫ܣ‬ସ có lớp liên hợp đại diện hoán vị ݁; ሺ12ሻሺ34ሻ; ሺ123ሻ; ሺ132ሻ Như ‫ܣ‬ସ có biểu diễn bất khả quy đơi khơng đẳng cấu với b.2 Ta tìm nhóm giao hoán tử ‫ܣ‬ସ ሾ‫ܣ‬ସ , ‫ܣ‬ସ ሿ = ሼ‫ି ݔݕݔ‬ଵ ∈ ‫ܣ‬ସ ; ‫ݔ‬, ‫ܣ ∈ ݕ‬ସ ሽ Làm tương tự nhóm ܵଷ ta tìm ሾ‫ܣ‬ସ , ‫ܣ‬ସ ሿ = ሼ݁; ሺ12ሻሺ34ሻ; ሺ13ሻሺ24ሻ; ሺ14ሻሺ23ሻሽ Do ൣ‫ܣ‬ସ : ሾ‫ܣ‬ସ , ‫ܣ‬ସ ሿ൧ = Vì ‫ܣ‬ସ có biểu diễn cấp Giả sử ߮: ‫ܣ‬ସ → ‫ܮܩ‬ሺℂሻ ≅ ℂ∗ biểu diễn bất khả quy cấp ‫ܣ‬ସ Khi ta có ߮ሺ݁ሻ = ߮ሾሺ12ሻሺ34ሻሿ = ߮തሾ݁ሺ12ሻሺ34ሻሿ = ߮ሺ݁ሻ = Mặt khác, ܽ = ሺ123ሻ có cấp nên ta có Nguyễn Huyền Ngọc 46 K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội ߮ሾሺ123ሻଷ ሿ = ߮ሺ݁ሻ = ⇔ ߮ሾሺ123ሻଷ ሿ = ⇔ ߮ሾሺ123ሻሿ = ሼ1; ‫ ݓ ;ݓ‬ଶ ሽ với ‫݁ = ݓ‬ మഏ೔ య ߮ሾሺ123ሻሺ132ሻሿ = ߮ሺ݁ሻ ⇔ ߮ሾሺ123ሻሺ132ሻሿ = ⟺ ߮ሾሺ132ሻሿ = ߮ሺ݁ሻ ߮ሾሺ123ሻሿ = ߮ሾሺ132ሻሿ = ‫ ݓ‬khi ߮ሾሺ123ሻሿ = ‫ ݓ‬ଶ ߮ሾሺ132ሻሿ = ‫ ݓ‬ଶ ߮ሾሺ123ሻሿ = ‫ݓ‬ Ta có : ߯ଵ +߯ଶ + ߯ଷ + 3߯ସ = ‫ݎ‬஺ర Do ଵ ଵ ሺ݁ሻ = ሺ‫ݎ‬஺ర ሺ݁ሻ-߯ଵ ሺ݁ሻ − ߯ଶ ሺ݁ሻ − ߯ଷ ሺ݁ሻ = ሺ12 − − − 1ሻ = ଷ ଷ Tương tự : ߯ସ ൫ሺ12ሻሺ34ሻ൯ = −1; ߯ସ ሾሺ123ሻሿ = ߯ସ ሾሺ132ሻሿ = Từ đó, ta có bảng mơ tả đặc trưng bất khả quy đôi khác ‫ܣ‬ସ ߯ଵ ߯ଶ ߯ଷ ߯ସ ݁ 4 ( 12)(34) (123) (132) 1 1 1 1 -1 Nguyễn Huyền Ngọc ‫ݓ‬ ‫ݓ‬ଶ 0 ‫ݓ‬ଶ 47 ‫ݓ‬ K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN Khóa luận “Biểu diễn nhóm hữu hạn”nghiên cứu tổng quan vấn đề - Biểu diễn nhóm hữu hạn đặc trưng biểu diễn đặc trưng biểu diễn - Biểu diễn cảm sinh - Trình bày biểu diễn số nhóm hữu hạn: Abel, đối xứng, thay phiên cấp thấp Qua khóa luận thân em không lĩnh hội thêm tri thức Đại số mà có hiểu biết định nghiên cứu khoa học Việc nghiên cứu sâu lí thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn góp phần bổ sung thêm kết quan trọng vào lý thuyết toán học ứng dụng Do thời gian nghiên cứu có hạn chế nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót định Vì em mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên khoa để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn Nguyễn Huyền Ngọc 48 K36A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB GD, Hà Nội Hồng Xn Sính (1972), Đại số đại cương, NXB GD, Hà Nội Trần Trọng Huệ (2001), Đại số đại cương, NXB ĐHQG, Hà Nội Nguyễn Tự Cường (2006), Đại số đại, NXB ĐHQG, Hà Nội Nguyễn Huyền Ngọc 49 K36A – SP Toán ... 35 2.6.3 Số biểu diễn bất khả quy 37 2.7 Biểu diễn cảm sinh 38 CHƯƠNG BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN 40 3.1 Biểu diễn nhóm Abel 40 3.2 Biểu diễn nhóm đối xứng ... 1.1.6 Nhóm hữu hạn Định nghĩa 1.1.10 Nhóm ‫ ܩ‬được gọi nhóm hữu hạn có hữu hạn phần tử Ngược lại ‫ ܩ‬có vơ hạn phần tử ‫ ܩ‬được gọi nhóm vơ hạn Mệnh đề 1.1.7(Định lý Lagrange) Cấp nhóm G hữu hạn. .. biệt hiểu rõ nhóm hữu hạn thơng qua biểu diễn Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm sâu khai thác làm bật đặc trưng biểu diễn nhóm hữu hạn, hình thức biểu diễn nhóm hữu Nguyễn Huyền Ngọc
- Xem thêm -

Xem thêm: Biểu diễn nhóm hữu hạn, Biểu diễn nhóm hữu hạn

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay