®Ò sè 13 Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( + i ) z − − 3i = Tìm phần ảo số phức w = − zi + z A −i B – D −2i C Câu 2: Cho mệnh đề sau: r r r r r r r r r r 1) u = 3i + j − k, v = −i − 3j + k ;  u, v  = ( −1; −2; −7 ) r r r r 2) u = ( 0;1; −2 ) , v = ( 3;0; −4 ) ;  u, v  = ( −4; −6; −3) r r uu r r r r r r r r uu r r r r 3) u = 3i + j − 3k, v = − j + 5k, w = 2i − 3j + k ;  u, v  w = 80 r r uu r r r r r r r r uu r r 4) u = i + j, v = i + j + k, w = i ;  u, v  w = Hỏi có mệnh đề A B C D Câu 3: Tìm tất giá trị tham số thực m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt x − 2.3x A m = +1 10 + 3m − = B < m < 10 C m = D m < Câu 4: Một người thả bèo vào ao, sau 12 bèo sinh sơi phủ kín mặt ao Hỏi sau bèo phủ kín mặt ao, biết sau lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước tốc độ tăng không đổi A 12 − log (giờ) B 12 (giờ) C 12 − log (giờ) Câu 5: Tập giá trị m thỏa mãn bất phương trình D 12 + ln (giờ) 2.9x − 3.6x ≤ 2( x ∈ ¡ 6x − x ) ( −∞;a ) ∪ ( b;c ) Khi a + b + c A B C D Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ \ { −1} , khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ: x y' y −∞ + + +∞ +∞ - 1 −∞ Khẳng định sau đúng? A Đồ thị hàm số có tiệm cận B Phương trình f ( x ) = m có nghiệm thực phân biệt m ∈ ( 1; ) C Giá trị lớn hàm số D Hàm số đồng biến ( −∞;1) Câu 7: Cho a = log 3, b = log 25 Hãy tính log 60 150 theo a, b + 2b + ab A log 60 150 = + 4b + 2ab B log 60 150 = + b + 2ab + 4b + 4ab 1 + b + 2ab C log 60 150 = + 4b + 2ab D log 60 150 = + b + 2ab + 4b + 4ab ( cos α + cos β ) + ( sin α + sin β ) π Câu 8: Cho α − β = Tính giá trị P = 2 Chọn đáp án ( sin α − cos β ) + ( sin β + cos α ) A P = − B P = + C P = + D P = − Câu 9: Cho phương trình: cos x + sin 4x − cos 3x = Phương trình có họ nghiệm x = a + k2π A B C D Câu 10: Gọi S1 , S2 , S3 tập nghiệm bất phương trình sau: x   + 2.3 − + > ; log ( x + ) ≤ −2 ;  ÷ > Tìm khẳng định đúng?  −1  x x x A S1 ⊂ S3 ⊂ S2 B S2 ⊂ S1 ⊂ S3 Câu 11: Tìm GTLN GTNN hàm số y =  max y =  A  −1  y = 11  max y =  B  −2  y = 11 C S1 ⊂ S2 ⊂ S3 D S2 ⊂ S3 ⊂ S1 2sin x + cos x + cos x − sin x + max y =  C  min y = 11 max y =  D  min y = 11 Câu 12: Cho hai số phức z1 = − i z = + 3i Tính môđun số phức z − iz1 A B C D 13 Câu 13: y = cos x Điều kiện xác định hàm số : A ∀x B x ≠ −1 π  π  C x ∈  − + k2π; + k2π    D x ≠ ± π 2 Câu 14: Biết I = ∫ x ln ( 2x + 1) dx = a a ln − c , a, b, c số nguyên dương b b phân số tối giản Tính S = a + b + c A S = 60 B S = 17 C S = 72 Câu 15: Số nghiệm phương trình log ( x + 3) − = log A Câu 16: Parabol y = B x là: C D x2 chia hình trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính 2 thành hai phần có diện tích S1 S2 , S1 < S2 Tìm tỉ số A D S = 68 3π + 21π − B 3π + 9π − S1 S2 C 3π + 12π D 9π − 3π + Câu 17: Một đội ngũ giáo viên gồm thầy giáo dạy tốn, giáo dạy vật lý giáo dạy hóa học Sở giáo dục cần chọn người để chấm thi THPT quốc gia, tính xác suất người chọn phải có giáo có đủ ba môn A B C D Câu 18: Cho điểm M ( −3; 2; ) , gọi A,B,C hình chiếu M trục Ox, Oy, Oz Trong mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) A 6x − 4y − 3z − 12 = B 3x − 6y − 4z + 12 = C 4x − 6y − 3z + 12 = D 4x − 6y − 3z − 12 = C nn −−13 Câu 19: Giải bất phương trình ≤ A n +1 14P3 A ≤ n ≤ B n ≥ C ≤ n ≤ n n   Câu 20: Cho khai triển: P ( x ) =  x + ÷ = ∑ C kn n  k =0 ( x) D n ≥ n −k k    ÷ biết ba hệ số 2 n  lập thanhh̀ cấp số cộng Tìm số hạng khai triển nhận giá trị hữu tỷ ∀x ∈ N * A C84 x 24 B x2 C A B D đáp án khác Câu 21: Giá trị cực đại hàm số y = x + sin 2x ( 0; π ) là: A π + B 2π + Câu 22: Tìm tập xác định hàm số y = 2017 ( A −∞; −  ∪  2; +∞ ) C 2π − D π + 2− x ( B − 2; ) ( C  − 2;  D −∞; −  Câu 23: Cho mặt cầu ( S) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 25 mặt phẳng 2 ( α ) : 2x + y − 2z + m = Các giá trị m để ( α ) (S) khơng có điểm chung là: A m ≤ −9 m ≥ 21 B m < −9 m > 21 C −9 ≤ m ≤ 21 D −9 < m < 21 Câu 24: Giới hạn lim x →3 a x + − 5x + (phân số tối giản) Giá trị a − b là: b x − 4x − A 1 B C −1 D Câu 25: Tìm nguyên hàm hàm số y = f ( x ) = cos x A ∫ f ( x ) dx = cos x +C x  sin 3x  + 3sin x ÷+ C B ∫ f ( x ) dx =  4  C ∫ f ( x ) dx = sin 3x − sin x + C 12 cos x.sin x D ∫ f ( x ) dx = +C · Câu 26: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường cao SO = a, SAB = 450 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 3a 3a B C 3a D 3a Câu 27: Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, AD = Gọi M, N trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN ta hình trụ Tính diện tích tồn phần hình trụ đó? A 10π B 4π 2x − Câu 28: Cho hàm số y = A x − 2x − B C 2π D 6π Đồ thị hàm số có tiệm cận? C D Câu 29: Một chất điểm cuyển động với vận tốc v = 15m / s tăng vận tốc với gia tốc a ( t ) = t + 4t ( m / s ) Tính qng đường chất điểm khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc A 68, 25m B 70,25m C 69,75m D 67,25m Câu 30: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Tính giá trị biểu thức thỏa mãn P = a − b A P = B P = −2 C P = D P = Câu 31: Cho số phức z số phức liên hợp z có điểm biểu diễn M, M’ Số phức z ( + 3i ) số phức liên hợp có điểm biểu diễn N, N’ Biết điểm M, N, M’, N’ tạo thành hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ biểu thức z + 4i − A B 34 C 13 D Câu 32: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông A; AB = 2, AC = Mặt phẳng ( A 'BC ) hợp với ( A ' B'C ' ) góc 600 Thể tích lăng trụ cho bao nhiêu? A 39 26 B 39 26 C 18 39 13 D 39 13 1  Câu 33: Cho hàm số y = 2x − 3x − Giá trị lớn hàm số  ;  là: 2  A 17 B C D Câu 34: Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn < a < b < c < d hàm số y = f ( x ) Biết hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x ) [ 0;d ] Khẳng định sau khẳng định đúng? A M + m = f ( b ) + f ( a ) B M + m = f ( d ) + f ( c ) C M + m = f ( ) + f ( c ) D M + m = f ( ) + f ( a ) Câu 35: Nếu 1 ; ; lập thành cấp số cộng (theo thứ tự đó) dãy số b+c c+a a +b sau lập thành cấp số cộng ? A b ; a ; c B c ; a ; b C a ; c ; b D a ; b ; c 4 Câu 36: Cho hàm số f ( x ) = sin x + cos x, g ( x ) = sin x + cos x Tính biểu thức 3f ' ( x ) − 2g ' ( x ) + A B C D Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 3) = 2 Mệnh đề đúng? A Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy) B Mặt cầu (S) không tiếp xúc với ba mặt ( Oxy ) , ( Oxz ) , ( Oyz ) C Mặt cầu (S) tiếp xúc với ( Oyz ) D Mặt cầu (S) tiếp xúc với ( Oxz ) Câu 38: Cho điểm M ( 3; 2;1) , Mặt phẳng (P) qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho M trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng (P) là: A x y z + + =0 Câu 39: Hàm số y = B x + y + z − = C 3x + 2y + z − 14 = D x y z + + =1 x − 4x đồng biến [ 1; +∞ ) giá trị m x+m   A m ∈  − ;  \ { −1} B m ∈ ( −1; 2] \ { −1}   1  C m ∈  −1; ÷ 2  1  D m ∈  −1;  2  Câu 40: Gọi I tâm mặt cầu qua điểm M ( 1;0;0 ) , N ( 0;1;0 ) , P ( 0;0;1) , Q ( 1;1;1) Tìm tọa độ tâm I 1 1 A  ; − ; ÷ 2 2 2 2 B  ; ; ÷ 3 3 1 1 C  ; ; ÷ 2 2  1 1 D  − ; − ; − ÷  2 2 Câu 41: Hàm số y = x − 2mx + m có ba điểm cực trị đường tròn qua ba điểm cực trị có bán kính giá trị m là: A m = 1; m = −1 ± B m = −1; m = C m = 1; m = −1 + D m = 1; m = −1 + −1 − Câu 42: Cho hình chóp tứ giá S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Gọi M điểm đối xứng C qua D, N trung điểm SC Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn phần bé) bằng: A B C D Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2x + y − 3z + = Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song cách (P) khoảng 11 14 A −4x − 2y + 6z + = 0; 4x + 2y − 6z + 15 = B −4x − 2y + 6z − = 0; 4x + 2y − 6z + = C −4x − 2y + 6z + = 0; 4x + 2y − 6z − 15 = D −4x − 2y + 6z + = 0; 4x + 2y − 6z − 15 = Câu 44: Cho tứ diện S.ABC cạnh SA SB lấy điểm M N cho thỏa tỉ lệ SM SN = ; = , mặt phẳng qua MN song song với SC chia tứ diện thành hai phần, AM NB biết tỉ số thể tích hai phần K, K giá trị nào? A K = B K = C K = D K = Câu 45: Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y = x x = y quay quanh trục Ox bao nhiêu? A 3π 10 B 10π C Câu 46: Đạo hàm hàm số y = − log −1 A 2x log − log 10π là: x −1 x B D 3π 2x ln10 − log 1 x C 2x log − log x D 2x ln10 − log x Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0;c ) với a, b, c dương Biết A, B, C di động tia Ox, Oy, Oz cho a + b + c = Biết a, b, c thay đổi quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định Tính khoảng cách từ M tói mặt phẳng (P) A 2017 B 2014 C 2016 D 2015 Câu 48: Gọi z1 , z , z , z bốn nghiệm phức phương trình z − z − = Trên mặt phẳng tọa độ z gọi A , B , C , D bốn điểm biểu diễn bốn nghiệm z1 , z , z , z Tính giá trị P = OA + OB + OC + OD , O gốc tọa độ A P = B P = + C P = 2 D P = + 2 Câu 49: Một hình hộp ABCD.A’B’C’D’ tích V Khi đó, thể tích tứ diện A’C’BD A 2V B 2V C V Câu 50: Người ta cắt tờ giấy hình vng có cạnh D V để gấp thành hình chóp tứ giác cho bốn đỉnh hình vng dán lại thành đỉnh hình chóp Tính cạnh đáy khối chóp để thể tích lớn A B C D Đáp án 1-C 11-C 21-D 31-A 41-C 2-D 12-C 22-C 32-C 42-A 3-C 13-C 23-B 33-A 43-A 4-A 14-B 24-A 34-C 44-C 5-D 15-A 25-B 35-D 45-A 6-B 16-B 26-C 36-B 46-D 7-B 17-B 27-B 37-A 47-D 8-B 18-D 28-C 38-C 48-D 9-B 19-D 29-C 39-D 49-C 10-D 20-C 30-C 40-C 50-B LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z = x − yi x = The giả thiết, ta có ( + i ) ( x − yi ) − − 3i = ⇔ ( x + y − 1) + ( x − y − 3) i = ⇔   y = −1 Suy z = − i ⇒ z = + i Ta có w = − ( − i ) i + + i = + i − 2i + i = − i Vậy chọn phần ảo – Câu 2: Đáp án D r r r r  −1 −1  ; ; 1) u = ( 3; − 1) ; v = ( −1; −3;1) ⇒  u, v  =  ÷ = ( −1; −2; −7 )  −3 1 −1 −1 −3  r r  −2 −2 0  ; ; 2)  u, v  =  ÷ = ( −4; −6; −3 )  −4 −4 0  r r uu r r r r r uu r 3) Ta có u = ( 4;1; −3) ; v = ( 0;1;5 ) ; w = ( 2; −3;1) ⇒  u, v  = ( 8; −20; ) ⇒ u, v  w = 80 r r uu r r r r r uu r 4) Ta có u = ( 1;1;0 ) ; v = ( 1;1;1) ; w = ( 1;0;0 ) ⇒ u, v  = ( 1; −1;0 ) ⇒  u, v  w = Câu 3: Đáp án C Đặt t = 3x , t ≥ ⇒ pt ⇔ t − 6t + 3m − = ( *) Đặt f ( t ) = t − 6t + 3m − 3x = a  x = log a  f t ⇔ Giả sử phương trình ( ) có nghiệm a b  2 3x = b  x = log b log a = a = ⇔ Vậy ta có nhận xét để (*) có nghiệm  b > log b > Khi f ( 1) = − + 3m − = ⇔ m = t = ( tm ) Với m = ⇒ f ( t ) = t − 6t + = ⇔  t = > Câu 4: Đáp án A Gọi t thời gian bèo phủ kín 1012 1012 mặt ao, 10 t = ⇔ t = log = 12 − log 5 5 Câu 5: Đáp án D Điều kiện: x ≠ Ta có 2.9 x − 3.6 x 2.9 x − 5.6x + 2.4x ≤ ⇔ ≤0 6x − x x − 4x Chia tử mẫu vế trái cho x > , bất phương trình tương đương với 2x x 3 3  ÷ −  ÷ + x 2 2 3 ≤ Đặt t = x  ÷ , t > bất phương trình trở thành 3 2  ÷ −1 2  x≤ 2t − 5t +  ≤0⇔  t −1 1 < t ≤ x 1 3 Với t ≤ ta có  ÷ ≤ ⇔ x ≤ log ⇔ x ≤ − log 2 2 2 x 3 Với < t ≤ ta có <  ÷ ≤ ⇔ < x ≤ log 2     Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S =  −∞; − log  ∪  0;log      Câu 6: Đáp án B Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét sau: + Hàm số cho đồng biến khoảng ( −∞;1) ( −1;1) y = lim y = ±∞ đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận + Ta thấy xlim →±∞ x →−1 + Phương trình f ( x ) = m có ba nghiệm phân biệt < m < + Hàm số khơng có GTLN tập xác định Câu 7: Đáp án B Ta có b = log 25 = log 52 ⇒ 2b = log ⇔ 4b = log ⇒ log = 4b Khi log 60 1 +a+ log + 2.log 1 log ( 2.3.5 ) 2 2b = + b + 2ab 150 = log 60 150 = = = 2 log ( 4.3.4 ) + log + log + a + 1 + 4b + 4ab 4b Câu 8: Đáp án B π + ( cos α cos β + sin α sin β ) + cos ( α − β ) + cos = = = 2+ − ( sin α cos β − sin β cos α ) − 2sin ( α − β ) − 2sin π Câu 9: Đáp án B cos x + sin 4x − cos 3x = ⇔ 2sin 2x.sin x + 2sin 2x.cos 2x = ⇔ 2sin 2x ( sin x + cos 2x ) = ⇔ sin 2x ( −2sin x + sin x + 1) = kπ  x =    x = π + k2π sin 2x =   ⇔ sin x = ⇔   x = −π + k2π  −1  sin x =   7π + k2π x =  Nghiệm thứ có họ nghiệm , có nghiệm trùng với nghiệm thứ 2, có tất họ nghiệm thỏa mãn đề Câu 10: Đáp án D Dựa vào giả thiết, ta có x x x 2  3 1 + Bất phương trình ⇔  ÷ +  ÷ +  ÷ − > 5 5 5 x x x 2  3 1 Đặt f ( x ) =  ÷ +  ÷ +  ÷ − 5 5 5 x x x 1 2 3 ⇒ f ' ( x ) =  ÷ ln +  ÷ ln +  ÷ ln − < ⇒ f ( x ) nghịch biến tập xác định 5 5 5 5 Mặt khác f ( 1) = ⇒ f ( x ) > ⇔ x < ⇒ S1 = ( −∞;1) x + >  x > −2 7    + Bất phương trình ⇔  1⇔ ⇒ S2 =  −2; −  4   x + ≤  x ≤ − + Bất phương trình ⇔ x < ⇒ S3 = ( −∞;0 ) 10 Suy S2 ⊂ S3 ⊂ S1 Câu 11: Đáp án C - TXĐ: cos x − sin x + ≠ ⇒ x ∈ ¡ - Khi đó: y ( cos x − sin x + ) = 2sin x + cos x + ⇔ ( 2y − 1) cos x − ( y + ) sin x = − 4y ( * ) 2 2 - Để (*) có nghiệm thì: ( − 4y ) ≤ ( 2y − 1) +  − ( y + )  ⇔ ≤ y ≤ 11  max y =  Từ suy   y = 11 Câu 12: Đáp án C Ta có z − iz1 = + 3i − i + i = + 2i ⇒ z − iz1 = 12 + 2 = Câu 13: Đáp án C π  π  Điều kiện: cos x ≥ ⇔ x ∈  − + k2π; + k2π    Tập giá trị: ta có ≤ cos x ≤ ⇔ ≤ y ≤ Câu 14: Đáp án B  du = dx   x2   u = ln ( 2x + 1)  2x + ⇒ ⇒ I = Đặt   ln ( 2x + 1)    dv = xdx v = x   x2  ⇔ I =  ln ( 2x + 1)  2  4 x 1 − ∫  − + 4 ( 2x + 1) 0 4 −∫ x2 dx 2x +   x2  dx = ln 2x + ( ) ÷   ÷ 2    x2  −  − x + ln ( 2x + 1) ÷  4  a = 63 63  ⇔ I = ln − ⇒ b = ⇒ S = a + b + c = 70 c =  Cách : PP số  du = 2x + dx  4x −   u = ln ( 2x + 1)  ⇒ ⇒ I = Đặt   ln ( 2x + 1)  x −   dv = xdx  = ( 2x + 1) ( 2x − 1) v =  ( x2 − 4) 63 ⇒ I = ln = 4 4 2x − dx −∫ a = 63 63  = ln − ⇒ b = ⇒ S = a + b + c = 70 c =  Câu 15: Đáp án A 11 x > x > x >     x + > 0, x >     x = −1 PT ⇔  ⇔ ⇔ x +3 ⇔  ⇒x= x +3 2 log ( x + 3) − log x = log 2 =  =  x =  x  x   Vậy phương trình cho có nghiệm Câu 16: Đáp án B  x + y2 =  x = ±2  ⇔ Ta có  x2 y = y =  Ta có parabol đường trịn hình vẽ bên  x2  Khi S1 = ∫  − x − ÷dx = 2π + (bấm máy tính)  −2  S = 3π + Suy S2 = 8π − S1 = 6π − Suy = S2 6π = 9π − 3 2π + Câu 17: Đáp án B Ta có: chọn thầy từ 16 thầy có C16 = 1820 (cách chọn) + Để chọn giáo viên phải có giáo đủ ba mơn, có trường hợp sau: 1 * Trường hợp 1: chọn thầy tốn, lý, hóa có C8 C5C3 (cách chọn) * Trường hợp 2: chọn thầy tốn, lý, hóa có C8C 2C3 (cách chọn) 1 * Trường hợp 3: chọn thầy toán, lý, hóa có C8C5C3 (cách chọn) Vậy xác suất để chọn người phải có giáo có đủ ba mơn C82 C15C13 + C18C52 C13 + C18C15C32 P= = C16 Câu 18: Đáp án D A, B, C hình chiếu M trục Ox, Oy, Oz ⇒ A ( −3;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; ) uuur uuur uuuuur uuur uuur Ta có AB = ( 3; 2;0 ) AC = ( 3;0; ) suy  AB; AC  = ( 8; −12; −6 ) ⇒ n ( ABC) = ( 4; −6; −3 ) Phương trình mặt phẳng (ABC) 4x − 6y − 3z + 12 = Hoặc phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn, ta (ABC): x y z + + =1 −3 Vậy mặt phẳng có phương trình 4x − 6y − 3z + 12 = song song với mặt phẳng (ABC) Câu 19: Đáp án D Điều kiện: n ≥ 12 ( n − 1) !( n − 3) ! ≤ ⇔ ≤ ⇔ n + n ≥ 42 ⇔ n ≥ C nn −−13 ≤ ⇔ ( ) A n +1 14P3 ( n − 3) !2!( n + 1) ! 14.3 ( n + 1) n 42 Câu 20: Đáp án C n n ( n − 1) 1 Ba hệ số khai triển C = 1; C = C 2n  ÷ = lập thành cấp số 2 2 n cộng nên: + n n = n ( n − 1) n = ⇔ n − 9n + = ⇔   n = 1( L ) ( n = khai triển có số hạng) 8− k Ck x Các số hạng khai triển có dạng: k8 k x4 ( − k ) M2 ⇒ k ∈ { 0; 4;8} Số hạng nhận giá trị hữu tỷ ∀x ∈ N * ứng với   k M4 Vậy khai triển có số hạng nhận giá trị hữu tỷ ∀x ∈ N * 1; C84 x x Câu 21: Đáp án D Ta có y ' = ( x + sin 2x ) ' = + cos 2x ⇒ y ' = ⇔ + cos 2x = ⇔ cos = −  x = π ⇔ x = ± + kπ ( k ∈ ¢ ) , x ∈ ( 0; π ) ⇒  x =  π 2π  y '' π  = −2 < ( CĐ )   ÷ Mặt khác y '' = −4sin 2x ⇒   y '' π  = > ( CT )   ÷ ⇒ Giá trị cực đại hàm số y π  =  ÷  3 π + Câu 22: Đáp án C Hàm số xác định − x ≥ ⇔ − ≤ x ≤ ⇒ D =  − 2;  Câu 23: Đáp án B Xét ( S) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 25 ⇒ I ( −1; 2;3) bán kính R = 2 Để (S) ( α ) khơng có điểm chung d ( I; ( P ) ) > R ⇔ −1.2 + − 2.3 + m 22 + 11 + ( −2 )  m > 21 > ⇔ m − > 15 ⇔   m < −9 13 Câu 24: Đáp án A Ta có lim x →3 ( ) ( ) x + 4x − ( x − ) x x x + 4x − x + − 5x + = lim = lim = x →3 x − 4x − x + + 5x + ( x − ) ( x − 1) x →3 ( x − 1) x + + 5x + ( ) ( ) Suy a = 9; b = ⇒ a − b = Câu 25: Đáp án B Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ cos xdx = 1 sin 3x  + 3sin x ÷+ C ( cos 3x + 3cos x ) dx =  ∫ 4  Câu 26: Đáp án C · Tam giác SAB cân S có SAB = 450 ⇒ ∆ SAB vuông cân S Suy SA ⊥ SB mà ∆SAB = ∆SBC = ∆SAC ⇒ SA, SB, SC đơi vng góc với Khi 1 1 = + + mà SA = SB = SC = x ⇒ x = a 2 SO SA SB SC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC R = SA + SB2 + SC x 3a = = 2 Câu 27: Đáp án B Gọi M, N trung điểm AD, BC Khi quay hình chữ nhật xung quanh trục MN ta hình trụ + Bán kính đường trịn đáy r = AM AD =1 + Chiều cao hình trụ h = AB = Diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2πr ( r + h ) = 4π Câu 28: Đáp án C x > Hàm số xác định x − 2x − > ⇔   x < −1 3  x2− ÷ = −2  xlim 2x − x →−∞  y = lim = lim ⇒ Ta có lim x →∞ x →∞ =2  lim x − 2x − x →∞ x − − − x →∞ x x ⇒ đồ thị hàm số có hai TCĐ Vậy đồ thị hàm số cho có bốn đường tiệm cận Câu 29: Đáp án C Ta có v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ ( t + 4t ) dt = t3 + 2t + C ( m / s ) Do bắt đầu tăng tốc v = 15 nên v( t −0 ) = 15 ⇒ C = 15 ⇒ v ( t ) = t3 + 2t + 15 14   t3 t4  2 Khi quãng đường S = ∫ v ( t ) dt = ∫ 15 + + 2t ÷dt = 15 + + t ÷ = 69, 75 m 12    0 3 Câu 30: Đáp án C Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi mà ( − i ) z − 3z = −1 + 3i Suy ( − i ) ( a − bi ) − ( a + bi ) = −1 + 3i ⇔ 2a − 2bi − − b − 3a − 3bi + − 3i = 1 − a − b = a = ⇔ − a − b − ( a + 5b + ) i = ⇒  ⇒ ⇒ a−b =3 a + 5b + = b = −1 Câu 31: Đáp án A Giả sử x = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Ta có M ( a; b ) M ' ( a; −b ) * Khi z ( + 3i ) = ( 4a − 3b ) + ( 3aq + 4b ) i Suy N ( 4a − 3b;3a + 4b ) N ' ( 4a − 3b; − 3a − 3b ) * Do điểm M, N, M’, N’ tạo thành hình thang cân nhận Ox làm trục đối xứng nên điểm lập thành hình chữ nhật ⇔ MM ' = NN ' ⇔ 4b = ( 3a + 4b ) 2 a = −b ⇔ a = − b  * Với a = −b , ta có z + 4i − = 1 2 ( b + ) + ( b + ) =  b + ÷ + ≥ 2 2  9 Dấu xảy a = , b = − 2 8 73 104 289 * Với a = − , ta có z + 4i − =  b + ÷ + ( b + ) = b + b + 41 ≥ > 73 3  Vậy z + 4i − = Câu 32: Đáp án C Từ A kẻ AH vng góc với BC ( H ∈ BC ) Ta có AA ' ⊥ ( ABC ) ⇒ AA ' ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( AA ' H ) · ' HA Khi (· A ' BC ) ; ( A 'B'C ' ) = (· A 'BC ) ; ( ABC ) = (·A 'H, AH ) = A · ' HA = Suy tan A ⇒ AA ' = AB.AC AA ' = = AA ' = tan 600.AH mà AH = 13 AH AB2 + AC 39 39 18 39 ⇐ VABC.A 'B'C' = AA '.SABC = 2.3 = 13 13 13 Câu 33: Đáp án A 15 1  Xét hàm số f ( x ) = 2x − 3x −  ;  ta có f ' ( x ) = 4x − = ⇔ x = 2  1   17  −17   17  ; −2  ⇒ f ( x ) ∈ 2;  Lại có f  ÷ = −2; f  ÷ = ; f ( 1) = −2 ⇒ f ( x ) ∈  2 4    8 17 y= Do max 1   ;2 2  Câu 34: Đáp án C M = { f ( ) , f ( b ) , f ( d ) } ⇒ ⇒ - Dựa vào đồ thị hàm số bảng biến thiên  m = { f ( a ) , f ( c ) } - Mặt khác, dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy b c b a b a + ∫ f ' ( x ) dx < ∫  −f ' ( x )  dx ⇒ f ( x ) a b a b d c c < −f ( x ) d c ⇔ f ( a ) > f ( c) + ∫  −f ' ( x )  dx > ∫ f ' ( x ) dx ⇔ f ( ) − f ( a ) > f ( b ) − f ( a ) ⇔ f ( ) > f ( b ) + ∫  −f ' ( x )  dx > ∫ f ' ( x ) dx ⇔ f ( b ) − f ( c ) > f ( d ) − f ( c ) ⇔ f ( b ) > f ( d ) f ( a ) > f ( c ) ⇒ m = f ( c ) ⇒ M + m = f ( 0) + f ( c) Vậy  f ( ) > f ( b ) > f ( a ) ⇒ M = f ( ) Câu 35: Đáp án D 1 c + a ( b + c) ( b + a ) = = ⇔ = ⇔ ( a + c ) + 2b ( c + a ) = ( b + ab + ac + ab ) c+a b+c a +b 2b + a + c a + c + 2ac + 2bc + 2ba = ( b + ab + ac + ab ) ⇔ a + c = 2b Câu 36: Đáp án B Ta có f ( x ) = sin x + cos x = ( sin x + cos x ) − 2sin x cos x 1 = − sin 2x = − ( − cos 4x ) = + cos 4x ⇒ f ' ( x ) = − sin 4x 4 Ta có g ( x ) = sin x + cos x = ( sin x + cos x ) − 3sin x cos x ( sin x + cos x ) 3 3 = − sin 2x = − ( − cos 4x ) = + cos 4x ⇒ g ' ( x ) = − sin 4x 8   Do 3f ' ( x ) − 2g ' ( x ) + = ( − sin 4x ) −  − sin 4x ÷+ =   Câu 37: Đáp án A 16 Xét mặt cầu ( S) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 3) = ⇒ I ( 2; −1;3) R = 2 Mặt phẳng ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Oxz ) có phương trình z = 0; x = 0; y = Có d ( I; ( Oxy ) ) = 3; d ( I; ( Oyz ) ) = 2; d ( I; ( Oxz ) ) = nên mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy) Câu 38: Đáp án C Mặt phẳng (P) cắt trục tọa độ điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0;c ) x y z + + = mà M ∈ ( P ) ⇒ + + = a b c a b c uuuu r uuuu r uuur uuur Ta có AM = ( − a; 2;1) , BM = ( 3; − b;1) BC = ( 0; −b;c ) , AC = ( −a;0;c ) uuuu r uuur c − 2b =  AM.BC = ⇔ r uuur ( 2) Mặt khác M trọng tâm ∆ ABC ⇒  uuuu c − 3a =  BM.AC = Nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng Từ (1) (2) suy a = ( 1) 14 ; b = 7; c = 14 ⇒ ( P ) : 3x + 2y + z − 14 = Cách 2: Chứng minh OM ⊥ ( ABC ) OA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( OAM ) ⇒ BC ⊥ OM , tương tự AB ⊥ OM ⇒ OM ⊥ ( ABC ) Ta có   AM ⊥ BC Khi ( P ) : 3x + 2y + z − 14 = Câu 39: Đáp án D 2x − ) ( x + m ) − x + 4x x + 2mx − 4m ( x − 4x = ; ∀x ≠ −m Xét hàm số y = , ta có y ' = 2 ( x + m) ( x + m) x+m  y ' ≥ 0, ∀x ∈ [ 1; +∞ ) ( *) Để hàm số đồng biến [ 1; +∞ )   x = − m ∉ ∀x ∈ [ 1; +∞ ) ⇔ m > −1 2 Ta có ( *) ⇔ x + 2mx − 4m ≥ ⇔ x ≥ 2m ( − x ) ( I ) - TH1: Với x = ⇒ x ≥ 0, ∀x ∈ [ 1; +∞ ) với giá trị m - TH2: Với − x > ⇔ x < ⇒ x ∈ [ 1; ) Khi x2 ; ∀x ∈ [ 1; ) ⇒ 2m ≤ f ( x ) ( I ) ⇔ 2m ≤ [ 1;2 ) 2−x - TH3: Với − x < ⇔ x > ⇒ x ∈ ( 2; +∞ ) Khi ( I ) ⇔ 2m ≥ x2 ; ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ⇒ 2m ≥ max f ( x ) ( 2;+∞ ) 2−x  f ( x ) = f ( 1) = x ( x − 4)  [ 1;2 ) x2 , ∀x ≠ ⇒  Xét hàm số f ( x ) = , ta có f ' ( x ) = − f ( x ) = f ( ) = −8 2−x ( 2−x )  max ( 2;+∞ ) 17 Kết hợp trường hợp, −1 < m ≤ giá trị cần tìm Câu 40: Đáp án C 1 1 Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNPQ trung điểm OQ ⇒ I  ; ; ÷ (Do dễ thấy 2 2 MOQ, NOQ, POQ nhìn PQ góc vng) Cách 2: Dễ thấy MNPQ tứ diện cạnh a Khi tâm mặt cầu tứ diện trọng  xM + xN + xP + xQ   1  ; ÷ =  ; ; ÷ tâm tứ diện Khi G    2 2 x = + t  1 1 Cách Viết ( ABC ) : x + y + z − = suy tâm I ∈ d :  y = + t cho IM = IQ ⇒ I  ; ; ÷ 2 2 z = + t  Câu 41: Đáp án C Xét hàm số y = x − 2mx + m = ah4x + bx + c ⇒ a = 1; b = −2m; c = m x = Ta có y ' = 4x − 4mx, y ' = ⇔  Để hàm số có ba điểm cực trị m > x = m Sử dụng công thức giải nhanh R ∆ ABC = R với R = b3 − 8a −8m3 − ⇒1= ⇔ m3 − 2m + = 8a b −16m −1 + giá trị cần tìm Kết hợp với điều kiện m > ⇒ m = −1; m = Cách Ta có ( ) ( A ( 0; m ) ; B − m; m − m ; C m; m − m ) abc ( m + m ) m ⇒R= = = ⇔ m + = 2m 4S 4.m m Câu 42: Đáp án A Gọi V thể tích khối chóp S.ABCD V1 thể tích khối chóp PDQ.BCN V2 thể tích khối chóp cịn lại, V1 + V2 = V MB cắt AD P → P trung điểm AD MN cắt SD Q → Q trọng tâm ∆SMC Ta có VM.PDQ VM.BCN = MP MD MQ 1 = = MB MC MN 2 Mặt khác VM.BCN = VM.PDQ + V1 ⇒ V1 = VM.BCN Mà S∆MBC = SABCD , d ( S; ( ABCD ) ) = d ( S; ( ABCD ) ) 18 Suy VM.BCN = VN.MBC = V VS.ABCD = ⇒ V1 = V ⇒ V2 = V ⇒ V1 : V1 = : 2 12 12 Câu 43: Đáp án A Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên (Q) có dạng 2x + y − 3z + m = Điểm M ( −1;0;0 ) ∈ ( P ) nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P), (Q) d ( M; ( Q ) ) = ⇒ −2 + m 22 + 12 + ( −3) 11 14 15  m=  11 11 ⇒ Q :  −4x − 2y + 6z + = = ⇔ m−2 = ⇔  ( )  2 14  4x + 2y − 6z + 15 = m = −  Câu 44: Đáp án C Qua M kẻ MF song song với SC qua N kẻ NE song song với SC với E F thuộc CA CB Khi thiết diện cần tìm hình thang MNEF Đặt VS.ABC = V; VMNEFCS = V1 ; VMNEFAB = V2 V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE Ta có: VSCEF CF CE 2 = = = V CA CB 3 VSFME CM SE SM = = = VSFEA SE CA SA VSFEA SEFA SEFA SCEA FA CE = = = = V SABC SCEA SABC CA CB ⇒ VSFME 4 = = V V 27 VSMNE SM SN = = VSABE SA SB VSMNE S∆BEA S∆AEC EB CE = = = V S∆ABC S∆ABC CE CB ⇒ VSABE = 2 4 ⇒ V1 = V + V = V 27 27 V1 = V2 Câu 45: Đáp án A  y = x x = y = C , C ⇔ Phương trình hồnh độ giao điểm ( ) ( ) LÀ   x = 1; y =  x = y  Trong đoạn x ∈ [ 0;1] suy y = x ; y = x 19  x x  3π Thể tích khối trịn xoay cần tính VOx = π ∫ ( x − x ) dx = π  − ÷ =  10  Câu 46: Đáp án D ' 1  − 1 − log ÷ 1 x  x = −1 = ;  log ÷ = Ta có: y ' =  x 1  ln10 x ln10 − log 2x ln10 − log x x x Câu 47: Đáp án D Gọi D, K trung điểm AB, OC Từ D kẻ đường thẳng vng góc với mặt phẳng (OAB) cắt mặt phẳng trung trực OC I ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC suy z1 = Tương tự DF = c a a b a b c ⇒ x1 = ; y1 = ⇒ I  ; ; ÷ 2 2 2 Suy x1 + y + z = a+b+c = ⇒ I ∈ ( P ) : x + y + z −1 = Vậy khoảng cách từ điểm M đến (P) d = 2015 Câu 48: Đáp án D  z1 = 2; z = −2 x =  z = ±2 z − 2z − = ⇔ ( z − 1) = ⇔  ⇔ ⇒  z = ±i  z = i 2; z = −i  z = −2 2 2 ( ) ( ) Khi A ( 2;0 ) , B ( −2;0 ) , C 0; , D 0; − ⇒ P = OA + OB + OC + OD = + 2 Câu 49: Đáp án C Hướng dẫn: Khối chóp phân chia thành tứ diện: tứ diện A’BC’D bốn tứ diện lại VA 'BC'D = V − 4.VC'CDB = V − 4V V = Câu 50: Đáp án B Gọi độ dài đáy hình chóp x, với < x < Đường cao hình chóp 20 2  x x SO = SM − OM = 1 − ÷ − = 1− x  2 1 x − x5 Thể tích khối chóp V = S.h = x − x = 3 Xét hàm f ( x ) = x − x , với x ∈ ( 0;1) Khi f ' ( x ) = 4x − 5x = x ( − 5x ) ; f ' ( x ) = ⇔ x = 0, x = Như để thể tích khối chóp lớn x = 5 21 ... Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Tính giá trị biểu thức thỏa mãn P = a − b A P = B P = −2 C P = D P = Câu 31: Cho số phức z số phức liên hợp z có điểm biểu diễn M, M’ Số phức z ( + 3i ) số. .. Câu 33: Cho hàm số y = 2x − 3x − Giá trị lớn hàm số  ;  là: 2  A 17 B C D Câu 34: Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn < a < b < c < d hàm số y = f ( x ) Biết hàm số y = f '' ( x ) có đồ thị hình... 19-D 29-C 39-D 49-C 10-D 20-C 30-C 40-C 50-B LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z = x − yi x = The giả thi? ??t, ta có ( + i ) ( x − yi ) − − 3i = ⇔ ( x + y − 1)