XÁC ĐỊNH NỒNG ĐỘ ĐỒNG VỊ PHÓNG XẠ 238U TRONG MẪU LƯƠNG THỰC THỰC PHẨM BẰNG PHỔ KẾ GAMMA PHÂN GIẢI CAO

15 5 0
  • Loading ...
1/15 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 17/04/2018, 23:22

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Trung Hiếu tgk _ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG VỚI ĐIỀU KIỆN CO KIỂU PATA SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN b -MÊTRIC SẮP THỨ TỰ NGUYỄN TRUNG HIẾU*, BÙI THỊ NGỌC HÂN** TÓM TẮT Trong báo này, mở rộng điều kiện co kiểu Pata báo [8] cho hai ánh xạ không gian b -mêtric thứ tự thiết lập định lí điểm bất động chung cho chúng Đồng thời, chúng tơi suy số hệ từ định lí, xây dựng ví dụ minh họa cho kết đạt vận dụng định lí thiết lập để khảo sát tồn nghiệm hệ phương trình tích phân phi tuyến Từ khóa: điểm bất động chung, không gian b -mêtric thứ tự, điều kiện co kiểu Pata suy rộng ABSTRACT Some common fixed point theorems for generalized Pata-type contractions in partially ordered b -metric spaces In this paper, we extend the Pata-type contraction in [8] to two mappings in partially ordered b -metric spaces and state certain common fixed point theorems for them We also deduce some corollaries, construct some illustrated examples and apply the obtained theorem to study the existence of solutions to the system of nonlinear integral equations Keywords: common fixed point, partially ordered b -metric spaces, generalized Patatype contraction Giới thiệu Các định lí điểm bất động cơng cụ hữu ích việc khảo sát tồn nghiệm tốn liên quan đến phương trình vi phân, phương trình tích phân phương trình đạo hàm riêng Ngun lí ánh xạ co Banach khơng gian mêtric đầy đủ kết điểm bất động Do đó, nhiều tác giả ngồi nước quan tâm nghiên cứu mở rộng nguyên lí cho không gian khác cho dạng ánh xạ co khác Trong hướng mở rộng thứ nhất, nhiều khái niệm không gian mêtric suy rộng giới thiệu không gian mêtric thứ tự, khơng gian mêtric nón, khơng gian b -mêtric [2] Trong khơng gian mêtric suy rộng đó, khơng gian b mêtric nhận nhiều quan tâm nhiều tác giả lĩnh vực lí thuyết điểm bất động tính khơng liên tục ánh xạ b -mêtric Nhiều kết điểm bất động không gian b -mêtric thiết lập (xem [2] tài liệu tham khảo đó) Bên cạnh việc đề xuất không gian mêtric suy rộng, số tác giả giới thiệu điều kiện co suy rộng [4] Năm 2011, Pata [9] giới thiệu điều kiện co suy rộng thiết lập số kết điểm bất động điều kiện co Kể * ** ThS, Trường Đại học Đồng Tháp; Email: ngtrunghieu@dth.edu.vn SV, Trường Đại học Đồng Tháp 81 Số 6(84) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ từ đó, mở rộng điều kiện co kiểu Pata không gian mêtric không gian mêtric suy rộng nghiên cứu Năm 2014, Balasubramanian [3] thiết lập định lí điểm bất động cho ánh xạ kiểu Pata không gian mêtric nón đầy đủ; Eshaghi cộng [6] thiết lập số kết điểm bất động kép cho điều kiện co kiểu Pata không gian mêtric đầy đủ thứ tự, đồng thời, việc ước lượng tốc độ hội tụ dãy lặp điểm bất động kép giới thiệu; Kadelburg cộng [8] khảo sát điểm bất động ánh xạ thỏa mãn điều kiện co kiểu Pata suy rộng không gian mêtric thứ tự Trong báo này, mở rộng điều kiện co kiểu Pata suy rộng báo [8] cho hai ánh xạ không gian b -mêtric thứ tự thiết lập định lí điểm bất động chung cho điều kiện co Đồng thời, vận dụng định lí thiết lập để khảo sát tồn nghiệm hệ phương trình tích phân phi tuyến Trước hết, chúng tơi trình bày số khái niệm kết sử dụng báo Định nghĩa 1.1 ([5]) Cho X tập hợp khác rỗng d : X ´ X ® [0, ¥ ) ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau với x, y, z Ỵ X với s ³ 1, (1) d(x, y ) = x = y (2) d(x, y ) = d(y, x ) (3) d(x, y ) £ s(d(x, z ) + d(z, y )) Khi đó, ánh xạ d gọi b -mêtric X (X , d, s) gọi không gian b -mêtric Định nghĩa 1.2 ([5]) Cho (X , d, s) không gian b -mêtric Khi (1) Dãy {x n } gọi hội tụ đến x lim d (x n , x ) = 0, kớ hiu l nđ Ơ lim x n = x Điểm x gọi điểm giới hạn dãy { x n } nđ Ơ (2) Dóy {x n } c gi l dãy Cauchy lim d(x n , x m ) = n ,m đ Ơ (3) Khụng gian (X , d, s) gọi đầy đủ dãy Cauchy dãy hội tụ Định nghĩa 1.3 ([7]) Cho ( X , ° ) tập thứ tự hai ánh xạ f , g : X ® X Khi đó, cặp ( f , g) gọi tăng yếu fx ° gfx gx ° fgx với x Ỵ X Lưu ý rằng, mêtric ánh xạ liên tục Tuy nhiên, điều không b -mêtric [2] Bổ đề sau dùng để khắc phục tính khơng liên tục b mêtric chứng minh phần sau Bổ đề 1.4 ([1]) Cho (X , d , s ) không gian b -mêtric hai dãy { x n }, { y n } hội tụ đến x, y Khi d (x , y ) £ lim inf d (x n , y n ) £ lim sup d (x n , y n ) £ s 2d (x , y ) nđ Ơ nđ Ơ s Đặc biệt, x = y lim d (x n , y n ) = Hơn na, vi mi z ẻ X , ta cú nđ ¥ 82 Nguyễn Trung Hiếu tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ d (x , z ) £ lim inf d (x n , z ) £ lim sup d (x n , z ) Ê sd(x , z ) nđ Ơ s nđ Ơ Hai b sau c s dng chứng minh kết Bổ đề 1.5 Với a ³ 1, tồn hai số dương a, b thỏa mãn (1 + x )a £ ax a + b với x ³ Bổ đề 1.6 Cho (X , d, s ) không gian b -mêtric { x n } dãy (X , d, s ) Khi đó, mệnh đề sau tương đương (1) {x n } dãy Cauchy (X , d, s ) (2) { x 2n } dãy Cauchy (X , d, s ) lim d (x n , x n 1 )  n  Chứng minh (1)  (2) Từ giả thiết, ta có { x 2n } dãy Cauchy (X , d, s ) lim d (x n , x n 1 )  n  (2)  (1) Với n , m  0, xét trường hợp sau Trường hợp n  2k  1, m  2l với k , l  Khi d ( x n , x m )  d ( x 2k 1, x 2l )  sd (x 2k 1, x 2k )  sd (x 2k , x 2l ) Trường hợp n  2k , m  2l  với k , l  Khi d ( x n , x m )  d (x 2k , x 2l 1 )  sd (x 2k , x 2l )  sd (x 2l , x 2l 1 ) Trường hợp n  2k  1, m  2l  với k , l  Khi d(x n , x m )  d (x 2k 1, x 2l )  sd(x 2k 1, x 2k )  s 2d(x 2k , x 2l )  s 2d (x 2l , x 2l 1 ) Từ trường hợp trên, suy lim d (x n , x m )  Do đó, {x n } dãy Cauchy n ,m  (X , d, s ) Các kết Kí hiệu Y tập hp cỏc hm s y : [0,1] đ [0, Ơ ) tăng y (0) = Định lí sau mở rộng [8, Theorem 3.2] sang không gian b -mêtric thứ tự Định lí 2.1 Cho (X , d, s, ° ) không gian b -mêtric thứ tự đầy đủ f , g : X ® X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: (1) Tồn x Î X cho x ° ggx (2) Cặp ánh xạ ( f , g) tăng yếu (3) Tồn a ³ 1, b Ỵ [0, a ], g ³ hàm y Ỵ Y cho b 1- e a é1 + d(x, x ) + d(y, x ) + d( fx, x ) + d(gy, x )ù (2.1) M ( x , y ) + ge y ( e ) ê ú fg 0 0 ë û s3 với e Ỵ [0,1] x , y Ỵ X mà x ° y , d( fx, gy ) £ 83 Số 6(84) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ ìï d (x , gy ) + d (y , fx ) üïï M fg (x , y ) = max ïí d (x , y ), d (x , fx ), d (y , gy ), ý ùợù ùỵù 2s (4) f hoc g liên tục, (X , d, s, ° ) thỏa mãn giả thiết (H): Nếu {x n } dãy tăng X lim x n = x Î X x n ° x với n nđ Ơ Khi ú, f v g cú im bất động chung Chứng minh Bước Chứng minh z điểm bất động f g z điểm bất động chung f g Thật vậy, Giả sử z điểm bất động f Từ điều kiện (2.1), ta có b 1- e M fg (z, z ) + gea y (e) éê1 + d(z, x ) + d(z, x 0) + d( fz, x 0) + d(gz, x )ùú ë û s b 1- e = d(z, gz ) + gea y (e) éëê1 + 3d(z, x ) + d(gz, x 0)ùûú s b £ (1 - e)d(z, gz ) + gea y (e) éëê1 + 3d(z, x ) + d(gz, x )ùûú d(z, gz ) = d( fz, gz ) £ b Đặt K = g éêë1 + 3d (z , x ) + d (gz , x )ùúû Suy ed (z , gz ) £ K e a y ( e) £ K ey ( e) Điều dẫn đến d(z, gz ) £ K y ( e) với e Ỵ [0,1] Cho e = 0, ta d(z, gz ) £ K y (0) = Suy d(z , gz ) = hay z điểm bất động g Vậy z điểm bất động chung f g Lập luận tương tự, ta chứng minh z điểm bất động g z điểm bất động chung f g Bước Chứng minh f g có điểm bất động chung Với x Ỵ X xác định thỏa mãn x ° gx 0, xét dãy {x n } X x 2n + = fx 2n + x 2n + = gx 2n với n Ỵ ¥ Do cặp ( f , g) tăng yếu nên x ° x = gx ° fgx = fx = x ° gfx = fx = x ° ° x n ° Do đó, {x n } dóy tng Nu tn ti n ẻ Ơ cho x 2n = x 2n 0 x 2n = gx 2n +1 0 hay x 2n điểm bất động g Do đó, theo Bước ta có x 2n điểm bất động chung 0 f g Nếu tồn n ẻ Ơ cho x 2n +1 = x 2n điểm bất động f Do đó, theo Bước ta có x 2n 0 +2 +1 x 2n +1 = fx 2n +1 hay x 2n +1 là điểm bất động chung f g Bây giờ, ta giả sử x n ¹ x n + với n ẻ Ơ Khi ú, (2.1), thay x x 2n - 1, b y x 2n đặt K = g éêë1 + d (x 2n - 1, x ) + 2d (x 2n , x ) + d(x 2n + 1, x )ù úû ³ 0, ta có 84 Nguyễn Trung Hiếu tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ d (x 2n , x 2n + ) = d ( fx 2n - 1, gx 2n ) £ 1- e M fg (x 2n - 1, x 2n ) + K e a y ( e), s ìï d(x , x ) + d (x 2n , x 2n ) üïï M fg (x 2n - 1, x 2n ) = max ïí d(x 2n - 1, x 2n ), d(x 2n - 1, x 2n ), d (x 2n , x 2n + ), 2n - 2n + ý ùù ùù 2s ợ ỵ ỡù ỹù d ( x , x ) + d ( x , x ) 2n 2n + ï £ max ïí d(x 2n - 1, x 2n ), d(x 2n , x 2n + 1), 2n - 2n ý ïï ïï ợ ỵ = max {d (x 2n - 1, x 2n ), d(x 2n , x 2n + 1)} Gi s tn ti n ẻ Ơ * cho max {d (x 2n - 1, x 2n ), d (x 2n , x 2n + )}= d (x 2n , x 2n + ) Khi d ( x 2n , x 2n + ) £ 1- e d (x 2n , x 2n + ) + K e a y ( e) £ (1 - e)d (x 2n , x 2n + ) + K e a y ( e) s3 Suy ed (x 2n , x 2n + ) £ K e a y ( e) £ K ey (e) Theo lí luận Bước 1, ta suy d(x 2n , x 2n + ) = Điều mâu thuẫn Do d ( x 2n , x 2n + ) £ d (x 2n - 1, x 2n ) với n Ỵ ¥ * Tương tự, (2.1), cách thay x x 2n + 1, y x 2n ta chứng minh d (x 2n + 2, x 2n + ) £ d (x 2n + 1, x 2n ) vi mi n ẻ Ơ Do đó, {d (x n , x n + )} dãy giảm Khi đó, tồn d * ³ để lim d (x n , x n + ) = d * Đặt c2n = d (x 2n , x ) Vỡ nđ Ơ {d (x n , x n + )} dãy giảm nên d(x 2n , x 2n + ) £ d (x 2n - 1, x 2n ) £ £ d (x 0, x ) = c1 (2.2) Do d(x2n + 1, x1) + d(x 0, x2n + ) £ sd(x2n + 1, x ) + sd(x 0, x1) + sd(x 0, x 2n + 1) + sd(x 2n + 1, x2n + ) (2.3) £ 2s(c1 + c2n + 1) c2 n + Từ (2.1), (2.2), (2.3), ta có = d (x 2n + 1, x ) £ sd (x 2n + 1, x 2n + ) + s 2d( x 2n + 2, x ) + s 2d (x 1, x ) £ (s + s )c1 + s 2d ( fx 2n + 1, gx ) ỉ1 - e ÷ £ (s + s )c1 + s ỗỗ ÷ ÷M fg (x 2n + 1, x ) çè s ø÷ b + s ge a y ( e) éê1 + d (x 2n + 1, x ) + d (x 0, x ) + d (x 2n + , x ) + d (x 1, x )ùú ë û æ1 - e ïìï d(x2n + 1, x1) + d(x 0, x2n + ) ïüï ÷ £ (s + s )c1 + s ỗỗỗ ữ max d ( x , x ), d ( x , x ), d ( x , x ), í ý ÷ 2n + 2n + ïï 2n + ùù 2s ố s ứữ ợ ỵ b a é ù + s ge y (e) ëê1 + d(x2n + 1, x0 ) + sd(x2n + 2, x2n + 1) + sd(x2n + 1, x 0) + d(x1, x )ûú 85 Số 6(84) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ b £ (s + s )c1 + (1 - e)(c1 + c2n + ) + s ge a y ( e) éêë1 + (1 + s )c1 + (1 + s )c2n + ùúû a ( ) £ + s + s c1 + (1 - e)c2n + ù a é 1+ s + s ge y (e) éê1 + (1 + s )c1 ùú êê1 + c2n + úú ë û ëê + (1 + s )c1 ûú a Do a ù a é 1+ s ec2n + £ + s + s c1 + (1 - e)c2n + + s ge y (e) éê1 + (1 + s)c1 ùú êê1 + c2n + úú ë û ëê + (1 + s)c1 ûú Áp dụng Bổ đề 1.5, suy tồn hai số dương c, d cho ( ) a ec2n + £ c e a y ( e)c2an + + d Giả sử {c 2n + } không bị chặn Khi đó, tồn dãy c2 n + ® ¥ i thỏa mãn ec2n + £ c e a y ( e)c2an + + d Chọn e = ei = i i 1+ d , c2 n + ta có i a ỉ ỉ ổ a ỗỗ1 + d ữ ỗỗ1 + d ữ ỗỗ1 + d ữ a ữ ữ ữ 1+ d Ê cỗ ữ ữ ữ ữ y ỗỗc ữc2n i + + d Điều dẫn đến Ê c (1 + d ) y ỗỗc ữ đ ỗỗc ữ ữ ỗố 2ni + ứữ ố 2ni + ứ ốỗ 2n i + ø Điều mâu thuẫn Vậy {c2n + } dãy bị chặn Bằng lập luận tương tự trên, ta chứng minh { c2n + } dãy bị chặn Vậy {cn } dãy bị chặn Mặt khác, từ (2.1), ta có d(x 2n , x 2n + 1) = d( fx 2n - 1, gx 2n ) b 1- e a é1 + d(x , x ) + 2d(x , x ) + d(x , x )ù d ( x , x ) + ge y ( e ) ê ú 2n - 2n 2n - 2n 2n + û ë s3 Do {cn } bị chặn nên tồn M ³ cho cn Ê M vi mi n ẻ Ơ Do £ b é1 + d (x , x ) + 2d (x , x ) + d (x , x )ù £ (1 + 4M )b ú 2n - 2n 2n + û ëê Đặt K = g(1 + 4M )b ³ Ta có d ( x 2n , x 2n + ) £ 1- e d ( x 2n - 1, x 2n ) + K e a y ( e) s3 1- e * d + K e a y (e) £ (1 - e)d * + K e a y ( e) s * a ed £ K e y ( e) £ K ey ( e) Vì d * = hay lim d (x n , x n + ) = Cho n đ Ơ , ta cú d* Ê Suy nđ Ơ Tip theo, ta chng minh {x n } dãy Cauchy Do lim d (x n , x n + ) = nên theo n® ¥ Bổ đề 1.6 ta cần chứng minh { x 2n } dãy Cauchy (X , d, s, ° ) Giả sử ngược lại {x 2n } không dãy Cauchy (X , d, s, ° ) Khi đó, tồn d > hai dãy {x 2n ( k ) }, {x 2m (k ) } { x 2n } cho 86 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Trung Hiếu tgk _ m (k ) ³ n (k ) ³ k d(x 2n (k ) , x 2m (k ) ) ³ d (2.7) Vi mi k ẻ Ơ *, n (k ) ta chọn m (k ) số nguyên dương nhỏ thỏa mãn (2.7) Khi d (x 2n ( k ) , x 2m ( k )- ) < d (2.8) Ta có d £ d (x 2m (k ) , x 2n ( k ) ) £ sd (x 2m (k ) , x 2m ( k )+ ) + sd (x 2m ( k )+ 1, x 2n (k ) ) Cho k đ Ơ (2.9), ta có d £ lim sup d (x 2m ( k )+ 1, x 2n (k ) ) s kđ Ơ T (2.8), ta cú (2.9) (2.10) d (x 2m ( k ) , x 2n ( k ) ) £ s 2d (x 2m (k ) , x 2m (k )- ) + s 2d (x 2m ( k )- 1, x 2m ( k )- ) + sd (x 2m (k )- , x 2n ( k ) ) < s 2d (x 2m ( k ), x 2m (k )- ) + s 2d(x 2m (k )- 1, x 2m ( k )- ) + sd (2.11) Cho k đ Ơ (2.11), ta có lim sup d (x 2m (k ) , x 2n ( k ) ) £ sd (2.12) Ta có d (x 2m (k ) , x 2n ( k )- ) £ sd (x 2m (k ) , x 2n ( k ) ) + sd (x 2n (k ) , x 2n ( k )- ) (2.13) kđ Ơ Cho k đ ¥ (2.13) sử dụng (2.10), ta có lim sup d (x 2m ( k ) , x 2n (k )- ) £ s 2d (2.14) Tương tự, d (x 2m (k )+ 1, x 2n ( k )- ) £ sd (x 2m (k )+ 1, x 2m (k ) ) + sd (x 2m ( k ) , x 2n (k )- ) (2.15) kđ Ơ Cho k đ Ơ (2.15) v s dụng (2.14), ta có lim sup d (x 2m ( k )+ 1, x 2n (k )- ) £ s 3d (2.16) kđ Ơ Mt khỏc, (2.1), thay x x 2n ( k )- y x 2m (k ), ta có d ( x 2n ( k ) , x 2m ( k )+ ) = d ( fx 2n ( k )- 1, gx 2m (k ) ) 1- e £ M fg (x 2n ( k )- 1, x 2m ( k ) ) + ge a y ( e) éê1 + d (x 2n ( k )- 1, x ) + d (x 2m (k ), x ) ë s b + d (x 2n (k ), x ) + d(x 2m ( k )+ 1, x )ùú û Do {cn } bị chặn nên tồn M ³ cho cn £ M vi mi n ẻ Ơ Do ú b é1 + d (x , x ) + d (x 2m ( k ) , x ) + d (x 2n (k ) , x ) + d (x 2m (k )+ 1, x )ùú £ (1 + 4M ) b 2n ( k )- êë û 87 Số 6(84) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Khi 1- e max d(x2n (k )- 1, x 2m (k ) ) , d(x 2n (k )- 1, x2n (k ) ), d(x2m (k ), x2m (k )+ 1) , s3 (2.17) d(x 2n (k )- 1, x 2m (k )+ ) + d(x 2m (k ), x 2n (k ) ) üïï a b ý + ge y (e)(1 + 4M ) ùù 2s ùỵ Cho k đ Ơ (2.17), s dng (2.10), (2.14) v (2.16), ta ïìï d 1- e s 3d + s d ïüï 1- e a b £ max s d , 0, 0, d + ge a y ( e)(1 + 4M ) b í ý + ge y ( e)(1 + 4M ) = ï ù s 2s ùỵ s s ùợ a b Suy ed £ K e y ( e) £ K ey (e) với K = s g (1 + 4M ) ³ Vì d = Điều d(x 2n (k ) , x2m (k )+ ) £ { mâu thuẫn Vậy { x 2n } dãy Cauchy (X , d, s ) Do đó, {x n } dãy Cauchy (X , d, s ) Do (X , d, s ) không gian b -mêtric đầy đủ nên tồn z Ỵ X để lim x n = z nđ Ơ Gi s f l ỏnh x liờn tc Khi đó, z = lim x n + = lim fx n = f (lim x n ) = fz hay z nđ Ơ nđ Ơ nđ Ơ l điểm bất động f Theo Bước 1, ta có z điểm bất động chung f g Tương tự, g liên tục ta chứng minh z điểm bất động chung f g Giả sử giả thiết (H ) thỏa mãn Do {x n } dãy tăng lim x n = z nờn nđ Ơ x n ° z Do đó, (2.1), thay x x 2n + y z , ta d(x2n + 2, gz ) = d( fx2n + 1, gz ) b 1- e M fg(x2n + 1, z) + gea y (e) éê1 + d(x2n + 1, x0) + d(z, x0 ) + d(x2n + 2, x0) + d(gz, x0)ùú ë û s ì ü ï ï d(x , gz ) + d(z, x2n+ 2) ï 1- e £ max ïí d(x2n + 1, z), d(x2n + 1, x2n + 2), d(z, gz), 2n + ý ùù ùù 2s s ợ ỵ b + ge a y ( e) éêë1 + d (x 2n + 1, x ) + d (z , x ) + d (x 2n + 2, x ) + d (gz , x )ùúû (2.18) Cho n đ Ơ (2.18) v s dng B đề 1.4, ta có £ b 1- e a é1 + 2sd(z, x ) + d (z, x ) + d (z , gz )ù d (z , gz ) £ sd ( z , gz ) + ge y ( e ) ê ú 0 ë û s s3 b 1- e £ d (z , gz ) + ge a y ( e) éêë1 + 2sd (z, x ) + d (z , x ) + d(z , gz )ùúû s b Suy ed (z , gz ) £ N e a y (e) với N = s g éêë1 + 2sd (z , x ) + d (z , x ) + d (z , gz )ùûú ³ Điều dẫn đến d(z, gz ) £ N y ( e) với e Ỵ [0,1] Cho e = 0, ta có d(z, gz ) £ N y (0) = Suy d(z , gz ) = Vì gz = z hay z điểm bất động g Suy z điểm bất động chung f g 88 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Trung Hiếu tgk _ Trong Định lí 2.1 cách chọn f = g nhận hệ sau, mở rộng [8, Theorem 3.2] sang không gian b -mêtric Hệ 2.2 Cho (X , d, s, ° ) không gian b -mêtric thứ tự đầy đủ f : X ® X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: (1) x ° fx với x Ỵ X (2) Tồn x Ỵ X , a ³ 1, b Ỵ [0, a ], g ³ hàm y Ỵ Y cho b 1- e a é1 + d(x , x ) + d(y, x ) + d ( fx , x ) + d ( fy , x ) ù M ( x , y ) + ge y ( e ) ê ú s 0 0 ë û s3 với e Ỵ [0,1] x , y Ỵ X mà x ° y , d( fx , fy ) £ ìï d (x , fy ) + d (y , fx ) üïï M s (x , y ) = max ïí d (x , y ), d (x , fx ), d (y , fy ), ý ïỵï ùỵù 2s (3) f liờn tc hoc (X , d, s, ° ) thỏa mãn giả thiết (H): Nếu {x n } dãy tăng X lim x n = x Ỵ X x n ° x vi mi n nđ Ơ Khi ú, f cú điểm bất động Vì mêtric b -mêtric với s = nên từ Định lí 2.1 ta nhận hệ sau Hệ 2.3 Cho (X , d, s, ° ) không gian mêtric thứ tự đầy đủ f , g : X ® X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: (1) Tồn x Ỵ X cho x ° ggx (2) Cặp ánh xạ ( f , g) tăng yếu (3) Tồn a ³ 1, b Ỵ [0, a ], g ³ hàm y Ỵ Y cho b d( fx , gy ) £ (1 - e)M (x , y ) + ge a y (e) éê1 + d (x , x ) + d (y , x ) + d ( fx , x ) + d(gy, x ) ùú ë û với e Ỵ [0,1] x , y Ỵ X mà x ° y , ïì d (x , gy ) + d (y , fx ) ïüï M fg (x , y ) = max ïí d (x , y ), d (x , fx ), d (y , gy ), ý ùợù ùỵù (4) f g liên tục, (X , d, s, ° ) thỏa mãn giả thiết (H): Nếu {x n } dãy tăng X lim x n = x Ỵ X x n ° x với mi n nđ Ơ Khi ú, f v g có điểm bất động chung Nhận xét 2.4 Vì mêtric b -mêtric với s = nên từ Hệ 2.2 ta nhận [8, Theorem 3.2] Tiếp theo, chúng tơi đưa ví dụ minh họa cho tồn điểm bất động cặp ánh xạ ( f , g) thỏa mãn giả thiết Định lí 2.1 chứng tỏ Định lí 2.1 tổng quát Hệ 2.2 89 Số 6(84) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Ví dụ 2.5 Cho X = {0} È [1, 3] È [4, 5] với thứ tự ° xác định bởi: x ° y x  y ¡ ánh xạ d : X ´ X đ [0, Ơ ) xỏc nh bi d(x , y )  (x  y )2 với x , y  X Khi đó, ( X , d, s, ° ) không gian b -mêtric thứ tự đầy đủ với s = Xét ánh xạ f : X ® X xác định  neáu x {0,3}  fx  2 neáu x  1 trường hợp lại  Khi đó, với x Ỵ X, ta có x ³ fx hay x ° fx Lấy x = 0, e = 0, a = b = g = y (t ) = t với t Î [0,1] Chọn (x , y ) = (5, 3), ta có b 1- e a é1 + d(x, x ) + d(y, x ) + d( fx, x ) + d( fy, x )ù = < = d( fx, fy) M ( x , y ) + ge y ( e ) ê ú s 0 0 ë û 23 Suy giả thiết (2) Hệ 2.2 khơng thỏa mãn Do đó, Hệ 2.2 không áp dụng cho ánh xạ f Bây giờ, ta xét ánh xạ g xác định g0 = gx = với x Ỵ [1, 3] È [4, 5] Ta có x ³ gx hay x ° gx Bằng cách kiểm tra trực tiếp, ta có fx  gfx gx  fgx với x  X Do đó, fx ° gfx gx ° fgx với x  X hay ( f , g) cặp ánh xạ tăng yếu Đặt b 1- e VP = M fg (x , y ) + ge a y ( e) éêë1 + d (x , x ) + d (y , x ) + d ( fx , x ) + d (gy, x )ùúû Khi đó, với (x, y ) Ỵ X ´ X mà x ° y ta có x ³ y Với e Ỵ [0,1], ta xét trường hợp sau: Trường hợp x = y = x , y Ỵ [1, 3) x Ỵ [4, 5), y Ỵ [1, 3] È [4, 5) Khi d ( fx , gy ) = Trường hợp x Ỵ {3, 5}, y Ỵ [1, 3] x = 5, y Ỵ [4, 5] Khi d( fx , gy ) = æ 9 ư÷ 1071 ÷ VP ³ (1 - e) + (11 + y )e ³ (1 - e) + 12e ỗỗỗ2e + + 8e ÷ ÷ 8 32 ø 1024 è Như vậy, từ trường hợp trên, ta có điều kiện (3) Định lí 2.1 thỏa mãn Hơn nữa, g ánh xạ liên tục X Do đó, giả thiết Định lí 2.1 thỏa mãn Vì vậy, Định lí 2.1 áp dụng cho cặp ánh xạ ( f , g) Ví dụ sau chứng tỏ Hệ 2.3 tổng quát [8, Theorem 3.2] Ví dụ 2.6 Cho X = {1, 2, 3, 4, 5} với thứ tự ° xác định bởi: x ° y x  y ¡ ánh xạ d : X ´ X ® [0, ¥ ) xác định 90 Nguyễn Trung Hiếu tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ ìï x = y ïï ï ( x , y ) Ỵ {(1, 2),(2,1),(1,3),(3,1)} d ( x, y ) = ïí ïï ( x , y ) Ỵ {(1, 4),(4,1),(1,5),(5,1)} ïï ïïỵ trườn g hợp lại Khi đó, ( X , d, s, ° ) không gian mêtric thứ tự đầy đủ Xét ánh xạ f : X ® X xác định f = f = f = 1, f = 2, f = Khi đó, với x Ỵ X , ta có x ³ fx hay x ° fx Lấy x = 0, e = , a = b = g = y (t ) = t với t Ỵ [0,1] Lấy (x , y ) = (5, 4), ta có b 121 (1 - e)M(x, y) + gea y (e) éê1 + d(x, x 0) + d(y, x 0) + d( fx, x 0) + d( fy, x 0)ùú = < = d( fx, fy) ë û 64 Suy điều kiện co [8, Theorem 3.2] không thỏa mãn Do đó, [8, Theorem 3.2] khơng áp dụng cho ánh xạ f Bây giờ, ta xét ánh xạ g xác định gx = với x Ỵ X Ta có x ³ gx hay x ° gx Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta có fx  gfx gx  fgx với x  X Do đó, fx ° gfx gx ° fgx với x  X hay ( f , g) cặp ánh xạ tăng yếu Đặt b V P = (1 - e)M fg (x , y ) + ge a y ( e) éêë1 + d (x , x ) + d (y, x ) + d ( fx , x ) + d (gy , x )ùúû Khi đó, với (x, y ) Î X ´ X mà x ° y ta có x ³ y Với e Ỵ [0,1], ta xét trường hợp sau: Trường hợp (x , y ) Ỵ {(2,1),(3,2),(3,1), (1,1),(2,2),(3,3)} Khi d ( fx , gy ) = Trường hợp (x , y ) Ỵ {(4,1),(5,1)} Khi d ( fx , gy ) = (x, y ) Ỵ {(4,2),(5,3)} Khi d ( fx , gy ) = (x, y ) Ỵ {(4,3),(5,2)} Khi d ( fx , gy ) = V P = + (1 - e)2 + 4e Trường hợp V P = + (1 - e) + 5e Trường hợp + (1 - e)2 + 5e2 Trường hợp (x , y ) Ỵ {(5,4),(4,4),(5,5)} Khi VP = ỉ 3e ư÷ 23e2 ÷+ d ( fx , gy ) = V P = + ỗỗỗ1 ữ ứữ ố 91 S 6(84) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Như vậy, từ trường hợp trên, giả thiết (3) Hệ 2.3 thỏa mãn Hơn nữa, ( f , g) cặp ánh xạ tăng yếu liên tục Do đó, giả thiết Hệ 2.3 thỏa mãn Vì vậy, Hệ 2.3 áp dụng cho cặp ánh xạ ( f , g) Cuối cùng, sử dụng Định lí 2.1 để khảo sát tồn nghiệm hệ phương trình tích phân phi tuyến Hệ 2.7 Cho C [a, b] tập hợp hàm số liên tục [a, b], quan hệ thứ tự C [a, b] xác định bởi: x ° y x (t ) £ y (t ) với t Î [a, b] b -mêtric d với s = p- C [a, b ] xác định d ( x , y )  sup | x (t )  y (t )|p với x, y  C [a, b] t [a ,b ] với p  Xét hệ phương trình tích phân phi tuyến b  x (t )  g(t )   K 1(t , s, x (s ))ds  a  b x (t )  g(t )  K (t , s, x (s ))ds a  (2.19) t Ỵ [a, b], g : [a, b ] ® ¡ , K 1, K : [a, b ]´ [a , b ]´ ¡ ® ¡ hàm số cho trước Giả sử giả thiết sau thỏa mãn: (H1) g hàm số liên tục [a, b], với t Ỵ [a, b], x Ỵ C [a, b] hàm số K 1(t , s, x (s )) K (t , s, x (s )) khả tích theo biến s [a, b ] (H2) T x , Sx Ỵ C [a, b ] với x Ỵ C [a, b ], b b T x (t )  g(t )   K 1(t , s, x (s ))ds Sx (t )  g(t )   K (t , s, x (s ))ds với t Î [a, b ] a a b (H3)Với t , s Ỵ [a, b], x Ỵ C [a, b], ta có K 1(t , s, x (t )) £ K 2(t , s, ò K 1(s, u, x(u ))du + g(s )) a b K (t , s , x (t )) £ K 1(t , s, ò K (s, u, x (u ))du + g(s )) a b (H4) Tồn x Ỵ C [a, b ] cho x 0(t ) £ g(t ) + ò K (t , s, x (s ))ds với a t Ỵ [a, b] (H5) Tồn số a ³ b Ỵ [0, a ] cho với t , s Ỵ [a, b] x , y Ỵ C [a, b ] thỏa mãn x (u ) ° y (u ) với u Ỵ [a, b ], ta có 92 Nguyễn Trung Hiếu tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ p K 1(t, s, x(t )) - K 2(t , s, y(t )) p pü ìï ï ïï p p p x(t ) - Sy(t ) + y(t ) - Tx(t ) ï ï £ x(t, s)(1 - e)max í x(t ) - y(t ) , x(t ) - Tx(t ) , y(t ) - Sy(t ) , ý p ùù ùù ùợ ỵù b p p p pù é + ea y (e) ê1 + x(t ) - x 0(t ) + y(t ) - x0(t ) + Tx(t ) - x 0(t ) + Sy(t ) - x 0(t ) ú êë úû với e Ỵ [0,1], x : [a , b ] [a, b ] đ [0, Ơ ) hàm liên tục thỏa mãn b sup   (s, t )ds  t [a ,b ] a p 3 (b  a )p 1 Khi đó, hệ phương trình tích phân phi tuyến (2.19) có nghiệm x Ỵ C [a, b ] Chứng minh Xét hai ánh xạ T , S : C [a, b ]  C [a , b ] xác định b b T x (t )  g(t )   K 1(t , s, x (s ))ds Sx (t )  g(t )   K (t , s, x (s ))ds a a với t  [a, b ] x  C [a , b ] Khi đó, xác định cặp ánh xạ S ,T suy từ giả thiết (H1) (H2) Hơn nữa, tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ S ,T dẫn đến tồn nghiệm hệ phương trình tích phân (2.19) Do đó, ta chứng minh cặp ánh xạ S ,T thỏa mãn giả thiết Định lí 2.1 (1) Từ giả thiết (H4), ta suy tồn x Ỵ C [a , b ] cho x ° Sx (2) Với x Ỵ C [a, b ] s , t Ỵ [a, b], từ giả thiết (H3), ta có ổ b ửữ ỗ Tx(t ) Ê g(t ) + ũ K ỗỗt , s, ũ K 1(s, u, x(u ))du + g(s)÷ ÷ ÷ds £ g(t ) + çç è a ø÷ a b ỉ b ư÷ çç ÷ K t , s , K ( s , u , x ( u )) du + g ( s ) ds £ g(t ) + ÷ ò ççç ò ÷ ÷ è a ø a b Sx(t ) £ g(t ) + b ò K 2(t,s,Tu(s))ds = ST x(t ), a b ò K 1(t, s, Su(s))ds = TSx(t ) a Điều dẫn đến T x ° ST x Sx ° T Sx với x  C [a, b] Do đó, cặp T , S cặp ánh xạ tăng yếu (3) Lấy q  cho 1 + = Từ giả thiết (H5), ta có p q 93 Số 6(84) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ | T x (t ) - Sy (t )|p p ổb ửữ ỗ Ê ỗỗũ K (t , s, x (s )) - K (t , s, y (s )) ds ÷ ÷ ÷ çè a ø÷ p 1ù é pú êỉb ư÷q ổb p ữỳ ỗ ỗỗ Ê ờờỗỗũ ds ữ K ( t , s , x ( s )) K ( t , s , y ( s )) ds ữ ữ ữ ỗ ũ ữ ữỳ ç ç êè a ø÷ è a ø÷ ú êë úû éb p p p æ £ (b - a ) p- êêò x(t , s )(1 - e) ççmax x (t ) - y (t ) , x (t ) - T x (t ) , y (t ) - Sy (t ) , è êëa p p üö x (t ) - Sy (t ) + y (t ) - Sx (t ) ïïï ÷ ÷ ÷ ÷ ds ý ÷ p ï ÷ ïï ÷ ữ ỵứ { b b p p p pự ộ + ò e a y (e) ê1 + x (t ) - x (t ) + y (t ) - x (t ) + T x (t ) - x (t ) + Sy (t ) - x (t ) ú ds êë úû a b £ (1 - e)(b - a ) p- M fg ( x , y ) ò x(t , s )ds a b + (b - a ) e y ( e) éëê1 + d (x , x ) + d (y, x ) + d (T x , x ) + d (Sy , x ) ùûú p £ a b 1- e p a é1 + d (x , x ) + d (y , x ) + d (T x , x ) + d (Sy , x )ù M ( x , y ) + ( b a ) e y ( e ) ê ú fg 0 0 ë û 23 p - Do đó, điều kiện (2.1) thỏa mãn với g = (b - a ) p ³ (4) C [a, b] không gian b -mêtric đầy đủ với b -mêtric d chọn Hơn nữa, giả sử {x n } dãy tăng C [a, b] lim x n = x Khi đó, với t Ỵ [a, b], ta cú nđ Ơ x 1(t ) Ê x (t ) £ £ x n (t ) £ lim x n (t ) = x (t ) Do đó, với t Ỵ [a, b ], ta cú nđ Ơ x n (t ) Ê x (t ) vi mi n ẻ Ơ Suy x n x vi mi n ẻ Ơ Vy giả thiết (H) Định lí 2.1 thỏa mãn Như vậy, giả thiết Định lí 2.1 thỏa mãn Do đó, cặp ánh xạ (T , S ) có điểm bất động chung x Ỵ C [a , b ] Vì vậy, phương trình tích phân phi tuyến (2.19) có nghiệm x Ỵ C [a , b ] 94 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Trung Hiếu tgk _ TÀI LIỆU THAM KHẢO Aghajani, A., Abbas, M., & Roshan, J R (2014), “Common fixed point of generalized weak contractive mappings in partially ordered b -metric spaces”, Math Slovaca, 64(4), 941-960 An, T V., Dung, N V., Kadelburg, Z., & Radenovic, S (2015), “Various generalizations of metric spaces and fixed point theorems”, Rev R Acad Cienc Exactas Fis Nat Ser A Mat RACSAM, 109, 175-198 Balasubramanian, S (2014), “A Pata-type fixed point theorem”, Math Sci., 8(3), 65-69 Collaco, P & Silva, J C E (1997), “A complete comparison of 25 contraction conditions”, Nonlinear Anal., 30(1), 471-476 Czerwik, S (1998), “Nonlinear set-valued contraction mappings in b -metric spaces”, Atti Semin Mat Fis Univ Modena, 46(2), 263-276 Eshaghi, M., Mohseni, S., Delavar, M R., Sen, M D L., Kim, G H., & Arian, A (2014), “Pata contractions and coupled type fixed point”, Fixed Point Theory Appl., 2014:130, 1-10 Gordji, D E., Baghani, H., & Kim, G H (2012), “Common fixed point theorems for (y , f ) -weak nonlinear contraction in partially ordered sets”, Fixed Point Theory Appl., 2012:62, 1-12 Kadelburg, Z & Radennovic, S (2014), “Fixed point and tripled fixed point theorems under Pata-type conditions in ordered metric paces”, Int J Anal Appl., 6(1), 113-122 Pata, V (2011), “A fixed point theorem in metric spaces”, J Fixed Point Theory Appl., 10, 299-305 (Ngày Tòa soạn nhận bài: 29-01-2016; ngày phản biện đánh giá: 10-6-2016; ngày chấp nhận đăng: 13-6-2016) 95
- Xem thêm -

Xem thêm: XÁC ĐỊNH NỒNG ĐỘ ĐỒNG VỊ PHÓNG XẠ 238U TRONG MẪU LƯƠNG THỰC THỰC PHẨM BẰNG PHỔ KẾ GAMMA PHÂN GIẢI CAO, XÁC ĐỊNH NỒNG ĐỘ ĐỒNG VỊ PHÓNG XẠ 238U TRONG MẪU LƯƠNG THỰC THỰC PHẨM BẰNG PHỔ KẾ GAMMA PHÂN GIẢI CAO

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay