HÀM SỐ MŨ: MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN VÀ ĐỐI CHIẾU GIỮA VIỆT NAM VÀ PHÁP

10 6 0
  • Loading ...
1/10 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 17/04/2018, 23:21

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trần Lương Cơng Khanh tgk _ HÀM SỐ MŨ: MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN VÀ ĐỐI CHIẾU GIỮA VIỆT NAM VÀ PHÁP TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH*, NGUYỄN HỮU LỢI** TÓM TẮT Phần đầu báo so sánh tiến trình xây dựng khái niệm hàm số mũ trường trung học phổ thông Việt Nam Pháp đặt câu hỏi ban đầu Câu hỏi dẫn đến khảo sát hình thành phát triển khái niệm hàm số mũ lịch sử toán học nhằm rút đặc trưng tri thức luận khái niệm Những đặc trưng giúp nhìn lại tiến trình xây dựng khái niệm hàm số mũ hai nước rút kết kuận Từ khóa: lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit, số e, mở rộng khái niệm lũy thừa ABSTRACT Exponential function: an epistemology research and a contrastive analysis between Vietnam and France The first part compares the construction process of the concept of exponential function in high school in Vietnam and France, and raises the initial question, which leads to a study of the emergence and development of the concept of exponential function in the history of mathematics in order to bring out the epistemological features of this concept In turn, these features help to reconsider the construction process of the concept of exponential function in both countries and draw out an conclusion Keywords: power, exponential function, logarithmic function, e, expanded concept of power Tóm tắt tiến trình xây dựng khái niệm hàm số mũ trường trung học phổ thông Việt Nam Pháp 1.1 Khái niệm hàm số mũ trường trung học phổ thông Việt Nam Ở trường trung học phổ thông Việt Nam, hàm số mũ giảng dạy lớp 12 Để ngắn gọn, chúng tơi tóm tắt định nghĩa tính chất sách Giải tích 12 nâng cao [1] giữ ngun ý tưởng, kí hiệu thứ tự trình bày  Lũy thừa với số mũ nguyên dương nhắc lại Sau đó, sách định nghĩa lũy thừa với số mũ 0, số mũ nguyên âm số mũ hữu tỉ  Hai mệnh đề sau chấp nhận để chuẩn bị cho định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ: - Với  vô tỉ, tồn dãy hữu tỉ (rn) hội tụ ; * ** TS, Sở Giáo dục Đào tạo Bình Thuận; Email: tlckhanh@gmail.com NCS, Sở Giáo dục Đào tạo TPHCM 61 Số 4(82) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ - Với a > 0,  vô tỉ dãy hữu tỉ (rn) hội tụ , dãy a r  hội tụ lim a rn không n n  phụ thuộc vào (rn)  lim a rn mệnh đề gọi lũy thừa a với số mũ , kí hiệu a  n   Lôgarit số a (a > 0, a  1) b > định nghĩa số  thỏa a = b x  1  Số e định nghĩa giới hạn: e = lim 1   lôgarit tự nhiên lôgarit x   x  số e  Hàm số mũ số a (a > 0, a  1) hàm số xác định R có dạng y = ax 1.2 Khái niệm hàm số mũ trường trung học phổ thông Pháp Học sinh trung học phổ thông Pháp phân ban từ đầu lớp 11 Từ năm 1993, trường trung học phổ thơng Pháp có ba ban: Ban L (ban văn chương), ban ES (ban kinh tế xã hội) ban S (ban khoa học) Số toán tuần lớp 12 quy định sau: [12] Ban Số toán (bắt buộc) tuần Số toán (tự chọn) tuần L giờ ES giờ 30 S giờ Trong kì thi tú tài, mơn tiếng Pháp thí sinh ban S có hệ số mơn tốn có hệ số hệ số (nếu có học thêm tự chọn) Vì vậy, tốn mơn học quan trọng học sinh ban S Chương trình lớp 12 ban S hành quy định sách giáo khoa phải định nghĩa hàm số mũ hàm số f có đạo hàm R thỏa f' = f f(0) =1 Chương trình yêu cầu chấp nhận tồn f chứng minh tính Hàm số f gọi hàm số mũ kí hiệu exp Từ định nghĩa, người ta chứng minh số tính chất “đại số” “giải tích” hàm số mũ, có: x  R, exp(x) > x, y  R, exp(x + y) = exp(x) exp(y) x  R, n  N, exp(nx) = [exp(x)]n, đặc biệt n  N, exp(n) = en với e = exp(1) x  R,exp(-x) = 62 exp( x) TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trần Lương Cơng Khanh tgk _ x, y  R, exp(x – y) = exp( x) exp( y) ex 1 = (e x )' = x 0 x 0 x x  R, (ex)’ = ex , đặc biệt lim lim e x = +, lim e x = x   x   x lim x  e = +, lim xe x = x   x Năm tính chất cho thấy giá trị hàm exp x  Q lũy thừa e với số mũ x Do đó, chương trình quy ước viết exp(x) ex với x  R Với quy ước này, lũy thừa e với số mũ vô tỉ x định nghĩa giá trị hàm exp x Cũng theo chương trình, hàm số lơgarit Nêpe định nghĩa ba cách sau: - Dựa vào tính chất hàm mũ: Với số thực x > 0, tồn số thực y thỏa ey = x Số thực y gọi lơgarit Nêpe x, kí hiệu lnx Hàm số y = lnx gọi hàm số lôgarit Nêpe - Dựa vào phương trình hàm: Tồn hàm số f xác định (0; +) thỏa f(xy) = f(x) + f(y) với x, y dương f(e) = Hàm số f gọi hàm số lôgarit Nêpe Biểu thức f(x) kí hiệu lnx - Dựa vào nguyên hàm: Hàm số f xác định f(x) = 1/x liên tục (0; +) nên có nguyên hàm khoảng Hàm số lôgarit Nêpe F nguyên hàm f (0; x +) thỏa điều kiện F(1) = Nói cách khác, F(x) =  dt với x > t Hàm số lôgarit số a (a > 0, a  1) định nghĩa từ hàm số lôgarit Nêpe nhờ ln x công thức đổi số: logax = với x > ln a Hàm số mũ số a > định nghĩa hàm số xác định R biểu thức f(x) = ax = exlna Hệ thức giúp định nghĩa lũy thừa x > với số mũ vô tỉ : x = elnx 1.3 Đối chiếu tiến trình xây dựng khái niệm hàm số mũ Việt Nam Pháp Từ tiến trình xây dựng hàm số mũ trung học phổ thông Việt Nam Pháp, ta rút nhận xét sau: - Ở Việt Nam, hàm số mũ số a (a > 0, a  1) xây dựng dựa mở rộng khái niệm lũy thừa Hàm số mũ số e trường hợp đặc biệt hàm số mũ a = e > Ở Pháp, hàm số mũ số e xây dựng dựa phương trình vi 63 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 4(82) năm 2016 _ phân Hàm số mũ số a (a > 0) định nghĩa từ hàm số mũ số e lôgarit Nêpe Hai tiến trình sơ đồ hóa sau: Việt Nam: mở rộng khái niệm lũy thừa  biểu thức mũ  hàm mũ (cơ số a, e) Pháp: phương trình vi phân  hàm mũ (cơ số e)  hàm lôgarit (cơ số e, a)  hàm mũ (cơ số a) + lũy thừa với số mũ vô tỉ - Ở Việt Nam, số e định nghĩa trước hàm số mũ số a (a > 0, a  1) Ở Pháp, số e định nghĩa trình xây dựng hàm số mũ số e Sự mở rộng khái niệm lũy thừa thực cách gián tiếp qua trung gian hàm số mũ - Ở Việt Nam, biểu thức mũ giúp định nghĩa biểu thức lôgarit số a hàm số lơgarit số a Ở Pháp, ngồi cách này, chương trình đề nghị thêm hai cách khác, dựa vào phương trình hàm ngun hàm Ta sơ đồ hóa tiến trình sau: Việt Nam: biểu thức mũ  biểu thức lôgarit (cơ số a)  hàm số lôgarit (cơ số a, e) Pháp: biểu thức mũ phương trình hàm nguyên hàm  hàm số lôgarit (cơ số e)  hàm số lôgarit (cơ số a) Sự khác tiến trình xây dựng hàm số mũ Việt Nam Pháp đặt câu hỏi: Trong lịch sử toán học, khái niệm hàm số mũ hình thành phát triển nào? Phần trả lời câu hỏi này, có ý đến mối liên hệ với hàm số lôgarit số e Sự đời phát triển khái niệm hàm số mũ Sự đời phát triển khái niệm hàm số mũ có liên quan đến khái niệm lơgarit tự nhiên, mở rộng khái niệm lũy thừa số e Để dễ theo dõi, chúng tơi trình bày chúng thành ba phần riêng sau: 2.1 “Diện tích hypebol” hay lôgarit tự nhiên Năm 1614, John Napier (1550-1617) công bố bảng lơgarit giúp đơn giản hóa phép tính lượng giác thiên văn học Trong tác phẩm Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni (1647), Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667) nghiên cứu toán cầu phương hypebol [10] Kết nghiên cứu ơng diễn đạt thuật ngữ đại sau: Gọi S 1, S2 diện tích miền phẳng xác định {M(x, y)| < a  x  b,  y  1/x}, {M(x, y)| < a < b  x  c,  y  1/x} Ta có S1 = S2 a, b, c tạo thành cấp số nhân Từ kết trên, De Saint-Vincent chứng minh “diện tích hypebol” có tính chất giống lơgarit (biến đổi tích thành tổng) chưa nhận mối liên hệ diện tích (lơgarit tự nhiên) với lơgarit Napier tạo 64 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trần Lương Công Khanh tgk _ Năm 1649, Alphonse Antoine de Sarasa (1617-1667) - môn đệ de SaintVincent - phát biểu mối liên hệ lơgarit “diện tích hypebol” Vì vậy, “diện tích hypebol” gọi lôgarit hypebolic Năm 1668, Nicolaus Mercator (1620-1687) dùng thuật ngữ lơgarit tự nhiên để “diện tích hypebol” Thuật ngữ dùng đến ngày [10] 2.2 Số e Khái niệm số lôgarit không đề cập tường minh bảng lôgarit đầu kỉ XVII Napier Sự xuất lôgarit tự nhiên từ kỉ XVII không làm thay đổi tình trạng này, lơgarit (thập phân) số e can thiệp ngầm vào bảng lôgarit (thập phân) Vlacq - thông qua công thức lnN = lgN/lge [7] Năm 1685, Jacques Bernoulli (1654-1705) nghiên cứu tốn lãi suất kép góc độ khác với người Babylon (sẽ đề cập phần 2.3) Để dễ hiểu, ta trình bày ví dụ cụ thể (bằng kí hiệu đại) trước nêu kết tổng quát Jacques Bernoulli [4] Giả sử ta đem đồng cho vay với lãi suất kép 100 % năm Sau năm, ta có đồng (vốn lãi) Nếu lãi suất toán theo sáu tháng số tiền thu (vốn lãi) sau năm đồng x (1 + ½)2 = 2,25 đồng Nếu lãi suất toán theo ba tháng số tiền thu (vốn lãi) sau năm đồng x (1 + ¼)4 = 2,441406 đồng Nếu lãi suất tốn theo tháng số tiền thu (vốn lãi) sau năm đồng x (1 + 1/12)12  2,613035 đồng Nếu lãi suất tốn theo tuần số tiền thu (vốn lãi) sau năm đồng x (1 + 1/52)52  2,692597 đồng Nếu lãi suất tốn theo ngày số tiền thu (vốn lãi) sau năm đồng x (1 + 1/365)365  2,714567 đồng 65 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 4(82) năm 2016 _ Bernoulli nhận xét khoảng thời gian tính lãi suất kép ngày nhỏ, dãy số tiến đến giới hạn Tuy nhiên, ông chưa nhận mối liên hệ giới hạn lôgarit tự nhiên Nếu dùng kí hiệu đại, nhận xét Bernoulli hệ n  1 thức lim 1   = e n   n Sự đời của lôgarit tự nhiên với tư cách “diện tích hypebol” nhu cầu biểu diễn x theo y từ đẳng thức y = lnx dẫn đến việc phải xác định số b cho lnb = (Leibniz 1690) Năm 1728, Euler dùng e để số lơgarit tự nhiên tính e  2,7182817 Năm 1737, Euler khai triển e, ba số e , e2 thành liên phân số suy tính vơ tỉ Năm 1748, Euler biểu diễn ex dạng chuỗi lũy thừa giới hạn (mặc dù định nghĩa xác giới hạn Karl Weierstrass công bố năm 1861): ex = + x x2 + + 1! 2! x  ex = lim 1   n    n n Năm 1874, Charles Hermite (1822-1901) chứng minh e số siêu việt Năm 1895, Felix Klein (1849-1925) cung cấp chứng minh khác đơn giản 2.3 Mở rộng khái niệm lũy thừa Người Babylon đặt tốn tính số năm cần thiết để tăng gấp đơi số vốn 47 ban đầu cho vay với lãi suất kép 20 % năm tìm đáp số [3] 60 Nếu dùng kí hiệu đại, toán người Babylon tương đương với việc giải 47 47 phương trình (1,2)x = Vì 1,2 3 60  1,9933  nên nghiệm gần có 60 độ tin cậy cao Mặc dù vật khảo cổ chưa làm rõ cách giải kí hiệu mà người Babylon sử dụng, toán chứng tỏ họ nghĩ đến lũy thừa với số mũ hữu tỉ biết cách tính xác số giá trị lũy thừa Trong tác phẩm De proportionum (1360), Nicole Oresme (1320-1382) tìm cách xây dựng thang âm điều hòa cách chia quãng tám hai nốt tên thành 12 nửa cung Vì tần số nốt cao gấp đôi tần số nốt thấp quãng tám, vấn đề Oresme tương đương với việc xác định cơng bội q cấp số nhân có u13 = 2u tức q12 = Để tìm q, Oresme ngầm sử dụng khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỉ dương dù chưa đưa định nghĩa hay kí hiệu Nếu diễn đạt kí hiệu đại, 66 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trần Lương Công Khanh tgk _ ý tưởng Oresme dựa hệ thức 21/12 21/12… 21/12 = Oresme cố gắng định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ không thành công Trong tác phẩm Triparty en la science des nombres (1484), Nicolas Chuquet (1445-1488) dùng kí hiệu m để phép trừ, 1n để xn 1nm để x-n (với n nguyên dương) Chẳng hạn, biểu thức 7x3 - 1/x2 Chuquet viết 73 m 12m Chuquet sử dụng kí hiệu cách viết tắt chưa phát biểu mối liên hệ xn x-n Ông sử dụng bậc hai bậc ba để xác định số hạng đứng cấp số nhân Tuy nhiên, tác phẩm Triparty en la science des nombres không xuất nên kết Chuquet phổ biến Có tài liệu nói Chuquet định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên âm Trong tác phẩm Arithmetica integra (1544), Michael Stifel (1486-1567) đưa quy tắc nhân chia hai lũy thừa số với số mũ tự nhiên, nguyên âm hữu tỉ Ông người đề xướng thuật ngữ số mũ Trong Géométrie (1637), René Descartes (1596-1650) dùng x, y, z… để ẩn số, a, b, c để số biết x3, x4 …, x5 để xxx, xxxx, …, xxxxx Kí hiệu sau nhanh chóng nhiều nhà tốn học sử dụng, có Mersenne (1588-1648) Huygens (1629-1695) Descartes sử dụng số nguyên dương không sử dụng chữ số mũ lũy thừa Năm 1657, John Wallis (1616-1703) người dùng chữ để kí hiệu số mũ nguyên dương Kí hiệu Wallis giúp diễn đạt quy tắc Stifel nhân chia hai lũy thừa số (với số mũ 0, nguyên âm, hữu tỉ) thành công thức ngắn gọn Từ nửa sau kỉ XVII, kí hiệu ap/q sử dụng phổ biến số mũ p/q bắt đầu xem lơgarit Diễn đạt kí hiệu đại, điều có nghĩa p/q = loga(ap/q) Năm 1676, Newton (1643-1727) gửi cho Leibniz (1646-1716) hai thư (Epistola prior Epistola posterior) qua trung gian Henry Oldenburg (16181677) Trong thư đầu, Newton khai triển nhị thức với số mũ phân thức hữu tỉ chứa chữ, cụ thể biểu thức (P + PQ)m/n Trong thư thứ hai, Newton đề cập đến lũy thừa với số mũ vô tỉ, cụ thể x  x Tuy nhiên, ông khơng nói đến định nghĩa hay cách tính (dù gần đúng) hai lũy thừa với số mũ vô tỉ Năm 1678, Leibniz lần sử dụng kí hiệu xy khơng giải thích ý nghĩa Năm 1679, ơng thổ lộ với Huygens khó khăn giải phương trình xx x = 24 Trong thư trao đổi với Huygens từ 1690 đến 1691, Leibniz cho biểu thức mũ khơng có tối nghĩa Ông liên kết chúng cách tường minh với 1 v 1  v  lôgarit tự nhiên biểu thức ln  = b t với b “một đại lượng  =t  1 v 1 v  67 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 4(82) năm 2016 _ không đổi có lơgarit tự nhiên 1” Đây lần xuất tường minh số lơgarit tự nhiên mà sau (1728) Euler (1707-1783) kí hiệu e Năm 1694, Jean Bernoulli (1667-1748) Leibniz khảo sát hàm số y = xx xác định tiếp tuyến đồ thị hàm số Năm 1697, Jean Bernoulli khảo sát hàm số y = a x tác phẩm Principia calculi exponentialium seu percurrentium Trong Introductio in Analysin infinitorum (Nhập mơn giải tích vơ hạn) xuất năm 1748, Euler định nghĩa hàm mũ với số mũ phức công thức eix = cosx + isinx với x số thực tùy ý Công thức mở rộng cho x số phức Năm 1867, Edmond Laguerre (1834-1886) đưa định nghĩa biểu thức mũ với số  mũ ma trận: eA =  Ak với A ma trận vuông số phức k 1 k! 2.4 Những đặc trưng tri thức luận khái niệm hàm số mũ Các bảng lôgarit đời vào đầu kỉ XVII nhu cầu đơn giản hóa phép tính lượng giác Khái niệm lôgarit tự nhiên đời vào kỉ XVII từ việc tính “diện tích hypebol” Cuối kỉ XVII, nhu cầu biểu diễn mối liên hệ lôgarit tự nhiên biểu thức mũ dẫn đến việc định nghĩa e số có lôgarit tự nhiên Đến kỉ XVIII XIX, chất vô tỉ siêu việt e phát Điều có nhiều nguyên nhân mà số vấn đề tinh tế giới hạn xây dựng tập số thực Thật vậy, định nghĩa hình thức giới hạn Karl Weierstrass (1815-1897) phát biểu vào năm 1850 Tập R Cantor (1845-1918) xây dựng vào năm 1872 nhờ lớp tương đương dãy Cauchy Q Cũng năm này, Dedekind (1831-1916) công bố cách xây dựng tập R nhát cắt Việc mở rộng khái niệm lũy thừa trình dài thời Babylon cổ đại hoàn thành vào cuối kỉ XIX Nó khơng tiến triển cách đơn giản theo thời gian mà có thời điểm lặp đi, lặp lại Trước lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ hữu tỉ dương xuất sớm từ toán thực tế Lũy thừa với số mũ vô tỉ xuất trễ sử dụng trước có định nghĩa tường minh Vì vậy, Leibniz phải giải thích ý nghĩa biểu thức mũ thông qua lôgarit tự nhiên xuất trước Các hàm số mũ Jean Bernoulli gắn liền với toán tiếp tuyến (tức đạo hàm) trước định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ giới hạn đời vào kỉ XIX: Lũy thừa a (với a >  vô tỉ) giới hạn chung tất dãy a rn  a  với (rn) (sn) hai dãy hữu tỉ hội tụ tăng hội tụ giảm đến  Các sở toán sn học định nghĩa khái niệm giới hạn nguyên lí Cantor dãy đoạn lồng vào thắt lại: 68 Trần Lương Công Khanh tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Nếu [an, bn] dãy đoạn thỏa [an+1, bn+1]  [an, bn] với n lim (bn  an ) n    = tồn số thực  thỏa   [ a , b ] n n n 1 Bài toán lãi suất kép người Babylon mơ hình mang lại ý nghĩa thực tiễn cho khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỉ dương Tương tự, toán lãi suất kép Jacques Bernoulli mang lại ý nghĩa thực tiễn cho số e Kết luận Hai tiến trình khác xây dựng khái niệm hàm mũ Việt Nam Pháp hai minh họa cho khái niệm chuyển hóa didactic Chevallard phát triển năm 1989: Một tri thức toán học để dạy thể chế dạy học phải chịu biến đổi định từ người soạn chương trình sách giáo khoa Ở Việt Nam, hàm số mũ định nghĩa dựa vào mở rộng khái niệm lũy thừa Để tránh trở ngại lũy thừa với số mũ vơ tỉ, sách Giải tích 12 nâng cao phát biểu chấp nhận kết tương đương với nguyên lí Cantor dãy đoạn lồng vào thắt lại phù hợp với cấu trúc chương trình Đây cách tiếp cận tốn học kỉ XIX Ở Pháp, người soạn chương trình sách giáo khoa định nghĩa hàm số mũ phương trình vi phân Sau đó, sách giáo khoa phát biểu chứng minh số tính chất đại số giải tích hàm mũ Các tính chất giúp học sinh Pháp nhận mối liên hệ giá trị hàm mũ giá trị lũy thừa mở rộng Cách tiếp cận chịu ảnh hưởng toán học kỉ XVII Bài báo đặt câu hỏi tác động chuyển hóa didactic khái niệm hàm số mũ lên giáo viên học sinh Việt Nam Pháp mà chúng tơi hi vọng có dịp đề cập viết khác./ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Giáo dục Đào tạo (2008), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ trường trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp giảng dạy Toán, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh A Dahan-Dalmedico, Peiffer J (1986), Une histoire des mathématiques – Routes et dédales, Édition du Seuil Bernoulli J., Basileensis opera, tome 1, p 429 dẫn theo A Dahan-Dalmedico, Peiffer J (1986), Une histoire des mathématiques – Routes et dédales, Édition du Seuil Cajori F (1913), “History of exponential and logarithmic concepts”, The American Mathematical Monthly, vol 20, no 1, jan 1913, pp 5-14, Mathematical Association of America 69 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 4(82) năm 2016 _ Cajori F (1928), A History of mathematical notations, pp 350, pp 355, The Open Court Company, London Coolidge J L (1950), The Number e, Amer Math Monthly, vol 57, no 9, november 1950, pp 591-602 Kouteynikoff O (2006), “Inventions de nombres : calculs ou résolution ?”, Histoires de logarithmes, pp 23, pp 29-33, Ellipses, Paris Lardic J-M (1999), L’infini entre science et religion au XVIIe siècle, pp 123-126, Librairie philosophique J Vrin, Paris 10 Legoff J-P (1989), De la méthode dite d'exhaustion: Grégoire de Saint-Vincent (1584 - 1667), La Démonstration mathématique dans l'histoire, IREM de Lyon, 1989, pp 215 11 Merzbach U C, Boyer C B (2011), A History of mathematics, pp 27, pp 238, Wiley, New Jersey 12 Ministère de l'éducation nationale (2015), Programmes du cycle terminal de la voie générale, Paris (Ngày Tòa soạn nhận bài: 11-11-2015; ngày phản biện đánh giá: 13-01-2016; ngày chấp nhận đăng: 24-4-2016) 70
- Xem thêm -

Xem thêm: HÀM SỐ MŨ: MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN VÀ ĐỐI CHIẾU GIỮA VIỆT NAM VÀ PHÁP, HÀM SỐ MŨ: MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN VÀ ĐỐI CHIẾU GIỮA VIỆT NAM VÀ PHÁP

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay