PHƯƠNGPHÁPCHIA ĐÔI GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO TUYẾN TÍNH

11 18 0
  • Loading ...
1/11 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 17/04/2018, 22:21

Kỷ yếu cơng trình khoa học 2015 - Phần I PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐƠI GIẢI BÀI TỐN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO TUYẾN TÍNH Nguyễn Lâm Tùng Bộ mơn Tốn Đại học Thăng Long Email: nguyenlamtung01@gmail.com Tóm tắt Báo cáo trình bày số cải tiến thuật tốn chia đơi giải tốn tối ưu hàm tuyến tính tập Pareto [1] Bài toán phát biểu sau: max ⟨d, x⟩, (P) x∈E(C,X) d ∈ R , E(C, X) tập Pareto toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính: V max Cx, (LP) n x∈X với C ma trận p × n, p số hàm mục tiêu tuyến tính, X đa diện lồi bị chặn R n Báo cáo trình bày tính chất quan trọng toán (LP), cở sở lý thuyết, điều kiện dừng thuật tốn chia đơi Cuối báo cáo nêu ví dụ minh họa cho thuật tốn Từ khóa: đa diện lồi, tập Pareto, tối ưu, hàm tuyến tính, thuật tốn chia đơi, nghiệm tối ưu Mở đầu Định nghĩa Cho R n+ = {x ∈ R n |xi ≥ 0, ∀i = 1, n} nón phần tử không âm R n Ta nói điểm x ∈ X cực đại Pareto toán (LP) nếu: Cy − Cx ∈ / R n+ , ∀y ∈ X, y ̸= x, tập tất điểm cực đại Pareto toán (LP) ký hiệu E(C,X), gọi tắt tập Pareto hay tập hữu hiệu Định lý 1.Tập Pareto E(C, X) tốn (LP) đóng, liên thơng đường bao gồm số diện X Định lý Điểm x0 điểm Pareto toán tối ưu p mục tiêu tuyến tính ¯ ∈ Λ0 cho: (LP) tồn λ ¯ T Cx0 ≥ λ ¯ T Cx, ∀x ∈ X λ với Λ = {λ = (λ1 , , λp ) | λ1 + · · · + λp = 1, λi ≥ 0, ∀i = 1, p} Λ0 phần tương đối Λ Trường Đại học Thăng Long 141 Kỷ yếu cơng trình khoa học 2015 - Phần I Nhận xét: Theo định lý trên, toán (P ) mơ tả thành tốn sau: max{dT x |λT Cx ≥ g(λ), x ∈ X, λ ∈ Λ0 } g(λ) = max{λT Cy |y ∈ X} Định lý 3.[Philip] Điểm x0 điểm Pareto toán tối ưu p mục tiêu tuyến ¯ ∈ ΛM cho: tính (LP) tồn M > λ ¯ T Cx0 ≥ λ ¯ T Cx, ∀x ∈ X λ với ΛM = {λ = (λ1 , , λp ) | λ1 +· · ·+λp ≤ M, λi ≥ 1, ∀i = 1, p} Trong báo [1], tác giả sử dụng định lý để đưa thuật tốn tìm kiếm chia đơi, nhiên thuật tốn có nhược điểm là: Thứ nhất, định lý khẳng định tồn M khơng đưa cách xác định M, áp dụng vào ví dụ cụ thể, việc lấy giá trị M thiếu chặt chẽ Thứ hai, thuật toán hội tụ chậm chưa đưa nghiệm xác Bài báo cáo dùng định lý 2, không sử dụng định lý nên thuật toán chặt chẽ hơn, đồng thời đưa điều kiện dừng thuật toán làm cho thuật toán dừng nhanh có nghiệm xác Thuật tốn tìm kiếm chia đôi Đặt: d∗ = max ⟨d, x⟩, γ0 = min⟨d, x⟩, β0 = max⟨d, x⟩ x∈E(C,X) x∈X x∈X E(C, X) tập Pareto tốn đa mục tiêu tuyến tính (LP), X đa diện lồi bị chặn Dễ thấy γ0 ≤ d∗ ≤ β0 , ý tưởng thuật toán áp dụng sơ đồ chia đôi miền giá trị hàm mục tiêu để định vị giá trị d∗ Bắt đầu từ đoạn [γ0 , β0 ] chứa d∗ , qua bước lặp k co ngắn đoạn γk , βk nửa cách giải tốn: Tìm x ∈ E(C, X) cho dT x ≥ αk với αk = (γk + βk )/2 (Pk ) • Nếu tốn (Pk ) có nghiệm xk đặt γk+1 = dT xk , βk+1 = βk • Nếu tốn (Pk ) vơ nghiệm đặt γk+1 = γk , βk+1 = αk Sau giải tốn (Pk ) ta có d∗ ∈ [γk+1 , βk+1 ], trình kết thúc βk − γk ≤ ϵ cho trước Cho α ∈ R , ký hiệu: E α = {x ∈ E(C, X) | ⟨d, x⟩ ≥ α} Trường Đại học Thăng Long 142 Kỷ yếu cơng trình khoa học 2015 - Phần I Ta có: E α = {x ∈ X |∃λ ∈ Λ0 : λT Cx ≥ λT Cy, ∀y ∈ X, ⟨d, x⟩ ≥ α} = {x ∈ X |∃λ ∈ Λ0 : λT Cx ≥ g(λ), ⟨d, x⟩ ≥ α} g(λ) = max{λT Cy | y ∈ X} Đặt: hα (λ) = max{λT Cx | x ∈ X, ⟨d, x⟩ ≥ α} Dễ dàng chứng minh hα (λ) hàm lồi theo λ Xây dựng tập: Λ = {(λ1 , λ2 , , λp ) | λ1 + λ2 + · · · + λp = 1, λi ≥ 0, ∀i = 1, , p} Λ0 = {(λ1 , λ2 , , λp ) | λ1 +λ2 +· · ·+λp = 1, λi > 0, ∀i = 1, , p} Ω = {(λ, t) | λ ∈ Λ0 , t ≥ g(λ)} Ωα = {(λ, t) | λ ∈ Λ0 , t > hα (λ)} ¯ α = {(λ, t) | λ ∈ Λ0 , t ≥ hα (λ)} Ω Mệnh đề a Ω Ωα hai tập lồi, ¯ α, b Ω ⊂ Ω c E α (C, X) ̸= ∅ Ω \ Ωα ̸= ∅ Chứng minh: a Các Ω Ωα lồi đồ thị hàm lồi g(λ) hα (λ) b Hiển nhiên g(λ) ≥ hα (λ) c Giả sử x ∈ E α (C, X) tồn λ ∈ Λ0 cho g(λ) ≤ λT Cx Lấy t = g(λ) suy (λ, t) ∈ Ω Hơn nữa: t ≤ λT Cx, x ∈ X, ⟨d, x⟩ ≥ α nên: t ≤ max{λT Cx | x ∈ X, ⟨d, x⟩ ≥ α} = hα (λ) t − hα (λ) ≤ suy (λ, t) ∈ / Ωα Do (λ, t) ∈ Ω \ Ωα hay Ω \ Ωα ̸= ∅ Ngược lại, giả sử (λ, t) ∈ Ω \ Ωα , theo định nghĩa ta có: t ≥ g(λ), λ ∈ Λ0 , t ≤ hα (λ) Trường Đại học Thăng Long 143 Kỷ yếu cơng trình khoa học 2015 - Phần I Gọi x∗ nghiệm tối ưu toán: max{λT Cx | x ∈ X, ⟨d, x⟩ ≥ α} ta có: t ≤ hα (λ) = λT Cx∗ , ⟨d, x∗ ⟩ ≥ α, x∗ ∈ X suy g(λ) ≤ λT Cx∗ , λ ∈ Λ, ⟨d, x∗ ⟩ ≥ α, x∗ ∈ X, tức x∗ ∈ E α (C, X) hay E α (C, X) ̸= ∅ Giả sử x0 ∈ X Sk = {(λ, t) | λ ∈ Λ, t ≥ λT Cx0 , }, Sk đa diện lồi chứa Ω Sk có hướng lùi xa u = (0, , 0, 1) ∈ R p × R Gọi Vk tập đỉnh Sk ta định nghĩa Wk sau: Wk = {(λ, t) ∈ Vk | t − hα (λ) ≤ 0} Hệ Nếu Wk = ∅ Ω \ Ωα = ∅ Chứng minh: Do tập Sk có hướng lùi xa vecto u nên hàm φ(λ, t) = t − hα (λ) bị chặn tập Sk , đồng thời φ(λ, t) hàm lõm Do đó: min{t − hα (λ) | (λ, t) ∈ Sk } = min{t − hα (λ) | (λ, t) ∈ Vk } Do Wk = ∅ thì: min{t − hα (λ) | (λ, t) ∈ Vk } > 0, tức là: min{t − hα (λ) | (λ, t) ∈ Sk } > Vì Ω ⊂ Sk nên ∀(λ, t) ∈ Ω ta có t − hα (λ) > tức (λ, t) ∈ Ωα , suy Ω ⊂ Ωα , nghĩa Ω \ Ωα = ∅ Như Wk = ∅ E α (C, X) = ∅, tức toán (Pk ) vơ nghiệm Ngược lại, Wk ̸= ∅ ta có điểm (λk , tk ) ∈ Wk Nhận xét: • Nếu (λk , tk ) ∈ Ω, tức λk ∈ Λ g(λk ) ≤ tk , (λk , tk ) ∈ Ω\Ωα Gọi xk nghiệm tối ưu toán quy hoạch tuyến tính: max{(λk )T Cx | x ∈ X, ⟨d, x⟩ ≥ α} theo chứng minh mệnh đề 1, ta có xk ∈ E α (C, X) • Nếu (λk , tk ) ∈ / Ω, tức g(λk ) − tk > 0, gọi y k nghiệm tối ưu tốn quy hoạch tuyến tính: max{(λk )T Cy | y ∈ X} suy g(λk ) = (λk )T Cy k , (λk )T Cy k − tk = g(λk ) − tk > Mặt khác, ∀(λ, t) ∈ Ω ta có λT Cy k − t ≤ g(λ) − t ≤ Trường Đại học Thăng Long 144 Kỷ yếu cơng trình khoa học 2015 - Phần I Như siêu phẳng {(λ, t) | λT Cy k − t = 0} tách chặt đỉnh (λk , tk ) với tập Ω Ta xây dựng đa diện Sk+1 chứa Ω sau: Sk+1 = Sk ∩ {(λ, t) | λT Cy k − t ≤ 0} Mệnh đề Giả sử tất đỉnh Sk v1 , v2 , , vm , đồng thời φ(v1 ) = 0, φ(v2 ) > 0, , φ(vm ) > Khi φ(x) > 0, ∀x ∈ Sk , x ̸= v1 Chứng minh: Do Sk có hướng lùi xa u = (0, , 0, 1) nên với x ∈ Sk tồn số thực không âm q1 , q2 , , qm , r cho q1 + q2 + · · · + qm = x − r.u = q1 v1 + · · · + qm vm Do φ(x) = φ(λ, t) = t − hα (t) hàm lõm tăng theo t nên φ(x) ≥ φ(x − ru) ≥ q1 φ(v1 ) + · · · + qm φ(vm ) ≥ 0, dễ thấy dấu xẩy x = v1 , ta có điều phải chứng minh Hệ Giả sử (λ1 , t1 ), , (λm , tm ) tất đỉnh Sk , đồng thời φ(λ1 , t1 ) = 0, φ(λ2 , t2 ) > 0, φ(λm , tm ) > 0, (λ1 , t1 ) ∈ / Ω Khi φ(λ, t) > 0, ∀(λ, t) ∈ Ω Chứng minh: Suy trực tiếp từ mệnh đề Ω ⊂ Sk (λ1 , t1 ) ∈ / Ω Từ tính chất nhận xét ta có thủ tục OA sau: Khởi tạo: Lấy v ∈ X cho Cv ̸= Đặt S0 = {(λ, t) | λ ∈ Λ, λT Cv ≤ t}, V0 tập đỉnh S0 đặt k = Vòng lặp k: Bước 1: Giải tốn: θ = min{t−hα (λ) | (λ, t) ∈ Vk } ta θ, λk , tk • TH1: Nếu θ > θ = φ(λ, t) > 0, ∀(λ, t) ∈ V (Sk ), (λ, t) ̸= (λk , tk ) dừng thuật tốn: E α (C, X) = ∅, nói cách khác tốn Pk khơng có nghiệm • TH2: Nếu θ < θ = có λk ∈ Λ0 chuyển sang bước • TH3: Nếu θ = khơng thuộc TH1 TH2 chọn ε > đủ nhỏ đặt: Skε = Sk ∩ {(λ, t)|λi ≥ ε}, Vkε = V (Skε ) Giải toán: θ = min{t − hα (λ) | (λ, t) ∈ Vkε } ta nghiệm θε , λkε , tkε – Nếu θε > dừng thuật tốn, tốn Pk khơng có nghiệm – Nếu θε = đặt λk = λkε , tk = tkε , chuyển sang bước Trường Đại học Thăng Long 145 Kỷ yếu cơng trình khoa học 2015 - Phần I Bước 2: Giải tốn quy hoạch tuyến tính: max{(λk )T Cy | y ∈ X} nghiệm tối ưu y k giá trị tối ưu η = g(λk ) • Nếu η ≤ tk ta có (λk , tk ) ∈ Ω \ Ωα , gọi x∗ nghiệm tối ưu toán: max{(λk )T Cx | x ∈ X, ⟨d, x⟩ ≥ α} tức x∗ ∈ E α (C, X), dừng thuật tốn • Nếu η > tk , chuyển sang bước Bước 3: Xây dựng tập: Sk+1 = Sk ∩ {(λ, t) | λT Cy k − t ≤ 0} xác định tập đỉnh Vk+1 Sk+1 , gán k := k + 1, quay bước Mệnh đề Thủ tục OA dừng sau hữu hạn vòng lặp cho nghiệm toán (Pk ) toán (Pk ) vô nghiệm Chứng minh: Ta cần chứng minh bước thuật tốn khơng thể lặp vơ hạn lần Thật vậy, theo cách xây dựng thủ tục, Sk+1 có từ Sk cách thêm vào siêu phẳng cắt t = λT Cy k , có siêu phẳng nên điểm (λ, tk ) ∈ Sk không thuộc Sk+1 , tức Sk+1 tập thực Sk nhờ có siêu phẳng cắt t = λT Cy k , sau bước lặp siêu phẳng cắt phải khác Mặt khác siêu phẳng xác định theo y k Tóm lại, bước lặp giá trị y k phải khác mà y k đỉnh đa diện X có hữu hạn đỉnh Vậy bước thuật tốn lặp lại nhiều số đỉnh X Do bước hữu hạn nên thuật toán dừng bước bước Nếu thuật toán dừng bước tốn (Pk ) vơ nghiệm Nếu thuật tốn dừng bước tốn (Pk ) có nghiệm Nhận xét • Nghiệm tối ưu xk tốn quy hoạch tuyến tính: max{(λk )T Cx | x ∈ X, ⟨d, x⟩ ≥ α} chưa phải đỉnh X Tuy nhiên nhờ thủ tục tìm kiếm Benson ta tìm điểm Pareto x∗ thuộc tập đỉnh V (X) X mà tốt xk (theo nghĩa ⟨d, x∗ ⟩ ≥ ⟨d, xk ⟩) • Vậy X đa diện lồi tốn (P) ln có nghiệm đỉnh X Trường Đại học Thăng Long 146 Kỷ yếu cơng trình khoa học 2015 - Phần I • Tại vòng lặp thứ k, đặt: uk = min{⟨d, x⟩ − ⟨d, xk ⟩ |x ∈ V (X), ⟨d, x⟩ > ⟨d, xk ⟩} βk − γk < uk xk điểm Pareto cần tìm x ¯ ̸= xk đỉnh X nghiệm tốn (P) ⟨d, x ¯⟩ − k ⟨d, x ⟩ ≤ βk − γk < uk , vơ lý Thuật tốn tìm kiếm chia đơi giải tốn tối ưu tuyến tính tập Pareto: Khởi tạo: Tìm V (X) v ∈ V (X) cho Cv ̸= Đặt: γ0 = min{⟨d, x⟩ | x ∈ V (X)}, β0 = max{⟨d, x⟩ | x ∈ V (X)}, S0 = {(λ, t) | λ ∈ Λ, λT Cv ≤ t}, tìm đỉnh V0 S0 , chọn u0 = β0 − γ0 gán xopt = x0 = v, k = Vòng lặp k: Bước k.1: • Nếu βk − γk < uk , dừng thuật toán, xopt nghiệm (P) • Nếu βk − γk ≥ uk , chuyển sang bước k.2 Bước k.2: Đặt αk = (βk + γk )/2, Vk = V (Sk ) giải toán: θ = min{t − hαk (λ) | (λ, t) ∈ Vk } tìm giá trị θ, λk , tk nghiệm toán trên, chuyển sang bước k.3 Bước k.3: • Nếu θ > θ = φ(λ, t) > 0, ∀(λ, t) ∈ V (Sk ), (λ, t) ̸= (λk , tk ) đặt: Sk+1 = Sk , βk+1 = αk , γk+1 = γk , uk+1 = uk , k := k + bước k.1 • Nếu θ < θ = có λk ∈ Λ0 , chuyển sang bước k.4 • Nếu θ = không thuộc trường hợp chọn ε > đủ nhỏ đặt: Skε = Sk ∩ {(λ, t)|λi ≥ ε}, Vkε = V (Skε ) Giải toán: θ = min{t − hαk (λ) | (λ, t) ∈ Vkε } ta nghiệm θε , λkε , tkε Trường Đại học Thăng Long 147 Kỷ yếu cơng trình khoa học 2015 - Phần I – Nếu θε > đặt: Sk+1 = Sk , βk+1 = αk , γk+1 = γk , uk+1 = uk , k := k+1 bước k.1 – Nếu θε = đặt λk = λkε , tk = tkε , chuyển sang bước k.4 Bước k.4: Tìm nghiệm tối ưu y k giá trị tối ưu η toán: η = max{(λk )T Cy | y ∈ X} • Nếu η ≤ tk , chọn xopt = argmax{(λk )T Cx | ⟨d, x⟩ ≥ αk } uk+1 = min{⟨d, x⟩−⟨d, xopt ⟩ |x ∈ V (X), ⟨d, x⟩ > ⟨d, xopt ⟩} Sk+1 = Sk , βk+1 = βk , γk+1 = ⟨d, xopt ⟩, k := k + bước k.1 • Nếu η > tk chuyển sang bước k.5 Bước k.5: Sk+1 = Sk ∩ {(λ, t) | λT Cy k ≤ t}, βk+1 = βk , γk+1 = γk uk+1 = uk , k := k + 1, trở bước k.2 Ví dụ Xét toán: max{x1 − x2 + x3 |(x1 , x2 , x3 ) ∈ E(C, X)} E(C, X) điểm Pareto toán: V max{x1 − x3 , x2 } x∈X với: X = {(x1 , x2 , x3 ) | x1 + x2 ≤ 3, ≤ x1 , x2 , x3 ≤ 2} Khởi tạo: Với giả thiết tốn ta có: X = {(x1 , x2 , x3 )|x1 + x2 ≤ 3, ≤ x1 , x2 , x3 ≤ 2}, d = (1, −1, 1), ( ) −1 C= Các đỉnh X là: A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(2, 1, 0), D(1, 2, 0), E(0, 2, 0), F (0, 2, 2), G(0, 0, 2), H(2, 0, 2), I(2, 1, 2), K(1, 2, 2) Đặt f (x1 , x2 , x3 ) = x1 − x2 + x3 , ta có: f (A) = 0, f (B) = 2, f (C) = 1, f3(D) = −1, f (E) = −2, Trường Đại học Thăng Long 148 Kỷ yếu cơng trình khoa học 2015 - Phần I f (F ) = 0, f (G) = 2, f (H) = 4, f (I) = 3, f (K) = β0 = max{⟨d, x⟩ |x ∈ V (X)} = điểm x0 = (2, 0, 2) γ0 = min{⟨d, x⟩ |x ∈ V (X)} = −2 điểm x = (0, 2, 0) ( ) ( ) x1 − x3 Chọn v = (1, 2, 0), Cv = , Cx0 = x2 Đặt: Λ = {(λ1 , λ2 ) | λ1 , λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1} S0 = {(λ, t)|λ ∈ Λ, t ≥ Cx0 } = {(λ, t)|λ ∈ Λ, t ≥ λ1 + 2λ2 } Chọn u0 = − (−2) = 6, xopt = x0 = v(chưa phải điểm pareto), k = Vòng lặp 0: Do u0 ≤ β0 − γ0 nên V0 = V (S0 ) = {(1, 0, 1), (0, 1, 2)} α0 = 1/2(β0 + γ0 ) = 1, φ(λ, t) = t − hα0 (λ) hα0 (λ) = max{λT Cx |x ∈ X, x1 − x2 + x3 ≥ 1} giải toán: θ = min{φ(λ, t) | (λ, t) ∈ V0 } hα0 (1, 0) = max{x1 − x3 |x ∈ X, x1 − x2 + x3 ≥ 1} = 2, hα0 (0, 1) = max{x2 |x ∈ X, x1 − x2 + x3 ≥ 1} = θ = min{φ(1, 0, 1), φ(0, 1, 2)} = −1 λ0 = (1, 0), t0 = η = max{λ0 Cy |y ∈ X} = max{y1 − y3 |y ∈ X} = đạt y = (2, 0, 0), η = > t0 = nên đặt: S1 = S0 ∩{(λ, t) |λT Cy ≤ t} = {(λ, t)|λ ∈ Λ, λ1 +2λ2 ≤ t, 2λ1 ≤ t} Đặt: β1 = β0 , γ1 = γ0 , u1 = u0 Vòng lặp 1: Do = u1 ≤ β1 − γ1 = − (−2) nên đặt: V1 = V (S1 ) = {(1, 0, 2), (0, 1, 2), (2/3, 1/3, 4/3)}, α1 = 1/2(β1 + γ1 ) = 1, φ(λ, t) = t − hα1 (λ) hα1 (λ) = max{λT Cx |x ∈ X, x1 − x2 + x3 ≥ 1} hα1 (1, 0) = 2, hα1 (0, 1) = hα1 (2/3, 1/3) = max{ 23 (x1 − x3 ) + 13 x2 ) |x ∈ X, x1 − x2 + x3 ≥ 1} = 5/3 x = (2, 1, 0) θ = min{φ(λ, t) | (λ, t) ∈ V1 } = −1/3, λ1 = (2/3, 1/3), t1 = 43 η = max{λ1 Cy |y ∈ X} = max{ 23 (y1 − y3 ) + 13 y2 |y ∈ X} = 5/3, y = (2, 1, 0) Do η = 5/3 ≤ t1 = 4/3 nên đặt: S2 = S1 ∩ {(λ, t) |λT Cy ≤ t} = Trường Đại học Thăng Long 149 Kỷ yếu cơng trình khoa học 2015 - Phần I {(λ, t) |λ ∈ Λ, λ1 + 2λ2 ≤ t, 2λ1 + λ2 ≤ t} β2 = β1 , γ2 = γ1 , u2 = u1 Vòng lặp 2: Do = u2 ≤ β2 − γ2 = − (−2) nên đặt: V2 = V (S2 ) = {(1, 0, 2), (0, 1, 2), (1/2, 1/2, 3/2)}, α2 = 1/2(β2 + γ2 ) = 1, φ(λ, t) = t − hα2 (λ) đó: hα2 (λ) = max{λT Cx |x ∈ X, x1 − x2 + x3 ≥ 1} hα2 (1, 0) = 2, hα2 (0, 1) = 2, hα2 (1/2, 1/2) = 3/2, x = (2, 1, 0) Khi đó: θ = min{φ(λ, t) | (λ, t) ∈ V2 } = đạt λ2 = (1/2, 1/2) ∈ Λ0 nên ta điểm hữu hiệu xopt = (2, 1, 0) Ta đặt: β3 = β3 = 4, γ3 = ⟨d, xopt ⟩ = 1, S3 = S2 u3 = min{⟨d, x⟩ − ⟨d, xopt ⟩ |x ∈ V (X), ⟨d, x⟩ > ⟨d, xopt ⟩} = Vòng lặp 3: Do = u3 ≤ β3 − γ3 = − nên đặt: V3 = V (S3 ) = {(1, 0, 2), (0, 1, 2), (1/2, 1/2, 3/2)}, α3 = 1/2(β3 + γ3 ) = 5/2, φ(λ, t) = t − hα3 (λ) đó: hα3 (λ) = max{λT Cx |x ∈ X, x1 − x2 + x3 ≥ 5/2} hα3 (1, 0) = 3/2, hα3 (0, 1) = 5/4, hα3 (1/2, 1/2) = 3/4 Khi đó: θ = min{φ(λ, t) | (λ, t) ∈ V3 } = 3/4 > nên E α3 (C, X) = {x ∈ EC(X) | ⟨d, x⟩ ≥ 5/2} = ∅ Ta đặt: β4 = α3 = 5/2, γ4 = γ3 = 1, u4 = u3 = 1, S4 = S3 Vòng lặp 4: Do = u4 ≤ β4 − γ4 = 5/2 − nên đặt: V4 = V (S4 ) = {(1, 0, 2), (0, 1, 2), (1/2, 1/2, 3/2)}, α4 = 1/2(β4 + γ4 ) = 7/4, φ(λ, t) = t − hα4 (λ) đó: hα4 (λ) = max{λT Cx |x ∈ X, x1 − x2 + x3 ≥ 7/4} hα4 (1, 0) = 2, hα4 (0, 1) = 13/8, hα4 (1/2, 1/2) = 9/8 θ = min{φ(λ, t) | (λ, t) ∈ V3 } = đạt (1, 0, 2) ∈ / Ω φ(0, 1, 2) > 0, φ(1/2, 1/2, 3/2) > nên theo hệ φ(λ, t) > 0, ∀(λ, t) ∈ Ω, tức là: E α2 (C, X) = {x ∈ EC(X) | ⟨d, x⟩ ≥ 7/4} = ∅ Ta đặt: β5 = α4 = 7/4, γ5 = γ4 = 1, u5 = u4 = 1, S5 = S4 Vòng lặp 5: Do = u5 > β5 − γ5 = 7/4 − nên thuật tốn dừng Ta có điểm tối ưu Pareto xác xopt = (2, 1, 0) với giá trị lớn hàm mục tiêu ⟨d, xopt ⟩ = Trường Đại học Thăng Long 150 Kỷ yếu cơng trình khoa học 2015 - Phần I Tài liệu tham khảo [1] T.Q Phong, H.Q Tuyen,(2000), Bisection search algorithm for optimizing over the efficient set, Vietnam Journal of Mathematics 28:3, 217-226 [2] H.P Benson,(1991), An all-linear programming relaxation algorithm for optimizing over the efficient set, J of Global Optimization 1, 83-104 Abstract In this report we present some improvements in splite algorithm for optimizing a linear function over a Pareto set [1] The problem is stated as follows : max ⟩d, x⟨, (P) x∈E(C,X) where d ∈ R , E(C, X) is the Pareto set of linear multiobjective programming problem: V max Cx, (LP) n x∈X where C is matrix p × n, p is the number of objective function, X is a bounded polyhedral convex set in R n We present some important properties of the problem, theoretical basis and stantionary condition of the algorithm Finally, an illustrative example are given as well Keyword: polyhedral convex set, Pareto set, optimization, linear function, splite algorithm, optimal solution Trường Đại học Thăng Long 151
- Xem thêm -

Xem thêm: PHƯƠNGPHÁPCHIA ĐÔI GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO TUYẾN TÍNH, PHƯƠNGPHÁPCHIA ĐÔI GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO TUYẾN TÍNH

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay