SỐ KHUYẾT CỦA HÀM PHÂN HÌNH PHI ACSIMET

10 7 0
  • Loading ...
1/10 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 17/04/2018, 23:16

Số 5(70) năm 2015 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ SỐ KHUYẾT CỦA HÀM PHÂN HÌNH PHI ACSIMET MỴ VINH QUANG* TĨM TẮT Bài báo giới thiệu vài kết số khuyết hàm phân hình phi Acsimet Các kết liên quan đến tốn ngược Lí thuyết Nevanlinna phi Acsimet Đó vấn đề xây dựng hàm phân hình phi Acsimet mà số khuyết điểm cho số cho trước Từ khóa: lí thuyết Nevanlinna, hàm phân hình, số khuyết ABSTRACT Defect of non-Archimedean meromorphic functions This paper introduces several new results of the defect of non-Archimedean meromorphic functions These results are related to the non-Archimedean Nevanlinna inverse problem, which is building non-Archimedean meromorphic functions of which defect at the given points are equal to given numbers Keywords: Nevanlinna Theory, Meromorphic function, Defect Mở đầu Cho K trường đóng đại số, đặc số không | | chuẩn phi Acsimet đầy đủ K Chuỗi lũy thừa  f  z    an z n , an  K n hội tụ K gọi hàm chỉnh hình K Tập A  K  hàm chỉnh hình K với phép tốn thơng thường làm thành miền nguyên Trường thương A  K  , kí hiệu M  K  , gọi  K  gọi hàm phân hình f  z có dạng:   z   với g  z trường hàm phân hình K Mỗi phần tử   M K Như vậy, hàm phân hình   z  K f  z  , g  z  hàm chỉnh hình K Với f  A  K  số thực r  , ta định nghĩa hạng tử tối đại f :   r , f   max  an r n  Nếu   n 0 * f M g   r, f   K    r,     r, g  PGS TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: quangmv@hcmup.edu.vn 76 Mỵ Vinh Quang TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Với   M  K  , ta kí hiệu n  r ,  (tương ứng, n  r ,  ) số cực điểm kể số bội (tương ứng, không kể bội) hàm phân hình  hình cầu đóng B  0, r  Hàm đếm cực điểm  định nghĩa sau: n  t ,   n  0,  dt  n  0,  log r t r n  t ,    n  0,   N  r,   0 dt  n  0,  log r t Khi đó, mệnh đề gọi tương tự phi Acsimet công thức Poision – Jensen (xem [5], [7]) r N  r,   0 Mệnh đề 1.1 Cho   M  K  Khi  1 N  r ,   N  r ,    log   r ,    C ,   đó, C số phụ thuộc vào  Cho  hàm phân hình K Khi đó: m  r ,   log    r ,    max 0, log   r ,  , gọi hàm xấp xỉ  T  r ,    m  r ,   N  r ,  , gọi hàm đặc trưng  Dễ thấy T  r ,  hàm tăng theo biến r  hàm phân hình khác số lim T  r ,    r  Mệnh đề cho ta cách tính hàm đặc trưng Mệnh đề 1.2 Cho   f M g K  với f , g  A  K  khơng có khơng điểm chung Khi đó: T  r ,   max log   r , f  ,log   r ,g   O 1 Hai định lí đóng vai trò tảng lí thuyết Nevanlinna phi Acsimet, xây dựng H.H Khoái, M.V Quang, A Boutabaa (xem [1], [5], [7]) 77 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 5(70) năm 2015 _ Định lí 1.3 (Định lí thứ nhất) Cho  hàm phân hình K a  K Khi   T  r,   T  r ,    O 1   a Định lí 1.4 (Định lí thứ 2) Cho r số thực dương,  hàm phân hình khác số K a1 , a2 , , aq  K phần tử phân biệt Khi ta có q   q  T r ,   N r ,          N  r,   N Ram  r ,    log r  O 1 i 1     q   1   N  r ,    N  r ,   N  r ,   log r  O 1 i 1  '      1 đó, N Ram  r ,    N  r ,   N  r ,    N  r ,  ' hạng tử rẽ nhánh  '  1 N  r ,  hàm đếm không điểm  '  không nhận giá trị  ' a1 , a2 , , aq Định nghĩa 1.5 Cho  hàm phân hình khác số K a  K Số khuyết hàm  a định nghĩa bởi:     m  r, N  r,   a   a       a   lim inf   limsup r  r  T  r ,  T  r ,    N  r,   a    a    lim sup  r  T  r ,  Số khuyết hàm   định nghĩa sau:      liminf r  m  r ,  N  r ,    limsup r  T  r ,  T  r ,        limsup r  78 N  r,  T  r,  Mỵ Vinh Quang TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Hiển nhiên    a     a   Từ định lí 1.3, 1.4, ta có kết sau số khuyết (xem[5], [7]) Định lí 1.6 Cho  hàm phân hình khác số K Khi tồn nhiều phần tử a  K   để   a   Do    a   aK  Định lí 1.7 Cho  hàm phân hình khác số K Khi đó, ta có    a   aK  Nội dung báo số kết liên quan đến tốn ngược Lí thuyết Nevanlinna phi Acsimet Cụ thể xây dựng hàm phân hình phi Acsimet với số khuyết điểm cho số cho trước Các kết Ta bắt đầu hai bổ đề hữu ích sau Bổ đề 2.1 Cho dãy an n1 K , an  0, n lim an   Khi tích vơ hạn n    z  f  z    1   an  n 1  hội tụ hàm chỉnh hình K Tập khơng điểm f  z  an n1 Chứng minh n  z  Đặt f n  z    1   Với r  , tồn n0 cho an  r với ak  k 1  n  n0 Khi   r , f n    r , f n với n  n0 Do đó, với n  n0 ,    z  r   r , f n1  f n     r , f n1    r ,     r , f n   n   an  an  Vậy f n  z  dãy Cauchy hội tụ hình cầu đóng B  0, r  Do f  z  hàm chỉnh hình K Ta có ak không điểm f n  z  với n  k nên ak không điểm f  z  Ngược lại, giả sử a  K không điểm f  z  Gọi n số tự nhiên thỏa an  a với n  n0 Khi với n  n0 , ta có: 79 Số 5(70) năm 2015 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ f n  a   f n  a  fn0  a   lim f n  a   f  a   n  Vậy f n  a   hay f n  a   a  ak 0 Vậy tập không điểm f  z  an n1 □ Bổ đề 2.2 Cho    ,  số thực dương Giả sử n số lớn số nguyên k  k thỏa     Khi ta có:   n 2 k  n       O k 1    Chứng minh Ta có k k  k      ,        n      1     n          * ** n  n  1 2 k  n  k     O    (do (*))      2 k 1    k 1 n Suy n  n  1 2 k  n  k  n   n    O    (do (*))      2 k 1    k 1 n n Bởi vậy, k  k 1        2  O    Kết hợp với (**), ta có n 2 k  n        O    k 1    Bổ đề chứng minh □ Định lí giải trọn vẹn vấn đề ngược Định lí 1.6 Định lí 2.3 Cho    0,1   K   Khi ln ln tồn hàm phân hình  K cho      Chứng minh 80 Mỵ Vinh Quang TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Đầu tiên ta chứng minh tồn  M  K  để       Nếu    f     với hàm chỉnh hình f Do xem   0,1 Khi xét hàm số  z f  z    1   i    i 1   a 1     , g  z    1  z  ,     i 1   đó, a  K a  Theo bổ đề 2.1, f  z  , g  z  hàm chỉnh hình K với tập không điểm lần   i   lượt  a 1    a i  i 1  i 1 i  Gọi n số lớn số tự nhiên i thỏa   log a  log r 1    n Khi   r , f   r n  a  i    1  i 1 i  log a 1    Suy log   r , f   n log r    Áp dụng Bổ đề 2.2 với       log   r , f   1     log r  log r , ta có log a  O  log r  log a log r  Hoàn toàn tương tự, ta có: log   r , g     O  log r  2log a Xét hàm phân hình   z    N  r ,   N  r ,  f T  r ,   log r   g  z Áp dụng mệnh đề 1.1 1.2, ta có f  z   log r   O log r     1    log a  2log a  O  log r  Do đó,       lim sup r  Bây giờ, chọn     N  r ,   T  r ,  , ta có      định lí chứng minh □  81 Số 5(70) năm 2015 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Định lí 2.4   Cho 1   0,1 ,   1  k   1 ,   K   Khi ln ln tồn  k  hàm phân hình K cho  1   1 ,     2 Chứng minh Đầu tiên, ta xây dựng hàm phân hình  thỏa      1 ,   0   Xét trường hợp sau 1) 1     k  z Xét hàm   g k với g  z      i a i 1       Mặt khác,  Vì  hàm chỉnh hình K nên    1  1 N  r,  N  r,  g       lim sup    lim sup   1 r  r  T  r ,  kT  r ,g  k Vậy      1 ,   0   2) 1   0,1 ,    a) k  Xảy khả sau k fk Khi đó, xét hàm    1 g     z z với g  z    1   f  z       i     i 1  i 1   a 1   ,       1 k 1  1  Theo chứng minh Định lí 2.3, ta có a  K , a     log   r , g   log r   2log a log   r , f   1    log   r , f 82 k  O  log r   log r  2 log a  O  log r   log r    k 1    2log a  O  log r  Mỵ Vinh Quang TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Do    1 nên k 1      k 1  1   1 Theo Mệnh đề 1.2 ta có:   T  r ,   max log   r , f k  ,log   r , g   k 1     log r   O  log r  log a    log r  N  r ,   N  r ,    O  log r   g  2log a  N  r,    1   log r   O log r     N  r ,   1    2log a   f  Do đó,       lim sup r  N  r ,   1   1  1   1 T  r ,  k 1     1 N  r,        limsup     2 r  T  r ,  k b) k  k Khi đó, xét hàm   g với  1 f  z  g  z    1  i a i 1      z   f  z   1  i  ,   i 1      a 1   đó, a  K, a     k 1  1      1 Vì    k 1  1  nên    k 1  1   k Bởi vậy, theo tính tốn phần ta có   T  r ,   max log   r ,g  , log   r , f  k  log r  k 2 log a  O  log r  83 Số 5(70) năm 2015 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _  N  r ,   N  r ,  f  N  r,     log r   O log r     1    log a     log r    O  log r    N  r,     g  log a Do đó,       lim sup r  N  r ,  1      1 T  r ,  k  1 N  r,        lim sup     2 r  T  r ,  k   Vậy, với 1  0,1 ,   1  k   tồn hàm chỉnh hình  cho  k       1 ,   0  2 1   Khi đó, ta có  1       1,  2     0  2  1 định lí chứng minh □ Bây giờ, đặt   Định lí cho thấy số Định lí 1.7 khơng thể thay số nhỏ Định lí 2.5 Cho  ,   K   ,    Tồn hàm phân hình  K cho                K  Chứng minh      Xét hàm g  z    1  z  h  z    1  z    i 1  i 1   i   Theo Bổ đề 2.1, ta có g, h chỉnh hình K N  r ,   N  r ,   h  g  1 Từ định lí 1.3, ta có: T  r , h   T  r ,   O 1  h  1  1 N  r,  N  r,  Do đó:  h     lim sup  h    lim sup  g  r  r  T  r, h   1 N  r,   h 84 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Mỵ Vinh Quang _ Với số nguyên dương k , ta có   1 N  r ,   N  r, k  h  g    O  log r    1 N  r,  Do đó, lim sup  g   , suy  h     với k Cho k   r  k  1 k N  r,   h ta có  h    Mặt khác, h hàm chỉnh hình K nên N  r , h    h     Bây giờ, đặt   h   Khi đó, ta có          định lí h 1 chứng minh □ TÀI LIỆU THAM KHẢO A Boutabaa (1990), “Theorie de Nevanlinna p - adique”, Manuscripta Math., 67, 251 – 269 W Cherry and Z.Ye (1997), “Non- Archimedean Nevanlinna theory in several variables and the Non – Archimedean Nevanlinna inverse problem”, Trans Amer Math Soc., 349 (12), 5043 – 5071 W Cherry and Z.Ye (2000), Nevanlinna Theory of Value Distribution, Springer D Drasin (1976), “The Inverse Problem of Nevanlinna Theory”, Acta Math., 138, 83151 H.H Khoai and M.V Quang (1988), “On p-adic Nevanlinna theory”, Lecture Notes in Math, 1351, 146 – 158 M.V Quang (1989), “Some applications of p-adic Nevanlinna Theory”, Acta Math – Vietnamica, 14 (1), 39 – 50 C.C Yang and P.C Hu (2000), Meromophic functions over Non- Archimedean fields, Kluwer Academic Publishers (Ngày Tòa soạn nhận bài: 06-3-2015; ngày phản biện đánh giá: 02-4-2015; ngày chấp nhận đăng: 18-5-2015) 85
- Xem thêm -

Xem thêm: SỐ KHUYẾT CỦA HÀM PHÂN HÌNH PHI ACSIMET, SỐ KHUYẾT CỦA HÀM PHÂN HÌNH PHI ACSIMET

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay