BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 000 NGUYEN TRUNG DUNG TINH ON DINH VA ON ĐỊNH HÓA CUA MỘT SỐ LỚP HỆ NHẢY MARKOV RỜI RẠC LUẬN ÁN TIÊN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2018 BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUGNG DAI HOC SU PHAM HA NOI o0o NGUYÊN TRUNG DŨNG TÍNH ỒN ĐỊNH VÀ ỒN ĐỊNH HĨA CUA MỘT SỐ LỚP HỆ NHẢY MARKOV RỜI RẠC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HOC Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ VĂN HIỆN TS HA BINH MINH HA NOI, 2018 LOI CAM DOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Hiện TS Hà Bình Minh Các kết trình bày luận ấn trung thực, trí đồng tác giả, chưa công bố luận văn hay luận ấn khác Tác giả LOI CAM GN Luận án tiến sĩ thực khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn khoa học PGS.TS Lê Văn Hiện TS Hà Bình Minh Tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy tập thể hướng dẫn, đặc biệt PGS.TS Lê Văn Hiện, định hướng dẫn sát suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Sự chuyên nghiệp, nghiêm túc nghiên cứu định hướng đắn thầy tiền đề quan trọng giúp có kết trình bày luận 4n Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Tốn thầy giáo, giáo mơn Tốn Ứng dụng, tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian làm nghiên cứu sinh Tôi chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp, nghiên cứu sinh thành viên Xêmina Giải tích quan tâm, trao đổi, góp ý cho tơi q trình học tập làm luận án Tơi xin chân Phòng, thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban chức trường Đại học Sư phạm Phòng Sau đại học Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận ấn Đặc biệt, thực thấy hạnh phúc tự hào họ bên tôi, chia sẻ động viên, động lực để tơi cố gắng hồn thành luận án bố, mẹ, vợ Tác giả MUC LUC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Ki hiéu ww QC Q LG Q Q ng ee và sa Q Q Q Q HQ Quà MỞ ĐẦU Q.0 Q0 Quy v2 KIÊN THỨC CHUẨN BỊ 15 1.1 Kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện - 15 Ldd Kyvong eee 15 1.1.2 Kỳ vọng có điều kiện 17 1.2 Xích Markov rời rạc hữu hạn 1.2.1 Các dinh nghia 17 0.0.00 00 ee ees 17 1.2.2 Phuong trinh Chapman-Kolmogorov 19 20 1.3 Mơ hình hệ nhảy Markov rờirạc 21 1.4 Tính ồn định hệ nhảy Markov tuyến tính rờirạc 23 .ẶẶẶẶẶẶỤ 26 1.2.3 Phân phối ban đầu 1.5 Một số kết bổ trợ ĐÁNH GIÁ TẬP ĐẠT ĐƯỢC CỦA LỚP HỆ NHẢY MARKOV RỜI RAC TUYẾN TÍNH CĨ TRỄ BIẾN THIÊN 30 2.1 Phát biểu toán 30 .Q TQ Qui 2.2 Đánh giá tập đạt 2.3 Vidu minh hoa Qua ee 2.4 Kết luận Chương Ặ.Ặ ee 33 40 43 TINH ON DINH VA ON DINH HOA CUA MOT SO LOP H& NHAY MARKOV ROI RAC CO TRE BIEN THIEN 45 3.1 Tính ổn định lớp hệ nhảy Markov phi tuyến rời rạc có trễ biến thên CO Q Quà v T v.v xa 46 3.1.1 Thiét lap baitodn 0.0.0.0 00002 eee 46 3.1.2 Bất đẳng thức tổng có trọng 49 3.1.3 Điều kiện Ổn định .ẶẶ ee 51 3.1.4 ov Vidu ee 3.2 Ơn định hóa lớp hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính với trễ biến thiên điều khiển phản hồi đồng 62 3.2.1 Mô tả hệ điều khiển 62 3.2.2 Phân tích tính ổn định hệ đóng 63 69 0.0.00 0000084 70 3.2.3 Tổng hợp điều khến 3.2.4 Viduminh hoa 3.3 Két luan Chugng ee ee 74 ĐIỀU KHIỂN KHƠNG ĐỒNG BỘ ỒN ĐỊNH HĨA LỚP HỆ NHẢY MARKOV RỜI RẠC VỚI NHIÊU NHÂN TÍNH 4.1 Phát biểu toán 4.2 76 ee 77 Tinh 6n định ổn định hóa hệ nhảy Markov rời rạc với nhiễu nhân tính 4.3 Ặ Q Q Q QQ Q QQ Q Q 79 4.2.1 Trường hợp xác suất chuyển biết đầy đủ 79 4.2.2 Trường hợp xác suất chuyển biết thông tin phần 84 Viduminh eee 86 hoa 4.4 Két luan Chuong4 Kết luận đề xuất Danh mục 0.020000 ee 89 90 cơng trình cơng bỗ TAI LIEU THAM KHẢO 0.000000 eee eee 92 92 Ki HIEU R, Tập hợp số thực không âm R” Không gian vectơ Euclide n-chiều Za, 6] Tập hợp số nguyên đoạn {a, b| 70 Tập hợp số nguyên không âm Iưmxn Tập ma trận thực cấp m x m Sn Tập ma trận thực đối xứng cấp n Si Tập ma trận đối xứng xác định dương cấp n S (Za, b|, R”) Tập dãy với giá trị Ñ” xác định Z|a, b| Al Ma trận chuyển vị ma trận A A®B Tích Kronecker hai ma trận A B, ma trận khối a1 Ð - ainB , d6 A= (aj) € R™” AmB ++: AmnP At Phần bù trực giao ma trận A A>0 Ma trận đối xứng nửa xác định dương A>0 Ma trận A4 đối xứng xác định dương col{A, B} Ma trận ghép khối cột xác định A B diag{A, B} Ma trận ghép khối chéo xác định A va B A(4) Tập giá trỊ riêng ma trận A Amax(A) max {ReÀ : À € À(4)} Àmin(4) {Red : A € À(4)} o(A) Sym(A) Bán kính cia ma tran A (i.e max{|A| : \ € A(A)}) A+4A' (Q, F, P) Khơng gian xác suất đầy đủ Tốn tử kỳ vọng LMIs Bất đẳng thức ma trận tuyến tính LKF Ham Lyapunov-Krasovskii (Lyapunov-Krasovskii functional) h.c.c hầu chan (almost surely) Tổng quan đề tài nghiên cứu Duy trì vận hành ổn định hệ thống theo nghĩa trước tác động mang tính khách quan bên ngồi nội hệ thống toán quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống [12] Những yếu tố bên ngồi nhiễu mơi trường tác động cách ngẫu nhiên, chắng hạn hệ thống sử dụng lượng mặt trời, lượng gió v.v phụ thuộc vào điều kiện thời tiết Những yếu tố tác động xảy nội hệ thống bị hỏng đột xuất tự động phục hồi, sửa chữa phận, chuyển đổi kênh kết nối hay thay đối chế vận hành Các tác động mơ tả tín hiệu chuyền đổi thỏa mãn số luật ngẫu nhiên Các tín hiệu ảnh hưởng đáng kể chí mang tính định đến vận hành hệ thống [20] Có nhiều mơ hình thực tiễn mà thường xảy biến động ảnh hưởng trực tiếp tới chế vận hành hệ mơ hình điều khiển hệ thống phi cơ, điều khiến tự động qua mạng viễn thông hay hệ điều khiến thu truyền tải lượng v.v Các mơ thường cấu thành hệ thống gồm hữu hạn hệ động lực, gọi mode, với quy tắc chuyển đổi mode (switching rule) Khi hệ thống hoạt động cách tự động, biến động có tính ngẫu nhiên, tín hiệu chuyển điều khiển xích Markov hữu hạn |12, 70| Một hệ động lực liên tục rời rạc với xích Markov mơ tả q trình chuyển đối chế độ vận hành hệ gọi hệ nhảy Markov, sau viết tắt MJS (Markov jump system) Các hệ nhảy Markov xuất từ đầu năm 60 kỉ XX Krasovskii Lidskii sử dụng phương pháp hàm Lyapunov kết hợp với nguyên lý quy hoạch động để đưa lời giải toán toán điều khiển tối ưu cho lớp hệ [43] Năm 1969, Š5worder dựa nguyên lý cực đại ngẫu nhiên, nghiên cứu toán điều khiển phản hồi (feedback control) cho lớp hệ nhảy Markov tuyến tinh [72] Năm 1983, Sworder Rogers nghiên cứu tốn điều khiển tối ưu tồn phương cho hệ thống máy sử dụng lượng mặt trời mô hình hóa hệ nhảy Markov tuyến tính [73] Bài tốn ổn định hóa cho lớp hệ Morozan nghiên cứu [56] Năm 1990, Mariton tổng kết số kết nghiên cứu lớp hệ nhảy Markov quyền sách chuyên khảo ông [ð4] Bài tốn Ổn định hóa điều khiển hệ nhảy Markov tuyến tính Ji Chizech nghiên cứu [38] Năm 1995, Boukas xét ồn định lớp hệ nhảy Markov tuyến tính rời rạc [8] Trong kết nêu trên, tác giả sử dụng số phiên ngẫu nhiên phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi phương pháp thứ hai Lyapunov), phát triển Bertram Sarachik [7], Kats va Krasovskii [41] hay Krushner [45], dé dua điều kiện on định thông qua bất đẳng thức Lyapunov hay phương trình ma tran Riccati Bat dang thttc ma tran Lyapunov, dudc Lyapunov dé xuất năm 1892 luận án tiến sĩ có tén “The general problem of the stability of motion”, khởi nguồn phương pháp bất đẳng thức ma trận tuyến tính, viết tắt LMIs (linear matrix inequalities) Tuy nhiên, gần nửa kỷ sau phương pháp ý nhiều nghiên cứu phân tích định tính thiết kế điều khiển Đặc biệt, khoảng ba thập kỷ gần đây, phương pháp sử dụng LMIs trở thành công cụ hữu hiệu, sử dụng cách phổ biến lý thuyết điều khiển hệ thống [10] Đối với hệ nhảy Markov tuyến tính, phương pháp nghiên cứu hiệu sử dụng phương pháp thứ hai Lyapunov dạng ngẫu nhiên để tìm kiếm điều kiện Ổn định ổn định hóa dạng LMIs Các điều kiện dạng kiểm tra giải số nhiều thuật tốn tối ưu, đặc biệt cơng cụ tính tốn máy tính đại Bên cạnh đó, mơ hình ứng dụng từ tốn thực tiễn kỹ thuật thường có xuất độ trễ thời gian Các đại lượng trễ xuất cách tự nhiên trình truyền tải xử lý liệu Sự xuất độ trễ ảnh hưởng tích cực lẫn tiêu cực lên vận hành hệ nói chung thường làm thay đổi dáng điệu nghiệm hệ, có tính chất ổn định, tính chất phổ dụng hệ kỹ thuật [30] Chính vậy, nghiên cứu tính ổn định ứng dụng vào tốn điều khiến hệ có trễ tốn có ý nghĩa thực tiễn, nhiều tác giả quan tâm năm gần [25, 35, 47, 90] Một số vấn đề nghiên cứu quan trọng lớp hệ có trễ bao gồm việc đánh giá định tính ảnh hưởng trễ lên tính ổn định hệ hay tìm tiêu chuẩn ổn định để áp dụng cho mơ hình tổng quát phức tạp hơn, phù hợp với mơ hình kỹ thuật đại Từ áp dụng vào giải toán lý thuyết điều khiến hệ thống hệ có trễ toán điều khiến Hoo, thiét kế quan sát tín hiệu, tốn ước lượng trạng thái hay thiết kế lọc số v.v Đối với lớp hệ tuyến tính ơ-tơ-nơm (linear time-invariant LTT) có trễ số biến thể nó, phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii (LKF) sử dụng rộng rãi việc thiết lập điều kiện Ổn định, ồn định hóa dạng LMIs [23] Trong năm gần đây, lớp hệ nhảy Markov có trễ nhận quan tâm đặc biệt nhà nghiên cứu giới kĩ sư Các ứng dụng thực tiễn hệ nhảy Markov có trễ tìm thấy nhiều lĩnh vực khác [12,29,37,40] Trong cơng trình cơng bố gần phân tích định tính điều khiến hệ nhảy Markov có trễ, phương pháp nghiên cứu sử dụng chủ yếu dựa phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii dạng ngẫu nhiên (sử dụng phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii phụ thuộc mode) kết hợp với công cụ đánh giá xử lý trạng thái trễ để thu điều kiện đảm bảo tính ổn định ồn định hóa với số ràng buộc hiệu suất toán điều khiển dam bao gia tri (guaranteed cost control) hay điều khiển Hạ [11,50, 80, 85-87] Nhiều kết nghiên cứu quan trọng hệ nhảy Markov có trễ cơng bố Tuy vậy, nhiều đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sâu Trọng tâm hướng tới luận án phát triển toán đánh giá trạng thái, tốn ổn định ổn định hóa cho số lớp hệ nhảy Markov rời rạc chứa trễ nhiễu ngẫu nhiên dạng cộng tính nhân tính hệ Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu tính ồn định ổn định hóa hệ nhảy Markov rời rạc Cụ thé hơn, luận án nghiên cứu ba chủ đề sau: Đánh giá tập đạt lớp hệ nhảy Markov tuyến tính chứa trễ biến ... toán ổn định ổn định hóa cho số lớp hệ nhảy Markov rời rạc chứa trễ nhiễu ngẫu nhiên dạng cộng tính nhân tính hệ Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu tính ồn định ổn định hóa hệ nhảy Markov. .. hình hệ nhảy Markov rờirạc 21 1.4 Tính ồn định hệ nhảy Markov tuyến tính rờirạc 23 .ẶẶẶẶẶẶỤ 26 1.2.3 Phân phối ban đầu 1.5 Một số kết bổ trợ ĐÁNH GIÁ TẬP ĐẠT ĐƯỢC CỦA LỚP HỆ NHẢY MARKOV RỜI... ồn định ổn định hóa điều khiển phản hồi trạng thái số lớp hệ nhảy Markov có trễ Thiết kế điều khiển phản hồi dạng khơng đồng ổn định hóa lớp hệ nhảy Markov roi rạc với nhiễu ngẫu nhiên nhân tính