một vài ứng dụng của tích phân

68 7 0
  • Loading ...
1/68 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 17/04/2018, 19:55

6 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 26.1 Diện tích giữa hai đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.1.1 Diện tích giữa các đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.1.2 Tính diện tích bằng các dải thẳng đứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.1.3 Tính diện tích bằng các dải ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.2 Thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2.1 Phương pháp lát cắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2.2 Phương pháp vòng đệm (vật thể tròn xoay) . . . . . . . . . . . . . . . . 126.2.3 Phương pháp ống trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.3 Dạng cực và diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3.1 Hệ tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3.2 Đồ thị cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3.3 Tóm tắt các đường cong dạng cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.3.4 Giao của các đường cong dạng cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.3.5 Diện tích trong tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.4 Độ dài cung và diện tích mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.4.1 Độ dài cung của một đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.4.2 Diện tích của một mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.4.3 Độ dài cung và diện tích mặt trong dạng cực . . . . . . . . . . . . . . . . 336.5 Các ứng dụng vật lý: công, lực chất lỏng và trọng tâm . . . . . . . . . . . . . . . 376.5.1 Công . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.5.2 Mô hình hóa áp suất và lực chất lỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.5.3 Mô hình hóa trọng tâm của một miền phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 426.5.4 Định lý thể tích của Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.6 Ứng dụng vào thương mại, kinh tế và khoa học đời sống . . . . . . . . . . . . . . 486.6.1 Giá trị tương lai và giá trị hiện tại của một dòng thu nhập . . . . . . . . . 4816.6.2 Thay đổi tích lũy và lợi nhuận ròng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.6.3 Thặng dư của khách hàng và nhà sản xuất . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.6.4 Sống sót và đổi mới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.6.5 Dòng máu đi qua động mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Mục lục MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 6.1 Diện tích hai đường 6.1.1 Diện tích đường 6.1.2 Tính diện tích dải thẳng đứng 6.1.3 Tính diện tích dải ngang Thể tích 10 6.2.1 Phương pháp lát cắt 11 6.2.2 Phương pháp vòng đệm (vật thể tròn xoay) 12 6.2.3 Phương pháp ống trụ 15 Dạng cực diện tích 23 6.3.1 Hệ tọa độ cực 23 6.3.2 Đồ thị cực 24 6.3.3 Tóm tắt đường cong dạng cực 25 6.3.4 Giao đường cong dạng cực 27 6.3.5 Diện tích tọa độ cực 27 Độ dài cung diện tích mặt 31 6.4.1 Độ dài cung đường cong 31 6.4.2 Diện tích mặt tròn xoay 32 6.4.3 Độ dài cung diện tích mặt dạng cực 33 Các ứng dụng vật lý: công, lực chất lỏng trọng tâm 37 6.5.1 Công 37 6.5.2 Mơ hình hóa áp suất lực chất lỏng 39 6.5.3 Mơ hình hóa trọng tâm miền phẳng 42 6.5.4 Định lý thể tích Pappus 43 Ứng dụng vào thương mại, kinh tế khoa học đời sống 48 6.6.1 48 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Giá trị tương lai giá trị dòng thu nhập 6.6.2 Thay đổi tích lũy lợi nhuận ròng 49 6.6.3 Thặng dư khách hàng nhà sản xuất 50 6.6.4 Sống sót đổi 52 6.6.5 Dòng máu qua động mạch 53 Chương MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN C ÁCH để học toán làm toán Paul Halmos, Hilbert Space Problem Book 6.1 6.1.1 Diện tích hai đường Diện tích đường Ta cần tìm diện tích miền R nằm hai đường cong y = f (x) y = g(x) tính từ đường thẳng x = a đến đường thẳng x = b Chọn phân hoạch {x0 = a, x1 , x2 , , xn = b} khoảng [a, b] lấy đại diện x∗k từ khoảng [xk−1 , xk ] Tiếp theo, với k, k = 1, 2, , n, ta xây dựng hình chữ nhật có chiều rộng ∆xk = xk − xk−1 chiều cao f (x∗k ) − g(x∗k ) Chiều cao với khoảng cách đứng hai đường x = x∗k Ta gọi hình chữ nhật xấp xỉ dải thẳng đứng Hình chữ nhật đại diện có diện tích ∆Ak = [f (x∗k ) − g(x∗k )]∆xk Khi đó, tổng diện tích hai đường y = f (x) y = g(x) ước lượng tổng n [f (x∗k ) − g(x∗k )]∆xk An = k=1 Khi phân hoạch P bị chia nhỏ cho ||P || dần việc ước lượng diện tích xác Do diện tích hai đường cong viết n [f (x∗k ) − g(x∗k )]∆xk A = lim ||P ||→0 k=1 Đây tích phân hàm số f (x) − g(x) đoạn [a, b] Diện tích hai đường cong Nếu f g liên tục thỏa mãn f (x) ≥ g(x) khoảng đóng [a, b] diện tích hai đường cong y = f (x) and y = g(x) cho b [f (x) − g(x)] dx A= a Nói cách khác, để tìm diện tích hai đường khoảng đóng [a, b] ta dùng cơng thức sau b [ĐƯỜNG PHÍA TRÊN - ĐƯỜNG PHÍA DƯỚI]dx A= a Chú ý Ta không cần phải yêu cầu đường cong nằm trục hoành Thật ra, sau ta thấy đường cong chí cắt miền tính diện tích phần đường nằm phần khác nằm Ví dụ (Diện tích hai đường cong) Tìm diện tích miền nằm đường cong y = x3 y = x2 − x khoảng [0, 1] 12 Ví dụ (Diện tích cho hàm số có đồ thị nằm bên trục Ox) Đáp số: Tìm diện tích miền tạo đường cong y = e2x − 3ex + trục Ox Đáp số: − ln 2 6.1.2 Tính diện tích dải thẳng đứng Phương pháp toán học đắn để thiết lập cơng thức tích phân tính tổng Riemann lấy giới hạn Tuy nhiên, ta mơ trình cách dùng dải xấp xỉ Việc đặc biệt hữu ích tìm diện tích miền phức tạp tạo hai đường cắt nhiều lần Trong trường hợp này, chiều cao dải thẳng đứng đại diện |f (x) − g(x)| diện tích dải ∆A = |f (x) − g(x)|∆x = |f (x) − g(x)|dx ta có cơng thức tích phân cho diện tích b |f (x) − g(x)|dx A= a Lưu ý Ta sử dụng công thức A = [f − g] dx trực tiếp giải thiết f ≥ g khơng thỏa mãn Để sử dụng công thức A = |f − g| dx, ta phải nhớ |f − g| f − g phần miền g − f phần khác miền tùy theo đường nằm phía Ví dụ (Diện tích sử dụng dải thẳng đứng) Tìm diện tích miền bao đường thẳng y = 3x đường cong y = x3 + 2x2 Đáp số: 71 Ví dụ 4( Diện tích sử dụng tính đối xứng) Tìm diện tích miền bao đường cong y = sin x trục Ox hai đường x = − π2 x = π2 Đáp số: 6.1.3 Tính diện tích dải ngang Đối với số miền, việc xấp xỉ dải ngang dể dàng dải đứng Ta kí hiệu chiều rộng dải nằm ngang ∆y Chẳng hạn hai đường cong cắt y = b với b nằm khoảng [c, d], diện tích tính nhờ vào công thức sau d |G(y) − F (x)| dy A= c Lưu ý Cơng thức viết lại thành d b [G(y) − F (x)] dy + A= c [F (y) − G(x)] dy b G nằm trước F F nằm trước G Ví dụ 5( Tính diện tính dải nằm ngang) Tìm diện tích miền R nằm đường parabol x = 4y − y đường thẳng x = 2y − Đáp số: 32 10 nhân mà điều trị phòng khám t tháng kể từ lần khám cho hàm số f (t) = e−t/20 Phòng khám ban đầu nhận 300 người đến khám dự định nhận bệnh nhân với tốc độ 10 người/tháng Khoảng người điều trị phòng khám sau 15 tháng nữa? Lời giải Vì f (15) tỷ lệ bệnh nhân có thời gian điều trị tiếp tục thêm 15 tháng nữa, ta suy với số lượng 300 bệnh nhân, có 300f (15) tiếp tục điều trị sau 15 tháng Để xấp xỉ số bệnh nhân mà điều trị sau 15 tháng nữa, ta chia khoảng thời gian 15 tháng thành n khoảng có độ dài ∆t tháng đặt tj−1 điểm đầu khoảng thứ j Ta suy số lượng bệnh nhân mà điều trị sau 15 tháng kể từ xấp xỉ tổng n 10f (15 − tj−1 )∆t j=1 Cộng thêm với số lượng bệnh nhân có mà tiếp tục điều trị sau 15 tháng ta tổng P = 300f (15) + lim 10f (15 − tj−1 )∆t n→∞ 15 10f (15 − t) dt = 300f (15) + 15 = 300e−3/4 + 10e−3/4 et/20 dt ≈ 247.24 Nghĩa là, sau 15 tháng nữa, phòng khám điều trị cho khoảng 247 bệnh nhân 6.6.5 Dòng máu qua động mạch Ví dụ (Mơ hình hóa dòng máu) Tìm biểu thức cho lưu lượng theo thể tích (theo cm3 /s) mà máu chảy qua động mạch có bán kính R tốc độ máu khoảng cách r cm từ trục động mạch S(r) = k(R2 − r2 ), với k số Lời giải 54 Chia đoạn ≤ r ≤ R thành n đoạn có chiều dày ∆r cm gọi rj điểm bắt đầu đoạn thứ j Những đoạn tạo nên n vòng đồng tâm Nếu ∆r nhỏ diện tích vòng thứ j xấp xỉ diện tích hình chữ nhật có chiều rộng chu vi biên (trong) vòng có chiều dày ∆r Tức là, Diện tích vòng thứ j ≈ 2πrj ∆r Nhân diện tích vòng thứ j (cm2 ) với tốc độ (cm/s) máu chảy qua vòng này, ta Lưu lượng theo thể tích dòng chảy qua vòng j = (diện tích vòng j)(tốc độ máu qua vòng j) = (2πrj ∆r)S(rj ) = (2πrj ∆r)[k(R2 − rj2 )] = 2πk(R2 rj − rj3 )∆r Lưu lượng theo thể tích qua mặt cắt tổng n số hạng vậy, nghĩa n 2πk(R2 rj − rj3 )∆r Lưu lượng theo thể tích ≈ j=1 n 2πk(R2 rj − rj3 )∆r = lim n→∞ j=1 R 2πk(R2 r − r3 ) dr = = πkR4 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 ... 53 Chương MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN C ÁCH để học toán làm toán Paul Halmos, Hilbert Space Problem Book 6.1 6.1.1 Diện tích hai đường Diện tích đường Ta cần tìm diện tích miền R nằm... phía Ví dụ (Diện tích sử dụng dải thẳng ứng) Tìm diện tích miền bao đường thẳng y = 3x đường cong y = x3 + 2x2 Đáp số: 71 Ví dụ 4( Diện tích sử dụng tính đối xứng) Tìm diện tích miền bao đường... ngang) Tìm diện tích miền R nằm đường parabol x = 4y − y đường thẳng x = 2y − Đáp số: 32 10 6.2 Thể tích Phương pháp sử dụng mục 6.1 để tính diện tích tích phân điều chỉnh để tính thể tích miền đặc
- Xem thêm -

Xem thêm: một vài ứng dụng của tích phân, một vài ứng dụng của tích phân

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay