Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)

28 10 0
  • Loading ...
1/28 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 16/04/2018, 19:12

Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt) ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TĨM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC CƠNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU ÁNH XẠ NGHIỆM TRONG CÁC BÀI TỐN TỐI ƯUTHAM SỐ Mã số: ĐH2016-TN06-01 Chủ nhiệm đề tài: ThS NCS Dương Thị Việt An Thái Nguyên, 4/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU ÁNH XẠ NGHIỆM TRONG CÁC BÀI TỐN TỐI ƯUTHAM SỐ Mã số: ĐH2016-TN06-01 Xác nhận tổ chức chủ trì Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên, đóng dấu) (ký, họ tên) ThS NCS Dương Thị Việt An Thái Nguyên, 4/2018 i DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH I Thành viên thực đề tài TT Họ tên ThS Dương Thị Việt An TS Mai Viết Thuận ThS Nguyễn Thị Thanh Huyền Đơn vị công tác Vai trò Khoa Tốn - Tin, Trường ĐHKH Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường ĐHKH Thư ký +NCV Khoa Toán - Tin, Trường ĐHKH NCV II Đơn vị phối hợp thực Tên đơn vị Nội dung phối hợp Viện Toán học, Viện Tư vấn, giúp đỡ, định hướng nghiên cứu Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Đại học Quốc gia Tôn Hợp tác nghiên cứu, viết chung báo Trung Sơn, Đài Loan Đại học Bách Khoa Hợp tác nghiên cứu, viết chung báo Hà Nội Đại diện GS TSKH Nguyễn Đông Yên GS Jen-Chih Yao TS Nguyễn Thị Toàn ii Mục lục Danh mục ký hiệu iv Thông tin kết nghiên cứu vi Information on research results viii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nón pháp tuyến tập lồi 1.2 Dưới vi phân hàm lồi 1.3 Đối đạo hàm 1.4 Hàm giá trị tối ưu 1.5 Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc bao 1.6 Một số kết bổ trợ 3 3 4 hàm thức Chương Tính ổn định vi phân toán quy hoạch lồi sử dụng điều kiện quy kiểu Aubin 2.1 Tính ổn định vi phân điều kiện quy kiểu Aubin 2.2 Phân tích điều kiện quy 2.3 Kết luận Chương Tính ổn định vi phân tốn điều khiển rời rạc 3.1 Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc chứa tham số 3.2 Tính ổn định vi phân tốn quy hoạch tham số 3.3 Tính ổn định vi phân toán điều khiển tối ưu 3.4 Các ví dụ minh họa 3.5 Kết luận Chương Tính ổn định vi phân toán điều liên tục 4.1 Bài toán điều khiển tối ưu lồi liên tục 4.2 Tính ổn định vi phân toán điều khiển 4.3 Các ví dụ minh họa tối ưu lồi, 8 9 11 11 khiển tối ưu lồi, 12 12 14 15 iii 4.4 Kết luận Kết luận 15 16 iv Danh mục ký hiệu R R ∅ ||x|| N (x) int A cl A cl∗ A A⊥ cone A co A Lp ([0, 1], Rn ) W 1,p ([0, 1], Rn ) Mn,n (R) sup f (x) tập số thực tập số thực suy rộng tập rỗng chuẩn véc tơ x tập tất lân cận x phần tơpơ tập A bao đóng tập A bao đóng tập A theo tơpơ yếu∗ phần bù trực giao tập A nón suy rộng tập A bao lồi tập A không gian hàm đo Lebesgue x : [0, 1] → Rn với ||x(t)||p dt hữu hạn không gian Sobolev gồm hàm liên tục tuyệt đối x : [0, 1] → Rn với x˙ ∈ Lp ([0, 1], Rn ) tập hàm từ R vào không gian ma trận thực tuyến tính n × n supremum tập {f (x) | x ∈ K} x∈K inf f (x) infimum tập {f (x) | x ∈ K} dom f epi f ∂ ∞ f (x) ∇ f (x) ∂x ϕ(¯ x, y¯) miền hữu hiệu hàm f đồ thị hàm f vi phân suy biến hàm f x đạo hàm Fréchet hàm f x vi phân riêng theo biến x hàm ϕ (¯ x, y¯) nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi Ω x¯ ánh xạ đa trị hai không gian X Y miền xác định F đồ thị F đối đạo hàm F (¯ x, y¯) x∈K N (¯ x; Ω) F :X⇒Y dom F gph F D∗ F (¯ x, y¯)(·) v Ω x −→ x¯ M :X→Y M ∗ : Y ∗ → X∗ ker M rge M l.s.c h.k.n x → x¯ x ∈ Ω toán tử từ X vào Y toán tử liên hợp M hạt nhân M tập ảnh M nửa liên tục hầu khắp nơi vi ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Đơn vị: Trường Đại học Khoa học THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: - Tên đề tài: Hàm giá trị tối ưu ánh xạ nghiệm toán tối ưu tham số - Mã số: ĐH2016-TN06-01 - Chủ nhiệm: ThS NCS Dương Thị Việt An - Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên - Thời gian thực hiện: 05/2016 - 05/2018 Mục tiêu: - Nghiên cứu tính chất vi phân hàm giá trị tối ưu toán quy hoạch toán học lồi chứa tham số ràng buộc dạng bao hàm thức - Áp dụng kết thu vào nghiên cứu tính ổn định vi phân toán điều khiển tối ưu chứa tham số với hàm mục tiêu lồi hệ động lực tuyến tính, hệ rời rạc lẫn hệ liên tục - Góp phần nâng cao lực nghiên cứu cho chủ nhiệm đề tài cán giảng dạy Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên; phục vụ hiệu cho công tác NCKH đào tạo đại học, đào tạo sau đại học chuyên ngành Toán ứng dụng Đại học Thái Nguyên - Mở rộng hợp tác nghiên cứu khoa học với sở nghiên cứu Đại học Thái Nguyên Tính mới, tính sáng tạo: - Giải số vấn đề nghiên cứu mới; - Các kết thu dạng giả thiết tối thiểu, kết luận tối đa Kết nghiên cứu: - Các cơng thức tính tốn vi phân vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu tốn quy hoạch lồi tham số ràng buộc bao hàm thức; - Các công thức tính tốn vi phân vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu chứa tham số với hàm mục tiêu lồi hệ động lực tuyến tính, hệ rời rạc lẫn hệ liên tục Sản phẩm: 5.1 Sản phẩm khoa học: a) 03 báo đăng tạp chí Quốc tế uy tín: Duong Thi Viet An, Yao J.-C (2016), “Further results on differential stability of convex optimization problems”, Journal of Optimization Theory and Applications, 170, pp 28–42 (SCI) Duong Thi Viet An, Nguyen Thi Toan (2018), “Differential stability of convex discrete vii optimal control problems”, Acta Mathematica Vietnamica, 43, pp 201–217 (Scopus, ESCI) Duong Thi Viet An, Yao J.-C., Nguyen Dong Yen (2018), “Differential stability of a class of convex optimal control problems”, Applied Mathematics and Optimization, DOI 10.1007/s00245-017-9475-4 (SCI) b) 01 báo đăng kỷ yếu hội nghị nước: Duong Thi Viet An (2017), “An application of the Farkas lemma in infinite dimensional vector spaces”, Kỷ yếu Hội nghị Khoa học trẻ Trường Đại học Khoa học lần thứ hai, NXB Đại học Thái Nguyên, Thái Nguyên, tr 93–99 5.2 Sản phẩm đào tạo: - Hướng dẫn 01 KLTN Đại học nghiệm thu: Đào Thị Hiều (2017), Đạo hàm theo hướng vi phân hàm lồi, Khóa luận tốt nghiệp, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên - Đề tài phần Luận án tiến sĩ chủ nhiệm đề tài: Tên luận án: “The Optimal Value Function and Solution Map in Some Parametric Optimization Problems”, với tên Tiếng Việt tương ứng là: “Hàm giá trị tối ưu ánh xạ nghiệm số toán tối ưu tham số” Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu: - Cung cấp tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên, nghiên cứu sinh, nghiên cứu viên chuyên ngành Toán ứng dụng Ngày tháng năm 2018 Tổ chức chủ trì (ký, họ tên, đóng dấu) Chủ nhiệm đề tài (Ký, họ tên) ThS NCS Dương Thị Việt An viii INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information: - Project title: The optimal value function and solution map in some parametric optimization problems - Code number: ĐH2016-TN06-01 - Coordinator: MSc PhD Student Duong Thi Viet An - Implementing institution: TNU - University of Sciences - Duration: from 05/2016 to 05/2018 Objective(s): - Study differential stability of the optimal value function of parametric optimization problems under inclusion constraints - Apply the above results to parametric optimal control problems with convex objective functions and linear dynamical systems, either discrete or continuous, to obtain some rules for computing the subdifferential and the singular subdifferential of the optimal value function - Have some contributions to enhance the research capacity for the coordinator and lecturers teaching applied mathematics of TNU - University of Sciences; effectively serve the research and training as well as postgraduate training in applied mathematics of TNU - Expand the scientific research cooperations with research institutes outside TNU Creativeness and innovativeness: - Resolve several research problems; - Obtain results under minimal assumptions with maximal conclusions Research results: - Formulas for computing the subdifferential and the singular subdifferential of the optimal value function in parametric convex optimization problems under inclusion constraints; - Formulas for computing the subdifferential and the singular subdifferential of the optimal value function of parametric optimal control problems with convex objective functions and linear dynamical systems, either discrete or continuous Products: 5.1 Scientific publications: a) Published 03 papers in ISI and Scopus journals: Duong Thi Viet An, Yao J.-C (2016), “Further results on differential stability of convex optimization problems”, Journal of Optimization Theory and Applications, 170, pp 28–42 (SCI) Duong Thi Viet An, Nguyen Thi Toan (2018), “Differential stability of convex discrete optimal control problems”, Acta Mathematica Vietnamica, 43, pp 201–217 (Scopus, Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm kết giải tích lồi giải tích hàm nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu chương sau Đồng thời giới thiệu khái niệm hàm giá trị tối ưu tốn quy hoạch tốn học tham số với ràng buộc bao hàm thức nhắc lại kết biết tính ổn định vi phân toán quy hoạch lồi chứa tham số 1.1 Nón pháp tuyến tập lồi Cho X không gian Banach, X ∗ không gian đối ngẫu X Định nghĩa 1.1.1 Cho C tập lồi khác rỗng X, x¯ ∈ C Nón pháp tuyến (normal cone) tập lồi C điểm x¯, ký hiệu N (¯ x; C), định nghĩa ∗ ∗ ∗ N (¯ x; C) = {x ∈ X | x , x − x¯ ≤ 0, ∀x ∈ C} 1.2 Dưới vi phân hàm lồi Xét hàm f : X → R nhận giá trị tập số thực suy rộng R = [−∞, +∞] Định nghĩa 1.2.1 Phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ gọi gradient (subgradient) hàm f x¯ ∈ X, f (x) − f (¯ x) ≥ x∗ , x − x¯ , ∀x ∈ X Định nghĩa 1.2.2 Tập tất gradient f x gọi vi phân (subdifferential) f x¯, ký hiệu ∂f (¯ x), tức ∂f (¯ x) = {x∗ ∈ X ∗ | f (x) − f (¯ x) ≥ x∗ , x − x¯ , ∀x ∈ X} 1.3 Đối đạo hàm Định nghĩa 1.3.1 Cho F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị không gian Banach Ánh xạ đa trị F gọi ánh xạ đa trị lồi gph F tập lồi không gian tích X × Y Định nghĩa 1.3.2 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị lồi F (¯ x, y¯) ∈ gph F ánh xạ đa trị D∗ F (¯ x, y¯) : Y ∗ ⇒ X ∗ cho công thức D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ):={x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((¯ x, y¯); gph F )}, ∀y ∗ ∈ Y ∗ Nếu (¯ x, y¯) ∈ / gph F ta quy ước tập D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) rỗng, với y ∗ ∈ Y ∗ 1.4 Hàm giá trị tối ưu Cho G : X ⇒ Y ánh xạ đa trị không gian Banach, ϕ : X × Y → R hàm nhận giá trị tập số thực suy rộng Hàm giá trị tối ưu (optimal value function) toán quy hoạch tốn học ràng buộc bao hàm thức, cho G ϕ, hàm µ : X → R, với µ(x) := inf {ϕ(x, y) | y ∈ G(x)} (1.1) Do quy ước inf ∅ = +∞, ta µ(x) = +∞ x ∈ / dom G Ứng với cặp liệu {G, ϕ} ta tốn tối ưu phụ thuộc tham số x sau đây: (Px ) min{ϕ(x, y) | y ∈ G(x)} Các cơng thức tính xác đánh giá vi phân hàm giá trị tối ưu µ(x), xét chương sau, liên quan chặt chẽ đến ánh xạ nghiệm M : dom G ⇒ Y , với M (x) := {y ∈ G(x) | µ(x) = ϕ(x, y)}, ∀x ∈ dom G, toán (Px ) 1.5 Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc bao hàm thức Mệnh đề 1.5.1 Cho G : X ⇒ Y ánh xạ đa trị lồi ϕ : X × Y → R hàm lồi Khi µ(x) định nghĩa (1.1) hàm lồi Mệnh đề 1.5.2 (Xem An Yen (2015)) Nếu f : X → R hàm lồi thường, ∂ ∞ f (x) = N (x; dom f ) 1.6 Một số kết bổ trợ Định lý 1.6.1 (Xem An Yen (2015)) Giả sử G : X ⇒ Y ánh xạ đa trị lồi ϕ : X × Y → R hàm lồi thường Nếu điều kiện quy sau thỏa mãn: (a) int(gph G) ∩ dom ϕ = ∅, (b) ϕ liên tục điểm (x0 , y ) ∈ gph G, với x¯ ∈ dom µ, mà µ(¯ x) = −∞, y¯ ∈ M (¯ x) ta x∗ + D∗ G(¯ x, y¯)(y ∗ ) ∂µ(¯ x) = (x∗ ,y ∗ )∈∂ϕ(¯ x,¯ y) ∂ ∞ µ(¯ x) = x∗ + D∗ G(¯ x, y¯)(y ∗ ) (x∗ ,y ∗ )∈∂ ∞ ϕ(¯ x,¯ y) Chương Tính ổn định vi phân tốn quy hoạch lồi sử dụng điều kiện quy kiểu Aubin Trong chương phát triển số kết báo An Yen (2015) tính ổn định vi phân tốn quy hoạch lồi tham số Cụ thể, dựa ý tưởng Aubin (1998), thu cơng thức tính tốn vi phân vi phân hàm giá trị tối ưu toán tối ưu lồi tham số giả thiết: (a1 ) Hàm mục tiêu đóng; (a2 ) Ánh xạ mơ tả tập ràng buộc đồ thị đóng; (a3 ) Điều kiện quy kiểu Aubin thỏa mãn 2.1 Tính ổn định vi phân điều kiện quy kiểu Aubin Cho G : X ⇒ Y ánh xạ đa trị lồi không gian Banach, đồ thị đóng Cho ϕ : X × Y → R hàm lồi, đóng, thường Xét toán tối ưu lồi chứa tham số: {ϕ(x, y) | y ∈ G(x)} (2.1) Sử dụng điều kiện quy kiểu Aubin (0, 0) ∈ int(domϕ − gph G) (2.2) đưa công thức để tính tốn vi phân vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu µ : X → R tốn (2.1), µ(x) = inf{ϕ(x, y) | y ∈ G(x)} (2.3) Định lý 2.1.1 Nếu điều kiện quy (2.2) thỏa mãn, với x¯ ∈ dom µ mà µ(¯ x) = −∞, với y¯ ∈ M (¯ x), ta x∗ + D∗ G(¯ x, y¯)(y ∗ ) ∂µ(¯ x) = (2.4) (x∗ ,y ∗ )∈∂ϕ(¯ x,¯ y) Định lý 2.1.2 Thêm vào giả thiết Định lý 2.1.1, giả sử tập dom ϕ tập đóng Khi ∂ ∞ µ(¯ x) = x∗ + D∗ G(¯ x, y¯)(y ∗ ) (2.5) (x∗ ,y ∗ )∈∂ ∞ ϕ(¯ x,¯ y) 2.2 Phân tích điều kiện quy Đầu tiên, chúng tơi xây dựng ví dụ cho thấy điều kiện quy kiểu Aubin (2.2) thỏa mãn, hai điều kiện quy (a) (b) Định lý 1.6.1 khơng thỏa mãn, kết luận Định lý 2.1.1 nghiệm Tiếp theo, ta giả thiết phụ, điều kiện (a) (tương ứng, (b)) Định lý 1.6.1 tương đương với (2.2) Mệnh đề 2.2.1 Nếu int(gph G) = ∅ thỏa mãn, điều kiện quy (a) Định lý 1.6.1 tương đương với điều kiện quy kiểu Aubin (2.2) Mệnh đề 2.2.2 Nếu int(dom ϕ) = ∅ thỏa mãn, điều kiện quy (b) Định lý 1.6.1 điều kiện (2.2) tương đương 2.3 Kết luận Trong chương này, thu cơng thức tính xác vi phân vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu cho toán quy hoạch lồi chứa tham số giả thiết: tính đóng hàm mục tiêu; tính đóng ánh xạ mơ tả tập ràng buộc; điều kiện quy kiểu Aubin thỏa mãn Đồng thời, chúng tơi phân tích chi tiết mối quan hệ điều kiện quy kiểu Aubin điều kiện quy báo An Yen (2015) Chương Tính ổn định vi phân toán điều khiển tối ưu lồi, rời rạc Trong chương chúng tơi nghiên cứu tính ổn định vi phân toán điều khiển tối ưu rời rạc chứa tham số với hàm mục tiêu lồi ràng buộc tuyến tính Bằng cách thiết lập kết trừu tượng cho vi phân hàm giá trị tối ưu toán quy hoạch toán học lồi chứa tham số, đưa cơng thức để tính tốn/ước lượng vi phân hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu chứa tham số 3.1 Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc chứa tham số Cho Xk , Uk , Wk , với k = 0, 1, , N − 1, XN khơng gian Banach, N số tự nhiên dương Cho trước - tập lồi Ω0 ⊂ U0 , , ΩN −1 ⊂ UN −1 , C ⊂ X0 ; - toán tử tuyến tính liên tục Ak : Xk → Xk+1 , Bk : Uk → Xk+1 , Tk : Wk → Xk+1 , với k = 0, 1, , N − 1; - hàm lồi hk : Xk × Uk × Wk → R, với k = 0, 1, , N − 1, hN : XN → R Đặt W = W0 ×W1 ×· · ·×WN −1 Với véc tơ w = (w0 , w1 , , wN −1 ) ∈ W , xét toán điều khiển tối ưu lồi, rời rạc sau: Tìm (x, u) x = (x0 , x1 , , xN ) ∈ X0 × X1 × · · · × XN véc tơ trạng thái u = (u0 , u1 , , uN −1 ) ∈ U0 × U1 × · · · × UN −1 véc tơ điều khiển, cho cực tiểu hàm mục tiêu N −1 hk (xk , uk , wk ) + hN (xN ), (3.1) k=0 với phương trình trạng thái xk+1 = Ak xk + Bk uk + Tk wk , k = 0, 1, , N − 1, điều kiện ban đầu x0 ∈ C, ràng buộc điều khiển uk ∈ Ωk ⊂ Uk , k = 0, 1, , N − (3.2) 3.2 Tính ổn định vi phân tốn quy hoạch tham số Giả sử X, W Z không gian Banach với không gian đối ngẫu tương ứng X ∗ , W ∗ Z ∗ Cho f : W × Z → R hàm lồi Ω tập lồi Z với phần khác rỗng Với w ∈ W , ta đặt H(w) = z ∈ Z | M z = T w , xét toán tối ưu sau: min{f (z, w) | z ∈ H(w) ∩ Ω} (3.3) Ta tính tốn vi phân vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu h(w) := inf f (z, w) (3.4) z∈H(w)∩Ω toán (3.3) Ký hiệu S(w) tập nghiệm toán (3.3) Định nghĩa toán tử tuyến tính Φ : W × Z → X cách đặt Φ(w, z) = −T w + M z với (w, z) ∈ W × Z Định lý 3.2.1 Giả sử Φ ảnh đóng ker T ∗ ⊂ ker M ∗ Nếu hàm giá trị tối ưu h (3.4) hữu hạn w¯ ∈ dom S f liên tục (w, ¯ z¯) ∈ (W × Ω) ∩ gph H, w∗ + T ∗ (M ∗ )−1 (z ∗ + v ∗ ) ∂h(w) ¯ = (w∗ ,z ∗ )∈∂f (¯ z ,w) ¯ (3.5) v ∗ ∈N (¯ z ;Ω) ∂ ∞ h(w) ¯ = w∗ + T ∗ (M ∗ )−1 (z ∗ + v ∗ ) , (w∗ ,z ∗ )∈∂ ∞ f (¯ z ,w) ¯ (3.6) v ∗ ∈N (¯ z ;Ω) M ∗ )−1 (z ∗ + v ∗ ) = {x∗ ∈ X ∗ | M ∗ x∗ = z ∗ + v ∗ } Định lý 3.2.2 Dưới giả thiết Định lý 3.2.1, giả sử thêm f khả vi Fréchet (¯ z , w) ¯ Khi ∇w f (¯ z , w) ¯ + T ∗ (M ∗ )−1 (∇z f (¯ z , w) ¯ + v∗) ∂h(w) ¯ = v ∗ ∈N (¯ z ;Ω) 3.3 Tính ổn định vi phân toán điều khiển tối ưu Sử dụng ký hiệu Mục 3.1, ta đặt Z = X × U , K = C × X × Ω ý V (w) biểu diễn sau V (w) = inf z∈G(w)∩K f (z, w), (3.7) 10 G(w) = z = (x, u) ∈ Z | M z = T w với M : Z → X T : W → X định tương ứng sau  x0   x1    −A0 I 0 0 −B0 0      xN 0 −A1 I 0 −B1  Mz =   u    0 0 −AN −1 I 0 −BN −1   u1   xác         ,        uN −1    Tw =    T0 w0 T1 w1       TN −1 wN −1 Định lý 3.3.1 Giả sử hk , k = 0, 1, , N , hàm liên tục phần Ωk , với k = 0, 1, , N − 1, khác rỗng Giả sử thêm điều kiện sau thỏa mãn: (i) ker T ∗ ⊂ ker M ∗ ; (ii) Toán tử Φ : W × Z → X xác định Φ(w, z) = −T w + M z ảnh đóng ∗ x0 ; C), ¯ tồn véc tơ x∗0 ∈ N (¯ Nếu w˜ ∗ = (w˜0∗ , w˜1∗ , , w˜N −1 ) ∈ ∂V (w), ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ u; Ω), cho x˜ = (˜ x1 , x˜2 , , x˜N ) ∈ X , u = (u0 , u1 , , uN −1 ) ∈ N (¯    x˜∗N ∈ ∂hN (¯ xN ),       x˜∗ ∈ ∂xk hk (¯ xk , u¯k , w¯k ) + A∗k x˜∗k+1 , k = 1, 2, , N − 1,   k (3.8) x∗0 ∈ −∂x0 h0 (¯ x0 , u¯0 , w¯0 ) − A∗0 x˜∗1 ,      u∗k ∈ −∂uk hk (¯ xk , u¯k , w¯k ) − Bk∗ x˜∗k+1 , k = 0, 1, , N − 1,     w˜ ∗ ∈ ∂w hk (¯ xk , u¯k , w¯k ) + Tk∗ x˜∗k+1 , k = 0, 1, , N − k k Định lý 3.3.2 Dưới giả thiết Định lý 3.3.1, giả sử thêm hàm hk , ∗ ∗ với k = 0, 1, , N , khả vi Fréchet Khi đó, véc tơ w˜ ∗ = (w ˜0∗ , w˜1∗ , , w˜N −1 ) ∈ W thuộc vào ∂V (w) ¯ tồn x∗0 ∈ N (¯ x0 ; C), x˜∗ = (˜ x∗1 , x˜∗2 , , x˜∗N ) ∈ X ∗ , u∗ = (u∗0 , u∗1 , , u∗N −1 ) ∈ N (¯ u; Ω) cho  ∗  xN ),  x˜N = ∇hN (¯   ∗   xk , u¯k , w¯k ) + A∗k x˜∗k+1 , k = 1, 2, , N − 1,  x˜k = ∇xk hk (¯ (3.9) x∗0 = −∇x0 h0 (¯ x0 , u¯0 , w¯0 ) − A∗0 x˜∗1 ,    u∗k = −∇uk hk (¯ xk , u¯k , w¯k ) − Bk∗ x˜∗k+1 , k = 0, 1, , N − 1,     ∗ w˜k = ∇wk hk (¯ xk , u¯k , w¯k ) + Tk∗ x˜∗k+1 , k = 0, 1, , N − Định lý 3.3.3 Dưới giả thiết Định lý 3.3.1, ta ∂ ∞ V (w) ¯ = {0W ∗ } 11 3.4 Các ví dụ minh họa Ví dụ 3.4.1 Cho N = 1, X0 = R, X1 = R, U0 = R, W0 = R, Ω0 = [−1, +∞) C = (−∞, 2] Cho A0 : X0 → X1 , B0 : U0 → X1 , T0 : W0 → X1 xác định A0 x0 = x0 , B0 u0 = −u0 , T0 w0 = 2w0 Cho h0 : X0 × U0 × W0 → R h1 : X1 → R cho tương ứng h0 (x0 , u0 , w0 ) = x20 + x0 u0 + u20 + w0 , h1 (x1 ) = (x1 + 1)2 2 Ta tính (¯ x0 , x¯1 , u¯0 ) = − , − , nghiệm toán (P1 ) Do 5 x0 ; C), ¯ tồn x∗0 ∈ N (¯ đó, theo Định lý 3.3.2, véc tơ w0∗ ∈ ∂V (w) ∗ ∗ x˜1 ∈ R, u0 ∈ N (¯ u0 ; Ω0 ) cho   x1 ),  x˜∗1 = ∇h1 (¯    x∗ = −∇ h (¯ ¯0 , w¯0 ) − A∗0 x˜∗1 , x0 x0 , u (3.10)  u∗0 = −∇u0 h0 (¯ x0 , u¯0 , w¯0 ) − B0∗ x˜∗1 ,     w∗ = ∇ h (¯ ¯0 , w¯0 ) + T0∗ x˜∗1 w0 x0 , u Tính tốn chi tiết ta ∂V (w) ¯ = 13 10 Ví dụ 3.4.2 Cho N = 2, X0 = X1 = X2 = R, U0 = U1 = R, W0 = W1 = R, C = (−∞, 1], Ω0 = Ω1 = R Cho A0 : X0 → X1 , B0 : U0 → X1 , T0 : W0 → X1 , A1 : X1 → X2 , B1 : U1 → X2 , T1 : W1 → X2 xác định A0 x0 = −x0 , B0 u0 = 0, T0 w0 = −w0 , A1 x1 = x1 , B1 u1 = −u1 , T1 w1 = w1 Hơn nữa, ta định nghĩa h0 : X0 × U0 × W0 → R, h1 : X1 × U1 × W1 → R, h2 : X2 → R h0 (x0 , u0 , w0 ) = (x0 + u0 )2 + w02 , h1 (x1 , u1 , w1 ) = |x1 − 1| + |w1 |, h2 (x2 ) = |x2 | Khi đó, tham số w¯ = (w¯0 , w¯1 ) := (0, 0), ta tìm S(w) ¯ = {¯ z }, z¯ = (¯ x0 , x¯1 , x¯2 , u¯0 , u¯1 ) = (−1, 1, 0, 1, 1) Vì vậy, theo Định lý 3.3.1, w∗ = (w0∗ , w1∗ ) nằm ∂V (w) ¯ ta tìm véc tơ x∗0 ∈ N (¯ x0 ; C), x˜∗ = (˜ x∗1 , x˜∗2 ), u; Ω) cho (3.8) thỏa mãn u∗ = (u∗0 , u∗1 ) ∈ N (¯ Tính tốn chi tiết ta w0∗ ∈ [−2, 2], w1∗ ∈ [−2, 2] Vậy ∂V (w) ¯ ⊂ [−2, 2]×[−2, 2] 3.5 Kết luận Tính ổn định vi phân toán điều khiển tối ưu lồi, rời rạc nghiên cứu chương Cụ thể, thu đánh giá cho vi phân hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu lồi, rời rạc, hàm mục tiêu không khả vi (Định lý 3.3.1) Nếu hàm mục tiêu khả vi Định lý 3.3.2 cho ta cơng thức tính xác cho vi phân hàm giá trị tối ưu Hơn vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu chứa phần tử không không gian đối ngẫu (Định lý 3.3.3) 12 Chương Tính ổn định vi phân tốn điều khiển tối ưu lồi, liên tục Gần đây, tác giả L.Q Thuy N.T Toan (2016) thu cơng thức tính tốn vi phân hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu lồi hệ động lực tuyến tính Trong chương này, chúng tơi phát triển kết L.Q Thuy N.T Toan (2016) cho tốn điều khiển tối ưu ràng buộc Cụ thể, dựa kết Chương tính ổn định vi phân tốn quy hoạch lồi chứa tham số, chúng tơi thu cơng thức để tính tốn vi phân vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu Q trình tính tốn ví dụ minh họa trình bày chương 4.1 Bài toán điều khiển tối ưu lồi liên tục Cho W 1,p ([0, 1], Rn ), ≤ p < +∞ không gian Sobolev Cho trước - hàm với giá trị ma trận A(t) = (aij (t))n×n , B(t) = (bij (t))n×m , C(t) = (cij (t))n×k ; - hàm g : Rn → R L : [0, 1] × Rn × Rm × Rk → R; - tập lồi U ⊂ Lp ([0, 1], Rm ); - cặp tham số (α, θ) ∈ Rn × Lp ([0, 1], Rk ) Ta đặt X = W 1,p ([0, 1], Rn ), U = Lp ([0, 1], Rm ), Z = X × U, Θ = Lp ([0, 1], Rk ), W = Rn × Θ Xét toán điều khiển tối ưu chứa tham số (α, θ) sau: Tìm cặp véc tơ (x, u), x ∈ W 1,p ([0, 1], Rn ) véc tơ trạng thái u ∈ Lp ([0, 1], Rm ) véc tơ điều khiển, cho hàm mục tiêu sau đạt cực tiểu g(x(1)) + L(t, x(t), u(t), θ(t))dt (4.1) với phương trình trạng thái x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t) + C(t)θ(t) h.k.n t ∈ [0, 1], (4.2) 13 giá trị ban đầu x(0) = α, (4.3) u ∈ U (4.4) ràng buộc điều khiển Ta biết X, U, Z, Θ không gian Banach Với w = (α, θ) ∈ W , ký hiệu V (w) S(w), giá trị tối ưu tập nghiệm toán (4.1)–(4.4) Ta gọi V : W → R hàm giá trị tối ưu toán xét Nếu với w = (α, θ) ∈ W ta đặt L(t, x(t), u(t), θ(t))dt, J(x, u, w) = g(x(1)) + (4.5) G(w) = z = (x, u) ∈ X × U | (4.2) (4.3) thỏa mãn , (4.6) K = X ×U, (4.1)–(4.4) viết dạng min{J(z, w) | z ∈ G(w)∩K}, V (w) = inf{J(z, w) | z = (x, u) ∈ G(w) ∩ K} (4.7) ¯ ∈ W (¯ Ta giả sử V hữu hạn w¯ = (¯ α, θ) x, u¯) nghiệm tương ứng, tức (¯ x, u¯) ∈ S(w) ¯ Trong mục ta cần giả thiết sau: (A1) Các hàm A : [0, 1] → Mn,n (R), B : [0, 1] → Mn,m (R), C : [0, 1] → Mn,k (R), đo bị chặn cốt yếu (A2) Các hàm g : Rn → R L : [0, 1]×Rn ×Rm ×Rk → R tính chất g(·) hàm lồi khả vi liên tục Rn , L(·, x, u, v) đo với (x, u, v) ∈ Rn × Rm × Rk , L(t, ·, ·, ·) lồi khả vi liên tục Rn × Rm × Rk với hầu khắp nơi t ∈ [0, 1],và tồn số c1 > 0, c2 > 0, r ≥ 0, p ≥ p1 ≥ 0, p − ≥ p2 ≥ 0, hàm dương w1 ∈ Lp ([0, 1], R), cho |L(t, x, u, v)| ≤ c1 w1 (t) + ||x||p1 + ||u||p1 + ||v||p1 , max |Lx (t, x, u, v)|, |Lu (t, x, u, v)|, |Lv (t, x, u, v)| ≤ c2 ||x||p2 + ||u||p2 + ||v||p2 + r, với (t, x, u, v) ∈ [0, 1] × Rn × Rm × Rk 14 4.2 Tính ổn định vi phân toán điều khiển Ta xét tốn tử tuyến tính A : X → X, B : U → X, M : X × U → X, (.) T : W → X xác định tương ứng Ax := x − A(τ )x(τ )dτ, Bu := (.) (.) − B(τ )u(τ )dτ, M(x, u) := Ax + Bu, T (α, θ) := α + C(τ )θ(τ )dτ Dưới giả thiết (A1), (4.6) viết lại sau: G(w) = {(x, u) ∈ X × U | M(x, u) = T (w)} Cho ΨA : Lq ([0, 1], Rn ) → R, ΨB : Lq ([0, 1], Rn ) → Lq ([0, 1], Rm ), ΨC : Lq ([0, 1], Rn ) → Lq ([0, 1], Rk ), Ψ : Lq ([0, 1], Rn ) → Lq ([0, 1], Rn ) định nghĩa AT (t)v(t)dt, ΨA (v) = ΨB (v)(t) = −B T (t)v(t) h.k.n t ∈ [0, 1], (.) ΨC (v)(t) = C T (t)v(t) h.k.n t ∈ [0, 1], AT (τ )v(τ )dτ Ψ (v) = − Ta cần thêm hai giả thiết sau (A3) Giả sử ker ΨC ⊂ ker ΨA ∩ ker ΨB ∩ Fix Ψ , Fix Ψ := {x ∈ X | Ψ (x) = x} tập điểm cố định Ψ , ker ΨA (tương ứng, ker ΨB , ker ΨC ) hạt nhân ΨA (tương ứng, ΨB , ΨC ) (A4) Tốn tử Φ : W × Z → X, cho (.) Φ(w, z) = x − (.) A(τ )x(τ )dτ − (.) B(τ )v(τ )dτ − α − C(τ )θ(τ )dτ với w = (α, θ) ∈ W z = (x, v) ∈ Z, ảnh đóng (A5) Tồn số c3 > cho, với v ∈ Rn , ||C T (t)v|| ≥ c3 ||v|| h.k.n t ∈ [0, 1] ¯ int U = ∅, Định lý 4.2.1 Giả sử hàm V (4.7) hữu hạn w¯ = (¯ α, θ), (A1) − (A4) thỏa mãn Hơn nữa, giả sử thêm (4.1)–(4.4) nghiệm (¯ x, u¯) Khi ∗ ∗ n q k ¯ đó, (α , θ ) ∈ R × L ([0, 1], R ) nằm ∂ V (¯ α, θ) 1 ¯ Lx (t, x¯(t), u¯(t), θ(t))dt − ∗ α = g (¯ x(1)) + AT (t)y(t)dt, ¯ θ∗ (t) = −C T (t)y(t) + Lθ (t, x¯(t), u¯(t), θ(t)) h.k.n t ∈ [0, 1], y ∈ W 1,q ([0, 1], Rn ) nghiệm hệ  y(t) ¯ ˙ + AT (t)y(t) = Lx (t, x¯(t), u¯(t), θ(t)) h.k.n t ∈ [0, 1], y(1) = −g (¯ x(1)), ¯ cho u∗ ∈ Lq ([0, 1], Rm ) xác định u∗ (t) = B T (t)y(t)−Lu (t, x¯(t), u¯(t), θ(t)) h.k.n t ∈ [0, 1] thỏa mãn điều kiện u∗ ∈ N (¯ u; U) 15 Định lý 4.2.2 Giả sử tất giả thiết Định lý 4.2.1 thỏa mãn Khi đó, (α∗ , θ∗ ) ∈ Rn × Lq ([0, 1], Rk ) nằm ∂ ∞ V (w) ¯ α∗ = AT (t)v(t)dt, θ∗ (t) = C T (t)v(t) h.k.n t ∈ [0, 1], v ∈ W 1,q ([0, 1], Rn ) nghiệm hệ  v(t) ˙ = −AT (t)v(t) h.k.n t ∈ [0, 1], v(0) = α∗ , cho hàm u∗ ∈ Lq ([0, 1], Rn ) xác định u∗ (t) = −B T (t)v(t) h.k.n t ∈ [0, 1] nằm N (¯ u, U) 4.3 Các ví dụ minh họa Trong mục này, áp dụng kết thu Định lý 4.2.1 4.2.2 cho toán điều khiển tối ưu với mơ hình thực tế Dựa ví dụ Pontryagin cộng (1962), xét cỗ máy khối lượng chuyển động không ma sát đường thẳng, từ điểm gốc, tác động lực u(t) ∈ R phụ thuộc vào thời gian t ∈ [0, 1] Ký hiệu trạng thái cỗ máy thời điểm t x1 (t) vận tốc x2 (t) Theo định luật II Newton, ta cú u(t) = ì xă1 (t); ú  x˙ (t) = x (t), (4.8) x˙ (t) = u(t) Giả sử trạng thái vận tốc ban đầu cỗ máy tương ứng x1 (0) = α ¯ x2 (0) = α ¯ Bài toán đặt cực tiểu khoảng cách vận tốc (từ thời gian ban đầu đến thời điểm t = 1) Hay nói cách khác [x1 (1)]2 + [x2 (1)]2 phải đạt cực tiểu |u(t)|2 dt ≤ (ràng buộc kiểu điều khiển lượng) u(·) thỏa mãn ràng buộc 4.4 Kết luận Trong chương này, thu cơng thức tính tốn cho vi phân vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu tốn điều khiển tối ưu ràng buộc với hàm mục tiêu lồi hệ động lực tuyến tính Định lý 4.2.1, Định lý 4.2.2, ví dụ Mục 4.3 kết chương Kết luận Đề tài thu kết sau: 1) Các cơng thức tính toán vi phân vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu lồi tham số ràng buộc bao hàm thức; 2) Các cơng thức tính tốn/ước lượng vi phân vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu chứa tham số, với hàm mục tiêu lồi hệ động lực tuyến tính, hệ rời rạc lần hệ liên tục Danh sách công trình tác giả liên quan đến đề tài [1] Duong Thi Viet An, Yao J.-C (2016), “Further results on differential stability of convex optimization problems”, Journal of Optimization Theory and Applications, 170, pp 28–42 (SCI) [2] Duong Thi Viet An (2017), “An application of the Farkas lemma in infinite dimensional vector spaces”, Kỷ yếu Hội nghị Khoa học trẻ Trường Đại học Khoa học lần thứ hai, NXB Đại học Thái Nguyên, Thái Nguyên, tr 93–99 [3] Duong Thi Viet An, Nguyen Thi Toan (2018), “Differential stability of convex discrete optimal control problems”, Acta Mathematica Vietnamica, 43, pp 201–217 (Scopus, ESCI) [4] Duong Thi Viet An, Yao J.-C., Nguyen Dong Yen (2018), “Differential stability of a class of convex optimal control problems”, Applied Mathematics and Optimization, DOI 10.1007/s00245-017-9475-4 (SCI) ... toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số, tức hàm ràng buộc hàm mục tiêu phụ thuộc vào tham số đó, giá trị tối ưu hàm tham số ánh xạ nghiệm ánh xạ đa trị theo tham số tốn Nói chung hàm giá trị. .. vi phân hàm giá trị tối ưu toán quy hoạch tốn học lồi chứa tham số, chúng tơi đưa cơng thức để tính tốn/ước lượng vi phân hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu chứa tham số 3.1 Bài toán điều... 1.4 Hàm giá trị tối ưu Cho G : X ⇒ Y ánh xạ đa trị khơng gian Banach, ϕ : X × Y → R hàm nhận giá trị tập số thực suy rộng Hàm giá trị tối ưu (optimal value function) tốn quy hoạch tốn học có ràng
- Xem thêm -

Xem thêm: Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt), Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay