Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)

88 31 0
  • Loading ...
1/88 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 16/04/2018, 18:11

Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH) ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU ÁNH XẠ NGHIỆM TRONG CÁC BÀI TỐN TỐI ƯUTHAM SỐ Mã số: ĐH2016-TN06-01 Chủ nhiệm đề tài: ThS NCS Dương Thị Việt An Thái Nguyên, 4/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU ÁNH XẠ NGHIỆM TRONG CÁC BÀI TỐN TỐI ƯUTHAM SỐ Mã số: ĐH2016-TN06-01 Xác nhận tổ chức chủ trì Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên, đóng dấu) (ký, họ tên) ThS NCS Dương Thị Việt An Thái Nguyên, 4/2018 i DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH I Thành viên thực đề tài TT Họ tên ThS Dương Thị Việt An TS Mai Viết Thuận ThS Nguyễn Thị Thanh Huyền Đơn vị công tác Vai trò Khoa Tốn - Tin, Trường ĐHKH Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường ĐHKH Thư ký +NCV Khoa Toán - Tin, Trường ĐHKH NCV II Đơn vị phối hợp thực Tên đơn vị Nội dung phối hợp Viện Toán học, Viện Tư vấn, giúp đỡ, định hướng nghiên cứu Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Đại học Quốc gia Tôn Hợp tác nghiên cứu, viết chung báo Trung Sơn, Đài Loan Đại học Bách Khoa Hợp tác nghiên cứu, viết chung báo Hà Nội Đại diện GS TSKH Nguyễn Đông Yên GS Jen-Chih Yao TS Nguyễn Thị Toàn ii Mục lục Danh mục ký hiệu iv Thông tin kết nghiên cứu vi Information on research results ix Mở đầu Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nón pháp tuyến tập lồi 1.2 Dưới vi phân hàm lồi 1.3 Đối đạo hàm 1.4 Hàm giá trị tối ưu 1.5 Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc bao hàm thức 1.6 Một số kết bổ trợ 10 Chương Tính ổn định vi phân toán quy hoạch lồi sử dụng điều kiện quy kiểu Aubin 14 2.1 Tính ổn định vi phân điều kiện quy kiểu Aubin 14 2.2 Phân tích điều kiện quy 22 2.3 Kết luận 26 Chương Tính ổn định vi phân tốn điều khiển tối ưu lồi, rời rạc 3.1 28 Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc chứa tham số 28 iii 3.2 Tính ổn định vi phân tốn quy hoạch tham số 3.3 Tính ổn định vi phân toán điều khiển tối ưu 34 3.4 Các ví dụ minh họa 43 3.5 Kết luận 48 Chương 30 Tính ổn định vi phân toán điều khiển tối ưu lồi, liên tục 49 4.1 Bài toán điều khiển tối ưu lồi liên tục 49 4.2 Tính ổn định vi phân toán điều khiển 52 4.3 Các ví dụ minh họa 61 4.4 Kết luận 70 Kết luận 71 iv Danh mục ký hiệu R tập số thực R tập số thực suy rộng ∅ tập rỗng ||x|| chuẩn véc tơ x N (x) tập tất lân cận x int A phần tôpô tập A cl A bao đóng tập A cl∗ A bao đóng tập A theo tơpơ yếu∗ A⊥ phần bù trực giao tập A cone A nón suy rộng tập A co A bao lồi tập A Lp ([0, 1], Rn ) không gian hàm đo Lebesgue x : [0, 1] → Rn với W 1,p ([0, 1], Rn ) p ||x(t)|| dt hữu hạn không gian Sobolev gồm hàm liên tục tuyệt đối x : [0, 1] → Rn với x˙ ∈ Lp ([0, 1], Rn ) Mn,n (R) tập hàm từ R vào không gian ma trận thực tuyến tính n × n sup f (x) supremum tập {f (x) | x ∈ K} x∈K inf f (x) infimum tập {f (x) | x ∈ K} dom f miền xác định hàm f x∈K v epi f đồ thị hàm f ∂ ∞ f (x) vi phân suy biến hàm f x ∇ f (x) đạo hàm Fréchet hàm f x ∂x ϕ(¯ x, y¯) vi phân riêng theo biến x hàm ϕ (¯ x, y¯) N (¯ x; Ω) nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi Ω x ¯ F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ không gian X vào Y dom F miền hữu hiệu F gph F đồ thị F D∗ F (¯ x, y¯)(·) đối đạo hàm F (¯ x, y¯) Ω x −→ x¯ x → x¯ x ∈ Ω M :X→Y toán tử từ X vào Y M ∗ : Y ∗ → X∗ toán tử liên hợp M ker M hạt nhân M rge M tập ảnh M l.s.c nửa liên tục h.k.n hầu khắp nơi vi ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Đơn vị: Trường Đại học Khoa học THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: - Tên đề tài: Hàm giá trị tối ưu ánh xạ nghiệm tốn tối ưu tham số - Mã số: ĐH2016-TN06-01 - Chủ nhiệm: ThS NCS Dương Thị Việt An - Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên - Thời gian thực hiện: 5/2016 - 5/2018 Mục tiêu: - Nghiên cứu tính chất vi phân hàm giá trị tối ưu toán quy hoạch toán học lồi chứa tham số ràng buộc dạng bao hàm thức - Áp dụng kết thu vào nghiên cứu tính ổn định vi phân toán điều khiển tối ưu chứa tham số với hàm mục tiêu lồi hệ động lực tuyến tính, hệ rời rạc lẫn hệ liên tục - Góp phần nâng cao lực nghiên cứu cho chủ nhiệm đề tài cán giảng dạy Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên; phục vụ hiệu cho công tác NCKH đào tạo đại học, đào tạo sau đại học chuyên ngành Toán ứng dụng Đại học Thái Nguyên - Mở rộng hợp tác nghiên cứu khoa học với sở nghiên cứu Đại học Thái Nguyên Tính mới, tính sáng tạo: - Giải số vấn đề nghiên cứu mới; - Các kết thu dạng giả thiết tối thiểu, kết luận tối đa Kết nghiên cứu: vii - Các cơng thức tính tốn vi phân vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu tốn quy hoạch lồi tham số ràng buộc bao hàm thức; - Các cơng thức tính tốn vi phân vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu chứa tham số với hàm mục tiêu lồi hệ động lực tuyến tính, hệ rời rạc lẫn hệ liên tục Sản phẩm: 5.1 Sản phẩm khoa học: a) 03 báo đăng tạp chí Quốc tế uy tín: Duong Thi Viet An, Yao J.-C (2016), “Further results on differential stability of convex optimization problems”, Journal of Optimization Theory and Applications, 170, pp 28–42 (SCI) Duong Thi Viet An, Nguyen Thi Toan (2018), “Differential stability of convex discrete optimal control problems”, Acta Mathematica Vietnamica, 43, pp 201–217 (Scopus, ESCI) Duong Thi Viet An, Yao J.-C., Nguyen Dong Yen (2018), “Differential stability of a class of convex optimal control problems”, Applied Mathematics and Optimization, DOI 10.1007/s00245-017-9475-4 (SCI) b) 01 báo đăng kỷ yếu hội nghị nước: Duong Thi Viet An (2017), “An application of the Farkas lemma in infinite dimensional vector spaces”, Kỷ yếu Hội nghị Khoa học trẻ Trường Đại học Khoa học lần thứ hai, NXB Đại học Thái Nguyên, Thái Nguyên, tr 93–99 5.2 Sản phẩm đào tạo: - Hướng dẫn 01 KLTN Đại học nghiệm thu: Đào Thị Hiều (2017), Đạo hàm theo hướng vi phân hàm lồi, Khóa luận tốt nghiệp, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên - Đề tài phần Luận án tiến sĩ chủ nhiệm đề tài: viii Tên luận án: “The Optimal Value Function and Solution Map in Some Parametric Optimization Problems”, với tên Tiếng Việt tương ứng là: “Hàm giá trị tối ưu ánh xạ nghiệm số tốn tối ưu tham số” Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu: - Cung cấp tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên, nghiên cứu sinh, nghiên cứu viên chuyên ngành Toán ứng dụng Ngày tháng năm 2018 Tổ chức chủ trì Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên, đóng dấu) (Ký, họ tên) ThS NCS Dương Thị Việt An 61 4.3 Các ví dụ minh họa Trong mục này, áp dụng kết thu Định lý 4.2.1 4.2.2 cho tốn điều khiển tối ưu với mơ hình thực tế Dựa ví dụ Pontryagin cộng [19, Ví dụ 1, tr 23], chúng tơi xét cỗ máy khối lượng chuyển động không ma sát đường thẳng, từ điểm gốc, tác động lực u(t) ∈ R phụ thuộc vào thời gian t ∈ [0, 1] Ký hiệu trạng thái cỗ máy thời điểm t x1 (t) vận tốc x2 (t) Theo định luật II Newton, ta u(t) = × x ¨1 (t);   x˙ (t) = x2 (t), (4.24)  x˙ (t) = u(t) Giả sử trạng thái vận tốc ban đầu cỗ máy tương ứng x1 (0) = α ¯ x2 (0) = α ¯ Bài toán đặt cực tiểu khoảng cách vận tốc (từ thời gian ban đầu đến thời điểm t = 1) Hay nói cách khác [x1 (1)]2 + [x2 (1)]2 phải đạt cực tiểu u(·) thỏa mãn ràng buộc |u(t)|2 dt ≤ (ràng buộc kiểu điều khiển lượng) Nhấn mạnh toán xét khác so với toán xét [19, Ví dụ 1, tr 23], ràng buộc điều khiển u(t) ∈ [−1, 1] xem xét mục đích tác giả cực tiểu thời gian T ∈ [0, +∞) với x1 (T ) = x2 (T ) = Theo biết, nguyên lý cực đại cổ điển [19, Định lý 1, tr 19] khơng áp dụng cho tốn mà xét |u(t)|2 dt ≤ Chúng ta phân tích mơ hình (4.24) với ràng buộc cách sử dụng kết mục trước Cho X = W 1,2 ([0, 1], R2 ), U = L2 ([0, 1], R), Θ = L2 ([0, 1], R2 ) Chọn A(t) = A, B(t) = B , C(t) = C 62 với t ∈ [0, 1],   , A= 0 Đặt g(x) = x  B=  ,  C= 0   với x ∈ R2 L(t, x, u, θ) = với (t, x, u, θ) ∈ [0, 1] × R2 × R × R2 Cho U = u ∈ L2 ([0, 1], R) | ||u||2 ≤ Với liệu mơ tả trên, tốn điều khiển tối ưu (4.1)–(4.4) dạng     J(x, u, w) = x21 (1) + x22 (1) → inf    x˙ (t) = x2 (t) + θ1 (t), x˙ (t) = u(t) + θ2 (t),      x1 (0) = α1 , x2 (0) = α2 , u ∈ U (4.25) Tham số nhiễu θ1 (t) biểu diễn cho nhiễu vận tốc, nguyên nhân gió Tương tự nhiễu θ2 (t) nhiễu lực, gây hoạt động không hữu hiệu hay không đắn phản ứng động xe điều khiển người Ta định nghĩa hàm θ¯ ∈ Θ cách ¯ = (0, 0) với t ∈ [0, 1] Véctơ α đặt θ(t) ¯ = (¯ α1 , α ¯ ) ∈ R2 chọn theo số cách khác Ví dụ 4.3.1 Xét toán (4.25) tham số w = w ¯:     J(x, u, w) ¯ = x21 (1) + x22 (1) → inf    x˙ (t) = x2 (t), x˙ (t) = u(t),      x1 (0) = α ¯ , x2 (0) = α ¯ , u ∈ U (4.26) Sử dụng ký hiệu Mục 4.2, ta viết toán (4.26) dạng toán quy hoạch   J(x, u, w) ¯ = x21 (1) + x22 (1) → inf  (x, u) ∈ G(w) ¯ ∩ K, G(w) ¯ = {(x, u) ∈ X × U | M(x, u) = T (w)} ¯ K = X × U Khi đó, theo [13, Mệnh đề 2, tr 81], (¯ x, u¯) nghiệm toán (4.26) 63 (0X ∗ , 0U ∗ ) ∈ ∂x,u J(¯ x, u¯, w) ¯ + N ((¯ x, u¯); G(w) ¯ ∩ K) (4.27) Bước tính tốn nón N ((¯ x, u¯); G(w)) ¯ Ta N ((¯ x, u¯); G(w)) ¯ = rge(M∗ ) := {M∗ x∗ | x∗ ∈ X ∗ } (4.28) Thật vậy, G(w) ¯ = {(x, u) ∈ X × U | M(x, u) = T (w)} ¯ đa tạp afin, nên N ((¯ x, u¯); G(w)) ¯ = (kerM)⊥ (4.29) Với z(·) = (z1 (·), z2 (·)) ∈ X , ta chọn x2 (t) = z2 (0) x1 (t) = z1 (t) + z2 (0)t với t ∈ [0, 1], u(t) = x˙ (t) với h.k.n t ∈ [0, 1], (x, u) ∈ X × U M(x, u) = z Điều toán tử tuyến tính liên tục M : X × U → X tồn ánh Trường hợp riêng, M ảnh đóng Vì thế, theo Mệnh đề 1.6.1, từ (4.29) ta N ((¯ x, u¯); G(w)) ¯ = (kerM)⊥ = rge(M∗ ) = {M∗ x∗ | x∗ ∈ X ∗ }; (4.28) nghiệm Bước Tính nón pháp tuyến N ((¯ x, u¯); G(w) ¯ ∩ K) Để N ((¯ x, u¯); G(w) ¯ ∩ K) = {0X ∗ } × N (¯ u; U) + N ((¯ x, u¯); G(w)), ¯ (4.30) ta thấy N ((¯ x, u¯); K) = {0X ∗ } × N (¯ u; U) (4.31) Tiếp theo, làm rõ điều kiện cân pháp tuyến N ((¯ x, u¯); K) ∩ [−N ((¯ x, u¯); G(w))] ¯ = {(0, 0)} cho tập lồi K gph G Lấy (x∗1 , u∗1 ) ∈ N ((¯ x, u¯); K) ∩ [−N ((¯ x, u¯); G(w))] ¯ (4.32) 64 Một mặt, từ (4.31) ta x∗1 = u∗1 ∈ N (¯ u; U) Mặt khác, từ (4.28) khẳng định thứ ba Bổ đề 4.2.1, ta tìm x∗ = (a, v) ∈ X ∗ = R2 × L2 ([0, 1], R2 ) cho x∗1 = −A∗ (a, v) u∗1 = −B ∗ (a, v) Khi = A∗ (a, v), u∗1 = −B ∗ (a, v) (4.33) Ta viết a = (a1 , a2 ), v = (v1 , v2 ) với ∈ R vi ∈ L2 ([0, 1], R), i = 1, Theo Bổ đề 4.2.1, (4.33) tương đương với hệ sau    a1 = 0, a2 − v1 (t)dt = 0,        v1 = 0, (.)    v + v1 (τ )dτ −       u∗ = v 1 (4.34) v1 (t)dt = 0, Từ (4.34) ta suy (a1 , a2 ) = (0, 0), (v1 , v2 ) = (0, 0) u∗1 = Vậy (x∗1 , u∗1 ) = (0, 0) Do đó, (4.32) thỏa mãn Thêm vào đó, U = u ∈ L2 ([0, 1], R) | ||u||2 ≤ , ta int U = ∅; K tập lồi với phần khác rỗng Do (4.32), ta khơng thể tìm x, u¯); G(w)) ¯ , khơng đồng x, u¯); K) (x∗1 , u∗1 ) ∈ N ((¯ (x∗0 , u∗0 ) ∈ N ((¯ thời không, mà (x∗0 , u∗0 ) + (x∗1 , u∗1 ) = Do đó, theo Mệnh đề 1.1.2, ta G(w) ¯ ∩ int K = ∅ Hơn nữa, theo Mệnh đề 1.1.1, ta N ((¯ x, u¯); G(w) ¯ ∩ K) = N ((¯ x, u¯); K) + N ((¯ x, u¯); G(w)) ¯ Vì vậy, kết hợp với phương trình cuối (4.31) ta suy (4.30) Bước tính tốn vi phân riêng J(·, ·, w) ¯ (¯ x, u¯) Đầu tiên ta để ý J(x, u, w) ¯ hàm lồi Rõ ràng, giả thiết (A1) (A2) thỏa mãn Vì thế, theo Bổ đề 4.2.2, hàm J(x, u, w) ¯ = g(x(1)) = 65 x21 (1) + x22 (1) khả vi Fréchet (¯ x, u¯), Ju (¯ x, u¯, w) ¯ = 0U ∗ , Jx (¯ x, u¯, w) ¯ = g (¯ x(1)), g (¯ x(1)) = (2¯ x1 (1), 2¯ x2 (1)), (2¯ x1 (1), 2¯ x2 (1)) , (4.35) kí hiệu (2¯ x1 (1), 2¯ x2 (1)) véc tơ R2 , kí hiệu thứ hai (2¯ x1 (1), 2¯ x2 (1)) kí hiệu cho hàm t → (2¯ x1 (1), 2¯ x2 (1)) từ [0, 1] đến R2 Vì vậy, ta ∂Jx,u (¯ x, u¯, w) ¯ = Jx (¯ x, u¯, w), ¯ 0U ∗ (4.36) với Jx (¯ x, u¯, w) ¯ cho (4.35) Bước (giải điều kiện tối ưu) Từ (4.28), (4.30), (4.36), ta khẳng định (4.27) thỏa mãn tồn u∗ ∈ N (¯ u; U) x∗ = (a, v) ∈ R2 × L2 ([0, 1], R2 ) mà a = (a1 , a2 ) ∈ R2 , v = (v1 , v2 ) ∈ L2 ([0, 1], R2 ), cho (−2¯ x1 (1), −2¯ x2 (1)), (−2¯ x1 (1), −2¯ x2 (1)) , −u∗ = M∗ (a, v) (4.37) Theo Bổ đề 4.2.3, ta M∗ (a, v) = (A∗ (a, v), B ∗ (a, v)), A∗ (a, v) = a − (.) AT (t)v(t)dt, v + AT (τ )v(τ )dτ − AT (t)v(t)dt , B ∗ (a, v) = −B T v Kết hợp điều với (4.37) cho ta     −2¯ x1 (1) = a1 , −2¯ x2 (1) = a2 − v1 (t)dt,     (.) −2¯ x1 (1) = v1 , −2¯ x2 (1) = v2 +       u∗ = v2 v1 (τ )dτ − v1 (t)dt, (4.38) Nếu ta chọn a = v = (4.38), u∗ = 0; u∗ ∈ N (¯ u; U) Hơn nữa, (4.38) cho ta x¯1 (1) = 0, x¯2 (1) = (4.39) 66 Bên cạnh đó, ta quan sát (¯ x, u¯) ∈ G(w) ¯   x ¯˙ (t) = x¯2 (t), x¯˙ (t) = u¯(t), (4.40)  x ¯1 (0) = α ¯ , x¯2 (0) = α ¯ , u¯ ∈ U Kết hợp (4.39) với (4.40) cho ta     x¯˙ (1) = 0, x¯˙ (0) = α ¯2,       x ¯1 (0) = α ¯ , x¯1 (1) = 0, (4.41)    x¯˙ (t) = x¯2 (t), x¯˙ (t) = u¯(t),       u ¯ ∈ U Ta tìm x ¯1 (t) dạng x¯1 (t) = at3 + bt2 + ct + d Kết hợp với x¯1 (t) đẳng thức thứ tư (4.41), ta   3a + 2b + c = 0, c = α ¯2,  d = α ¯ , a + b + c + d = Giải hệ này, ta thu a = 2¯ α1 + α ¯ , b = −3¯ α1 − 2¯ α2 , c = α ¯2, d = α ¯1 Khi x ¯1 (t) = (2¯ α1 + α ¯ )t3 − (3¯ α1 + 2¯ α2 )t2 + α ¯2t + α ¯ Vậy, đẳng thức thứ năm thứ sáu (4.41) suy   x ¯2 (t) = x¯˙ (t) = 3(2¯ α1 + α ¯ )t2 − 2(3¯ α1 + 2¯ α2 )t + α ¯2,  u ¯(t) = x¯˙ (t) = (12¯ α1 + 6¯ α2 )t − (6¯ α1 + 4¯ α2 ) Bây giờ, điều kiện u ¯ ∈ U (4.41) nghĩa 1 1≥ |¯ u(t)| dt = [(12¯ α1 + 6¯ α2 )t − (6¯ α1 + 4¯ α2 )]2 dt (4.42) Bằng phép tính đơn giản, ta thấy (4.42) tương đương với 12¯ α12 + 12¯ α1 α ¯ + 4¯ α22 − ≤ (4.43) Rõ ràng, tập Ω gồm tất điểm α ¯ = (¯ α1 , α ¯ ) ∈ R2 thỏa mãn (4.43) elip Ta vừa với α ¯ = (¯ α1 , α ¯ ) từ Ω, tốn (4.26) 67 nghiệm tối ưu (¯ x, u¯),     x¯1 (t) = (2¯ α1 + α ¯ )t3 − (3¯ α1 + 2¯ α2 )t2 + α ¯2t + α ¯1,    x¯2 (t) = 3(2¯ α1 + α ¯ )t2 − 2(3¯ α1 + 2¯ α2 )t + α ¯2,      u ¯(t) = (12¯ α1 + 6¯ α2 )t − (6¯ α1 + 4¯ α2 ) (4.44) Trong trường hợp giá trị tối ưu J(¯ x, u¯, w) ¯ = Trong hai ví dụ tới, áp dụng Định lý 4.2.1 4.2.2 để tính tốn vi phân vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu ¯ , α V (w) (4.25) w¯ = (¯ α, θ) ¯ thỏa mãn điều kiện (4.43) Ví dụ 4.3.2 Cho α = α ¯ := 5, thuộc phần int Ω, θ = θ¯ ¯ = (0, 0) với t ∈ [0, 1], toán điều khiển (4.25) sau mà θ(t)     J(x, u) = ||x(1)||2 → inf    (4.45) x˙ (t) = x2 (t), x˙ (t) = u(t),      x1 (0) = , x2 (0) = 0, u ∈ U Với tốn tham số (4.25), dễkiểm  tra giả thiết (A1)  với t ∈ [0, 1], ta với (A2) thỏa mãn Vì C(t) =  v ∈ R2 ta ||C T (t)v|| = ||v|| h.k.n t ∈ [0, 1] Vì thế, giả thiết (A5) đươc thỏa mãn Khi đó, theo Mệnh đề 4.2.1, giả thiết (A3) (A4) thỏa mãn Theo (4.44) giải thích Ví dụ 4.3.1, cặp (¯ x, u¯) ∈ X × U , x¯(t) = u¯(t) = 12 5t − 5t − 53 t2 + 15 , 65 t2 − 65 t với t ∈ [0, 1], nghiệm (4.45) Trong trường hợp này, u¯(t) điểm U u(t)|2 dt |¯ = 12 25 < Vì vậy, theo Định ¯ lý 4.2.1, véc tơ (α∗ , θ∗ ) ∈ R2 × L2 ([0, 1], R2 ) thuộc ∂ V (¯ α, θ) 68 ∗ AT (t)y(t)dt α = g (¯ x(1)) − (4.46) θ∗ (t) = −C T (t)y(t) h.k.n t ∈ [0, 1], y ∈ W 1,2 ([0, 1], R2 ) nghiệm hệ   y(t) ˙ = −AT (t)y(t) h.k.n t ∈ [0, 1], (4.47) (4.48)  y(1) = −g (¯ x(1)), cho u∗ ∈ L2 ([0, 1], R) xác định u∗ (t) = B T (t)y(t) h.k.n t ∈ [0, 1] (4.49) thỏa mãn điều kiện u∗ ∈ N (¯ u; U) Vì x ¯(1) = (0, 0), ta g (¯ x(1)) = (0, 0) Vậy, (4.48) viết sau   y˙ (t) = 0, y˙ (t) = −y1 (t),  y1 (1) = 0, y2 (1) = Rõ ràng, y(t) = (0, 0) nghiệm toán Kết hợp điều với (4.46), (4.47) (4.49), ta thu α∗ = (0, 0) θ∗ (t) = θ∗ = (0, 0) h.k.n t ∈ [0, 1], u∗ (t) = h.k.n t ∈ [0, 1] Vì u∗ (t) = thỏa mãn điều kiện u∗ ∈ N (¯ u; U), ta ∂V (w) ¯ = {(α∗ , θ∗ )}, α∗ = (0, 0) θ∗ = (0, 0) ¯ Theo Định lý 4.2.2, (˜ Bây ta tính tốn ∂V ∞ (¯ α, θ) α∗ , θ˜∗ ) ∈ R2 × L2 ([0, 1], R2 ) thuộc ∂ ∞ V (w) ¯ ∗ AT (t)v(t)dt, α ˜ = (4.50) θ˜∗ (t) = C T (t)v(t) h.k.n t ∈ [0, 1], (4.51) 69 v ∈ W 1,2 ([0, 1], R2 ) nghiệm hệ   v(t) ˙ = −AT (t)v(t) h.k.n t ∈ [0, 1], (4.52)  v(0) = α ˜∗, cho hàm u ˜∗ ∈ L2 ([0, 1], R) xác định u˜∗ (t) = −B T (t)v(t) h.k.n t ∈ [0, 1] (4.53) thuộc N (¯ u; U) Do (4.50), ta viết lại (4.52) sau    v˙ (t) = 0, v˙ (t) = −v1 (t),   v1 (0) = 0, v2 (0) = v1 (t)dt Khơng khó để v(t) = (0, 0) nghiệm hệ Vì vậy, (4.50), (4.51) (4.53) suy α ˜ ∗ = (0, 0), θ˜∗ = (0, 0) u˜∗ = Do u˜∗ ∈ N (¯ u; U), ta ∂ ∞ V (w) ¯ = {(˜ α∗ , θ˜∗ )}, α ˜ ∗ = (0, 0) θ˜∗ = (0, 0) Ví dụ 4.3.3 Với α = α ¯ := 0, 21 thuộc biên tập Ω, θ = θ¯ mà ¯ = (0, 0) với t ∈ [0, 1], toán (4.25) dạng sau θ(t)     J(x, u) = ||x(1)||2 → inf    x˙ (t) = x2 (t), x˙ (t) = u(t),      x1 (0) = 0, x2 (0) = , u ∈ U (4.54) Như Ví dụ 4.3.1, (¯ x, u¯) = 1 t − t2 + t, t2 − 2t + , 3t − 2 2 nghiệm (4.54) Trong trường hợp này, ta (3t−2) dt u(t)|2 dt |¯ = = Điều nghĩa u¯(t) bị chặn U Vậy, N (¯ u; U) = {λ¯ u | λ ≥ 0} Vì x¯(1) = (0, 0), lập luận tương tự Ví dụ 4.3.2, ta ∂V (w) ¯ = {(α∗ , θ∗ )} ∂ ∞ V (w) ¯ = (0, 0) θ∗ = θ˜∗ = (0, 0) α ˜ ∗ , θ˜∗ , α∗ = α ˜∗ = 70 4.4 Kết luận Trong chương này, thu cơng thức tính tốn cho vi phân vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu ràng buộc với hàm mục tiêu lồi hệ động lực tuyến tính Định lý 4.2.1, Định lý 4.2.2, ví dụ Mục 4.3 kết chương 71 Kết luận Đề tài thu kết sau: 1) Các cơng thức tính tốn vi phân vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu tốn quy hoạch lồi tham số giả thiết: tính đóng hàm mục tiêu; tính đóng ánh xạ mô tả tập ràng buộc; điều kiện quy kiểu Aubin thỏa mãn Đồng thời chúng tơi xây dựng ví dụ cho thấy điều kiện quy Chương Đề tài thực yếu điều kiện quy tài liệu tham khảo [1] 2) Các công thức tính tốn/ước lượng vi phân vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu chứa tham số với hàm mục tiêu lồi hệ động lực tuyến tính, hệ rời rạc lần hệ liên tục Các kết Đề tài thu dạng giả thiết tối thiểu, kết luận tối đa 72 Danh sách cơng trình tác giả liên quan đến đề tài (1) Duong Thi Viet An, Yao J.-C (2016), “Further results on differential stability of convex optimization problems”, Journal of Optimization Theory and Applications, 170, pp 28–42 (SCI) (2) Duong Thi Viet An (2017), “An application of the Farkas lemma in infinite dimensional vector spaces”, Kỷ yếu Hội nghị Khoa học trẻ Trường Đại học Khoa học lần thứ hai, NXB Đại học Thái Nguyên, Thái Nguyên, tr 93–99 (3) Duong Thi Viet An, Nguyen Thi Toan (2018), “Differential stability of convex discrete optimal control problems”, Acta Mathematica Vietnamica, 43, pp 201–217 (Scopus, ESCI) (4) Duong Thi Viet An, Yao J.-C., Nguyen Dong Yen (2018), “Differential stability of a class of convex optimal control problems”, Applied Mathematics and Optimization, DOI 10.1007/s00245-017-9475-4 (SCI) 73 Tài liệu tham khảo [1] Duong Thi Viet An, Nguyen Dong Yen (2015), “Differential stability of convex optimization problems under inclusion constraints”, Appl Anal., 94, pp 108–128 [2] Aubin J.-P (1998), Optima and Equilibria An Introduction to Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, Berlin [3] Auslender A (1979), “Differentiable stability in nonconvex and nondifferentiable programming”, Math Programming Stud., 10, pp 29–41 [4] Bartl D (2008), “A short algebraic proof of the Farkas lemma”, SIAM J Optim., 19, pp 234–239 [5] Bertsekas D P (2005), Dynamic Programming and Optimal Control, Volume I, Athena Scientific, Belmont, Massachusetts [6] Bonnans J F., Shapiro A (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer-Verlag, New York [7] Nguyen Huy Chieu, Bui Trong Kien, Nguyen Thi Toan (2016), “Further results on subgradients of the value function to a parametric optimal control problem”, J Optim Theory Appl., 168, pp 785–801 [8] Nguyen Huy Chieu, Yao J.-C (2010), “Subgradients of the optimal value function in a parametric discrete optimal control problem”, J Ind Manag Optim., 6, pp 401–410 [9] Pham Huy Dien, Nguyen Dong Yen (1991), “On implicit function theorems for set-valued maps and their application to mathematical 74 programming under inclusion constraints”, Appl Math Optim., 24, pp 35–54 [10] Gauvin J., Dubeau F (1982), “Differential properties of the marginal function in mathematical programming”, Math Programming Stud., 19, pp 101–119 [11] Gauvin J., Dubeau F (1984), “Some examples and counterexamples for the stability analysis of nonlinear programming problems”, Math Programming Stud., 21, pp 69–78 [12] Gollan B (1984), “On the marginal function in nonlinear programming, Math Oper Res., 9, pp 208–221 [13] Ioffe A D., Tihomirov V M (1979), Theory of Extremal Problems, North-Holland Publishing Company, Amsterdam-New York [14] Bui Trong Kien, Liou Y C., Wong N.-C., Yao J.-C (2009), “Subgradients of value functions in parametric dynamic programming”, European J Oper Res., 193, pp 12–22 [15] Kolmogorov A N., Fomin S V (1975), Introductory Real Analysis, Dover Publications, Inc., New York [16] Luenberger D G (1969), Optimization by Vector Space Methods, John Wiley and Sons, Inc., New York-London-Sydney [17] Mordukhovich B S., Nguyen Mau Nam, Nguyen Dong Yen (2009), “Subgradients of marginal functions in parametric mathematical programming”, Math Program., Ser B, 116, pp 369–396 [18] Moussaoui M., Seeger A (1994), “Sensitivity analysis of optimal value functions of convex parametric programs with possibly empty solution sets”, SIAM J Optim., 4, pp 659–675 75 [19] Pontryagin L S., Boltyanskii V G., Gamkrelidze R V., Mishchenko E F (1962), The Mathematical Theory of Optimal Processes, John Willey and Sons, Inc., New York-London [20] Rockafellar R T (1982), “Lagrange multipliers and subderivatives of optimal value functions in nonlinear programming”, Math Programming Stud., 17, pp 28–66 [21] Rudin W (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill, Inc., New York [22] Seeger A (1996), “Subgradients of optimal-value functions in dynamic programming: The case of convex systems without optimal paths”, Math Oper Res., 21, pp 555–575 [23] Thibault L (1991), “On subdifferentials of optimal value functions”, SIAM J Control Optim., 29, pp 1019–1036 [24] Le Quang Thuy, Nguyen Thi Toan (2016), “Subgradients of the value function in a parametric convex optimal control problem”, J Optim Theory Appl., 170, pp 43–64 [25] Nguyen Thi Toan, “Mordukhovich subgradients of the value function in a parametric optimal control problem”, Taiwanese J Math., 19, pp 1051–1072 [26] Nguyen Thi Toan, Bui Trong Kien (2010), “Subgradients of the value function to a parametric optimal control problem”, Set-Valued Var Anal., 18, pp 183–203 [27] Nguyen Thi Toan, Yao J.-C (2014), “Mordukhovich subgradients of the value function to a parametric discrete optimal control problem”, J Global Optim., 58, pp 595–612 ... toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số, tức hàm ràng buộc hàm mục tiêu phụ thuộc vào tham số đó, giá trị tối ưu hàm tham số ánh xạ nghiệm ánh xạ đa trị theo tham số tốn Nói chung hàm giá trị. .. hàm giá trị tối ưu toán quy hoạch toán học lồi chứa tham số, chúng tơi đưa cơng thức tính tốn vi phân hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu lồi chứa tham số Các kết thu dạng giả thiết tối. .. HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU VÀ ÁNH XẠ NGHIỆM TRONG CÁC BÀI TỐN TỐI ƯU CĨ THAM SỐ Mã số: ĐH2016-TN06-01 Xác nhận tổ chức chủ trì Chủ
- Xem thêm -

Xem thêm: Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH), Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay