Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (tt)

25 43 0
  • Loading ...
1/25 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 16/04/2018, 18:09

Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (tt)Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (tt)Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (tt)Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (tt)Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (tt)Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (tt)Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (tt)Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (tt)Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (tt)Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (tt)Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (tt) ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TĨM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG CÁC ĐẶC TRƯNG NỬA ĐƠN CHO NHÓM SPIN p-ADIC Mã số: ĐH2015-TN06-01 Chủ nhiệm đề tài: TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên – 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TĨM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC XÂY DỰNG CÁC ĐẶC TRƯNG NỬA ĐƠN CHO NHÓM SPIN p-ADIC Mã số: ĐH2015-TN06-01 Xác nhận quan chủ trì đề tài Chủ nhiệm đề tài (Ký, họ tên, đóng dấu) (Ký, họ tên) TS Ngơ Văn Định Thái Nguyên – 2018 DANH SÁCH CÁC THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI STT Nội dung nghiên cứu cụ thể giao Đơn vị công tác lĩnh vực chuyên môn Họ tên TS Ngô Văn Định TS Ngô Thị Ngoan ThS Nguyễn Thu Hằng ThS Phạm Hồng Nam Trường ĐH Khoa học – ĐHTN Đại số lý thuyết số Trường ĐH Khoa học – ĐHTN Đại số lý thuyết số Trường ĐH Khoa học – ĐHTN Đại số lý thuyết số Trường ĐH Khoa học – ĐHTN Đại số lý thuyết số Chủ nhiệm đề tài Nghiên cứu viên Nghiên cứu viên Nghiên cứu viên ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH Tên đơn vị ngồi nước Viện Tốn học – Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Viện Tốn học Jussieu – Cộng Hòa Pháp Nội dung phối hợp nghiên cứu Họ tên người đại diện đơn vị Hợp tác nghiên cứu, Seminar GS.TS Nguyễn Quốc Thắng Hợp tác nghiên cứu M Corinne Blondel i Mục lục Thông tin kết nghiên cứu iii Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kí hiệu quy ước 1.2 Biểu diễn supercuspidal 1.2.1 Biểu diễn supercuspidal 1.2.2 Dạng cho nhóm reductive Building Bruhat–Tits 1.3.1 Appartment 1.3.2 Wall Chamber 1.3.3 Building Bruhat–Tits 1.3.4 Nhóm parabolic nhóm parahoric 1.3 Chương Nhóm spin 2.1 Định nghĩa ví dụ 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Chuẩn spin 2.1.3 Ví dụ nhóm SpinF (1, 1) 2.2 Nhóm pro-p 2.3 Nhóm tâm hóa phần tử đại số Lie 2.3.1 Chuẩn spin nhóm unita 2.3.2 Nhóm tâm hóa ii Chương Biểu diễn supercuspidal nhóm spin 3.1 3.2 Stratum nửa đơn tự liên hợp 3.1.1 Dãy lọc Moy–Prasad 3.1.2 Ngôn ngữ lattice 3.1.3 Stratum Đặc trưng nửa đơn 3.2.1 Định nghĩa 3.2.2 Phần tử bện 10 3.2.3 Tính chất dịch chuyển 10 3.3 Mở rộng Heisenberg 10 3.4 Mở rộng bêta 10 3.5 Kết luận 3.4.1 Trường hợp cực đại 10 3.4.2 Trường hợp tổng quát 11 Dạng cuspidaux 13 15 iii THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: - Tên đề tài: Xây dựng đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p-adic - Mã số: ĐH2015-TN06-01 - Chủ nhiệm đề tài: TS Ngơ Văn Định - Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên - Thời gian thực hiện: 30 tháng (từ 09/2015 đến 03/2018) Mục tiêu: Mục tiêu đề tài xây dựng lớp biểu diễn supercuspidal cho nhóm spin p-adic phương pháp dạng nửa đơn Tính sáng tạo: Đề tài xây dựng khái niệm đặc trưng nửa đơn, β-mở rộng xây dựng họ biểu diễn supercuspidal cho nhóm spin p-adic Kết nghiên cứu: Xây dựng đặc trưng nửa đơn mở rộng bêta chúng cho nhóm spin p-adic cách nâng từ đối tượng tương ứng cho nhóm trực giao đặc biệt; Xây dựng lớp biểu diễn supercuspidal cho nhóm spin p-adic phương pháp dạng nửa đơn Sản phẩm: 5.1 Sản phẩm khoa học: Công bố 03 báo: 01 báo thuộc danh mục SCI, 01 báo quốc tế khác 01 báo nước iv Ngô Văn Định (2016), “Semisimple characters for p-adic spin groups”, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Nguyên, tập 155, số 10, tr 219–224 Dinh Van Ngo (2017), “Beta extensions and cuspidal types for p-adic spin groups”, Manuscripta Mathematica, Vol 152, Issue 3, p 513-531 Ngo Van Dinh (2018), “On the spinor norm on unitary groups", East-West Journal of Mathematics (to appear) 5.2 Sản phẩm đào tạo: - Hướng dẫn 01 đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học: Nguyễn Thị Huệ (2016), Về nhóm SO(n) phép quay khơng gian Euclide thực, Đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên - Hướng dẫn 01 đề tài khóa luận tốt nghiệp: Vũ Thị Huyền Nhung (2017), Định lý Burnside số áp dụng, Khóa luận tốt nghiệp, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên - Hướng dẫn 03 đề tài luận văn thạc sĩ: Vũ Văn Kiên (2015), Số phức số dạng tốn hình học phẳng liên quan, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Bùi Thanh Danh (2015), Định lý Sylvester–Galai số mở rộng, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Nguyễn Thị Huệ (2016), Một số liên hệ số cân số đối cân với số Pell số Pell liên kết, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên v Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu: Các kết nghiên cứu đề tài tài liệu tham khảo hữu ích cho cơng tác nghiên cứu đào tạo trình độ Đại học sau Đại học Thái Nguyên, ngày 23 tháng 01 năm 2018 Xác nhận quan chủ trì đề tài Chủ nhiệm đề tài (Ký, họ tên, đóng dấu) (Ký, họ tên) TS Ngô Văn Định vi INFORMATIONS ON RESEARCH RESULTS General informations: - Project title: Construction of semisimple characters for p-adic spin groups - Code number: ĐH2015-TN06-01 - Coordinator: PhD Ngô Văn Định - Implementing institution: TNU - University of Sciences - Duration: 30 months (from 09/2015 to 03/2018) Objectives: The objective of this project is to construct a class of supercuspidal representations for p-adic spin groups by the semisimple type theory Creativeness and innovativeness: In this project, we defined the notion of semisimple characters and β-extensions for p-adic spin groups In particular, we constructed a large class of supercuspidal representations of p-adic spin groups Research results: Constructed the semisimple characters and their beta extensions for p-adic spin groups by lifting those of special orthogonal groups; constructed a class of supercuspidal representations for p-adic spin groups by the semisimple type theory Products: 5.1 Scientific products: Contributed 03 papers: 01 in SCI journal, 01 in an other international journal and 01 in national journal Ngô Văn Định (2016), “Semisimple characters for p-adic spin groups”, Thai Nguyen Journal of Sciences and Technology, Vol 155, No 10, p 219-224 Dinh Van Ngo (2017), “Beta extensions and cuspidal types for p-adic spin groups”, Manuscripta Mathematica, Vol 152, Issue 3, p 513-531 Ngo Van Dinh (2018), “On the spinor norm on unitary groups", East-West Journal of Mathematics (to appear) vii 5.2 Training products: - Supervise 01 student’s scientific research project: Nguyễn Thị Huệ (2016), On the special orthogonal groups SO(n) and rotations, Student’s Scientific Research Project, TNU - University of Sciences - Supervise 01 student’s bachelor thesis: Vũ Thị Huyền Nhung (2017), Burnside theorem and its applications, Bachelor thesis, TNU - University of Sciences - Supervise 03 master students: Vũ Văn Kiên (2015), Complex number and some related problems on plane geometry, Master thesis, TNU - University of Sciences Bùi Thanh Danh (2015), Sylvester–Galai theorem and its generalizations, Master thesis, TNU - University of Sciences Nguyễn Thị Huệ (2016), Some links of balancing and cobalancing numbers with Pell and associated Pell numbers, Master thesis, TNU - University of Sciences Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results: The results of the subject will be an useful source reference for research and training at graduate and postgraduate levels 1 Mở đầu Mục đích đề tài xây dựng biểu diễn bất khả quy supercuspidal cho nhóm spin xác định trường p-adic phương pháp đặc trưng nửa đơn Lý thuyết biểu diễn nhóm đại số reductive xác định trường p-adic thu hút quan tâm nhiều nhà toán học từ năm năm mươi kỉ trước Howe giới thiệu báo xuất năm 1977 cách tiếp cận biểu diễn nhóm tuyến tính tổng qt phương pháp hạn chế xuống nhóm mở compact Lý thuyết biểu diễn nhóm tuyến tính tổng qt p-adic sau hoàn thiện phương pháp đặc trưng nửa đơn Bushnell Kutzko Nhờ kết nghiên cứu độc lập Moy Prasad Morris khoảng năm cuối kỉ trước, có phân loại hồn chỉnh biểu diễn bậc không, tức biểu diễn mà hạn chế chúng xuống lũy đơn nhóm parahoric chứa đặc trưng tầm thường, nhóm reductive liên thơng xác định trường p-adic Đối với biểu diễn có bậc dương, Yu giới thiệu cách xây dựng tổng quát cho biểu diễn supercuspidal Tuy nhiên, tính vét cạn cách xây dựng chứng minh với số điều kiện trường sở, đặc biệt điều kiện đặc số thặng dư trường sở phải đủ lớn Đối với nhóm tuyến tính tổng qt, Bushnell Kutzko giới thiệu phương pháp số học tinh tế nhằm xây dựng biểu diễn bất khả quy supercuspidal Ý tưởng phương pháp xây dựng tất biểu diễn bất khả quy supercuspidal nhóm tuyến tính tổng quát biểu diễn cảm sinh compact từ nhóm mở compact theo modulo tâm (modulo the center) Phát triển ý tưởng này, Stevens xây dựng tất biểu diễn bất khả quy supercuspidal cho nhóm cổ điển liên thơng p-adic (nhóm unita, nhóm symplectic, nhóm trực giao đặc biệt) trường hợp đặc số thặng dư trường sở lẻ Song song với đó, Sécherre sau Sécherre Stevens phát triển phương pháp Bushnell Kutzko xây dựng biểu diễn supercuspidal cho nhom tuyến tính tổng quát xác định đại số chia (division algebra) trường p-adic Theo phương pháp Stevens, Blasco Blondel gần xây dựng họ biểu diễn bất khả quy supercuspidal cho nhóm đặc biệt G2 p-adic với p > Trong nghiên cứu này, quan tâm đến việc sử dụng phương pháp Stevens để xây dựng biểu diễn bất khả quy supercuspidal cho nhóm spin xác định trường p-adic Gọi G nhóm spin xác định trường địa phương phi Acsimet với đặc số thặng dư lẻ Mục đích phương pháp xây dựng mà quan tâm xây dựng cặp (J, λ) bao gồm nhóm mở compact J G biểu diễn bất khả quy λ J cho biểu diễn cảm sinh compact π = c − IndG J λ biểu diễn bất khả quy supercuspidal G Hơn nữa, hy vọng nhờ phương pháp ta xây dựng tất biểu diễn bất khả quy supercuspidal G 3 Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kí hiệu quy ước 1.2 Biểu diễn supercuspidal 1.2.1 Biểu diễn supercuspidal 1.2.2 Dạng cho nhóm reductive 1.3 Building Bruhat–Tits 1.3.1 Appartment 1.3.2 Wall Chamber 1.3.3 Building Bruhat–Tits 1.3.4 Nhóm parabolic nhóm parahoric Chương Nhóm spin 2.1 2.1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa Giả sử V F -không gian vectơ chiều N trang bị dạng song tuyến tính đối xứng khơng suy biến h Kí hiệu q dạng tồn phương sinh h Kí hiệu T đại số tenxơ V , tức T = F ⊕ V ⊕ (V ⊗ V ) ⊕ · · · Gọi J iđêan I sinh phần tử có dạng x ⊗ x − q(x) với x ∈ V Khi đó, đại số thương C = T/J gọi đại số Clifford dạng toàn phương q Gọi C + đại số C sinh phần tử có dạng xy (tích C) với x, y ∈ V Đại số C + định nghĩa thương T+ /J với T+ = ⊕ V ⊗n Đặt C − = T− /J với T− = ⊕ V ⊗n Khi n chẵn n lẻ + đó, ta xem đại số Clifford đại số Z/2Z-phân bậc: C = C ⊕ C − Gọi γ tự đẳng cấu C xác định γ(eT ) = (−1)|T | eT với tập T E Khi đó, ta có γ|C + = IdC+ , γ|C − = −IdC− γ = IdC Xét tập hợp Γ bao gồm phần tử khả nghịch u C thỏa mãn γ(u)V u−1 = V Tập hợp lập thành nhóm gọi nhóm Clifford q Đặt Γ+ = Γ ∩ C + Khi Γ+ nhóm Γ Theo định nghĩa, phần tử u Γ xác định tự đẳng cấu V tu : V → V, x → γ(u)xu−1 Dễ thấy tuv = tu tv với u, v ∈ Γ Do đó, ta có đồng cấu nhóm ˜ u → tu tΓ : Γ → G, Mệnh đề sau cho ta xác định nhân đồng cấu 5 Mệnh đề 2.1 Với kí hiệu trên, ta có ker (tΓ ) = F × Gọi ι ánh xạ nội quy tắc C xác định ι(v1 v2 ) = v2 v1 , với vi ∈ V, ≤ i ≤ n Lưu ý ánh xạ nội quy giao hốn với đẳng cấu γ C Do đó, u ∈ Γ, tức là, γ(u)V = V u Tác động γ ι hai vế ta thu γ(ι(u))V = V ι(u) ι(u) ∈ Γ Với ánh xạ nội quy ι trên, ta định nghĩa ánh xạ Q : C → C, u → uι(u) Dễ thấy Q(x) = x2 = q(x) với x ∈ V Bổ đề 2.2 Với u ∈ Γ ta có Q(u) ∈ F × Bổ đề với tính chất giao hốn γ ι ta có hệ trực tiếp sau Hệ 2.3 Hạn chế ánh xạ Q lên Γ cảm sinh đồng cấu nhóm Q : Γ → F × ta có Q(γ(u)) = Q(u) với u ∈ Γ Đến ta xác định ảnh đồng cấu tΓ Mệnh đề sau cho mơ tả phần tử Γ Mệnh đề 2.4 Với u ∈ Γ, ta có tu ∈ G+ Mọi phần tử Γ tích hữu hạn vectơ không đẳng hướng V Từ mệnh đề ta suy phần tử Γ+ tích số chẵn vectơ không đẳng hướng V Mặt khác, phần tử G tích số chẵn phép phản xạ V Do hạn chế tΓ lên Γ+ cho ta toàn cấu nhóm với nhân F × tΓ |Γ+ : Γ+ → G, u → tu Nói cách khác, ta có dãy khớp t Γ → F × → Γ+ → G → Hạn chế đồng cấu Q lên Γ+ cho ta đồng cấu nhóm Q|Γ+ : Γ+ → F × , u → Q(u) (2.1) Nhân đồng cấu gọi nhóm spin khơng gian (V, h) kí hiệu SpinF (h) G theo quy ước ban đầu Trong tiết này, chúng tơi trình bày số tính chất nhóm spin 2.1.2 Chuẩn spin 2.1.3 Ví dụ nhóm SpinF (1, 1) Trong tiết trên, chúng tơi trình bày khái niệm nhóm spin Để làm rõ khái niệm này, chúng tơi trình bày tiết trường hợp G = Spin(1, 1) Đồng thời, chúng tơi trình bày biểu diễn tham số cho nhóm 2.2 Nhóm pro-p Định lý 2.12 Giả sử H nhóm profinite A H-mơđun rời rạc Kí hiệu H n (H, A), n ≥ 0, nhóm đối đồng điều H với hệ số A Với n ≥ 1, phần tử H n (H, A) có cấp hữu hạn Hơn nữa, H nhóm pro-p cấp phần tử H n (H, A), n ≥ 1, lũy thừa p Hệ 2.13 Nếu H nhóm pro-p G tồn đồng cấu sH : H → G thỏa mãn t ◦ sH = IdH Hệ 2.14 Nếu U lũy đơn nhóm parabolic G tồn section đồng cấu sU : U → G U 2.3 2.3.1 Nhóm tâm hóa phần tử đại số Lie Chuẩn spin nhóm unita Giả sử b phần tử đại số Lie g thỏa mãn E := F [b] mở rộng hữu hạn F Do ¯b = −b nên E ổn định tác động liên ánh xạ nội quy ¯· Kí hiệu E0 trường E bao gồm phần tử bất động tác động ¯· Cố định dạng F -tuyến tính khác khơng µ0 E0 F đặt µ = µ0 ◦ trE/E0 Xem V E-khơng gian vectơ Khi tồn dạng hecmit khơng suy biến hE : V × V → E thỏa mãn h(x, y) = µ(hE (x, y)), với x, y ∈ V Giả sử δ phần tử E thỏa mãn δ¯ = −δ Đặt hE (x, y) := δhE (x, y) với x, y ∈ V Khi hE dạng phản hecmit V thỏa mãn UE (hE ) = UE (hE ), UE (hE ) (tương ứng UE (hE )) nhóm unita tương ứng với dạng hecmit hE (tương ứng, dạng phản hecmit hE ) Cố định vectơ V , Wall định nghĩa đồng cấu snE : UE (hE ) → E × /E0× có tính chất tương tự tính chất chuẩn spin nhóm trực giao gọi chuẩn spin nhóm unita UE (hE ) Chuẩn không phụ thuộc vào việc chọn vectơ cố định ban đầu trường hợp trường E giao hoán (trường hợp ta xét) Chúng nhắc lại tiết định nghĩa Wall chuẩn spin nhóm unita đồng thời xây dựng mối liên hệ chuẩn với chuẩn spin nhóm trực giao Cụ thể, chúng tơi chứng minh được: Mệnh đề 2.22 Với u ∈ UE (hE ), ta có sn(u) = NormE/F (snE (u)) 2.3.2 Nhóm tâm hóa Trong tiết này, chúng tơi trình bày số thơng tin nhóm tâm hóa nhóm spin phần tử nửa đơn đại số Lie 8 Chương Biểu diễn supercuspidal nhóm spin 3.1 Stratum nửa đơn tự liên hợp 3.1.1 Dãy lọc Moy–Prasad 3.1.2 Ngôn ngữ lattice 3.1.3 Stratum 3.2 Đặc trưng nửa đơn Trong tiết này, định nghĩa đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin G = SpinF (h) cách nâng đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu G Đồng thời, đặc trưng nửa đơn kế thừa tính chất cần thiết để đảm bảo cho việc xây dựng biểu diễn bất khả quy supercuspidal G 3.2.1 Định nghĩa Giả sử [Λ, n, r, β] stratum nửa đơn g với phân tích tự đối ngẫu tương ứng V V = [⊥i∈I0 V i ] ⊥ [⊥j∈I+ (V j ⊕ V −j )] ˜j = Lưu ý rằng, với j ∈ I+ , tồm đơn ánh tắc, kí hiệu ιj , từ G ˜ j phần tử AutF (V j ) vào G Đơn ánh cho tương ứng g ∈ G kéo dài g tác động tầm thường V i với i = ±j Liên kết với stratum ˜ ˜ Λ) cho, Stevens định nghĩa hai nhóm mở compact H(β, Λ) ⊂ J(β, ˜ = AutF (V ) hai dãy lọc tương ứng gồm nhóm pro-p {H ˜ m (β, Λ)}m≥1 G {J˜m (β, Λ)}m≥1 Các nhóm ổn định tác động ánh xạ nội quy τ Kí ˜ m (β, Λ) hiệu H m (β, Λ) J m (β, Λ) nhóm điểm bất động τ H J˜m (β, Λ) Đây nhóm nhóm trực giao thu gọn O (h) Ta ˜ Λ) ∩ G kí hiệu J(β, Λ) = J(β, ˜ m, β) gồm đặc Với ≤ m < r, Stevens định nghĩa tập C(Λ, ˜ m+1 (β, Λ), gọi tập đặc trưng nửa đơn H ˜ m+1 (β, Λ) Dat trưng abel H ˜ m, β) ổn định tác động τ Một cách tương tự, sử dụng chứng minh tập C(Λ, tương ứng Glauberman, Blasco Blondel định nghĩa tập hợp C(Λ, m, β) gồm đặc trưng abel H m+1 (β, Λ), gọi tập đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu H m+1 (β, Λ) Tập hợp tập hạn chế H m+1 (β, Λ) đặc ˜ m+1 (β, Λ) trưng nửa đơn H Trong trường hợp stratum nửa đơn tự đối ngẫu [Λ, n, r, β] đối hợp, ta gọi đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu tương ứng đặc trưng nửa đơn đối hợp (skew semisimple character) Đặt J(β, Λ) := t−1 (J(β, Λ) ∩ O (h)) Ta kí hiệu s H m (β, Λ), s J m (β, Λ), với m ≥ 1, nhóm pro-p G tương ứng với nhóm pro-p H m (β, Λ) J m (β, Λ) G Hệ 2.13 Nhận xét hạn chế đồng cấu t lên nhóm pro-p cảm sinh đẳng cấu nhóm sH m (β, Λ) H m (β, Λ), s J m (β, Λ) J m (β, Λ), với m > Do đó, với ≤ m < r với đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu θ ∈ C(Λ, m, β) H m+1 (β, Λ), định nghĩa cách tự nhiên đặc trưng abel s θ sH m+1 (β, Λ) gọi đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu nhóm G: sθ = θ ◦ t|s H m+1 (β,Λ) Tập hợp tất đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu kí hiệu s C(Λ, m, β) Đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu G gọi đối hợp stratum tương ứng đối hợp 10 3.2.2 Phần tử bện Bổ đề 3.6 Giả sử K nhóm pro-p G s K ảnh K G qua đồng cấu sK xác định Hệ 2.13 Với i = 1, 2, giả sử (σi , Wi ) biểu diễn K Kí hiệu (s σi , Wi ), i = 1, 2, biểu diễn s K định nghĩa s σi = σi ◦ t|s K Khi IG (s σ1 , s σ2 ) = t−1 (IG (σ1 , σ2 ) ∩ O (h)) Hơn nữa, ta có Ig¯(s σ1 , s σ2 ) = It(¯g) (σ1 , σ2 ), với g¯ ∈ IG (s σ1 , s σ2 ) Mệnh đề 3.7 Giả sử [Λ, n, 0, β] stratum nửa đơn tự đối ngẫu s θ ∈ s C(Λ, 0, β) đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu s H (β, Λ) Khi đó, ta có IG (s θ) = s J (β, Λ) · Gβ · s J (β, Λ) 3.2.3 Tính chất dịch chuyển Mệnh đề 3.8 Giả sử [Λ, n, 0, β] [Λ , n , 0, β] hai stratum nửa đơn g Với đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu s θ ∈ s C(Λ, 0, β), đặc trưng s θ = τΛ,Λ ,β (s θ) đặc trưng nửa đơn s C(Λ , 0, β) thỏa mãn Gβ ∩ IG (s θ, s θ ) = ∅ Hơn nữa, Gβ ⊂ IG (s θ, s θ ) 3.3 Mở rộng Heisenberg 3.4 Mở rộng bêta 3.4.1 Trường hợp cực đại Giả sử [ΛM , n, 0, β] stratum nửa đơn g thỏa mãn b0 (ΛM ) oE -order tự đối ngẫu tối đại B Giả sử θM ∈ C(ΛM , 0, β) đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu H (β, ΛM ) ηM biểu diễn bất khả quy JM = J (β, ΛM ) chứa θM 11 Kí hiệu s θM ∈ s C(ΛM , 0, β) đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu s H (β, ΛM ) nâng từ θM Gọi s ηM biểu diễn bất khả quy s JM = s J (β, ΛM ) chứa s θM Nhắc lại s ηM = ηM ◦ t|s JM Định nghĩa 3.12 Giả sử κM β-mở rộng ηM ta gọi β-mở rộng s ηM biểu diễn κM JM = J(β, ΛM ) định nghĩa κM = κM ◦ t|JM Hệ 3.13 Nếu κM κM hai β-mở rộng s ηM κM = κM ⊗ χ, M χ đặc trưng thương P (ΛM oE )/s P1 (ΛoE ) có tác động tầm thường nhóm sinh nhóm lũy đơn 3.4.2 Trường hợp tổng quát Giả sử [Λ, n, 0, β] [Λ , n , 0, β] hai stratum nửa đơn g thỏa mãn b0 (Λ) ⊆ b0 (Λ ) Giả sử θ ∈ C(Λ, 0, β) đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu củaH (β, Λ) θ = τΛ,Λ ,β (θ) Như thường lệ, ta kí hiệu η (tương ứng, η ) biểu diễn bất khả quy J (β, Λ) (tương ứng, J (β, Λ )) chứa η (tương ứng, chứa η ) Ta kí hiệu s θ (tương ứng, s θ ) đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu s H (β, Λ) nâng từ θ (tương ứng, từ θ ) đặt sη = η ◦ t|s J (β,Λ) et s η = η ◦ t|s J (β,Λ ) Hai biểu diễn biểu diễn bất khả quy s J (β, Λ) sJ (β, Λ ) chứa s θ s θ Bổ đề 3.14 Với kí hiệu trên, Tồn song ánh tắc tập hợp thác triển κ s η lên J = J(β, Λ) tập hợp thác triển κ s η lên JΛ,Λ = P (ΛoE )s J (β, Λ ) Đặc biệt, giả thiết thêm a0 (Λ) ⊆ a0 (Λ ) song ánh cho tương ứng κ (tương ứng, κ ) cho trước κ (tương ứng, κ) thỏa mãn P (ΛoE )s P1 (Λ) IndJ κ P (ΛoE )s P1 (Λ) IndJ Λ,Λ κ |J Λ,Λ 12 Hơn nữa, κ κ tương ứng với song ánh tập hợp phần tử bện Gβ κ κ |J Λ,Λ trùng Mệnh đề 3.15 Giả sử κ biểu diễn JΛ,Λ có dạng κ = κ ◦ t|JΛ,Λ + κ mở rộng η lên JΛ,Λ = P + (ΛoE )J (β, Λ ) Khi đó, biểu diễn κ = κ ◦ t|J(β,Λ) J(β, Λ) ảnh κ qua song ánh tắc cho Bổ đề 3.14 Định nghĩa 3.16 Thác triển κ s η lên J(β, Λ) tương ứng với κM |P (Λo E )s JM qua song ánh tắc xác định Bổ đề 3.14 gọi β- mở rộng s η lên J(β, Λ) thơng qua ΛM tương thích với κM Hệ 3.17 Giả sử κ β-mở rộng s η thơng qua ΛM Khi P (ΛM oE ) bện κ Giả sử [Λm , nm , 0, β] stratum nửa đơn g thỏa mãn b0 (Λm ) oE -order tự đối ngẫu tối tiểu B a0 (Λm ) ⊆ a0 (Λ) Đặt s θm = τΛ,Λm ,β (s θ) gọi s ηm biểu diễn bất khả quy s J (β, Λm ) chứa s θm Kí hiệu s ηm,Λ 1 m biểu diễn bất khả quy s Jm,Λ = s P1 (Λm oE )s J (β, Λ) Do b0 (Λ ) tối tiểu B nên s Jm,Λ p-nhóm Sylow J(β, Λ) Mệnh đề 3.18 Với kí hiệu trên, ta có κ|s Jm,Λ = s ηm,Λ với β-mở rộng κ s η lên J(β, Λ) Mệnh đề 3.19 Giả sử [Λ, n, 0, β] [Λ , n , 0, β] hai stratum nửa đơn g Giả sử tồn stratum nửa đơn g, kí hiệu [ΛM , nM , 0, β], thỏa mãn b0 (ΛM ) oE -order tự đối ngẫu tối đại B chứa b0 (Λ) b0 (Λ ) Giả sử sθ ∈ s C(Λ, 0, β) đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu s H (β, Λ) đặt s θ = τΛ,Λ ,β (s θ) Kí hiệu s η (tương ứng, s η ) biểu diễn bất khả quy s J (β, Λ) (tương ứng, s J (β, Λ )) chứa s θ (tương ứng, s θ ) Khi đó, tồn song ánh tắc giứa tập β-mở rộng κ s η lên J o (β, Λ ) thông qua ΛM tập β-mở rộng κ s η lên J o (β, Λ) thông qua ΛM Đặc biệt, a0 (Λ) ⊆ a0 (Λ ) song ánh cho tương ứng κ (tương ứng, κ ) cho trước với κ (tương ứng 13 κ) thỏa mãn điều kiện κ κ |P o (Λo E )s J (β,Λ ) cảm sinh lên P o (ΛoE )s P (Λ) hai biểu diễn bất khả quy tương đương Nếu κ κ hai β-mở rộng tương ứng với qua song ánh Mệnh đề 3.19 ta nói hai β-mở rộng tương thích với Giả sử [Λ, n, 0, β] stratum nửa đơn g tương ứng với phân tích tự đối ngẫu V = [⊥i∈I0 V i ] ⊥ [⊥j∈I+ (V j ⊕ V −j )] Khi dãy lattice tự đối ngẫu Λ viết thành Λ = ⊕i∈I Λi , Λi dãy oEi -lattice V i Với i ∈ I = I− ∪ I0 ∪ I+ , ta định nghĩa dãy oEi -lattice MiΛ V i MiΛ (2r + s) =              i r Ei Λ (0), si i ∈ I− , i r Ei Λ (s), si i ∈ I0 , r i Ei Λ (1), si i ∈ I+ , , với r ∈ Z s = 0, Đặt MΛ = ⊕li=1 MiΛ ta thu dãy oE -lattice tự đối ngẫu với b0 (MΛ ) oE -order tự đối ngẫu tối đại B chứa b0 (Λ) [MΛ , nM , 0, β] stratum nửa đơn đối hợp với số nguyên nM Giả sử s θ ∈ s C(Λ, 0, β) đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu s H (β, Λ) s η biểu diễn bất khả quy s J (β, Λ) chứa s θ Ta gọi β-mở rộng chuẩn s η β-mở rộng s η thông qua MΛ 3.5 Dạng cuspidaux Sử dụng kí hiệu tiết trước, ta xuất phát từ stratum nửa đơn [Λ, n, 0, β] g đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu s θ ∈ s C(Λ, 0, β) nhóm s H (β, Λ) Gọi s η biểu diễn bất khả quy s J (β, Λ) chứa s θ Kí hiệu κ β-mở rộng s η lên J(β, Λ) = P (ΛoE )s J (β, Λ) Nhắc lại có dãy khớp → s P1 (ΛoE ) → P (ΛoE ) → M → 1, 14 M nhóm điểm hữu tỉ nhóm reductive xác định trường hữu hạn Dãy khớp cảm sinh dãy khớp → s J (β, Λ) → J(β, Λ) → M → Ta lưu ý nhóm M nhìn chung khơng liên thơng ta kí hiệu P o (ΛoE ) nghịch ảnh P (ΛoE ) thành phần liên thông M M Do J o (β, Λ) = P o (ΛoE )s J (β, Λ) nghịch ảnh M J(β, Λ) Giả sử ρ biểu diễn bất khả quy M mà hạn chế thành phần liên thơng M chứa biểu diễn bất khả quy cuspidal ρo Kí hiệu ρ (tương ứng, ρo ) phép nâng ρ (tương ứng, ρo ) lên J(β, Λ) (tương ứng, J o (β, Λ)) Các biểu diễn ρ, ρ, ρo gọi biểu diễn cuspidale Đặt λ = κ ⊗ ρ Định nghĩa 3.20 Cặp (J(β, Λ), λ) xây dựng gọi dạng cuspidal G stratum [Λ, n, 0, β] tương ứng stratum tự đối ngẫu nửa đơn đối hợp P o (ΛoE ) nhóm parahoric tối đại Gβ mà nhóm chuẩn hóa Gβ compact Định lý 3.21 Giả sử (J(β, Λ), λ) dạng cuspidal G Khi biểu diễn λ biểu diễn bất khả quy supercuspidal G (J(β, Λ), λ) π = c-IndG J(β,Λ) [G, π]G -dạng 15 Kết luận Kế thừa phát triển phương pháp Stevens xây dựng biểu diễn supercuspidal cho nhóm cổ điển, đạt kết sau: Nghiên cứu trình bày khái niệm nhóm spin; chứng minh số tính chất nhóm spin p-adic, đặc biệt tính chất nhóm pro-p lũy đơn nhóm parabolic Xây dựng đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p-adic Đồng thời chứng minh tính chất cần thiết đặc trưng nửa đơn Chứng minh tồn tính mở rộng Heisenberg đặc trưng nửa đơn nhóm spin p-adic; tính chất mở rộng Heisenberg Định nghĩa β-mở rộng đặc trưng nửa đơn nhóm spin p-adic Xây dựng dạng nửa đơn từ xây dựng họ biểu diễn supercuspidal nhóm spin p-adic Để phát triển tiếp nghiên cứu đề tài này, hy vọng mở rộng xây dựng cho nhóm spin xác định trường địa phương phi Acsimet compact địa phương với đặc số thặng dư lẻ Đồng thời, hy vọng chứng minh tính vét cạn họ biểu diễn supercuspidal xây dựng ... 3.1.3 Stratum 3.2 Đặc trưng nửa đơn Trong tiết này, định nghĩa đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin G = SpinF (h) cách nâng đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu G Đồng thời, đặc trưng nửa đơn kế thừa tính... parabolic Xây dựng đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p-adic Đồng thời chúng tơi chứng minh tính chất cần thiết đặc trưng nửa đơn Chứng minh tồn tính mở rộng Heisenberg đặc trưng nửa đơn nhóm spin p-adic;... rộng đặc trưng nửa đơn nhóm spin p-adic Xây dựng dạng nửa đơn từ xây dựng họ biểu diễn supercuspidal nhóm spin p-adic Để phát triển tiếp nghiên cứu đề tài này, hy vọng mở rộng xây dựng cho nhóm spin
- Xem thêm -

Xem thêm: Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (tt), Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (tt), ChÆ°Æ¡ng. Một số kiến thức chuẩn bị, Trường hợp tổng quát

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay