Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc (tt)

27 38 0
  • Loading ...
1/27 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 16/04/2018, 17:58

Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc (tt)Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc (tt)Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc (tt)Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc (tt)Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc (tt)Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc (tt)Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc (tt)Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc (tt)Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc (tt)Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc (tt)Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc (tt) BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— NGUYỄN TRUNG DŨNG TÍNH ỔN ĐỊNH ỔN ĐỊNH HÓA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NHẢY MARKOV RỜI RẠC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI, 2018 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện TS Hà Bình Minh Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp vào hồi ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong năm gần đây, lớp hệ nhảy Markov nhận quan tâm đặc biệt nhà nghiên cứu giới kĩ sư Các ứng dụng thực tiễn lớp hệ tìm thấy nhiều lĩnh vực Phương pháp nghiên cứu áp dụng phổ biến hệ nhảy Markov tuyến tính dựa phương pháp hàm Lyapunov dạng ngẫu nhiên để thu điều kiện đảm bảo tính ổn định, ổn định hóa với số ràng buộc hiệu suất, ví dụ toán điều khiển đảm bảo giá trị (guaranteed cost control) hay điều khiển H∞ Nhiều kết nghiên cứu quan trọng hệ nhảy Markov có trễ cơng bố Tuy vậy, nhiều vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sâu Trọng tâm hướng tới luận án phát triển toán đánh giá trạng thái, toán ổn định ổn định hóa cho số lớp hệ nhảy Markov rời rạc chứa trễ nhiễu đầu vào ngẫu nhiên dạng cộng tính nhân tính hệ Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa hệ nhảy Markov rời rạc Cụ thể hơn, luận án nghiên cứu ba chủ đề sau: Đánh giá tập đạt lớp hệ nhảy Markov tuyến tính chứa trễ biến thiên với nhiễu ngẫu nhiên bị chặn theo nghĩa bình phương trung bình Tính ổn định ổn định hóa điều khiển phản hồi trạng thái số lớp hệ nhảy Markov có trễ Thiết kế điều khiển phản hồi dạng khơng đồng ổn định hóa lớp hệ nhảy Markov rời rạc với nhiễu ngẫu nhiên nhân tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Ước lượng tập đạt hệ nhảy Markov tuyến tính có trễ Bài toán ước lượng tập đạt được, viết tắt RSE (reachable set estimation), hệ điều khiển xuất vào cuối năm 1960 lý thuyết điều khiển tối ưu đảm bảo giá trị Tập đạt hệ động lực tập hợp tất trạng thái mà hệ đạt đến từ gốc tọa độ (x = 0) tác động nhiễu hệ thống, thường giả thiết bị chặn Đã có nhiều kết nghiên cứu toán RSE cho hệ tất định với thời gian liên tục rời rạc Nói riêng, với hệ động lực có trễ, cách tiếp cận phổ biến sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii (viết tắt LKF, Lyapunov-Krasovskii functional) để tìm kiếm điều kiện bất đẳng thức ma trận tuyến tính (viết tắt LMIs, Linear Matrix Inequalities) đảm bảo RSB hệ ước lượng tập dạng ellipsoid Cách tiếp cận có nguồn gốc sâu xa từ phiếm hàm cực tiểu lượng lý thuyết Lyapunov hệ tuyến tính dừng dạng tồn phương vectơ trạng thái Đã có nhiều kết nghiên cứu toán RSE cho hệ tất định với thời gian liên tục rời rạc Tuy nhiên, chưa có kết đề cập cách hệ thống toán RSE lớp hệ nhảy Markov Cần phải rõ (i) kết toán RSE với hệ tất định nói chung khơng áp dụng cho hệ nhảy Markov; (ii) đặc tính đặc thù hệ nhảy Markov, việc nghiên cứu tốn khơng phải mở rộng giản đơn phương pháp đề xuất cho hệ tất định Bên cạnh đó, nghiên cứu hệ động lực có trễ chủ đề nghiên cứu sôi động khoảng hai thập kỷ gần Các tác giả dành nhiều quan tâm việc phát triển kỹ thuật phương pháp để phân tích tính ổn định để từ ứng dụng vào giải toán điều khiển hệ thống 3.2 Bài toán ổn định ổn định hóa Tính ổn định tính chất phổ dụng hệ động lực nói chung, hệ vi-sai phân điều khiển nói riêng Phân tích tích ổn định tốn để đảm bảo cho toán thiết kế điều khiển hệ thống Trên sở nghiên cứu tổng quan hướng nghiên cứu ổn định hệ rời rạc có trễ, chúng tơi nhận thấy việc thiết lập ước lượng bất đẳng thức tổng có trọng số khâu đột phá nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên hệ nhảy Markov rời rạc có trễ Trong phần thứ Chương 3, chúng tơi cải tiến bất đẳng thức tổng có trọng, sở thiết lập điều kiện ổn định ngẫu nhiên cho lớp hệ nhảy Markov rời rạc phi tuyến Trong phần thứ hai chương, chúng tơi nghiên cứu tốn ổn định hóa ngẫu nhiên lớp hệ nhảy Markov rời rạc với trễ phụ thuộc mode Các điều kiện LMIs đề xuất để thiết kế điều khiển phản hồi đồng cho hệ đóng tương ứng ổn định ngẫu nhiên 3.3 Ổn định hóa hệ nhảy Markov rời rạc với nhiễu nhân tính điều khiển khơng đồng Các hệ nhảy Markov rời rạc với nhiễu ngẫu nhiên chủ đề nghiên cứu nhiều tác giả quan tâm năm gần Đối với tốn ổn định hóa, hầu hết nghiên cứu đề cập đến việc thiết kế điều khiển đồng bộ, tức mode hoạt động điều khiển phải trùng hoàn toàn với mode hoạt động hệ Điều có thuận lợi nghiên cứu lý thuyết trình chuyển điều khiển q trình chuyển hệ thống hồn tồn trùng Tuy nhiên, thực tiễn, chẳng hạn trễ truyền tải (communication delays) hay tượng liệu truyền tải (data packet dropouts), thông tin xích chuyển hệ khơng truy cập hồn tồn xác từ trạm điều khiển Chính vậy, điều khiển đồng mang tính lí tưởng giả thiết hạn chế Trong Chương 4, chúng tơi nghiên cứu tốn ổn định hóa điều khiển không đồng cho lớp hệ nhảy Markov rời rạc với nhiễu nhân tính Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng phương pháp hàm Lyapunov, hàm Lyapunov–Krasovskii dạng ngẫu nhiên; giải tích ma trận, kỹ thuật ước lượng biến đổi bất đẳng thức ma trận; giải tích ngẫu nhiên, đặc biệt tính chất phép tốn với q trình Markov rời rạc Kết luận án Luận án đạt kết sau đây: Phát triển toán đánh giá tập đạt cho lớp hệ nhảy Markov rời rạc chứa trễ biến thiên nhiễu ngẫu nhiên bị chặn (Chương 2) Đưa điều kiện ổn định ngẫu nhiên cho lớp hệ nhảy Markov rời rạc phi tuyến chứa trễ biến thiên dựa số đánh giá bất đẳng thức tổng Jensen có trọng (Phần thứ Chương 3) Xây dựng điều kiện ổn định hóa điều khiển phản hồi đồng lớp hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính có trễ biến thiên phụ thuộc mode hệ (Phần thứ hai Chương 3) Thiết lập điều kiện ổn định hóa vững điều khiển phản hồi khơng đồng lớp hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính với nhiễu nhân tính (Chương 4) Các kết luận án công bố 03 báo tập chí quốc tế có uy tín (trong danh mục ISI) tiền ấn phẩm gửi công bố Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình cơng bố tác giả danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm chương • Chương phần kiến thức chuẩn bị, chúng tơi trình bày số khái niệm, kiến thức sở giải tích ngẫu nhiên số kết bổ trợ dùng cho việc trình bày nội dung chương sau luận án • Chương nghiên cứu toán RSE hệ nhảy Markov tuyến tính chứa trễ biến thiên dạng khoảng nhiễu ngẫu nhiên cộng tính bị chặn • Chương gồm hai phần Phần thứ trình bày số kết nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên lớp hệ nhảy Markov rời rạc phi tuyến có trễ biến thiên Phần thứ hai trình bày tốn ổn định hóa điều khiển phản hồi đồng lớp hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính chứa trễ biến thiên phụ thuộc mode • Chương nghiên cứu tốn ổn định hóa vững điều khiển không đồng cho lớp hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính với nhiễu nhân tính Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại số khái niệm giải tích ngẫu nhiên, xích Markov rời rạc, mơ hình hệ nhảy Markov số kết bổ trợ có liên quan đến nội dung luận án 1.1 Kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện Trong mục này, chúng tơi nhắc lại số khái niệm tính chất kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện 1.2 Xích Markov rời rạc hữu hạn Trong mục này, chúng tơi trình bày số kết liên quan đến xích Markov rời rạc hữu hạn 1.3 Tính ổn định hệ nhảy Markov tuyến tính rời rạc Trong mục này, giới thiệu số khái niệm kết tính ổn định hệ nhảy Markov tuyến tính rời rạc Các khái niệm phát triển cách tương tự cho lớp hệ nhảy Markov rời rạc có trễ khơng có trễ nghiên cứu luận án Trên không gian xác suất đủ (Ω, F, P), cho xích Markov rời rạc {rk }k∈Z0 với không gian trạng thái hữu hạn M = {1, 2, , m} Xác suất chuyển xích cho P {rk+1 = j|rk = i} = πij ≥ Kí hiệu Π = (πij ) ma trận xác suất chuyển p = (p1 , p2 , , pm ) phân phối ban đầu xích, pi = P{r0 = j}, j ∈ M Xét hệ điều khiển mô tả hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính sau x(k + 1) = A(rk )x(k) + B(rk )u(k), k ∈ Z0 , x(0) = x0 , (1.1) x(k) ∈ Rn vectơ trạng thái hệ, u(k) ∈ Rm vectơ điều khiển đầu vào A(rk ), B(rk ) ma trận cho trước với số chiều phù hợp Giả sử hàm điều khiển phản hồi thiết kế dạng u(k) = K(rk )x(k), (1.2) K(rk ) ∈ Rm×n ma trận đạt điều khiển Khi đó, hệ đóng (1.1) có dạng x(k + 1) = Ac (rk )x(k), k ∈ Z0 , (1.3) Ac (rk ) = A(rk ) + B(rk )K(rk ) Định nghĩa 1.3.1 Hệ mở (1.1) (tức u(k) = 0, ∀k ∈ Z0 ) gọi (i) ổn định tiệm cận bình phương trung bình (AMSS), sau gọi tắt ổn định tiệm cận, lim E[ x(k, x0 , p) ] = 0; k→∞ (ii) ổn định mũ bình phương trung bình (EMSS), gọi tắt ổn định mũ, tồn số α > 0, β > cho E[ x(k, x0 , p) ] ≤ α x0 exp (−βk), k ≥ 0; (iii) ổn định ngẫu nhiên (SS) ∞ E[ x(k, x0 , p) ] < ∞; k=0 (iv) ổn định tiệm cận hầu chắn (ASS) P lim x(k, x0 , p) = = k→∞ với vectơ ban đầu x0 phân phối ban đầu p Định nghĩa 1.3.2 Hệ (1.1) gọi ổn định hóa theo nghĩa tồn điều khiển phản hồi dạng (1.2) cho hệ đóng (1.3) ổn định theo nghĩa tương ứng Nhận xét 1.3.1 Đối với hệ tuyến tính (1.1) với xích Markov rời rạc hữu hạn, ta có AMSS ⇐⇒ EMSS ⇐⇒ SS =⇒ ASS Định lí 1.3.1 Các khẳng định sau tương đương: (i) Hệ (1.1) ổn định tiệm cận (ii) rσ (A) < 1, A = (Π ⊗ In2 )diag(Ai ⊗ Ai ) rσ (A) bán kính phổ ma trận A (iii) Tồn ma trận Pi ∈ S+ n , i ∈ M, thỏa mãn LMI sau m πij Pj Ai − Pi < Ai j=1 (1.4) Nhận xét 1.3.2 Trường hợp ma trận xác suất chuyển biết phần, tức số phần tử Π không biết, điều kiện (1.4) chứa tham số bất định Khi đó, điều kiện ổn định hệ (1.1) chặt nhiều Chẳng  hạn, m = xác suất chuyển ? ? khơng biết, tức ma trận Π có dạng  ? ? , hệ (1.1) ổn định với xác xuất chuyển tồn ma trận P ∈ S+ n thỏa mãn điều kiện Ai P Ai − P < 0, i = 1, (1.5) 1.4 Một số kết bổ trợ Bổ đề 1.4.1 (Bất đẳng thức Rayleigh) Cho ma trận W ∈ Sn Đánh giá sau với x ∈ Rn : λmin (W ) x ≤ x W x ≤ λmax (W ) x Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Schur  dạng không ngặt) Cho U W ma trận đối xứng, U W > Khi đó,  V V W  ≥ U − V W −1 V ≥ Bổ đề 1.4.3 (Bổ đề Schur ngặt) Với ma trận U, V, W có số chiều phù hợp, U, W đối xứng, ta có  U  V V −W   0,  U + V W −1 V < Bổ đề 1.4.4 (Bất đẳng thức Jensen có trọng) Cho ma trận R ∈ S+ n số nguyên τ1 ≤ τ2 Với α ∈ (0, 1) hàm vectơ u : Z[k − τ2 , k − τ1 ] → Rn , bất đẳng thức sau  k−τ1 αk−i u (i)Ru(i) ≥ csα  i=k−τ2 csα =  k−τ1  k−τ1 u(i) R  i=k−τ2  u(i) , i=k−τ2 (1−α)ατ2 1−ατ2 −τ1 +1 n Bổ đề 1.4.5 Với ma trận R ∈ S+ n vectơ ζ1 , ζ2 ∈ R , ta kí hiệu 1 Θ(δ, R) = ζ1 Rζ1 + ζ Rζ2 , δ ∈ (0, 1) δ 1−δ   R X  ≥ 0, bất đẳng thức Nếu ma trận X ∈ Rn×n thỏa mãn  X R    ζ1 R Θ(δ, R) ≥    δ∈(0,1) ζ2 X   X ζ   1 R ζ2 (1.6) + n×m thỏa Bổ đề Cho ma trận R1 ∈ S+ n , R2 ∈ Sm ma trận X ∈ R  1.4.6  R1 X X R2 mãn   ≥ Khi đó, bất đẳng thức  R µ   R ≥ 1 X 1−µ R2 0 X R2  (1.7) , với µ ∈ (0, 1) Bổ đề 1.4.7 (Bổ đề Finsler) Cho ma trận A ∈ Rn×n , B ∈ Rp×n cho A = A , rank(B) < n Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) x Ax < 0, ∀Bx = 0, x = (ii) (B ⊥ ) AB ⊥ < (iii) Tồn ma trận M ∈ Rn×p thỏa mãn A + M B + B M < Bổ đề 1.4.8 Cho ma trận R ∈ S+ n số nguyên a < b Khi đó, với dãy u : Z[a, b] → Rn , bất đẳng thức sau đúng: b u (k)Ru(k) ≥ k=a b k u (l)Ru(l) ≥ k=a l=a ν1 Rν1 + 3ν2 Rν2 + 5ν3 Rν3 , (1.8) η Rη2 + 8η2 Rη2 , ( + 1) (1.9) = b − a + b b u(k), ν1 = ν2 = k=a b ν3 = u(k) − k=a b k η1 = u(l), k=a l=a +1 u(k) − +1 k=a b k u(l) + k=a l=a b k b u(l), k=a l=a 12 ( + 1)( + 2) u(l) − η2 = k=a l=a k +2 b b k l u(s), k=a l=a s=a k l u(s) k=a l=a s=a Ξ(2) (α) = (e2 − e3 ) R2 (e2 − e3 )      e5 − e4 R Y e − e4    , + ru  e3 − e5 Y R3 e3 − e5 (1 − α)ατl (1 − α)ατa , r = , a − α τl − ατa −τl (1 − α)ατu , τ˜u = (τu + τl )(1 + δτ ), ru = τ −τ u a 1−α τ u (1 − α)α (1 − α)2 r˜u = , α ˜ = − ατu −τl +1 α−τu − α1−τl + (α − 1)(δτ + 1) rl = Định lí cho điều kiện ước lượng tập đạt hệ (2.1) Định lí 2.2.1 Giả sử tồn số nguyên τa ∈ (τl , τu ), số α ∈ (0, 1), β > 0, ma trận P0 , Pi , i ∈ M, Qj , Rj , j = 1, 2, 3, S , W S+ n ma trận X, Y ∈ Rn×n thỏa mãn bất đẳng thức ma trận sau:   (1) (α) Φ (α) − Ξ Ψ i i (1)  < 0, i ∈ M, Θi (α) =  Ψi −∆i   (2) Φi (α) − Ξ (α) Ψi (2)  < 0, i ∈ M, Θi (α) =  Ψi −∆i     R X R Y   ≥ 0,   ≥ 0, X R2 Y R3 Pi ≥ P0 , i ∈ M Khi đó, hệ (2.1) γ -MSB với γ = (2.5) (2.6) (2.7) (2.8) βw − α λmin (P0 ) Hệ 2.2.2 Giả sử tồn số nguyên τa ∈ (τl , τu ), số α ∈ (0, 1), ma trận đối xứng xác định dương Pi , i ∈ M, Qj , Rj , j = 1, 2, 3, S , W , ma trận X , Y với số chiều thích hợp thỏa mãn điều kiện sau: Φi (α) − Ξ(1) (α) < 0, Φi (α) − Ξ(2) (α) < 0, i ∈ M,     R X R Y   ≥ 0,   ≥ X R2 Y R3 (2.9) (2.10) Khi đó, hệ (2.1) EMSS Hơn nữa, nghiệm x(k) (2.1) với điều kiện đầu x(s) = φ(s), s ∈ Z[−τu , 0], thỏa mãn đánh giá mũ: E x(k) ≤ λ2 φ αk , k ∈ Z0 λ1 11 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH ỔN ĐỊNH HÓA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NHẢY MARKOV RỜI RẠC CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ nhảy Markov rời rạc với trễ biến thiên khoảng Cụ thể, phần thứ nhất, chúng tơi xét tính ổn định ngẫu nhiên lớp hệ nhảy Markov rời rạc phi tuyến có trễ biến thiên với xích Markov biết phần xác suất chuyển Dựa lược đồ phát triển từ phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii, sử dụng số bất đẳng thức tổng có trọng mới, chúng tơi tìm điều kiện ổn định dạng LMIs Trong phần thứ hai chương, xét toán thiết kế điều khiển phản hồi đồng để ổn định hóa lớp hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính với trễ phụ thuộc mode Các điều kiện LMIs thiết lập cho việc thiết kế tham số điều khiển đồng đảm bảo hệ đóng tương ứng ổn định theo nghĩa ngẫu nhiên Các kết chương trình bày từ báo [2] [3] danh mục công trình cơng bố luận án 3.1 Tính ổn định lớp hệ nhảy Markov phi tuyến rời rạc có trễ biến thiên 3.1.1 Thiết lập tốn Xét lớp hệ nhảy Markov rời rạc phi tuyến có dạng sau x(k + 1) = A(rk )x(k) + Ad (rk )x(k − τ (k)) + F (rk , x(k), x(k − τ (k))), (3.1) x(k) = ϕ(k), k ∈ Z[−τ2 , 0], {rk }k∈Z0 xích Markov rời rạc với không gian trạng thái M = {1, 2, , m} xác suất chuyển P {rk+1 = j|rk = i} = πij , hàm trễ τ (k) thỏa mãn τ1 ≤ τ (k) ≤ τ2 với τ1 , τ2 số nguyên dương cho trước, A(rk ), Ad (rk ) ma trận thực cho trước ϕ(.) điều kiện ban đầu Nhiễu phi tuyến F (rk , , ) : Rn × Rn → Rn thỏa mãn giả thiết (A1) sau Giả thiết (A1): Với i ∈ M, 12 (i) F (i, 0, 0) = 0; (ii) Tồn ma trận thực Gi , Hi cho F (i, u, v)F (i, u, v) ≤ u Gi u + v Hi v, ∀u, v ∈ Rn (3.2) Giả thiết (A2): Trong mục giả sử ma trận xác suất chuyển biết thông tin phần Tức là, số phần tử ma trận Π = (πij ) khơng biết Chúng tơi kí hiệu phần tử chưa biết Π πˆij (i) (i) Ma = {j ∈ M : πij biết}, Mna = {j ∈ M : πij chưa biết} Định nghĩa 3.1.1 Hệ (3.1) gọi ổn định tiệm cận hầu chắn (ASS) nghiệm x(k, ϕ, r0 ) (3.1) thỏa mãn P lim sup x(k, ϕ, r0 ) = = k→∞ với phân phối ban đầu p điều kiện ban đầu ϕ Bổ đề 3.1.1 Giả sử tồn phiếm hàm V (., ) : S(Z[−τ2 , 0], Rn ) → R+ , số λ1 > 0, λ2 > α ∈ (0, 1) thỏa mãn điều kiện sau: (i) λ1 x(k) ≤ V (xk , rk ) ≤ λ2 xk ; (ii) E[V (xk+1 , rk+1 )|xk , rk ] − αV (xk , rk ) ≤ h.c.c., xk ∈ S(Z[−τ2 , 0], Rn ) xác định xk (s) = x(k + s), s ∈ Z[−τ2 , 0] Khi đó, hệ (3.1) ổn định ngẫu nhiên 3.1.2 Bất đẳng thức tổng có trọng Trong mục này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức làm mịn (1.6) Trước hết định nghĩa k−τ1 g SR (u) = k−τ1 α k−i u (i)Ru(i) − csα i=k−τ2 k−τ1 u(i) i=k−τ2 Cho τ1 , τ2 ∈ Z0 Kí hiệu = τ2 − τ1 + Kí hiệu ηα = 1−α − α 1−α γα = dα − csα s2α Khi đó, γα = 2α α − csα (1 − α)2 (1 − α )2 Hơn nữa, ηα > γα > với α ∈ (0, 1) 13 R u(i) i=k−τ2 Bổ đề 3.1.2 Cho ma trận R ∈ S+ n số nguyên τ1 ≤ τ2 Với α ∈ (0, 1) hàm u : [k − τ2 , k − τ1 ] → Rn , bất đẳng thức sau đúng: ηα2 χ (k)Rχ(k), k ∈ Z, γα g SR (u) ≥ k−τ1 u(i) − χ(k) = i=k−τ2 ηα k−τ1 (3.3) i u(j) i=k−τ2 j=k−τ2 Hệ 3.1.3 Cho ma trận R ∈ S+ n số nguyên τ1 < τ2 Với dãy x : [k − τ2 , k − τ1 ] → Rn , k ∈ Z, bất đẳng thức sau đúng:      k−τ1 −1 χ R χ  0    0 , ∆ x(i)R∆x(i) ≥ τ2 − τ1 χ1 3R χ1 i=k−τ2 χ0 = x(k − τ1 ) − x(k − τ2 ) χ1 = x(k − τ1 ) + x(k − τ2 ) − 1+τ22 −τ1 (3.4) k−τ1 x(i) i=k−τ2 3.1.3 Điều kiện ổn định Trong mục này, bất đẳng thức (3.3) vận dụng vào đánh giá sai phân hàm Lyapunov-Krasovskii để thiết lập điều kiện ổn định hệ (3.1) Kí hiệu el = [0n×(l−1)n In 0n×(7−l)n ], l = 1, , 7, Ai = Ai e1 + Adi e3 , Di = (Ai − In )e1 + Adi e3 , i ∈ M, kí hiệu vectơ ma trận sau       x(k)      xa1 (k)      k  x(k − τ )   1   a   ζ0 (k) = col  x(s),  , x2 (k) , xa1 (k) =   x(k − τ )   σ(τ1 )   s=k−τ1      xa3 (k)      x(k − τ2 ) xa2 (k) = σ(τ − τ1 ) k−τ1 x(s), xa3 (k) = s=k−τ σ(τ2 − τ ) k−τ x(s), s=k−τ2 F1 = col {e1 − e2 , e1 − e2 + (1 + τ1 )/η1 (e2 − e5 )} , F2 = col{e2 − e3 , e2 + e3 − 2e6 }, F3 = col{e3 − e4 , e3 + e4 − 2e7 }, Π0i = Ai P˜i Ai − αe1 Pi e1 + ρi (e1 Gi e1 + e3 Hi e3 ), P˜i = πij Pj + − (i) j∈Ma πil (i) l∈Ma Pj , (i) j∈Mna Π1i = Di (τ1 R1 + τ12 R2 )Di , Π2 = e1 Q1 e1 − ατ1 e2 Q1 e2 + ατ1 e2 Q2 e2 − ατ2 e4 Q2 e4 , Π3 = c1 F1 diag R1 , η12 /γ1 R1 F1 , 14 Π4 = ατ2 τ12    ˜ F R  2  F3 X   X F ˜ = diag{R2 , 3R2 },   2 , R ˜ R2 F3 Φi = Π0i + Π1i + Π2 − Π3 − Π4 , đó, để đơn giản, trễ τ (k) kí hiệu τ , σ(.) tốn tử dịch chuyển σ(t) = t + 1, t ∈ Z0 , c1 = (1−α)ατ1 1−ατ1 , η1 = τ1 1−ατ1 − α 1−α , γ1 = α (1−α)2 − τ12 ατ1 (1−ατ1 )2 Các điều kiện ổn định hệ (3.1) cho địnhĐịnh lí 3.1.4 Giả sử tồn số α ∈ (0, 1), ρi > 0, i ∈ M, ma trận Pi , Qj , Rj 2n×2n thỏa mãn điều kiện sau: S+ n , i ∈ M, j = 1, 2, ma trận X ∈ R Pi − ρi In < 0,  ˆ Φi Ai P˜i + Di R   < 0, ˜ ˆ Pi Ai + RDi −(ρi In − Γi )   ˜ R2 X  ≥ Ψ= ˜2 X R (3.5a)  (3.5b) (3.5c) Khi đó, hệ (3.1) ổn định ngẫu nhiên với độ trễ τ (k) ∈ [τ1 , τ2 ] Hệ 3.1.5 Hệ (3.1) với trễ số τc ổn định ngẫu nhiên tồn ˜ số α ∈ (0, 1), ρi > 0, ma trận Pi , Q, R ∈ S+ n , i ∈ M, cho Pi + τc R < ρi In điều kiện LMI sau với i ∈ M:   ˆ ˜ ˆ Π + Ξ1 − Ξ2 Ai Pi + τc Di R  < 0,  0i ˆ i −ρi In + P˜i + τc R P˜i Aˆi + τc RD (3.6) eˆl = [0n×(l−1)n In 0n×(3−l)n ], l = 1, 2, 3, Aˆi = Ai eˆ1 + Adi eˆ2 , Dˆ i = (Ai − In )ˆe1 + Adi eˆ2 ˆ RD ˆi, e1 Pi eˆ1 + ρi eˆ1 Gi eˆ1 + eˆ2 Hi eˆ2 + τc D Π0i = Aˆi P˜i Aˆi − αˆ i η2 R F, γ + τc (1 − α)ατc F = col eˆ1 − eˆ2 , eˆ1 − eˆ2 + (ˆ e2 − eˆ3 ) , α ˆ= , η − ατc τc2 ατc τc α α − η= − , γ = − ατc 1−α (1 − α)2 (1 − ατc )2 Ξ1 = eˆ1 Qˆ e1 − ατc eˆ2 Qˆ e2 , Ξ2 = α ˆ F diag R, Khi khơng có nhiễu, tức F (i, x(k), x(k − τ (k))) = 0, hệ (3.1) trở thành x(k + 1) = A(rk )x(k) + Ad (rk )x(k − τ (k)), k ∈ Z0 (3.7) Hệ 3.1.6 Hệ (3.7) ổn định ngẫu nhiên với trễ τ (k) ∈ [τ1 , τ2 ] tồn + 2n×2n α ∈ (0, 1), ma trận Pi ∈ S+ n , i ∈ M, Qj , Rj ∈ Sn , j = 1, 2, ma trận X ∈ R 15  thỏa mãn  ˜2 R X  X  ≥ điều kiện LMI sau với i ∈ M: ˜2 R Φi = Π0i + Π1i + Π2 − Π3 − Π4 < 0, (3.8) Π0i = Ai P˜i Ai − αe1 Pi e1 kí hiệu khác Định lí 3.1.4 3.2 Ổn định hóa lớp hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính với trễ biến thiên điều khiển phản hồi đồng 3.2.1 Mô tả hệ điều khiển Trong mục này, nghiên cứu toán thiết kế điều khiển phản hồi đồng ổn định hóa lớp hệ nhảy Markov rời rạc sau x(k + 1) = A(rk )x(k) + Ad (rk )x(k − τ (k, rk )) + B(rk )u(k), k ∈ Z0 , x(k) = ϕ(k), (3.9) k ∈ Z[−τu , 0], u(k) ∈ Rnu vectơ điều khiển đầu vào, τ (k, rk ) trễ biến thiên phụ thuộc mode rk Giả sử với i ∈ M, τ i ≤ τ (k, i) ≤ τ i , ∀k ≥ 0, τ i , τ i số nguyên dương diễn tả khoảng trễ mode thứ i Kí hiệu τl = mini∈M τ i τu = maxi∈M τ i Đối với hệ (3.9), tương tự Mục 3.1, giả thiết ma trận xác suất chuyển Π biết thơng tin phần Kí hiệu πˆij phần tử chưa biết Π (i) (i) Ma = j ∈ M : πij biết , Mna = j ∈ M : πij chưa biết (3.10) Để ổn định hóa hệ (3.9), điều khiển phản hồi đồng thiết kế dạng u(k) = K(rk )x(k), (3.11) K(rk ) ∈ Rnu ×n , i ∈ M, ma trận đạt điều khiển thiết kế Với điều khiển (3.11), hệ đóng (3.9) có dạng x(k + 1) = Ac (rk )x(k) + Ad (rk )x(k − τ (k, rk )), k ∈ Z0 , (3.12) Ac (rk ) = A(rk ) + B(rk )K(rk ) 3.2.2 Phân tích tính ổn định hệ đóng Để tiện cho việc trình bày điều kiện ổn định hệ đóng (3.12), chúng tơi sử dụng kí hiệu vectơ ma trận sau ej = [0n×(j−1)n In 0n×(11−j)n ], j = 1, 2, , 11, z(k) = x(k + 1) − x(k), τd = τu − τl , 16 τi1 (k) = τ (k, i) − τl , τi2 (k) = τu − τ (k, i), ζ1i (k) = col{x(k), x(k − τl ), x(k − τ (k, i)), x(k − τu ), z(k)}, ζ2i (k) = col{ηl (k), η1i (k), η2i (k)}, ζ3i (k) = col{θl (k), θ1i (k), θ2i (k)}, ηl (k) = + τl k s=k−τl η2i (k) = + τi2 (k) θ1i (k) = γ(τi1 (k)) x(s), η1i (k) = + τi1 (k) k−τ (k,i) s=k−τu −τl k−τl x(s), s=k−τ (k,i) x(s), θl (k) = γ(τl ) s=−τ k−τl s=−τ (k,i) t=k+s k x(t), l t=k+s x(t), θ2i (k) = γ(τi2 (k)) −τ (k,i) k−τ (k,i) x(t), s=−τu t=k+s F1 = col {e1 − e2 , e1 + e2 − 2e6 , e1 − e2 + 6e6 − 6e9 } , F2 = col {e2 − e3 , e2 + e3 − 2e7 , e2 − e3 + 6e7 − 6e10 } , F3 = col {e3 − e4 , e3 + e4 − 2e8 , e3 − e4 + 6e8 − 6e11 } , F4 = col {e2 − e6 , e2 − 4e6 + 3e9 } , F5 = col {e3 − e7 , e4 − e8 } , F6 = col {e3 − 4e7 + 3e10 , e4 − 4e8 + 3e11 } , P˜i = πij Pj + (1 − πai ) (i) j∈Ma Pj , πai = (i) j∈Mna πij , (i) j∈Ma πij , Φi = (e1 + e5 ) P˜i (e1 + e5 ) − e1 Pi e1 , πai = (i) j∈Ma Ψ1 = e1 Q1 e1 − e2 Q1 e2 + e2 Q2 e2 − e4 Q2 e4 , Ψ2 = e5 τl2 R1 + τd2 R2 e5 , τd (τd + 1) τl (τl + 1) Ψ3 = e5 S1 + S2 e5 , Ψ4 = F1 U1 F1 , 2      F2 U2 Z F    , Ψ6 = 2(τl + 1) F4 V1 F4 , Ψ5 =    τl F3 Z U2 F3 Ψ7 = 2F5 V2 F5 + 2F6 V2 F6 , U1 = diag {R1 , 3R1 , 5R1 } , U2 = diag{R2 , 3R2 , 5R2 }, V1 = diag{S1 , 2S1 }, V2 = diag{S2 , 2S2 }, γ(k) = (k+1)(k+2) Định lí 3.2.1 Cho trước ma trận đạt điều khiển Ki , i ∈ M Hệ đóng + (3.12) ổn định ngẫu nhiên tồn ma trận Pi ∈ S+ n , i ∈ M, Ql , Rl , Sl ∈ Sn , U2 Z  ≥ điều l = 1, 2, ma trận Z ∈ R3n×3n thỏa mãn  Z T U2 kiện sau: 17 (i) Với i ∈ M, ⊥ (A⊥ ci ) Ωi Aci < 0, Aci = (Aci − In )e1 + Adi e3 − e5 Ωi = Φi + (3.13) l=1 Ψl − l=4 Ψl (ii) Tồn ma trận F với số chiều phù hợp cho Ωi + Sym (FAci ) < 0, ∀i ∈ M (3.14) 3.2.3 Tổng hợp điều khiển Trên sở điều kiện ổn định hệ đóng (3.12) đưa Định lí 3.2.1, mục chúng tơi thiết kế ma trận đạt điều khiển ổn định hóa hệ (3.9) Định lí 3.2.2 Hệ (3.9) ổn định hóa điều khiển phản hồi (3.11) tồn nu ×n , i ∈ M, Q , R , S ∈ S+ (l = 1, 2), ma trận không ma trận Pi ∈ S+ l l l n , Yi ∈ R n  U2 Z  ≥ điều kiện suy biến X ∈ Rn×n ma trận Z ∈ R3n×3n thỏa mãn  Z U2 LMI sau với i ∈ M (3.15) Ωi + Ξi + Ξi < 0, Ψl − Ωi = Φi + l=1 Ψl , l=4 πij Pj + (1 − πai ) Φi = (e1 + e5 ) (i) Pj (e1 + e5 ) − e1 Pi e1 , (i) j∈Ma j∈Mna Ψ1 = e1 Q1 e1 − e2 Q1 e2 + e2 Q2 e2 − e4 Q2 e4 , Ψ2 = e5 τl2 R1 + τd2 R2 e5 , τl (τl + 1) τd (τd + 1) Ψ3 = e5 S1 + S2 e5 , Ψ4 = F1 U1 F1 , 2      F2 U2 Z F    , Ψ6 = 2(τl + 1) F4 V1 F4 , Ψ5 =    τl F3 Z U2 F Ψ7 = 2F5 V2 F5 + 2F6 V2 F6 , U1 = diag R1 , 3R1 , 5R1 , U2 = diag{R2 , 3R2 , 5R2 }, V1 = diag{S1 , 2S1 }, V2 = diag{S2 , 2S2 }, Ξi = (e1 + e5 ) [(Ai X + Bi Yi − X)e1 + Adi Xe3 − Xe5 ] Ma trận đạt điều khiển, K(rk ) = Ki rk = i, Ki , i ∈ M, xác định Ki = Yi X −1 18 Chương ĐIỀU KHIỂN KHƠNG ĐỒNG BỘ ỔN ĐỊNH HĨA LỚP HỆ NHẢY MARKOV RỜI RẠC VỚI NHIỄU NHÂN TÍNH Các mơ hình kĩ thuật thường khơng tránh tác động yếu tố nhiễu ngẫu nhiên Các nhiễu tác động kiểu cộng tính lên tồn hệ thống xuất tín hiệu nhân trạng thái Những nhiễu gọi nhiễu nhân tính (multiplicative noises) Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tốn ổn định hóa điều khiển không đồng cho lớp hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính với nhiễu nhân tính xuất trạng thái điều khiển đầu vào Điều khiển phản hồi thiết kế dạng đa mode mơ tả xích Markov rời rạc với xác suất chuyển tương quan với trình chuyển hệ Trên sở điều kiện ổn định vững hệ đóng dạng Markov ẩn, thiết lập điều kiện LMIs để thiết kế điều khiển khơng đồng ổn định hóa lớp hệ nói 4.1 Phát biểu tốn Xét lớp hệ nhảy Markov với nhiễu nhân tính dạng sau ˆ k ) x(k) x(k + 1) = A(rk ) + w(k)A(r ˆ k ) u(k), k ∈ Z0 , + B(rk ) + w(k)B(r (4.1) x(0) = x0 ∈ Rn , x(k) ∈ Rn vectơ trạng thái, u(k) ∈ Rnu vectơ điều khiển đầu vào, {w(k)}k∈Z0 dãy biến ngẫu nhiên độc lập giá trị vô hướng với moment cấp cấp thỏa mãn E[w(k)] = 0, E[w(k)2 ] = σ , ˆ k ), B(rk ) B(r ˆ k ) ma trận thực σ số dương cho trước, A(rk ), A(r cho trước Một ví dụ điển hình q trình nhiễu {w(k)}k∈Z0 thỏa mãn điều kiện dãy “ồn trắng” (white noises) dạng Gauss Hơn nữa, trình {w(k)}k∈Z0 {rk }k∈Z0 giả thiết độc lập Bộ điều khiển phản hồi ổn định hóa hệ (4.1) thiết kế dạng u(k) = G(γk )x(k), (4.2) G(γk ) ma trận đạt điều khiển, γk xích Markov biểu thị tín 19 hiệu chuyển điều khiển nhận giá trị tập hữu hạn N = {1, 2, , s} với xác suất có điều kiện, tương quan với xích chuyển rk hệ, µil , i ∈ M, l ∈ N cho P {γk = l|rk = i} = µil (4.3) Chú ý rằng, từ tính chất xác suất có điều kiện, ta có µil ≥ với s l=1 µil i ∈ M, l ∈ N = với i ∈ M Với điều khiển (4.2), hệ đóng (4.1) có dạng x(k + 1) = Ac x(k) + Aˆc x(k)w(k), k ∈ Z0 , (4.4) ˆ k ) + B(r ˆ k )G(γk ) Ac = A(rk ) + B(rk )G(γk ) Aˆc = A(r 4.2 Tính ổn định ổn định hóa hệ nhảy Markov rời rạc với nhiễu nhân tính Trong mục này, trước hết chúng tơi phân tích tính ổn định hệ đóng (4.4) Các điều kiện LMIs thiết lập để đảm bảo tính ổn định ngẫu nhiên hệ (4.4) Sau chúng tơi tìm điều kiện thiết kế điều khiển khơng đồng (4.2) Bài tốn ổn định ổn định hóa hệ (4.1) xét cho hai trường hợp: Ma trận xác suất chuyển Π = (πij ) biết đầy đủ biết thông tin phần 4.2.1 Trường hợp xác suất chuyển biết đầy đủ Tính ổn định hệ đóng (4.4) trình bày địnhĐịnh lí 4.2.1 Cho trước ma trận đạt điều khiển xác định G(γk ) = Gl γ(k) = l ∈ N Hệ đóng (4.4) ổn định ngẫu nhiên tồn ma trận Pi ∈ S+ n, i ∈ M, thỏa mãn điều kiện LMI sau đây: s µil Acil P˜i Acil + σ Aˆcil P˜i Aˆcil − Pi < 0, i ∈ M, Ωi (4.5) l=1 Acil = Ai + Bi Gl , Aˆcil = Aˆi + Bˆi Gl P˜i = m j=1 πij Pj Định lí 4.2.2 Các khẳng định sau tương đương: (i) Tồn ma trận Pi ∈ S+ n , i ∈ M, thỏa mãn điều kiện (4.5) + (ii) Tồn ma trận Xi ∈ S+ n Zil ∈ Sn cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính với i ∈ M, l ∈ N :   −Xi Γµi ⊗ Xi   < 0, ∗ −DZi 20 (4.6a)   −Zil Hil σ Hil    ∗  < 0, −D X   ∗ ∗ −DX (4.6b) ∗ kí hiệu cho phần tử đối xứng √ √ √ √ √ √ Γµi = [ µi1 µi2 µis ], Γπi = [ πi1 πi2 πim ], DZi = diag(Zi1 , Zi2 , , Zis ), DX = diag(X1 , X2 , , Xm ), Hil = Γπi ⊗ Zil Acil , Hil = Γπi ⊗ Zil Aˆcil Dựa điều kiện Định lí 4.2.2, định lí sau cho điều kiện thiết kế điều khiển không đồng ổn định hóa hệ (4.1) Định lí 4.2.3 Hệ (4.1) ổn định hóa với điều khiển khơng đồng (4.2) + n×n tồn ma trận Xi ∈ S+ n , Zil ∈ Sn , ma trận không suy biến Ul ∈ R ma trận Vl ∈ Rn×nu thỏa mãn điều kiện (4.6a) LMI (4.7)  Zil − Ul − Ul   ∗  ∗ Wil σ Wil −DX ∗     < 0, −DX (4.7) Wil = Γπi ⊗ (Ai Ul + Bi Vl ) Wil = Γπi ⊗ (Aˆi Ul + Bˆi Vl ) Ma trận đạt điều khiển xác định G(γk ) = Gl γk = l ∈ N , với Gl = Vl Ul−1 , l ∈ N (4.8) Nhận xét 4.2.1 Ma trận Ul ∈ Rn×n khơng suy biến Ul Ul > Mặt khác, với > 0, ta có đẳng thức sau −1 Ul Ul = Ul + Ul − In + −1 Ul − In Ul − In Khi đó, giả thiết ma trận Ul , l ∈ N , khơng suy biến thay điều kiện Ul + Ul − In > 0, l ∈ N (4.9) Bộ điều khiển không đồng (4.8) thiết kế dựa điều kiện LMIs (4.6a), (4.7) (4.9) với tham số > Nhận xét 4.2.2 Trường hợp điều khiển (4.2) đồng bộ, điều kiện (4.5) trở thành m πij Acii Pj Acii + σ Aˆcii Pj Aˆcii < −Pi + j=1 21 Theo Bổ đề Schur, bất đẳng thức tương đương với LMI sau   −Pi Qi σ Qi    ∗ −D−1  < 0,   P −1 ∗ ∗ −DP (4.10) DP = diag(P1 , P2 , , Pm ), Qi = Γπi ⊗ Acii Qi = Γπi ⊗ Aˆcii Dựa LMI (4.10), ta có kết sau Hệ 4.2.4 Tồn điều khiển đồng u(k) = G(rk )x(k) ổn định hóa hệ (4.1) nu ×n thỏa mãn điều kiện sau tồn ma trận Xi ∈ S+ n Vi ∈ R   −Xi Ri σ Ri    < 0,  ∗ −D X   ∗ ∗ −DX (4.11) Ri = Γπi ⊗ (Ai Xi + Bi Vi ) Ri = Γπi ⊗ (Aˆi Xi + Bˆi Vi ) Khi đó, ma trận đạt điều khiển xác định Gi = Vi Xi−1 , i ∈ M (4.12) 4.2.2 Trường hợp xác suất chuyển biết thông tin phần Trong mục này, chúng tơi mở rộng kết trình bày mục trước cho trường hợp xác suất chuyển mode hệ điều khiển biết phần Chúng tơi kí hiệu M1i = {j ∈ M : πij biết}, M2i = {j ∈ M : πij chưa biết}, N1i = {l ∈ N : µil biết}, N2i = {l ∈ N : µil chưa biết}, πia = πij , µai = j∈M1i (4.13) (4.14) µil l∈N1i Khi M = M1i ∪ M2i N = N1i ∪ N2i Định lí 4.2.5 Hệ đóng (4.4) với xác suất chuyển biết phần (4.13) (4.14) ổn định ngẫu nhiên tồn ma trận Pi ∈ S+ n , i ∈ M, thỏa mãn điều kiện µil Ξil + (1 − µai ) Ωi Ξil − Pi < 0, i ∈ M, l∈N2i l∈N1i Ξil = Ailc P i Acil + σ Aˆcil P i Aˆcil , πij Pj + (1 − πia ) Pi = j∈M1i Pj j∈M2i 22 (4.15) Dựa Định lí 4.2.5, lập luận chứng minh Định lí 4.2.3, điều khiển khơng đồng (4.2) ổn định hóa hệ (4.1) thiết kế trường hợp ma trận xác suất chuyển biết phần cho định lí sau Định lí 4.2.6 Hệ (4.1) với ma trận xác suất chuyển biết phần ổn định hóa với điều khiển không đồng (4.2) tồn ma trận Xi , Zil ∈ S+ n, i ∈ M, l ∈ N , ma trận không suy biến Ul ∈ Rn×n ma trận Vl ∈ Rn×nu thỏa mãn điều kiện LMIs sau đây:   µ ˜ −Xi Γi ⊗ Xi   < 0, ∗ −DZi   Zil − Ul − Ul χil σ χil     < 0, ∗ −D X   ∗ ∗ −DX (4.16a) (4.16b) ˜ πi ⊗ (Ai Ul + Bi Vl ) , χil = Γ ˜ πi ⊗ (Aˆi Ul + B ˆi Vl ) , χil = Γ ˜ π = [ λi1 λi2 λim ], Γ ˜ µ = [√νi1 √νi2 √νis ], Γ i i     πij µil j ∈ M1i l ∈ N1i νil = Khi đó, ma trận với λij =   a 1 − π a  j ∈ M − µ l ∈ N 2i 2i i i đạt điều khiển xác định Gl = Vl Ul−1 , l ∈ N 23 KẾT LUẬN CHUNG Các kết đạt Luận án đạt kết sau đây: Phát triển toán RSE cho lớp hệ nhảy Markov tuyến tính với trễ biến thiên dạng khoảng nhiễu cộng tính bị chặn Bằng phương pháp phân hoạch đoạn trễ kết hợp với việc xây dựng phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii cải tiến, điều kiện LMIs thiết lập để đảm bảo rằng, với nhiễu ngẫu nhiên cộng tính bị chặn, quỹ đạo trạng thái hệ bị chặn theo nghĩa bình phương trung bình ngưỡng xác định ngưỡng nhiễu đầu vào Đề xuất kỹ thuật cho toán phân tích tính ổn định ngẫu nhiên hệ nhảy Markov có trễ dựa bất đẳng thức tổng có trọng ứng dụng nghiên cứu tính ổn định lớp hệ nhảy Markov phi tuyến có trễ biến thiên Đưa điều kiện thiết kế điều khiển phản hồi đồng ổn định hóa lớp hệ nhảy Markov tuyến tính có trễ biến thiên phụ thuộc mode Thiết lập điều kiện ổn định vững cho lớp hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính với nhiễu nhân tính Trên sở điều kiện ổn định đó, tốn ổn định hóa điều khiển phản hồi không đồng giải cho lớp hệ nhảy Markov rời rạc với nhiễu nhân tính hai trường hợp ma trận xác suất chuyển hệ kênh điều khiển biết chắn ma trận xác suất chuyển biết phần Một số vần đề nghiên cứu • Bài tốn RSE lớp hệ nhảy Markov có trễ với thời gian liên tục • Mở rộng kết đạt luận án cho trường hợp hệ rời rạc chứa q trình tựa Markov (xích Markov khơng nhất, nửa xích v.v) • Mở rộng kết đạt Chương cho lớp hệ Markov rời rạc với nhiễu nhân tính chứa trễ • Một số ứng dụng cho toán kĩ thuật thiết kế lọc, hàm quan sát giải toán điều khiển H∞ hay điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu 24 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Le Van Hien, Nguyen Trung Dzung, and Ha Binh Minh, A novel approach to state bounding for discrete-time Markovian jump systems with interval time-varying delay, IMA Journal of Mathematical Control and Information, vol 33, no 2, pp 293–307, 2016.(SCIE) L.V Hien, N.T Dzung, H Trinh, Stochastic stability of nonlinear discrete-time Markovian jump systems with time-varying delay and partially unknown transition rates, Neurocomputing, vol 175, part A, pp 450–458, 2016.(SCIE) Nguyen Trung Dzung, Le Van Hien, Stochastic stabilization of discrete-time Markov jump systems with generalized delay and deficient transition rates, Circuits, Systems, and Signal Processing, vol 36, no 6, pp 2521–2541, 2017.(SCIE) Le Van Hien and Nguyen Trung Dzung, Asynchronous control of discrete-time stochastic bilinear systems with Markovian switchings, 2017 (submitted) Các kết luận án báo cáo tại: • Xêmina Giải tích, Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn, Trường ĐHSP Hà Nội • Xêmina Phương trình vi phân, Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường ĐHSP Hà Nội • Xêmina Phòng Tối ưu Điều khiển, Viện Tốn học • Hội nghị tốn quốc lần thứ V “Xác suất-Thống kê: Nghiên cứu, ứng dụng giảng dạy”, Đà Nẵng, 2015 • Hội thảo Tối ưu Tính tốn khoa học lần thứ 14, Ba Vì, 2016 ... 11 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NHẢY MARKOV RỜI RẠC CĨ TRỄ BIẾN THIÊN Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ nhảy Markov rời rạc với trễ... tốn ổn định ổn định hóa cho số lớp hệ nhảy Markov rời rạc chứa trễ nhiễu đầu vào ngẫu nhiên dạng cộng tính nhân tính hệ Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa hệ. .. kiện ổn định vững cho lớp hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính với nhiễu nhân tính Trên sở điều kiện ổn định đó, tốn ổn định hóa điều khiển phản hồi không đồng giải cho lớp hệ nhảy Markov rời rạc
- Xem thêm -

Xem thêm: Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc (tt), Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ nhảy Markov rời rạc (tt)

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay