TNNC HINH OXYZ

156 39 2
  • Loading ...
1/156 trang
Tải xuống

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 16/04/2018, 09:57

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN A - LÝ THUYẾT CHUNG Véc tơ không gian * Định nghĩa Trong không gian, vecto đoạn thẳng có định hướng tức đoạn thẳng có quy định thứ tự hai đầu Chú ý: Các định nghĩa hai vecto nhau, đối phép tốn vecto khơng gian xác định tương tự mặt phẳng Vecto đồng phẳng     * Định nghĩa: Ba vecto a, b, c khác gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Chú ý:  n vecto khác gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Các giá vecto đồng phẳng đường thẳng chéo  * Điều kiện để vecto khác đồng phẳng Định lý 1:       a, b, c đồng phẳng  m, n   : a  mb  nc D3 c D2 b a D1 Δ3 P Δ2 Δ1 * Phân tích vecto theo ba vecto không đồng phẳng     Định lý 2: Cho vecto e1 , e2 , e3 khơng đồng phẳng Bất kì vecto a khơng gian phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có ba số thực  x1 , x2 , x3      a  x1 e1  x2 e2  x3 e3     Chú ý: Cho vecto a, b, c khác :       a, b, c đồng phẳng có ba số thực m, n, p khơng đồng thời cho: ma  nb  pc        a, b, c không đồng phẳng từ ma  nb  pc   m  n  p  Tọa độ vecto Trong không gian xét hệ trục Oxyz , có trục Ox vng góc với trục Oy O, trục Oz vng góc với mặt phẳng  Oxy  O Các vecto đơn vị trục Ox, Oy, Oz    i  1; 0;0  , j   0;1;  , k   0;0;1      a) a   a1 ; a2 ; a3   a  a1 i  a2 j  a3 k     b) M  xM , yM , z M   OM  xM i  yM j  zM k File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A c) Cho A  x A , y A , z A  , B  xB , yB , zB  ta có:  AB   xB  x A ; y B  y A ; z B  z A  AB  Hình Học Tọa Độ Oxyz  xB  x A    yB  yA    zB  z A   x  xA yB  y A zB  z A  ; ; d) M trung điểm AB M  B  2     e) Cho a   a1 ; a2 ; a3  b   b1 ; b2 ; b3  ta có: a1  b1    a  b  a2  b2 a  b  3   a  b   a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3   k a   ka1 ; ka2 ; ka3       a.b  a b cos a; b  a1b1  a2b2  a3b3  a  a12  a2  a32     cos   cos a; b    a1b1  a2b2  a3b3     (với a  0, b  ) a12  a2  a32 b12  b2  b3    a b vng góc:  a.b   a1b1  a2b2  a3b3  a1  kb1      a b phương:  k  R : a  kb  a2  kb2 a  kb  3 Tích có hướng ứng dụng   Tích có hướng a   a1 ; a2 ; a3  b   b1 ; b2 ; b3  là:    a a a a aa   a, b    ; ;    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1     b2b3 b3b1 b1b2  a Tính chất:        a, b   a,  a, b   b            a, b   a b sin a, b        a b phương:  a, b         a, b, c đồng phẳng   a, b  c  b Các ứng dụng tích có hướng   Diện tích tam giác: S ABC   AB , AC     Thể tích tứ diện VABCD   AB , AC  AD   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz    Thể tích khối hộp: VABCD A ' B 'C ' D '   AB, AD  AA' Một số kiến thức khác   a) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA  k MB ta có:   x A  kxB y  kyB z  kz B ; yM  A ; zM  A với k  1 k 1 k 1 k x x x y  yB  yC z z z b) G trọng tâm tam giác ABC  xG  A B C ; yG  A ; zG  A B C 3      G trọng tâm tứ diện ABCD  GA  GB  GC  GD  xM  B - CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN      Dạng A, B, C thẳng hàng  AB, AC phương   AB, AC     Dạng A, B, C ba đỉnh tam giác  A, B, C không thẳng hàng  AB, AC không phương      AB , AC     Dạng G  xG ; yG ; zG  trọng tâm tam giác ABC thì: xG  x A  xB  xC y  y B  yC z z z ; yG  A ; zG  A B C 3 Dạng Cho ABC có chân E , F đường phân giác góc A ABC   AB  AB  BC Ta có: EB   EC , FB  FC AC AC     Dạng S ABC   AB, AC  diện tích hình bình hành ABCD là: S ABCD   AB, AC       2.S ABC  AB, AC  Dạng Đường cao AH ABC : S ABC  AH BC  AH   BC BC   Dạng Tìm D cho ABCD hình bình hành: Từ t/c hbh có cặp vecto AB  DC   AD  BC  tọa độ D    Dạng Chứng minh ABCD tứ diện  AB; AC ; AD không đồng phẳng      AB, AC  AD  Dạng G  xG ; yG ; zG  trọng tâm tứ diện ABCD thì: xG  xA  xB  xC  xD y  y B  yC  y D z  z  z  zD ; yG  A ; zG  A B C 4 Dạng 10 Thể tích khối tứ diện ABCD : VABCD      AB , AC  AD  6 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Dạng 12 3V Đường cao AH tứ diện ABCD : V  S BCD AH  AH  S BCD    Thể tích hình hộp: VABCD A ' B ' C ' D '   AB , AD  AA ' Dạng 13 Hình chiếu điểm A  x A ; y A ; z A  lên mặt phẳng tọa độ trục: Dạng 11 Xem lại mục 1, công thức 17, 18 Dạng 14 Tìm điểm đối xứng với điểm A  x A ; y A ; z A  qua mặt phẳng tọa độ, trục gốc tọa độ: (Thiếu tọa độ đổi dấu tọa độ đó, có mặt tọa độ để ngun tọa độ đó)  OXY  : A1  xA ; y A ;  z A   OXZ  : A2  xA ;  y A ; z A   OYZ  : A3   xA ; y A ; z A   OX  : A4  x A ;  y A ;  z A   OY  : A5   x A ; y A ;  z A   OZ  : A6   x A ;  y A ; z A  Qua gốc O : A7   x A ;  y A ;  z A  C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho điểm S 1, 2, 3 ; A  2, 2,3 ; B 1,3,3 ; C 1, 2,  SABC là: B Hình chóp D Hình thang vng A Tứ diện C Tứ diện Câu 2: Cho bốn điểm S 1, 2, 3 ; A  2, 2,3 ; B 1,3,3 ; C 1, 2,  Gọi M , N , P trung điểm BC , CA AB Khi SMNP là: A Hình chóp B Hình chóp Câu 3: C Tứ diện D Tam diện vuông Cho bốn điểm S 1, 2, 3 ; A  2, 2,3 ; B 1,3,3 ; C 1, 2,  Xác định tọa độ trọng tâm G hình chóp SABC  13   9  13  B  , 3,  C  1, ,  D  , ,  3 3  4 4 4      Cho vectơ a  1,1, 2  ; b   2, 1,  ; c   2, 3, 2  Xác định vec tơ d thỏa mãn       a.d  4; b.d  5; c.d  A  5,9,13 Câu 4: A  3, 6,5  Câu 5: B  3, 6, 5 3 5 C  , 6,  2 2 5  D  3, 6,  2  Trong không gian Oxyz, cho điểm A  2;0; 2  , B  3; 1; 4  , C  2;2;0  Điểm D mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) là: A D  0; 3; 1 B D  0;2; 1 C D  0;1; 1 D D  0;3; 1 Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;0  , B  3; 4;1 , D  1;3;  Tìm tọa độ điểm C cho ABCD hình thang có hai cạnh đáy AB , CD có góc C 45 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A C  5;9;5  B C 1;5;3 Hình Học Tọa Độ Oxyz C C  3;1;1 D C  3;7;4  Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B (m; 0; 0) , D (0; m; 0) , A(0; 0; n) với m, n  m  n  Gọi M trung điểm cạnh CC Khi thể tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn 245 64 75 A B C D 108 27 32 Câu 8: Cho ba điểm A  3;1;0  , B  0; 1;0  , C  0;0; 6  Nếu tam giác ABC  thỏa mãn hệ thức     AA  BB  C C  có tọa độ trọng tâm là: A 1;0; 2  B  2; 3;0  C  3; 2;0  D  3; 2;1 Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M  3;0;0  , N  m, n,  , P  0;0; p    600 , thể tích tứ diện OMNP Giá trị biểu thức Biết MN  13, MON A  m  2n2  p A 29 B 27 C 28 D 30 Câu 10: Cho hình chóp S ABCD biết A  2; 2;6  , B  3;1;8 , C  1;0;7  , D 1;2;3 Gọi H trung điểm CD, SH   ABCD  Để khối chóp S ABCD tích 27 (đvtt) có hai điểm S1 , S2 thỏa mãn yêu cầu tốn Tìm tọa độ trung điểm I S1S2 A I  0; 1; 3 B I 1;0;3 C I  0;1;3 D I  1;0; 3 Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vng ABCD , B (3;0;8) , D ( 5; 4; 0) Biết   đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) có tọa độ số nguyên, CA  CB bằng: A 10 B 10 C 10 D 10 Câu 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(2; 4; 1) , B (1; 4; 1) , C (2; 4;3) D (2; 2; 1) Biết M  x; y; z  , để MA2  MB  MC  MD đạt giá trị nhỏ x  y  z A B C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz D - HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho điểm S 1, 2, 3 ; A  2, 2,3 ; B 1,3,3 ; C 1, 2,  SABC là: A Tứ diện C Tứ diện Hướng dẫn giải:    AB   1;1;  ; BC   0; 1;1 ; AC   1;0;1 B Hình chóp D Hình thang vng  AB  BC  CA   ABC tam giác    SA  1; 0;  ; SB   0;1;  ; SC   0; 0;1  SA  SB  SC  1 0 D  SA, SB, SC   0 0 1     Hay ta tính  SA; SB  SC      SA, SB, SC khơng đồng phẳng  SABC hình chóp đều, đỉnh S Chọn B Câu 2: Cho bốn điểm S 1, 2, 3 ; A  2, 2,3 ; B 1,3,3 ; C 1, 2,  Gọi M , N , P trung điểm BC , CA AB Khi SMNP là: A Hình chóp B Hình chóp Hướng dẫn giải: C Tứ diện D Tam diện vuông Tam giác: ABC có AB  BC  CA  2  MN  NP  PM     SA  1;0;0  ; SB   0;1;0  ; SC   0;0;1    SA.SB   SA  SB Tương tự SA  SC , SB  SC S Các tam giác vng SAB, SBC , SCA vng S, có trung tuyến: AB   MN  NP  PM 2 Ta có: SP   SAB  ; SM   SBC  ; SN   SCA     SP , SM , SN không đồng phẳng SP  SM  SN  A C N M P B  SMNP tứ diện Chọn C Câu 3: Cho bốn điểm S 1, 2, 3 ; A  2, 2,3 ; B 1,3,3 ; C 1, 2,  Xác định tọa độ trọng tâm G hình chóp SABC File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  13  B  , 3,  3 3 A  5,9,13 Câu 4: Hình Học Tọa Độ Oxyz  9 C  1, ,   4  13  D  , ,  4 4  Hướng dẫn giải:          Ta có GS  GA  GB  GC  4OG  OA  OB  OC  OS   x      1     G  y      2  4  13   z      3   Chọn D     Cho vectơ a  1,1, 2  ; b   2, 1,  ; c   2, 3, 2  Xác định vec tơ d thỏa mãn       a.d  4; b.d  5; c.d  A  3, 6,5  B  3, 6, 5 Hướng dẫn giải:   a.d  x  y  2z      b.d   2 x  y  z     2 x  y  z  c.d  3 5 C  , 6,  2 2 5  D  3, 6,  2  1 2  3 1   2 : 3x   x   2   3 : y  12  y  Chọn D 1 : z   x  y         Câu 5:   5  d   3; 6;  2  Trong không gian Oxyz, cho điểm A  2;0; 2  , B  3; 1; 4  , C  2;2;0  Điểm D mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) là: A D  0; 3; 1 B D  0;2; 1 C D  0;1; 1 D D  0;3; 1 Hướng dẫn giải: Do D   Oyz    D  0; b; c  với c   c  1 loai  Theo giả thiết: d  D,  Oxy     c      D  0; b; 1  c  1    Ta có AB  1; 1; 2  , AC   4; 2;  , AD   2; b;1      Suy  AB, AC    2;6; 2     AB, AC  AD  6b  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Cũng theo giả thiết, ta có: VABCD  Hình Học Tọa Độ Oxyz    b   AB, AC  AD  b      6  b  1 Chọn D Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;0  , B  3; 4;1 , D  1;3;  Tìm tọa độ điểm C cho ABCD hình thang có hai cạnh đáy AB , CD có góc C 45 A C  5;9;5  B C 1;5;3 C C  3;1;1 D C  3;7;4  Hướng dẫn giải: Chọn D  Cách AB  (2;2;1)  x  1  2t  Đường thẳng CD có phương trình CD :  y   2t z   t    Suy C  1  2t;3  2t ;2  t  ; CB  (4  2t ;1  2t ; 1  t ), CD  (2t; 2t ; t )  Ta có cos BCD Hay (4  2t )(2t )  (1  2t )(2t )  (1  t )(t ) (4  2t )2  (1  2t )2  (1  t ) (2t )  (2t )  (t ) (4  2t )(2t )  (1  2t )(2t )  (1  t )(t ) (4  2t )2  (1  2t )2  (1  t ) (2t )  (2t )2  (t )  (1) Lần lượt thay t 3;1; 1; (tham số t tương ứng với toạ độ điểm C phương án A, B, C, D), ta thấy t  thoả (1) Cách   Ta có AB  (2; 2;1), AD  (2;1; 2) Suy   AB  CD AB  AD Theo giả thiết, suy   DC  AB Kí hiệu C (a; b; c) , ta có   DC  (a  1; b  3; c  2) , AB  (4; 4; 2) Từ A B C (3; 7; 4) D File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay C Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Câu 7: Hình Học Tọa Độ Oxyz Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B (m; 0; 0) , D (0; m; 0) , A(0; 0; n) với m, n  m  n  Gọi M trung điểm cạnh CC Khi thể tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn 245 64 75 A B C D 108 27 32 z Hướng dẫn giải: A' n  Tọa độ điểm C ( m; m; 0), C ( m; m;; n), M  m; m;   2 B' D' C' n     n BA    m; 0; n  , BD    m; m;  , BM   0; m;   2 AO D    BA, BD    mn; mn; m  VBDAM  B m x m C y    m n  BA, BD  BM  256  m  m  2n  512 Ta có m.m.(2n)    m2n    27 27    VBDAM  64 27 Chọn C Câu 8: Cho ba điểm A  3;1;0  , B  0; 1;0  , C  0;0; 6  Nếu tam giác ABC  thỏa mãn hệ thức     AA  BB  C C  có tọa độ trọng tâm là: A 1;0; 2  B  2; 3;0  C  3; 2;0  D  3; 2;1 Hướng dẫn giải: Chọn A * Cách diễn đạt thứ nhất: Gọi G, G’ theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ Với điểm T khơng gian có:            1 : A ' A  B ' B  C ' C   TA  TA '  TB  TB '  TC  TC '          TA  TB  TC  TA '  TB '  TC '      2         Hệ thức (2) chứng tỏ Nếu T  G tức TA  TB  TC  ta có TA '  TB '  TC '  hay T  G ' hay (1) hệ thức cần đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có trọng tâm File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 14: Trong không gian Oxyz , 2 cho mặt Hình Học Tọa Độ Oxyz phẳng 2x  y  z   mặt cầu ( S ) : ( x  3)  ( y  2)  ( z  1)  100 Tọa độ điểm M nằm mặt cầu ( S ) cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P) đạt giá trị nhỏ là:  11 14 13  A M   ; ;   3 3  29 26  B M  ;  ;   3   29 26  C M   ; ;   3  3  11 14 13  D M  ; ;   3 3 Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x  y  2z   mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z   Giá trị điểm M  S  cho d  M ,  P   đạt GTNN là: 2 A 1;1;3  5 7 B  ; ;  3 3 1 1 C  ;  ;   3 3 2 D 1; 2;1  S  :  x  1   y  2   z  3  mặt phẳng Câu 16: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  P  : x  y  z   Gọi M  a; b; c  điểm mặt cầu  S  cho khoảng cách từ  P  lớn Khi M đến A a  b  c  B a  b  c  C a  b  c  D a  b  c  Câu 17: Trong không gian Oxyz cho điểm A  2;3;2  , B  6; 1; 2  , C  1; 4;3 , D 1;6; 5  Gọi M điểm nằm đường thẳng CD cho tam giác MAB có chu vi bé Khi toạ độ điểm M là: A M  0;1; 1 B M  2;11; 9  C M  3;16; 13 D M  1; 4;3 Câu 18: Cho hình chóp O ABC có OA  a, OB  b, OC  c đơi vng góc với Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng đến mặt phẳng  OBC  ,  OCA ,  OAB  1,2,3 Khi tồn a, b, c thỏa thể tích khối chóp O ABC nhỏ nhất, giá trị nhỏ thể tích khối chóp O ABC A 18 B 27 C D Không tồn a, b, c thỏa u cầu tốn Câu 19: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2;1 Mặt phẳng  P  thay đổi qua M cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C khác O Tính giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện OABC A 54 B C D 18 Câu 20: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  với a, b, c  Giả sử a, b, c thay đổi thỏa mãn a2  b2  c  k không đổi Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn A k2 B k2 C k File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D k Trang 142 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(9;1;1) , cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ A x y z   1 3 B x y z   1 27 3 C x y z   1 27 3 D x y z    1 27 3 Câu 22: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD AB C D  có điểm A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0), D(0; a;0), A(0;0; b) với (a  0, b  0) Gọi M trung điểm cạnh CC  Giả sử a  b  , tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABDM ? A max VAMBD  64 27 C max VAMBD   64 27 B max VAMBD  D max VAMBD  27 64 Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;5;0  , B  3;3;6  đường thẳng   x  1  2t  có phương trình tham số  y   t Một điểm M thay đổi đường thẳng  cho  z  2t  chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Tọa đô điểm M chu vi tam giác ABC A M 1; 0;  ; P = 2( 11  29) B M 1; 2;  ; P = 2( 11  29) C M 1; 0;  ; P = 11  29 D M 1; 2;  ; P = 11  29 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 143 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz C - HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 0;  ; B  0; 1;  mặt phẳng  P  : x  y  z  12  Tìm tọa độ điểm M thuộc  P  cho MA  MB nhỏ nhất? 18 25 B M   ;  ;   11 11 11  A M  2; 2;9   11 18  D M   ;  ;   5 5 7 31 C M  ; ;  6  Hướng dẫn giải: Chọn D Thay tọa độ A 1;0;  ; B  0;  1;  vào phương trình mặt phẳng  P  , ta P  A  P  B    hai điểm A, B phía với mặt phẳng  P  B Gọi A điểm đối xứng A qua  P  Ta có A MA  MB  MA  MB  AB Nên  MA  MB   AB M giao M H điểm AB với  P  P  x  1 t Phương trình AA :  y  2t ( AA qua A 1;0;   z   2t   có véctơ phương n P   1; 2; 1 ) A' Gọi H giao điểm AA  P  , suy tọa độ H H  0; 2;  , suy x  t  A  1; 4;  , nên phương trình AB :  y  1  3t  z   4t  11 18 Vì M giao điểm AB với  P  nên ta tính tọa độ M   ;  ;  5   Câu 2: Cho hai điểm A  1,3, 2  ; B  9, 4,  mặt phẳng  P  : x  y  z   Điểm M thuộc (P) Tính GTNN AM  BM A  204 B 7274  31434 C 2004  726 D 26 Hướng dẫn giải: Ta có:   1    2   1   9     1  72   A, B nằm phía so với mặt phẳng (P) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 144 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz  Gọi A’ điểm đối xứng A qua (P) Mặt phẳng (P) có vtpt n  2, 1,1  x    2t   Đường thẳng AA’ qua A  1,3, 2  có vtcp n  2, 1,1 có pt:  y   t  z  2  t  Gọi H giao AA’  P  ta có:  1  2t     t    2  t     t   H 1, 2, 1 Ta có H trung điểm AA’  A’  3,1,   Đường A’B qua A’(3, 1, 0) có vtcp A ' B  12,3,9  có pt:  x   4t   y  1 t  z  3t  Gọi N giao điểm A’B mặt phẳng  P  ta có:   4t  – 1  t   3t    t   N  1, 2,3 Để MA  MB nhỏ M  N MA  MB  A’B =  12   32   234  26 Chọn D Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x  y  z   hai điểm A(1; 3;0), B  5; 1; 2 M điểm mặt phẳng ( P) Giá trị lớn T  MA  MB là: A T  B T  C T  D T  Hướng dẫn giải: Ta có: A, B nằm khác phía so với (P) Gọi B’ điểm đối xứng với B qua (P) Suy B '(1; 3;4) T  MA  MB  MA  MB '  AB '  Đẳng thức xảy M , A, B’ thẳng hàng Chọn A Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x – y  z   hai điểm M  3;1;  , N  9; 4;9  Tìm điểm I  a; b; c  thuộc mặt phẳng (P) cho IM  IN đạt giá trị lớn Biết a, b, c thỏa mãn điều kiện: A a  b  c  21 B a  b  c  14 C a  b  c  D a  b  c  19 Hướng dẫn giải: Nhận thấy điểm M, N nằm hai phía mặt phẳng (P) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 145 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Gọi R điểm đối xứng M qua mặt phẳng (P), đường thẳng MR qua điểm M(3; x  y 1 z   Gọi 1; 0) vng góc với mặt phẳng (P) có phương trình: 1 H  MR  (P)  H (1;2; 1)  R (1;3; 2) Ta có IM  IN  IR  IN  RN Đẳng thức xảy I, N, R thẳng hàng Do tọa độ  x  1  8t  điểm I giao điểm đường thẳng NR:  y   t (t tham số ) mặt phẳng (P)  z  2  11t  Dễ dàng tìm I(7; 2; 13) Chọn A Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 2;  , B  5; 4;  mặt phẳng  P  : x  y – z   Tọa độ điểm M nằm (P) saocho A  1;3;  B  2;1; 11 MA2  MB nhỏ là: C  1;1;5 D 1; 1;  Hướng dẫn giải: + Kiểm tra phương án A không thuộc (P) + Tính trực tiếp MA2 + MB2 phương án B,C,D so sánh Chọn C Câu 6: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z   0, A  8; 7;  , B  1; 2; 2  Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng  P  cho MA2  2MB nhỏ A M  0; 0; 1 B M  0;0;1 C M 1; 0;1 D M  0;1;  Hướng dẫn giải:   Gọi I điểm thỏa mãn IA  IB   I  2; 1;      Có MA2  MB  MI  IA  MI  IB  Vì IA, IB khơng đổi nên  MA2  MB   MI  M hình chiếu vng góc I     3MI  IA2  IB lên mặt phẳng  P  Đường thẳng d qua I vng góc với  P   x   2t   d :  y  1  t ; d   P   M  0;0; 1 z  t  Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 146 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Câu 7: Hình Học Tọa Độ Oxyz A 0, 0, 3  , B  2, 0, 1 P : 3x  y  z   M P Cho điểm  mặt phẳng   Tìm cho MA2  2MB nhỏ  283 104 214  ; ; A M    183 183 183   283 104 214  ; ; B M    183 183 183   283 14 14  ; ; C M    183 183 183   283 14 14  ; ; D M    183 183 183  Hướng dẫn giải:    5 Gọi I cho IA  IB   I  ;0;   3      MA2  MA  MI  IA  MI  IA2  MI IA      MB  MB  MI  IB  MI  IB  2MI IB    MA2  MB  3MI  IA2  IB  2MI IA  IB  3MI  IA2  IB      Suy  MA2  MB   MI bé hay M hình chiếu I  P   283 104 214  ; ; Tìm tọa độ M    183 183 183  Chọn A Câu 8: x   t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : y  1  2t t   hai điểm z  3t    A 2; 0; B 2; 2; 3 Biết điểm M x ; y ; z thuộc  MA4  MB nhỏ nhất.Tìm       x0 A x  B x  C x  D x  Hướng dẫn giải: x   Phương trình đường thẳng AB là: y  t1 t1   Dễ thấy đường thẳng  AB cắt z   3t      điểm I 2; 1; suy AB  đồng phẳng     Lại có IA  0;1; 3 , IB  0; 1; 3  IA  IB  IA  IB  AB 2 Ta có: MA4  MB   MA2  MB     MA  MB 2   AB  IA  IB 4 22 8  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 147 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Do MA4  MB nhỏ M trùng với điểm I 2; 1;   Chọn C Câu 9: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A 1;2;3 ; B  0;1;1 ; C 1;0;  2 Điểm M  P  : x  y  z   cho giá trị biểu thức T  MA2  2MB2  3MC nhỏ Khi đó, điểm M cách  Q  :2 x  y  z   khoảng A 121 54 B 24 C D 101 54 Hướng dẫn giải: 2 Gọi M  x; y; z  Ta có T  x  y  z  8x  y  z  31 2  2  2    145  T   x     y    z     3  3      T  6MI  145 2 1 với I  ; ;   3 2  T nhỏ MI nhỏ  M hình chiếu vng góc I  P  13   M  ; ;  18 18    A 1;1;1 B  0;1;  C  2; 0;1 Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho , ,  P  : x  y  z   Tìm điểm N   P  cho S  NA2  NB  NC đạt giá trị nhỏ  3 A N   ; ;   4 B N  3;5;1 C N  2;0;1 3  D N  ;  ; 2  2  Hướng dẫn giải: Chọn A 3   5 Gọi I trung điểm BC J trung điểm AI Do I  1; ;  J  0; ;  2   4 Khi S  NA2  NI  1 BC  NJ  IJ  BC 2 Do S nhỏ NJ nhỏ Suy J hình chiếu N  P  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 148 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz  x  t   Phương trình đường thẳng NJ :  y   t    z   t x  y  z    x  t x        y  Tọa độ điểm J nghiệm hệ:  y   t 4     z   t z    Câu 11: rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1;01;1 , B 1; 2;1 , C  4;1; 2  mặt phẳng  P  : x  y  z  Tìm (P) điểm M cho MA2  MB  MC đạt giá trị nhỏ Khi M có tọa độ A M 1;1; 1 B M 1;1;1 C M 1; 2; 1 D M 1;0; 1 Hướng dẫn giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có G  2;1;  , ta có MA2  MB  MC  3MG  GA2  GB  GC 1 Từ hệ thức (1) ta suy ra: MA2  MB  MC đạt GTNN  MG đạt GTNN  M hình chiếu vng góc G (P) Gọi (d) đường thẳng qua G vng góc với (P) x   t  (d) có phương trình tham số  y   t z  t  x   t t  1  y  1 t x    Tọa độ M nghiệm hệ phương trình    M 1; 0; 1 z  t y     x  y  z   z  1 Chọn D Câu 12: (Hình Oxyz) Cho A  1;3;5  , B  2; 6; 1 , C  4; 12;5  điểm  P  : x  y  z        Gọi M điểm thuộc  P  cho biểu thức S  MA  MB  MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ Tìm hồnh độ điểm M A xM  B xM  1 C xM  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D xM  3 Trang 149 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Hướng dẫn giải:    Gọi I điểm IA  IB   I  3; 7; 3 Gọi G trọng tâm ta m giác ABC  G  1; 1;3 Nhận thấy, M,I nằm khác phía so với mp(P) Có S   MI  MG   3GI Dấu xảy M giao điểm GI (P)  M 1;3;1 Chọn C Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  2;1; 1 , B  0;3;1 mặt phẳng    P  : x  y  z   Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P) cho 2MA  MB có giá trị nhỏ A M  4; 1;  B M  1; 4;  C M  4;1;  D M 1; 4;0  Hướng dẫn giải:    Gọi I  a; b; c  điểm thỏa mãn IA  IB  , suy I  4; 1; 3           Ta có 2MA  MB  MI  IA  MI  IB  MI Suy 2MA  MB  MI  MI   Do 2MA  MB nhỏ MI nhỏ hay M hình chiếu I mặt phẳng  P  Đường thẳng qua I vuông góc với  P  có d : x  y 1 z    1 1 Tọa độ hình chiếu M I  P  thỏa mãn  x  y 1 z     1  M 1; 4;    x  y  z   Chọn D Câu 14: Trong không gian Oxyz , 2 cho mặt phẳng 2x  y  z   mặt cầu ( S ) : ( x  3)  ( y  2)  ( z  1)  100 Tọa độ điểm M nằm mặt cầu ( S ) cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P) đạt giá trị nhỏ là:  11 14 13  A M   ; ;   3 3  29 26  B M  ;  ;   3   29 26  C M   ; ;   3  3  11 14 13  D M  ; ;   3 3 Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) có tâm I (3; 2;1) Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P) : d ( I ;( P))   R nên ( P) cắt ( S ) Khoảng cách từ M thuộc ( S ) đến ( P) lớn  M  (d ) qua I vuông góc với ( P) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 150 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz  x   2t  Phương trình (d ) :  y  2  2t z  1 t  Ta có: M  (d )  M (3  2t ; 2  2t ;1  t )  10  29 26  t   M  ;  ;     Mà: M  ( S )    10  11 14 13  t    M   ; ;   3 3   11 14 13  Thử lại ta thấy: d ( M1 ,( P ))  d ( M ,( P)) nên M   ; ;  thỏa yêu cầu toán  3 3 Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x  y  2z   mặt cầu ( S ) : x2  y  z  x  y  z   Giá trị điểm M  S  cho d  M ,  P   đạt GTNN là: 5 7 B  ; ;  3 3 A 1;1;3  1 1 C  ;  ;   3 3 D 1; 2;1 Hướng dẫn giải:: Ta có: d ( M , ( P))   R   ( P)  ( S )    x  1 t  Đường thẳng d qua I vng góc với (P) có pt:  y   2t , t    z   2t  5 7 1 1 Tọa độ giao điểm d (S) là: A  ; ;  , B  ;  ;   3 3  3 3 Ta có: d ( A, ( P))   d ( B, ( P))   d ( A, ( P))  d (M , ( P))  d ( B, ( P)) Vậy:  d (M ,( P))min   M  B 2  S  :  x  1   y  2   z  3  mặt phẳng Câu 16: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  P  : x  y  z   Gọi M  a; b; c  điểm mặt cầu  S  cho khoảng cách từ  P  lớn Khi M đến A a  b  c  B a  b  c  C a  b  c  D a  b  c  Hướng dẫn giải: Chọn C 2 Mặt cầu  S  :  x  1   y     z    có tâm I 1; 2;3 bán kính R  Gọi d đường thẳng qua I 1; 2;3 vng góc  P  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 151 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz  x   2t  Suy phương trình tham số đường thẳng d  y   2t z   t  Gọi A, B giao d  S  , tọa độ A, B ứng với t nghiệm t  2 phương trình 1  2t  1    2t      t  3    t  1 Với t   A  3;0;   d  A;( P)   13 Với t  1  B  1;4;   d  B;( P)   Với điểm M  a; b; c   S  ta ln có d  B;( P )   d  M ; ( P )   d  A; ( P )  Vậy khoảng cách từ M đến  P  lớn 13 M  3; 0;  Do a  b  c  Câu 17: Trong không gian Oxyz cho điểm A  2;3;2  , B  6; 1; 2  , C  1; 4;3 , D 1;6; 5  Gọi M điểm nằm đường thẳng CD cho tam giác MAB có chu vi bé Khi toạ độ điểm M là: A M  0;1; 1 B M  2;11; 9  C M  3;16; 13 D M  1; 4;3 Hướng dẫn giải: Tam giác MAB có độ dài cạnh AB  khơng đổi, chu vi bé MA  MB bé     AB   4; 4; 4  ; CD   2;10; 8  Vì AB.CD  nên AB  CD , suy điểm M cần tìm hình chiếu vng góc A, hình chiếu vng góc B lên đường thẳng CD Từ tìm điểm M  0;1; 1 Chọn A Câu 18: Cho hình chóp O ABC có OA  a, OB  b, OC  c đơi vng góc với Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng đến mặt phẳng  OBC  ,  OCA ,  OAB  1,2,3 Khi tồn a, b, c thỏa thể tích khối chóp O ABC nhỏ nhất, giá trị nhỏ thể tích khối chóp O ABC A 18 B 27 C D Không tồn a, b, c thỏa yêu cầu toán Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ thỏa O  0, 0,  , A  a, 0,  , B  0, b,  , C  0, 0, c  Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng đến mặt phẳng  OBC  ,  OCA ,  OAB  1,2,3 nên tọa độ điểm M (1,2,3) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 152 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Phương trình mặt phẳng (ABC) x y z   1 a b c Vì M thuộc mặt phẳng (ABC) nên   1 a b c Hình Học Tọa Độ Oxyz VOABC= abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  1 1    3  abc  27 a b c a b c Chọn B Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2;1 Mặt phẳng  P  thay đổi qua M cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C khác O Tính giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện OABC A 54 B C D 18 Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi A  a; 0;  , B  0; b;  , C  0, 0, c  với a, b, c  Phương trình mặt phẳng  P  : Vì: M   P   x y z   1 a b c    a b c Thể tích khối tứ diện OABC là: VOABC  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Hay  3 abc 12    33 a b c ab c 54 1 Suy ra: abc  54  abc  abc abc Vậy: VOABC  Câu 20: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  với a, b, c  Giả sử a, b, c thay đổi thỏa mãn a2  b2  c  k không đổi Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn A k2 B k2 C k D k Hướng dẫn giải: Phương trình (ABC): x y z   1 a b c File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 153 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Gọi H  x; y; z  hình chiếu vng góc O lên  ABC   ab c x  2  ab    bc    ca    H   ABC  a 2bc  bcx  cay  abz  abc  OH  AB   ax  by   y  Khi    2  ab    bc    ca  OH  AC  ax  cz   a 2b c z   2  ab    bc    ca   abc  OH  2  ab    bc    ca  1 Ta có VOABC  OA.OB.OC  abc 6  SABC  3VABCD  OH 2  ab    bc    ca  Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có a  b4 b4  c c  a4 a b b c c a     a  b4  c4 2 2 2 2 Dấu “=” xảy a  b  c Vậy max S  k4 k2  Chọn B Câu 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(9;1;1) , cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ A x y z   1 3 B x y z   1 27 3 C x y z   1 27 3 D x y z    1 27 3 Hướng dẫn giải: Giá sử A(a;0; 0)  Ox, B(0; b;0)  Oy, C(0;0; c)  Oz (a, b, c  0) Khi PT mặt phẳng (P) có dạng: Ta có: M (9;1;1)  (P)  x y z   1 a b c 1    (1); VOABC  abc (2) a b c (1)  abc  bc  ac  ab ≥ 33 9(abc)  (abc)3  27.9(abc)2  abc  243  a  27 9 bc  ac  ab  x y z       b   (P): Dấu "=" xảy   1 27 3 c   a  b  c  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 154 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn B Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD AB C D  có điểm A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0), D(0; a;0), A(0;0; b) với (a  0, b  0) Gọi M trung điểm cạnh CC  Giả sử a  b  , tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABDM ? A max VAMBD  64 27 C max VAMBD   B max VAMBD  64 27 D max VAMBD  27 64 Hướng dẫn giải: b  Ta có: C (a; a;0), B(a;0; b), D(0; a; b), C (a; a; b)  M  a; a;  2      b Suy ra: AB  (a;0; b), AD  (0; a; b), AM   a; a;   2       3a 2b a 2b            A B, A D   (ab; ab; a )   A B, A D  A M   VAMBD  Do a, b  nên áp dụng BĐT Côsi ta được:  a  b  Suy ra: max VAMBD  1 64 a  a  b  3 a 2b  a 2b  2 27 64 27 Chọn A Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;5;0  , B  3;3;6  đường thẳng   x  1  2t  có phương trình tham số  y   t Một điểm M thay đổi đường thẳng  cho  z  2t  chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Tọa đô điểm M chu vi tam giác ABC A M 1; 0;  ; P = 2( 11  29) B M 1; 2;  ; P = 2( 11  29) C M 1; 0;  ; P = 11  29 D M 1; 2;  ; P = 11  29 Hướng dẫn giải: Gọi P chu vi tam giác MAB P  AB  AM  BM Vì AB khơng đổi nên P nhỏ AM  BM nhỏ Điểm M   nên M  1  2t;1  t; 2t  AM  BM  (3t )2  (2 5)  (3t  6)2  (2 5)2   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u  3t ; v  3t  6;       Ta có u  (3t )  (2 5)2 ; v  (3t  6)2  (2 5)2        AM  BM | u |  | v | u  v  (6;4 5) | u  v | 29 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 155 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz     Mặt khác, ta ln có | u |  | v || u  v | Như AM  BM  29   Đẳng thức xảy u, v hướng  3t   t 1 3t   M (1;0; 2) min( AM  BM )  29 Vậy M(1;0;2) minP = 2( 11  29) Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 156 ... giả thiết, ta có: VABCD  Hình Học Tọa Độ Oxyz    b   AB, AC  AD  b      6  b  1 Chọn D Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;0  , B  3; 4;1... Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax  By  Cz  D  với A2  B... https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Trong không gian Oxyz cho   : Ax  By  Cz  D   ' : A ' x  B ' y  C ' z  D '   AB '  A '
- Xem thêm -

Xem thêm: TNNC HINH OXYZ , TNNC HINH OXYZ

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay