Một số vấn đề về nửa nhóm Affine tương giao đầy đủ.PDF

28 7 0
  • Loading ...
1/28 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 14/04/2018, 19:35

1 of 128 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH ———————– BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ NỬA NHÓM AFFINE TƯƠNG GIAO ĐẦY ĐỦ Mã số: SV.02.2013 Thuộc nhóm ngành: Khoa học tự nhiên kỹ thuật Giảng viên hướng dẫn: Th.S Trần Mạnh Hùng Nhóm sinh viên thực đề tài: Trần Thúy Hà Bùi Thị Thúy Vân Trần Thị Viễn Quảng Bình, năm 2014 kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag i of 128 Mục lục TRANG PHỤ BÌA i MỤC LỤC MỞ ĐẦU Kiến thức sở 1.1 Nửa nhóm 1.2 Nhóm 1.3 Nhóm 1.4 Nhóm hữu hạn sinh 1.5 Cấp nhóm - Cấp 4 6 7 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 Vành Vành con, iđêan Đồng cấu vành Miền nguyên trường Trường Đặc số vành, trường phần tử 10 Một số lớp nửa nhóm affine tương giao đầy đủ 11 Nửa nhóm affine tương giao đầy đủ 11 2.2 Nửa nhóm affine tập tương giao đầy đủ 18 2.1 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag of 128 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm nửa nhóm affine Rosales J.C, Garcia - Sanchez nêu báo: “On complete intersections affin semi - grops”, Commun Algebra 23(14) 5395 - 5412 năm 1995 Đồng thời báo tác giả lớp nửa nhóm affine đầy đủ Z3 Đến chưa có nhiều kết rõ lớp nửa nhóm affine đầy đủ Nửa nhóm affine tương giao đầy đủ có mối quan hệ chặt chẽ với đa tạp xoắn affine tương giao đầy đủ Vì kết nghiên cứu nửa nhóm affine tương giao đầy đủ sở để ta nghiên cứu tiếp tính tương giao đầy đủ đa tạp xoắn affine Nhằm củng cố, tổng hợp nâng cao kiến thức học, tận dụng biết vận dụng phương pháp nghiên cứu khoa học, với gợi ý giảng viên hướng dẫn lòng say mê tìm hiểu nửa nhóm affine tương giao đầy đủ định chọn đề tài : “Một số vấn đề nửa nhóm Affine tương giao đầy đủ” Mục đích nghiên cứu Thực đề tài “Một số vấn đề nửa nhóm Affine tương giao đầy đủ”, chúng tơi hướng đến mục đích rèn luyện khả tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Tốn học thân Từ đó, hình thành khả trình bày khái niệm tốn học trừu tượng cách lơgic có hệ thống Trình bày kiến thức liên quan đến đề tài Trình bày khái niệm nửa nhóm affine tương giao đầy đủ p - tương giao đầy đủ Tìm số lớp nửa nhóm affine tương giao đầy đủ p - tương giao đầy đủ Zn Thực đề tài chúng tơi có hội củng cố lại kiến thức đại số giao hoán làm quen với cách nghiên cứu khoa học vấn đề toán học Đối tượng phạm vi nghiên cứu * Đối tượng nghiên cứu : Các vành Zn * Phạm vi nghiên cứu : Các nửa nhóm affine tương giao đầy đủ p tương giao đầy đủ Zn Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp sử dụng trình nghiên cứu đề tài: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc, phân tích, tổng hợp tài liệu làm rõ nội dung lý thuyết Sau trình bày lại tính chất theo hệ thống có lơgic - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Tổng kết kinh nghiệm thân, bạn học, anh chị xung quanh để tổng hợp hệ thống hóa kiến thức, vấn đề nghiên cứu đầy đủ khoa học kết hợp đưa ví dụ cụ thể để họa chi tiết an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag kho tai minh lieu -123doc-doc-luan of 128 - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Xemina, lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn để hoàn thành mặt nội dung hình thức đề tài nghiên cứu Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục, tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương hệ thống gồm số kiến thức nửa nhóm; nhóm; nhóm con; nhóm hữu hạn sinh; cấp nhóm - cấp phần tử; vành; miền nguyên trường; trường con; đặc số vành, trường Chương 2: Một số lớp nửa nhóm affine tương giao đầy đủ Trình bày cách hệ thống khái niệm, ví dụ, định lý nửa nhóm affine tương giao đầy đủ nửa nhóm affine tập tương giao đầy đủ Đồng thời số lớp nửa nhóm affine tương giao đầy đủ p - tương giao đầy đủ Zn kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag of 128 Chương Kiến thức sở 1.1 Nửa nhóm Định nghĩa 1.1.1 Cấu trúc đại số (X,∗) với ∗ phép tốn X có tính chất kết hợp gọi nửa nhóm Một nửa nhóm có phần tử đơn vị gọi vị nhóm Một nửa nhóm giao hốn nếu phép tốn có tính chất giao hốn Ví dụ 1.1.2 Phép cộng thông thường, tập hợp N, Z, Q, R, C trở thành vị nhóm giao hốn Phép cộng thông thường, tập N∗ gồm số nguyên dương trở thành nửa nhóm giao hốn khơng vị nhóm Tính chất 1.1.3 i Cho x1 , , xn n phần tử tùy ý nửa nhóm X với n ≥ Khi đó: x1 xn = (x1 xi )(xi+1 xj ) (xk+1 xn ) ii Trong nửa nhóm giao hốn, tích n phần tử tùy ý không phụ thuộc vào thứ tự phần tử 1.2 Nhóm Định nghĩa 1.2.1 Vị nhóm (X,∗) gọi nhóm phần tử X tồn phần tử nghịch đảo Hay nói cách khác, cấu trúc đại số (X, ∗) gọi nhóm nếu: a.(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) với x, y, z ∈ X b Tồn phần tử e ∈ X cho e ∗ x = x ∗ e = x với x ∈ X c Với x ∈ X tồn y ∈ X cho x ∗ y = y ∗ x = e Ví dụ 1.2.2 Tập hợp số nguyên Z với phép cộng thơng thường nhóm giao hốn mà ta gọi nhóm cộng số nguyên Tương tự, ta có: nhóm cộng số hữu tỷ Q, nhóm cộng số thực R nhóm cộng số phức C kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag of 128 Tập hợp số hữu tỷ khác không Q∗ với phép nhân thông thường nhóm giao hốn mà ta gọi nhóm nhân số hữu tỷ khác khơng Tương tự ta có nhóm nhân số thực khác khơng R∗ nhóm nhân số phức khác không C∗ Với X = ∅, tập S(X) song ánh từ X vào X nhóm phép tốn hợp ánh xạ Nhóm gọi nhóm hốn vị tập X Tính chất 1.2.3 i Phần tử đơn vị nhóm ii Mỗi phần tử nhóm có phần tử nghịch đảo iii Trong nhóm luật giản ước thực với phần tử, tức đẳng thức a.b = a.c b.a = c.a kéo theo b = c iv Trong nhóm (X,.), ta có: iv1 ) (ab)−1 = b−1 a−1 tổng quát −1 −1 −1 (a1 a2 an−1 an )−1 = a−1 n an−1 a2 a1 đặc biệt (an )−1 = (a−1 )n n ∈ Z iv2 ) an am = an+m (an )m = anm với m, n ∈ Z v Cho (X,.) nửa nhóm Khi ba điều sau tương đương: v1 ) (X,.) nhóm v2 ) Vói phần tử a, b X, phương trình ax = b phương trình ya = b có nghiệm v3 ) Trong X tồn phần tử đơn vị trái(tương ứng, đơn vị phải) phần tử X có nghịch đảo trái(tương ứng, nghịch đảo phải) 1.3 Nhóm Định nghĩa 1.3.1 Cho G nhóm, H tập khác rỗng G Khi H nhóm G H với phép tốn cảm sinh phép tốn G nhóm Khi H nhóm G ta kí hiệu H ≤ G Ví dụ 1.3.2 Các tập hợp e G nhóm G Ta gọi nhóm tầm thường G Z nhóm nhóm cộng số hữu tỷ Q, Q nhóm nhóm cộng số thực R Tính chất 1.3.3 i Cho H tập khác rỗng nhóm G Khi điều kiện sau tương đương : i1 ) H ≤ G xy ∈ H i2 ) ∀x, y ∈ H : x−1 ∈ H i3 ) ∀x, y ∈ H : xy −1 ∈ H ii Cho G nhóm, Gsivà F van ≤ Hthac thìsi -Fluan ≤ van G kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luanHan≤ tien -luan of 128 1.4 Nhóm hữu hạn sinh Định nghĩa 1.4.1 Cho G nhóm X ⊂ G i Nhóm nhỏ G chứa X gọi nhóm sinh X kí hiệu X ii Nếu H ≤ G H = X ta nói H sinh X hay X hệ sinh H Đặc biệt, H = G ta nói G nhóm sinh tập X iii Nếu G hệ sinh hữu hạn ta nói G nhóm hữu hạn sinh Đặc biệt, có hệ sinh gồm phần tử G gọi nhóm cyclic iv Nếu X = {x1 , x2 , , xn } X viết lại x1 , x2 , , xn Ví dụ 1.4.2 Nhóm cộng số nguyên Z nhóm cyclic sinh Các nhóm mZ Z nhóm cyclic sinh m Giả sử m số nguyên dương Z/mZ = {¯0, ¯1, ¯2, , m − 1} nhóm cộng số nguyên mod m Z/mZ nhóm cyclic hữu hạn mà phần tử sinh hiển nhiên thấy ¯1 Trong trường hợp m = 1, ta có Z/Z = ¯0 nhóm cyclic tầm thường Tính chất 1.4.3 i Cho G nhóm X ⊂ G Khi đó: i1 ) Nếu X = ∅ X = e i2 ) Nếu X = ∅ X = x1 , x2 , xn ii Nếu G nhóm cyclic sinh a G = {an | n ∈ Z} 1.5 Cấp nhóm - Cấp phần tử Định nghĩa 1.5.1 Cho G nhóm i Cấp G lực lượng G kí hiệu |G| ii Cấp phần tử a ∈ G cấp a kí hiệu |a| Tính chất 1.5.2 i Cho G nhóm a ∈ G Khi đó: i1 ) a có cấp hữu hạn ∃m, n ∈ N, m = n cho m n a =a i2 ) Nếu a có cấp hữu hạn d a = {e, a, a2 , , ad−1 } i3 ) Nếu a có cấp hữu hạn d d số nguyên dương nhỏ cho ad = e Nếu tồn n cho an = e d|n n ii Cho G nhóm, a ∈ G |a| = n Khi |am | = (m,n) iii Cho G nhóm cyclic cấp n G = a Khi G = ak (k, n) = iv Mọi nhóm cấp nguyên tố nhóm cyclic v Cho G nhóm cyclic Khi đó, H ≤ G H nhóm cyclic nhóm G kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag of 128 1.6 Vành Định nghĩa 1.6.1 Vành tập hợp R với hai phép toán cộng nhân thỏa tính chất sau: (R +) nhóm alben (R,.) nửa nhóm Phép nhân phân phối với phép cộng, tức với x, y, z ∈ R, ta có: x(y + z) = xy + xz (y + z)x = yx + zx Ví dụ 1.6.2 Tập hợp số nguyên Z với phép cộng phép nhân thơng thường vành giao hốn, có đơn vị, gọi vành số nguyên Tương tự, ta có vành số hữu tỷ Q, vành số thực R, vành số phức C Trên nhóm cộng Zn , số nguyên modulo n, ta định nghĩa phép toán sau: Với x¯y¯ = xy Khi đó, tập Zn trở thành vành giao hốn có đơn vị ¯1 Tập M (n, R) ma trận vuông cấp n với hệ số thực với phép cộng phép nhân ma trận thơng thường vành có đơn vị Vành khơng giao hốn n ≥ Tính chất 1.6.3 Cho R vành Khi với x, y, z ∈ R n ∈ Z, ta có: i x(y − z) = xy − xz (y − z)x = yx − zx ii 0.x = x.0 = iii x(−y) = (−x)y = −(xy) (−x)(−y) = xy iv (nx)y = x(ny) = n(xy) Đặc biệt, R có đơn vị e nx = (ne)x = x(ne) 1.7 Vành con, iđêan Định nghĩa 1.7.1 Cho R vành i Tập A khác rỗng gọi vành R A ổn định hai phép toán vành R A với hai phép toán cảm sinh vành ii Vành I R gọi iđêan trái (tương ứng, iđêan phải) R với r ∈ R ta có rx ∈ R (tương ứng, xr ∈ R) Ta nói I iđêan R I vừa iđêan trái vừa iđêan phải R Ví dụ 1.7.2 I iđêan Z có dạng nZ với n ∈ Z M (n, Z) vành M (n, Q) không iđêan M (n, Z) aniđêan Msi(n, Z).van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag kho tai lieu -123doc-doc-luan - luancủa an tien -luan of 128 Tính chất 1.7.3 i.(Đặc trưng vành con) Cho A tập khác rỗng vành R Các mệnh đề sau tương đương : i1 ) A vành R; i2 ) Với x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A i3 ) Với x, y ∈ A, x − y ∈ A xy ∈ A ii.(Đặc trưng iđêan) Cho I tập khác rỗng vành R Các mệnh đề sau tương đương: ii1 ) I iđêan R; ii2 ) Với x, y ∈ I r ∈ R, x + y ∈ I, −x ∈ I, rx ∈ I ii3 ) Với x, y ∈ I, r ∈ R,x − y ∈ I xr ∈ I rx ∈ I 1.8 Đồng cấu vành Định nghĩa 1.8.1 i Giả sử X Y vành ánh xạ f : X → Y gọi đồng cấu vành thỏa hai điều kiện sau: với x, y ∈ X f (x + y) = f (x) + f (y) f (xy) = f (x)f (y) Nếu X = Y đồng cấu f : X → Y gọi tự đồng cấu X ii Cho đồng cấu vành f : X → Y Khi đó: f đơn cấu ánh xạ f đơn ánh f toàn cấu ánh xạ f toàn ánh f đẳng cấu ánh xạ f song ánh Một tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Ví dụ 1.8.2 Ánh xạ đồng idR vành R tự đẳng cấu gọi tự đẳng cấu đồng R Giả sử A vành vành R Khi ánh xạ bao hàm: iA : A → R xác định iA (x) = x đơn cấu, gọi đơn cấu tắc Giả sử I iđêan vành R Khi ánh xạ π : R → R/I xác định π(x) = x toàn cấu, gọi toàn cấu tắc Giả sử R, R’ hai vành Khi ánh xạ f : R → R xác định f (x) = 0R (0R phần tử không vành R’) đồng cấu, gọi đồng cấu tầm thường Tính chất 1.8.3 i Tích hai đồng cấu vành đồng cấu vành ii Giả sử f : X → Y đồng cấu vành Khi đó: ii1 ) f tồn cấu Imf = Y ii2 ) f đơn cấu chi Kerf = {0} kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 10 of 128 1.9 Miền nguyên trường Định nghĩa 1.9.1 i Cho R vành giao hoán Phần tử x ∈ R \ {0} gọi ước y ∈ R \ {0} cho xy = ii Một vành giao hốn, có đơn vị có nhiều phần tử khơng có ước không gọi miền nguyên iii Một vành giao hốn, có đơn vị có nhiều phần tử phần tử khác khả nghịch gọi trường Ví dụ 1.9.2 Tập số nguyên Z với phép cộng phép nhân thông thường miền nguyên không trường Tập hợp số hữu tỷ Q với phép cộng nhân thơng thường trường Ta gọi trường số hữu tỷ Q Tương tự, ta có trường số thực R trường số phức C Vành Zn số nguyên modulo n trường n = p nguyên tố Tính chất 1.9.3 i Mọi trường miền nguyên ii Mọi miền nguyên hữu hạn trường iii Trường P F gọi trường nguyên tố thỏa điều kiện sau: iii1 ) P không chứa trường F khác P iii2 ) Mọi trường F chứa P iii3 ) Khi F = P F gọi trường nguyên tố 1.10 Trường Định nghĩa 1.10.1 i Giả sử X trường, tập A khác rỗng X gọi trường X A ổn định với hai phép toán X A với hai phép toán cảm sinh trường ii Trường P F gọi trường nguyên tố thỏa điều kiện sau: ii1 ) P không chứa trường F khác P ii2 ) Mọi trường F chứa P ii3 ) Khi F = P F gọi trường ngun tố Ví dụ 1.10.2 Trường số hữu tỷ Q trường trường số thực R Trường số thực R trường trường số phức C kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 14 of 128 Định nghĩa 2.1.8 Cho T ∈ Zn T1 T2 hai tập khác rỗng T ⊂ Zn cho T = T1 ∪ T2 T1 ∩ T2 = ∅ Khi đó, nửa nhóm affine NT gọi dán NT1 NT2 T dán T1 T2 Đặt C0 = {Tập tất nửa nhóm affine tự do}, C1 = {Tập tất nửa nhóm affine dán hai nửa nhóm quen thuộc C0 }, C2 = {Tập tất nửa nhóm affine dán hai nửa nhóm A B, A ∈ Ct , B ∈ Ct , t, t ∈ {0, 1}}, Ci = {Tập tất nửa nhóm affine dán hai nửa nhóm A B, A ∈ Ct , B ∈ Ct , t, t ∈ {0, 1, , i − 1}},và ∞ B (n) = Ci i=1 Định nghĩa 2.1.9 Nửa nhóm affine NT gọi dán đầy đủ NT ∈ B (n) Định nghĩa 2.1.10 Nửa nhóm affine NT gọi tương giao đầy đủ NT nửa nhóm dán đầy đủ Mệnh đề 2.1.11 Cho T = {d1 e1 , d2 e2 , , dn en , w1 , w2 , , wr }, d1 , d2 , , dn ∈ N∗ ; w1 , w2 , , wr ∈ Nn e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , en = (0, 0, , 1) Nếu với i = 1, , r; Ti = {d1 e1 , d2 e2 , , dn en , w1 , w2 , , wi } dán Ti−1 = {d1 e1 , d2 e2 , , dn en , w1 , w2 , , wi−1 } {wi } nửa nhóm NT dán đầy đủ kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 13 15 of 128 Mệnh đề 2.1.12 Cho T = {ce1 , , cen , a, b}, T1 = {ce1 , , cen , a}, T2 = {b}, c số nguyên dương, e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , en = (0, 0, , 1), a = (a1 , , an ), b = (b1 , , bn ) ∈ Zn , = bi = với i = 1, ,n Nếu T dán T1 T2 NT dán đầy đủ Chứng minh Giả sử T dán T1 T2 Đặt T11 = {ce1 , , cen} , T12 = {a} Rõ ràng NT11 NT12 nửa nhóm affine tự Ta cần chứng minh T1 dán T11 T12 Thật vậy, đặt c β= gcd(c, a1 , , an ) Khi βa ∈ NT11 ∩ NT12 Zβa = ZT11 ∩ ZT12 Định lý 2.1.13 Cho T (i1 , ,ik ) = {v1 = ce1 , , = cen , ωi1 = d(ei1 + en ), , ωik = d(eik + en )} e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , en = (0, 0, , 1); c, d ∈ N∗ , {i1 , in } = {1, , n}, ∀k = 1, , n − NT (i1 , ,ik ) nửa nhóm tương giao đầy đủ Chứng minh Gọi m bội số chung nhỏ c d Ta cần chứng minh với h = 1, k m ZT (i1 , ,ik ) ∩ Zωih = Z ωih , ∀h = 1, k (2.1.1) d m ωih ∈ NT (i1 , ,ih ) ∩ Nωih d Với h = ta qui ước T (i1 , ,ih−1 ) = {v1 , }, rõ ràng {v1 , } sinh nửa nhóm giao hốn tự Ta có m m m(eih + en ) = meih + men = vih + kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - cluan van kinh c te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 14 16 of 128 suy m m m ωih = m(eih + en ) = vih + ∈ NT (i1 , ,ih−1 ) , (2.1.2) d c c m ωi ∈ Nωih ∩ NT (i1 , ,ih−1 ) d h Ta có Z m ωih ⊂ ZT (i1 , ,ih−1 ) ∩ Zωih d Mặt khác, với ω ∈ ZT (i1 , ,ih−1 ) ∩ Zωih ta viết n ω= h−1 λj vj + j=1 µj ωij = λωih (2.1.3) j=1 h−1 với λj , µj , λ ∈ Z Trong đẳng thức (2.1.3) ta thấy µj ωij khơng chứa j=1 eih Do đó, việc chuyển vế đặt nhân tử chung phương trình (2.1.3) ta có (λih c − λd)eih = ⇒ λih c = λd Vì m bội số chung nhỏ c d, λd bội c Do m m m|λd ⇒ |λd ⇒ |λ d d Điều có nghĩa ω ∈ Z md ωih Cho nên ZT (i1 , ,ih−1 ) ∩ Zωih ⊂ Z m ωi , d h ZT (i1 , ,ih−1 ) ∩ Zωih = Z m ωi d h từ suy Vậy NT (i1 , ,ik ) nửa nhóm dán đầy đủ kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 15 17 of 128 Định lý 2.1.14 Cho T = {v1 , , , ω1 , ωn−1 }, với v1 = e1 , , vn−2 = en−2 , vn−1 = pl en−1 , = aen ; ω1 = b1 e1 +c1 en−1 , , ωn−2 = bn−2 en−2 + cn−2 en−1 , ωn−1 = den ; n > 3, b1 , , bn−2 số nguyên không âm, p số nguyên tố l, a, d, c1 , , cn−2 số nguyên dương thỏa mãn p không chia hết c1 , pl chia hết ci với i = 2, , n − a, d số ngun tố nửa nhóm affine NT dán đầy đủ Chứng minh Ta chứng minh định lý cách sử dụng mệnh đề 2.1.11 Với i = 1, n − 1, đặt Ti = {v1 , , , ω1 , ωi }, ta cần chứng minh Ti dán Ti−1 = {v1 , , , ω1 , ωi } {ωi } Rõ ràng{v1 , , } sinh nửa nhóm giao hốn tự Với i = T1 = {v1 , , , ω1 }, đặt T11 = {v1 , , } {ω1 } ta có pl ω1 = pl b1 e1 + pl c1 en−1 = pl b1 v1 + c1 vn−1 , nên pl ω1 ∈ NT11 ∩ Nω1 (2.1.4) Mặt khác Zpl ω1 ⊂ ZT11 ∩ Zω1 , với q ∈ ZT11 ∩ Zω1 q = αω1 = αb1 e1 + αc1 en−1 n−2 αi ei + αn−1 pl en−1 + αn aen q= i=1 suy αb1 = α1 , α2 = = αn−2 = αn = 0, αn−1 pl = αc1 , nên αn−1 pl α= c1 Vì p nguyên tố c1 khơng chia hết cho p, αn−1 chia hết cho c1 Từ ta có αn−1 ω1 ∈ Zpl ω1 q = pl c1 suy ZTsi ∩ Zωvan Zpsil ω- 1luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 11 -luan ⊂ kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien thac 16 18 of 128 nên Zpl ω1 = ZT11 ∩ Zω1 (2.1.5) Từ (2.1.4) (2.1.5) suy T1 dán T11 ω1 Với i = 2, , n − ta có ci ci ωi = bi ei + ci en−1 = bi ei + l pl en−1 = bi vi + l vn−1 , p p pl chia hết ci , ∀i = 2, , n − nên ωi ∈ NTi−1 ∩ Nωi Zωi = ZTi−1 ∩ Zωi Do vậy, với i = 2, , n − Ti dán cuả Ti−1 {ωi } Với i = n − ta có aωn−1 = aden = dvn nên aωn−1 ∈ NTn−2 ∩ Nωn−1 Mặt khác ta có Zaωn−1 = ZTn−2 ∩ Zωn−1 , ∀x ∈ ZTn−2 ∩ Zωn−1 n−2 αi ei + αn−1 pl en−1 + αn aen = γωn−1 = γden , x= i=1 suy γd = αn a, a, d nguyên tố nên a ước γ, nên Zaωn−1 = ZTn−2 ∩ Zωn−1 Do vậy, Tn−1 dán Tn−2 {ωn−1 } Như vậy, nửa nhóm affine ZT dán đầy đủ kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 17 19 of 128 2.2 Nửa nhóm affine tập tương giao đầy đủ Định nghĩa 2.2.1 Cho p số nguyên tố, T ∈ Zn T1 T2 hai tập khác rỗng T cho T = T1 ∪ T2 T1 ∩ T2 = ∅ Khi đó, T gọi p - dán( p - glued) T1 T2 tồn số nguyên không âm k a ∈ Zn , a = cho ZT1 ∩ ZT2 = Za pk a ∈ NT1 ∩ NT2 Ví dụ 2.2.2 Cho T = {(2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2), (2, 0, 1), (0, 2, 1)}, T1 = {(2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2), (2, 0, 1)}, T2 = {(0, 2, 1)} Vì (0, 2, 1) = (2, 0, 0) + (0, 2, 0) + (0, 0, 2) − (2, 0, 1) nên ZT1 ∩ ZT2 = Z(0, 2, 1) Mặt khác 2(0, 2, 1) = 2(0, 2, 0) + (0, 0, 2) ∈ NT1 ∩ NT2 Do vậy, T - dán T1 T2 Tuy nhiên, T không dán T1 T2 (0, 2, 1) ∈ / NT1 ∩ NT2 Định nghĩa 2.2.3 Cho T ∈ Zn T1 T2 hai tập khác rỗng T cho T = T1 ∪ T2 T1 ∩ T2 = ∅ Khi đó, nửa nhóm affine NT gọi p - dán NT1 NT2 T p - dán T1 T2 Đặt C0 = {Tập tất nửa nhóm affine tự do}, C1 = {Tập tất nửa nhóm affine p - dán hai nửa nhóm quen thuộc C0 }, C2 = {Tập tất nửa nhóm affine p - dán hai nửa nhóm A B, A ∈ Ct , B ∈ Ct , t, t ∈ {0, 1}}, Ci = {Tập tất nửa nhóm affine dán p - dán hai nửa nhóm A B, A ∈ Ct , B ∈ Ct , t, t ∈ {0, 1, , i − 1}}, ∞ B (n) = Ci i=1 kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 18 20 of 128 Định nghĩa 2.2.4 Nửa nhóm affine NT gọi p - dán đầy đủ NT ∈ B (n) Định nghĩa 2.2.5 Nửa nhóm affine NT gọi tập tương giao đầy đủ NT nửa nhóm p - dán đầy đủ Nhận xét 2.2.6 a Nếu T dán T1 T2 T p - dán T1 T2 với số nguyên tố p b Nếu NT dán đầy đủ NT p - dán đầy đủ với số nguyên tố p Ví dụ 2.2.7 Cho T = {(6, 0, 0), (0, 6, 0), (0, 0, 6), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (4, 4, 2)} Đặt T111 = {(6, 0, 0), (0, 6, 0), (0, 0, 6)} T112 = {(1, 0, 1)}, T11 = {(6, 0, 0), (0, 6, 0), (0, 0, 6), (1, 0, 1)} T12 = {(0, 1, 1)}, T1 = {(6, 0, 0), (0, 6, 0), (0, 0, 6), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} T2 = {(4, 4, 2)} NT2 , NT12 , NT112 , NT111 nửa nhóm giao hốn tự Dễ dàng kiểm tra T11 dán T111 T112 , T1 dán T11 T12 Do nửa nhóm affine NT11 , NT12 dán đầy đủ Cho nên nửa nhóm affine NT11 , NT12 p - dán đầy đủ với số nguyên tố p Mặt khác ta có 3(4, 4, 2) = 2(6, 0, 0) + 2(0, 6, 0) + (0, 0, 6) suy 3(4, 4, 2) ∈ NT1 ∩ NT2 Mặt khác (4, 4, 2) = (6, 0, 0) − 2(1, 0, 1) + 4(0, 1, 1) nên Z(4, 4, 2) = ZT1 ∩ ZT2 Do T - dán T1 T2 Vậy NT - dán đầy đủ Ví dụ 2.2.8 Cho T = {(1, 0, 0), (0, 32, 0), (0, 0, 3), (2, 5, 0), (0, 0, 4), (0, 1, 1)} Đặt T1 = {(1, 0, 0), (0, 32, 0), (0, 0, 3), (2, 5, 0), (0, 0, 4)}, T2 = {(0, 1, 1)}, T11 = {(1, 0, 0), (0, 32, 0), (0, 0, 3), (2, 5, 0)}, T12 = {(0, 0, 4)}, T21 = {(1, 0, 0), (0, 32, 0), (0, 0, 3)}, T22 = {(2, 5, 0)} Ta có 5,tien 0) = 64(1,van 0, thac 0) +si5(0, kho tai lieu -123doc-doc-luan an -32(2, luan an si -luan - luan32, van0), kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 19 21 of 128 3(0, 0, 4) = 4(0, 0, 3), 32(0, 1, 1) = (0, 32, 0) + 8(0, 0, 4), suy 32(2, 5, 0) ∈ NT21 ∩ NT22 , 3(0, 0, 4) ∈ NT11 ∩ NT12 , 25 (0, 1, 1) ∈ NT1 ∩ NT2 Mặt khác ta có (0, 1, 1) = (0, 0, 4) − (0, 0, 3) + 13(2, 5, 0) − 2(0, 32, 0) − 26(1, 0, 0) nên Z(0, 1, 1) = ZT1 ∩ ZT2 Dễ dàng kiểm tra Z(3(0, 0, 4)) = ZT11 ∩ ZT12 , Z(2, 5, 0) = ZT1 ∩ ZT2 Vậy, T - dán T1 T2 , T1 dán T11 T12 , T11 dán T21 T22 Suy NT - dán đầy đủ Mệnh đề 2.2.9 Cho T = {d1 e1 , d2 e2 , , dn en , w1 , w2 , , wr }, e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , en = (0, 0, , 1); d1 , d2 , , dn ∈ N∗ ; w1 , w2 , , wr ∈ Nn Nếu với i = 1, , r; Ti = {d1 e1 , d2 e2 , , dn en , w1 , w2 , , wi }, p - dán Ti−1 = {d1 e1 , d2 e2 , , dn en , w1 , w2 , , wi−1 }, {wi } nửa nhóm NT p - dán đầy đủ Mệnh đề 2.2.10 Cho T = {ce1 , , cen , a, b}, T1 = {ce1 , , cen , a}, T2 = {b}, c số nguyên dương, e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , en = (0, 0, , 1), a = (a1 , , an ), b = (b1 , , bn ) ∈ Zn , = bi = với i = 1, ,n Đặt T = {ce1 , , cen , a, b}, T1 = {ce1 , , cen , a}, T2 = {b}, T p - dán si T2-luan van NTthac psi luan dánvan đầy đủ kho tai Khi lieu -123doc-doc-luan an -của luan T an1 tien kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 20 22 of 128 Chứng minh Giả sử T dán T1 T2 Đặt T11 = {ce1 , , cen} , T12 = {a} Rõ ràng NT11 NT12 nửa nhóm affine tự Ta cần chứng minh T1 dán T11 T12 Thật vậy, đặt c β= gcd(c, a1 , , an ) Khi Zβa = ZT11 ∩ ZT12 βa ∈ NT11 ∩ NT12 Vậy NT dán đầy đủ Bổ đề 2.2.11 Nếu T p - dán p’ - dán T1 T2 với p = p , T q - dán T1 T2 với số nguyên tố q Chứng minh Giả sử T p - dán p’ - dán T1 T2 , p, p’ hai số nguyên tố khác nhau, tồn ω ∈ Zn cho Zω = ZT1 ∩ ZT2 tồn số nguyên k, k ∈ N thỏa pk ω, p k ω ∈ NT1 ∩ NT2 (2.2.6) Với q số nguyên tố tùy ý ln tồn s, t, l ∈ N cho q l = spk + k suy q l ω = spk ω + k ω, theo (2.2.6) q l ω ∈ NT1 ∩ NT2 Do T q - dán T1 T2 Suy điều cần chứng minh kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 21 23 of 128 Cho n ≥ f, g ∈ N∗ hai số nguyên tố cho g < f, (n − 1)f ≤ ng (a) Dễ dàng ta thấy f < 2g (b) (n − 1)f < (n − 1)g (c) Xét v1 = f ge1 , , = f gen ω1 = (f − g)(e1 + en ), , ωn−1 = (f − g)(en−1 + en ) n−1 ωn = g ei + g((n − 1)g − (n − 2)f )en i=1 Rõ ràng v1 , , , ω1 , ωn ∈ Nn Với kí hiệu ta có định lý sau: Định lý 2.2.12 Cho T = {v1 , , , ω1 , , ωn } Khi đó, nửa nhóm affine NT p - dán đầy đủ với số nguyên tố p Chứng minh Đặt T1 = {v1 , , , ω1 , , ωn }, T2 = {ωn } Theo định lý 2.1.13 NT1 nửa nhóm tương giao đầy đủ Ta cần chứng minh T p - dán T1 T2 với số nguyên tố p Trước tiên ta kiểm tra ZT1 ∩ ZT2 = Zωn Ta có n n−1 vi − g i=1 n f gei − g i=1 n n−1 i=1 n−1 g(f − g)(ei + en ) i=1 n−1 f gei − i=1 (f − g)(ei + en ) i=1 f gei − = = n−1 ωi = i=1 (2.2.7) g(f − g)(ei + en ) + f gen i=1 kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 22 24 of 128 n−1 (f gei − g(f − g)(ei + en )) + f gen = i=1 n−1 =g ei + g(f g − (n − 1)g(f − g))en i=1 n−1 =g ei + g((n − 1)g − (n − 2)f )en = ωn (2.2.8) i=1 Mặt khác, n−1 n−1 vi + ((n − 1)g − (n − 2)f )vn = g g i=1 f gei + ((n − 1)g − (n − 2)f )f gen i=1 n−1 = f (g ei + g((n − 1)g − (n − 2)f )en ) i=1 = f ωn (2.2.9) n−1 (2g − f ) n−1 vi + (ng − (n − 1)f )vn + g(f − g) i=1 ωi i=1 n−1 ((2g − f )f g + g(f − g)2 )ei + ((ng − (n − 1)f )f g + (n − 1)g(f − g)2 )en = i=1 2 2 n−1 = (2f g − f g + f g − 2f g + g ) ei i=1 + (nf g − (n − 1)f g + (n − 1)f g − 2(n − 1)f g + (n − 1)g )en = g(g n−1 ei + g((n − 1)g − (n − 2)f )en ) i=1 = gωn (2.2.10) Ta thấy hệ số vi ωi vế trái (2.2.10) số nguyên không âm Do từ (2.2.9) (2.2.10) ta có f ωn , gωn ∈ NT1 ∩ NT2 (2.2.11) Vì p nguyên tố f, g số nguyên tố nhau, nên tồn α, s, t ∈ N cho pα = sf + tg (2.2.12) Từ (2.2.11) (2.2.12) suy pα ωn = sf ωn + tgωn ∈ NT1 ∩ NT2 (2.2.13) Theo (2.2.7) (2.2.13) ta T p - dán cuả T1 T2 Điều với số nguyên tố p Suy điều phải chứng minh kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 23 25 of 128 Định lý 2.2.13 Cho T = {v1 , , , ω1 , ωn }, với v1 = e1 , , vn−2 = en−2 , vn−1 = pl en−1 , = aen , ω1 = b1 e1 + c1 en−1 , , ωn−2 = bn−2 en−2 + cn−2 en−1 , ωn−1 = den , ωn = en−1 + en ; n > 3, b1 , , bn−2 số nguyên không âm, p số nguyên tố l, a, d, c1 , , cn−2 số nguyên dương thỏa mãn p không chia hết ci với i = 2, n-2 a, d số nguyên tố nhau; tồn số nguyên dương g, h cho pl = ag + dh, nửa nhóm affine NT p - dán đầy đủ Chứng minh Ta chứng minh định lý cách sử dụng Mệnh đề 2.2.9 Đặt T1 = {v1 , , , ω1 , , ωi }, ta cần chứng minh với i = 1, , n Ti p - dán Ti−1 = {v1 , , , ω1 , , ωi−1 } {ω1 } Rõ ràng {v1 , , } sinh nửa nhóm giao hốn tự Với i = chứng minh tương tự chứng minh Bổ đề 2.2.11 ta T1 = {v1 , , , ω1 } dán T11 = {v1 , , } {ω1 } Vì pl ci số nguyên tố với i = 2, , n − 2, nên tồn αi , βi ∈ Z cho ci = αi ci−1 + βi pl , ∀i = 2, , n − Khi với i = 2, , n − ta có ωi = bi ei + αi ωi−1 − αi βi−1 vi−1 + βi vn−1 ∈ ZTi−1 ∩ Zωi , mặt khác pl ωi = pl bi vi + ci vn−1 ∈ ZTi−1 ∩ Zωi Vậy Ti p - dán Ti−1 {ωi } với i = 2, , n − Với i = n − tương tự chứng minh Bổ đề 2.2.11 ta Tn−1 dán Tn−2 {ωn−1 } Việc cuối ta cần làm kiểm tra T p - dán cuả Tn−1 {ωn } Vì p, c1 nguyên tố nên tồn u, v ∈ Z cho pl u + vc1 = Tương tự a, d nguyên tố nên tồn s, t ∈ Z cho sa + td = Do ta có ωn = (pl u + vc1 )en−1 + (sa + td)en = uvn−1 − vb1 e1 + v(b1 e1 + c1 en−1 ) + svn + tωn−1 = uvn−1 − vb1 v1 + vω1 + svn + tωn−1 ∈ ZTn−1 Suy ZTn−1 ∩ Zω Zωnthac si -(2.2.14) n = van kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 24 26 of 128 Mặt khác pl en = agen + dhen = gvn + hωn−1 Suy pl ωn = pl en−1 + pl en = pl en−1 + gvn + hωn−1 ∈ NTn−1 Do pl ωn ∈ NTn−1 ∩ Nωn (2.2.15) Từ (2.2.14) (2.2.15) ta có T p - dán Tn−1 {ωn } Suy điều phải chứng minh kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 25 27 of 128 KẾT LUẬN Với nội dung nghiên cứu trình bày, đề tài “Một số vấn đề nửa nhóm Affine tương giao đầy đủ” giải vấn đề đặt Đề tài trình bày số kiến thức sở liên quan, khái niệm, định lý, ví dụ nửa nhóm affine tương giao đầy đủ nửa nhóm affine tập tương giao đầy đủ Đề tài số lớp nửa nhóm affine tương giao đầy đủ p - tương giao đầy đủ Zn Nửa nhóm affine tương giao đầy đủ có mối quan hệ chặt chẽ với đa tạp xoắn affine tương giao đầy đủ Vì kết nghiên cứu nửa nhóm affine tương giao đầy đủ sở để ta chứng minh số lớp đa tạp xoắn affine tương giao đầy đủ tập tương giao đầy đủ Qua trình nghiên cứu giúp tơi hiểu sâu nửa nhóm affine tương giao đầy đủ nắm vững kiến thức đại số giao hoán Nội dung đề tài dừng lại việc nghiên cứu nửa nhóm affine, chưa nghiên cứu tương giao đầy đủ đa tạp xoắn Trong tương lai cố gắng nghiên cứu sâu toàn diện vấn đề Trong trình thực đề tài nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy giáo Trần Mạnh Hùng Thầy giúp lĩnh hội kiến thức chuyên môn làm quen với việc soạn thảo văn Latex rèn luyện tác phong nghiên cứu khoa học Chúng tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy, xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa, thầy cô giáo bạn sinh viên khoa toán Trường Đại học Quảng Bình quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để chúng tơi hồn thành đề tài Chúng tơi cố gắng để hồn thiện nội dung lẫn hình thức khơng thể tránh khỏi thiếu sót Nên chúng tơi mong nhận góp ý thầy giáo, giáo bạn để đề tài hoàn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn! kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 26 28 of 128 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội (2005), Đại số đại cương, NXB ĐHQG TP.HCM Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Hồng Xn Sính (1997), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Barile M (2005), “Almost set- theoretic complete intersections in characteristic zero”/ arXiv:math AG/0504052, to appear in Collect Math Barile M.(2007), “On p - gluings”, math AC/70125 Fishcher K., Morris W., Shapiro J (1997), “Affin semigroup rings that are complete intersections”, Proc Amer Math Soc 3137- 3145 Rosales J.C., Garcia - Sanchez (1995), “On complete intersections affin semi- grops”, Commun Algebra 23(14) 5395 - 5412 kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag 27 ... hiểu nửa nhóm affine tương giao đầy đủ chúng tơi định chọn đề tài : Một số vấn đề nửa nhóm Affine tương giao đầy đủ” Mục đích nghiên cứu Thực đề tài Một số vấn đề nửa nhóm Affine tương giao đầy. .. bày, đề tài Một số vấn đề nửa nhóm Affine tương giao đầy đủ” giải vấn đề đặt Đề tài trình bày số kiến thức sở liên quan, khái niệm, định lý, ví dụ nửa nhóm affine tương giao đầy đủ nửa nhóm affine. .. tập tương giao đầy đủ Đề tài số lớp nửa nhóm affine tương giao đầy đủ p - tương giao đầy đủ Zn Nửa nhóm affine tương giao đầy đủ có mối quan hệ chặt chẽ với đa tạp xoắn affine tương giao đầy
- Xem thêm -

Xem thêm: Một số vấn đề về nửa nhóm Affine tương giao đầy đủ.PDF, Một số vấn đề về nửa nhóm Affine tương giao đầy đủ.PDF

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay