Đang tải... (xem toàn văn)
Cho đến những năm 70 của thế kỷ XX, Số học vẫn được xem là một trong những ngành lý thuyết thuần túy và đẹp đẽ nhất của toán học (4). Máy tính không những phát huy mọi vẻ đẹp truyền thống của Số học mà còn triển khai ra những ứng dụng đang và sẽ có cho chúng ta trong thế kỷ XXI. Một trong những ứng dụng nổi bật của Số học đó là thuật toán phân tích mỗi số tự nhiên thành tích các thừa số nguyên tố chính là nguyên tắc cơ bản của khóa mật mã công khai. Vì vậy, ngày nay việc nghiên cứu về số nguyên tố càng được kích thích bởi sự kiện là các số nguyên tố tỏ ra rất có ích trong việc mã hóa và giải mã các thông tin. Tính bảo mật và an toàn của hệ mật mã RSA (do ba nhà khoa học của Học viện Công nghệ Massachusetts công bố năm 1978) được đảm bảo bằng độ phức tạp của bài toán số học phân tích một số nguyên thành tích các thừa số nguyên tố. Nói khác đi, vấn đề thời gian tiêu tốn cho việc chạy máy tính để thực hiện bài toán phân tích một số nguyên đủ lớn thành tích các thừa số nguyên tố, được sử dụng làm chỉ tiêu định lượng đánh giá độ an toàn của hệ mã RSA. Thuật toán mật mã khóa công khai được thiết kế đầu tiên bởi James H. Ellis, Clifford Cocks, và Malcolm Willa vào đầu thập kỷ 1970. Thuật toán sau này được phát triển và biết đến dưới tên DiffieHellman và là một trường hợp đặc biệt của RSA (6). Mật mã khóa công khai là một dạng mật mã hóa cho phép người sử dụng trao đổi các thông tin mật mà không cần phải trao đổi các khóa chung bí mật trước đó. Điều này được thực hiện bằng cách sử dụng một cặp khóa có quan hệ số học với nhau là khóa công khai và khóa cá nhân (hay khóa bí mật). Thuật ngữ mật mã hóa khóa bất đối xứng thường được dùng đồng nghĩa với mật mã hóa khóa công khai mặc dù hai khái niệm không hoàn toàn tương đương. Có những thuật toán mật mã khóa bất đối xứng không có tính chất khóa công khai và bí mật như đề cập ở trên mà cả hai khóa (cho mã hóa và giải mã) đều cần phải giữ bí mật. Với những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận văn ‘‘Về mật mã khóa công khai’’ nhằm tìm hiểu sâu hơn những ứng dụng của Số học có liên quan đến lĩnh vực đề tài luận văn quan tâm. Luận văn gồm hai chương. Chương 1 trình bày các kiến thức số học được ứng dụng trong lý thuyết mật mã như: Phi hàm Euler và ứng dụng, định lý số dư Trung Quốc, số giả nguyên tố và số Camichael. Chương 2 trình bày tổng quan về mật mã học, về mật mã khóa công khai, hệ mã RSA và ứng dụng của Số học vào các hệ mã khóa công khai. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của PGS.TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người đã dành nhiều thời gian và công sức cho việc giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại học Vinh, những người đã tận tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường THPT Lương Thế Vinh – Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Bình và các đồng nghiệp, đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập. Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo và đồng nghiệp.
... ta chứng minh điều với sở 1.1.6 Định lý Nếu n số giả nguyên tố sở m = n - số giả nguyên tố sở Từ suy có vơ hạn số giả ngun tố sở Chứng minh Giả sử n số giả nguyên tố sở 2, ta chứng minh số nguyên... chứng minh M (2 k ) ≤ c(3 k − k ) Từ ta có: log2 n +1 M (n) = M (2 log2 n ) ≤ M (2 ≤ 3c3 log2 n + ≤ 3cn log2 n log2 n +1 ) ≤ c(3 log2 n +1 − 2 ) Định lý chứng minh ... = (b16 )35 ≡ 1(mod17) Từ suy ra, b560 ≡ 1(mod 561) Giả thuyết: Tồn vô hạn số Carmichael, chứng minh gần R Alford, A Granville, C Pomarance, 1993 (xem [4,7]) Định lý sau cho cách tìm số Carmichael