Môđun suy biến và môđun đối suy biến

35 11 0
  • Loading ...
1/35 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 14/04/2018, 15:35

Trong sự phát triển chung của toán học, lý thuyết môđun đã có sự phát triển và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu các lĩnh vực khác của toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết vành. Như chúng ta đã biết việc nghiên cứu lý thuyết vành có hai hướng để nghiên cứu. Hướng thứ nhất sử dụng nội tại các tính chất của nó thông qua lớp các iđêan và hướng thứ hai là đặc trưng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trên chúng. Mặt khác ta cũng biết rằng một vành R là R môđun (phải) trên chính nó, nên hiển nhiên một số kết quả trên môđun có thể chuyển sang vành.Trong các lớp môđun, lớp môđun suy biến và đối suy biến là những lớp môđun hiện nay được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Để nghiên cứu các lớp môđun và đặc trưng vành, người ta thường xét các lớp môđun với tính chất của nó như: môđun suy biến, môđun đối suy biến…Chính vì vậy đề tài của luận văn chúng tôi chọn là “Môđun suy biến và đối suy biến”. Mục đích của luận văn tập trung nghiên cứu môđun suy biến và môđun đối suy biến, trình bày hệ thống lại về khái niệm và tính chất của môđun suy biến và đối suy biến.Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận.Chương 1. Các khái niệm cơ bản. Trình bày các khái niệm cơ bản chuẩn bị cho chương 2. Các khái niệm cơ bản được đề cập chủ yếu trong chương này là: Môđun con cốt yếu, Các điều kiện của của môđun, môđun con bé, môđun nội xạ.Chương 2. Một số tính chất của môđun suy biến, môđun đối suy biếnLuận văn này được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, thầy đã dành cho tôi sự chỉ bảo tận tình, nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các quý thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số Khoa Toán Trường Đại học Vinh đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập tại lớp Cao học khoá 21 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số.Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán và Phòng Sau đại học trường Đại học Vinh và tất cả các bạn đồng nghiệp, đã giúp đỡ và tạo điều kiện học tập, nghiên cứu cho tôi trong thời gian qua.Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu mặc dù đã cố gắng, nỗ lực hết mình do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự chỉ bảo góp ý của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. 1 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH _ VŨ VĂN NGUYÊN MÔĐUN SUY BIẾN MÔĐUN ĐỐI SUY BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH _ VŨ VĂN NGUYÊN MÔĐUN SUY BIẾN MÔĐUN ĐỐI SUY BIẾN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN - 2015 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC CHƢƠNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Môđun cốt yếu 1.2 Các điều kiện  Ci  môđun 11 1.3 Môđun nội xạ 13 1.4 Môđun bé 18 CHƢƠNG MÔĐUN SUY BIẾN MÔĐUN ĐỐI SUY BIẾN 22 2.1 Môđun suy biến 22 2.2 Môđun M-suy biến 25 2.3 Môđun đối suy biến 32 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Lỗi! Thẻ đánh dấu khơng xác định MỞ ĐẦU Trong phát triển chung tốn học, lý thuyết mơđun có phát triển có nhiều ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu lĩnh vực khác toán học, đặc biệt lĩnh vực lý thuyết vành Nhƣ biết việc nghiên cứu lý thuyết vành có hai hƣớng để nghiên cứu Hƣớng thứ sử dụng nội tính chất thơng qua lớp iđêan hƣớng thứ hai đặc trƣng vành qua tính chất lớp xác định mơđun chúng Mặt khác ta biết vành R R - môđun (phải) nó, nên hiển nhiên số kết mơđun chuyển sang vành Trong lớp môđun, lớp môđun suy biến đối suy biến lớp môđun đƣợc nhiều ngƣời quan tâm nghiên cứu Để nghiên cứu lớp môđun đặc trƣng vành, ngƣời ta thƣờng xét lớp môđun với tính chất nhƣ: mơđun suy biến, mơđun đối suy biến… Chính đề tài luận văn chọn “Môđun suy biến đối suy biến” Mục đích luận văn tập trung nghiên cứu mơđun suy biến mơđun đối suy biến, trình bày hệ thống lại khái niệm tính chất môđun suy biến đối suy biến Luận văn đƣợc chia làm hai chƣơng với phần mở đầu, kết luận Chƣơng Các khái niệm Trình bày khái niệm chuẩn bị cho chƣơng Các khái niệm đƣợc đề cập chủ yếu chƣơng là: Môđun cốt yếu, Các điều kiện  Ci  môđun, môđun bé, mơđun nội xạ Chƣơng Một số tính chất môđun suy biến, môđun đối suy biến Luận văn đƣợc thực trƣờng Đại học Vinh dƣới hƣớng dẫn tận tình PGS TS Ngơ Sỹ Tùng Tác giả xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hƣớng dẫn, thầy dành cho tơi bảo tận tình, nghiêm khắc đầy lòng nhân Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới quý thầy cô giáo chuyên ngành Đại số Lý thuyết số - Khoa Toán Trƣờng Đại học Vinh trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập lớp Cao học khoá 21 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa Sƣ phạm Toán Phòng Sau đại học trƣờng Đại học Vinh tất bạn đồng nghiệp, giúp đỡ tạo điều kiện học tập, nghiên cứu cho thời gian qua Trong suốt trình học tập nghiên cứu cố gắng, nỗ lực thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận đƣợc bảo góp ý quý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện Nghệ An, tháng 10 năm 2015 CHƯƠNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong suốt luận văn vành ln đƣợc hiểu vành có đơn vị (ký hiệu 1) môđun môđun phải unita vành R 1.1 Mơđun cốt yếu 1.1.1 Định nghĩa Cho M R-môđun phải N môđun M (1) Môđun N đƣợc gọi môđun cốt yếu M, Ký hiệu N * M với môđun khác khơng K  M ta có K  N  Khi ta nói M mở rộng cốt yếu N (2) Môđun N M đƣợc gọi đóng M N khơng có mở rộng cốt yếu thực M Nói cách khác N đƣợc gọi đóng M với môđun K khác không M mà N * M K  N (3) Môđun K M đƣợc gọi bao đóng mơđun N M K môđun tối đại M cho N * K (4) Nếu môđun khác không mơđun M mơđun cốt yếu M M đƣợc gọi mơđun (uniform) 1.1.2 Ví dụ a) Cho M R - mơđun Ta ln có M * M b) Ta xét a - môđun Mỗi mơđun khác khơng khác khơng có  ab  a  b , hay ,b vành cốt yếu với mơđun (trên ) 1.1.3 Mệnh đề i) Cho A  M A * M  x  0, x  M A  Rx  ii) Cho A  K  M , A * M  A * K K * M iii) Cho f : M  N đồng cấu R-môđun B  M Nếu B * M f 1  B  * M Điều ngược lại không iv) Giả sử Ai , Bi môđun M Ai * Bi , i  1, n Khi n n Ai * Bi , tập số vô hạn điều khơng i1 i1 v) Cho A  K  M K / A * M / A Khi K * M vii) Cho A  M  M A * M , i  I Nếu tồn  M i i i i i I  Ai *  M i I I Chứng minh i) Điều kiện cần: Hiển nhiên Điều kiện đủ: Với môđun B  M ta cần chứng minh A  B   Lấy x  B, x  0, xét  x  R  rx / r  R  B Theo giả thiết ta có: A  Rx  nên với B  M ta chứng minh A B   ii) Giả sử A  *M , lấy môđun X K mà A  X  Do X  K nên X  M A  *M nên X  Vậy A  *K Ngƣợc lại, A  *K K  *M với môđun X M, với A  X  Đặt B  K  X , ta có A  B  A  K  X  A  X   Do A * K nên B  K * M nên X  , suy K  X  Vậy A * M iii) Với C  M , C  , ta xét hai trƣờng hợp: Trƣờng hợp 1: f  C   M suy f  C   B  (vì B * M ), tồn y  f  C   B, y  Khi tồn x C cho y  f  x  , x  (vì y  ) x  f 1  B  , suy C  f 1  B   Trƣờng hợp 2: f  C   M suy C  f 1  B  Vì với x  C nên ta có f  x    B suy x  f 1  B  iv) Sử dụng quy nạp ta cần chứng minh với n  Cho A * M , A * M , ta chứng minh A  A * M  M 1 2 2 Lấy X  0, A * M nên B  A  X  A  A  0, suy 2 2   X  A  A  Trƣờng hợp giao vơ hạn nói chung khơng  Xét -mơđun: n * , n  * Ta có: * i i   i  , i  1,  , suy * Điều vơ lí Vậy trƣờng hợp giao vô hạn không v) Lấy X * M cho K  X  Khi K   A  X   A nên K / A   A  X  / A  Mà K / A * M / A nên  A  X  / A  hay A  X  A Vậy X  hay K * M vi) Ta chứng minh trƣờng hợp Trƣờng hợp 1: I  n hữu hạn Sử dụng quy nạp ta cần chứng minh với n  Cho A * M , A * M tồn A  A Ta cần chứng minh 1 2 M  M  Thật vậy, sử dụng tính chất iv) ta có A  A * M  M Mà 2 A  A  nên M  M  Bây ta chứng minh A  A * M  M 2 2 Xét đồng cấu chiếu: f : M M M 1 x x x f : M M M 2 x x x 2 Do A  A * M  M nên theo tính chất iii) 2     1 1 ta có f A * M  M f A * M  M 1 2   1 1 Mà f A  A  M * M  M f A  M  A * M  M nên lấy 2 1 2   giao hai vế ta đƣợc A  A * M  M 2 Trƣờng hợp 2: Với I bất kì, điều ta chứng minh  M i Lấy I x   M i suy x  x  x   x , xi  M , i  1, k k I * hữu hạn Theo k trƣờng hợp suy tồn M  M   M   M i , biểu diễn * k i1 k nên tồn  M i   M i Bây ta chứng minh  Ai   M i I I I i1 Lấy X  0, X   M i , từ suy x  X , x  I x  a  a   an ,  M i , i  1, n * Suy x  M  M   M n Theo trƣờng hợp ta có A  A   An  *M  M   M n , 2 suy A  A   A  Rx  nên  Ai  X  I k Vậy tồn  M i  Ai  *  M i I I i1 1.1.5 Mệnh đề Với môđun môđun M tồn môđun B M cho A  B cốt yếu M Chứng minh Đặt S   X  M : X  A  0 Vì  S nên S   10 Ta thứ tự theo quan hệ bao hàm Lấy tập thứ tự tuyến tính  S cho X  X   X n  * Khi C X i môđun i1 M lân cận * Lấy x  A  C suy có số k cho x  X Từ ta có k x  A  X Vậy X  hay C  A  Theo bổ đề Zorn S có phần tử tối đại k B Ta cần chứng minh A  B * M Thật vậy, Y  M thỏa mãn A  B Y  Ta có A Y  B Y  Nếu có a  A b  B , y Y cho a  b  y y  a.b  A  B Suy y  a  b  Nhƣ A   B  Y   suy B  Y  S Do tính tối đại B nên Y  Vậy A  B * M 1.1.6 Bổ đề a) Nếu mơđun M có dãy mơđun A  B  C A * M kéo theo B * C n b) Nếu Ai * M, i  1, n Ai * M i1 c) Nếu  :M  N đồng cấu mơđun B  *N  1  B   *M Chứng minh a) Giả sử E mơđun khác khơng C, E môđun M E A 0 E B  Điều chứng tỏ B * C b) Ta tiến hành chứng minh quy nạp theo n Với n  mệnh đề theo giả thiết Giả sử mệnh đề với n 1 , tức A  n1 Ai  *M i1 21 Đặt  tập tất môđun B M, B  M cho aR  B  M   B B  M , aR  B  M  Tập    aR không môđun bé Giả sử A dây chuyền  (Theo quan hệ bao hàm) Khi dễ thấy Bo  B, B  A lân cận A Ta chứng tỏ Bo  M Muốn ta chứng minh a  Bo Thật vậy, a  Bo a  B với B thuộc A Khi aR  B M  aR  B  B, trái với giả thiết B  M Bởi a  Bo Mặt khác, hiển nhiên Bo  aR  M , nghĩa Bo  Khi theo Bổ đề Zorn  có phần tử tối đại K Ta chứng tỏ K môđun tối đại M Thật vậy, giả sử có mơđun E M cho K  E K  E Khi E  Đồng thời M  aR  K  aR  E  M  aR  E  M Bởi E  M , chứng tỏ K tối đại M 22 CHƯƠNG MÔĐUN SUY BIẾN MÔĐUN ĐỐI SUY BIẾN 2.1 Môđun suy biến 2.1.1 Bổ đề Cho môđun M Ký hiệu Z  M   {x  M / xI  với I iđêan phải cốt yếu R} Khi Z  M  môđun M Chứng minh Z  M   0Z  M  Cho x, y Z  M  ,  I , J * R R Đặt A  I  J A * R R mà xI  0, yI  (giao hữu hạn mơđun cốt yếu cốt yếu) Ta có  x  y  A   x  y   I  J   x  I  J   y  I  J   xI  yJ  Vậy x  y  Z  M  Cho x Z  M   xI  với I * RR r  R ( r bất kỳ) Ta chứng minh xr  Z  M  Đặt K  a  R /  I  Dễ kiểm tra K R R ( K iđêan phải R) Xét đồng cấu: f :RR  r Khi f 1  I   K , K * R R (Tạo ảnh toàn phần môđun cốt yếu môđun cốt yếu) Mặt khác xrK  Bởi lấy a  K ta có xra  x    xI  Vậy xr Z  M  Hay Z  M  môđun M 2.1.2 Định nghĩa : Đối với môđun M i) Ta gọi Z  M  môđun suy biến M 23 ii) Nếu Z  M   ta gọi M môđun không suy biến iii) Nếu Z  M   M ta gọi M môđun đối suy biến iv)  Z  M   M ta nói M khơng phải mơđun khơng suy biến môđun suy biến vi) Vành R gọi vành không suy biến phải (trái) R - môđun phải (trái) không suy biến vii) Vành R gọi suy biến phải (trái) R - môđun phải (trái) suy biến viii) Vành R gọi suy biến (không suy biến) vành suy biến (không suy biến) phải suy biến (không suy biến) trái 2.1.3 Ví dụ 1) Xét - mơđun có Z    {x  / xI  với I * } Do I  n , n  suy xI  xn  Vậy Z    môđun không suy biến Z 2) Xét - môđun Lấy x 6,  * Hay Tổng quát biến (trên vành 3) Xét Do ) Hay 4) Xét mà x    (bằng ) Do mơđun suy biến - mơđun n Z  n  n nghĩa n môđun suy ) 6 - mơđun vành có (mơđun - mơđun vành cốt yếu không suy biến vành 6 6 ) nên Z    (trong vành 24 Ta thấy Z   0;2 có hai mơđun cốt yếu Vì  0;2  4, 4- 0;2 mơđun 4, khơng nên phải môđun suy biến môđun đối suy biến 2.1.4 Mệnh đề a) M môđun suy biến M  A B với A mơđun B mơđun cốt yếu A b) Nếu A môđun suy biến, A / B mơđun suy biến B cốt yếu A Chứng minh a) Giả sử M mơđun suy biến Ta có M  F A , F   mơđun tự K môđun F Gọi xi sở F hay i F   xi R Do M suy biến nên F K suy biến Vì với xi  K  F K , i   tồn iđêan Ii * R để xi  K Ii  0, hay xi Ii  K  K , với i Do R Ii * R nên xi Ii * xi RR  xt It *  xt RR  F Do xt It  K , R t t với t  , nên  xt It * K Do K * F Lấy A  F , B  K , ta có t B  *A Ngƣợc lại, giả sử M  A B với A môđun B mơđun cốt yếu A Lấy a  A gọi I    R / a  B Xét đồng cấu: f :R A R  a Vì f 1  B   I B * A nên I  R Ta có  a  b  I  B  (lớp R     không môđun thƣơng A B ) hay a  B  Z A B hay A B  Z A B Vậy A B suy biến, nghĩa M suy biến 25 b) Giả sử X môđun khác không A Khi tồn   x  X , x  Suy x  B  A B  Z A B Do tồn I * R cho R  x  B  I  hay xI  B Do A không suy biến nên xI  mà xI  X B  X  Vậy B cốt yếu A 2.2 Môđun M-suy biến Cho R vành M, N R-môđun phải N đƣợc gọi suy biến  M  hay môđun M- suy biến N L K với L  M  K * L Khi M  R khái niệm M- suy biến trùng với khái niệm suy biến thơng thƣờng, có nghĩa N suy biến N R - suy biến Thật vậy, N môđun R - suy biến N L K với L  R, K  *L Mặt khác, ta biết  R   Mod  R hay L R  mơđun, L N môđun R- suy biến N K với L R - môđun, K  *L N suy biến Mọi môđun M-suy biến nằm   M  Giả sử N mơđun M- suy biến Ta có N L * K với L   M  , K  L Ta lại có L K   M  , mơđun thƣơng mơđun   M  môđun thuộc   M  Mà N L K nên N   M  Mọi môđun M-suy biến suy biến Gọi N mơđun M-suy biến, ta có N L * K với L   M  , K  L Ta có K L R- mơđun, N mơđun suy biến Lớp mơđun M- suy biến đóng việc lấy mơđun con, có nghĩa mơđun mơđun M- suy biến môđun M- suy biến 26 Gọi N mơđun M- suy biến, P  N Ta có N L   M  , K * L , tồn đẳng cấu f : N  L K , P f  P  L K L K với f  P  Ta có nên f  P   X K với K  X  L Vì L  M  nên X  M  , K * L nên ta có K * X , mà P f  P   X K , P môđun M- suy biến Lớp môđun M- suy biến đóng việc lấy tổng trực tiếp Gọi N , i  I môđun M-suy biến Khi Ni i Li  M , Ki * Li , i  I L Từ ta có đẳng cấu fi : Ni  i K , i L  fi :  Ni   i K I I I i xi fi xi I I      đẳng cấu, hay L  Ni  i K I I i Ta có L L  i K I i K I i I i L L  f :  i K  I i K I I i I ii xi  Ki xi   Ki I I I  đẳng cấu, nên  N I i  Li I  Ki I    Li Ki với 27 Ta có L  M  , i I nên  Li  M  đóng việc lấy tổng trực i I tiếp Hơn K  L , i  I nên  Ki *  Li Do  Ni i i I I I  Li I  Ki I môđun M- suy biến Ảnh đồng cấu môđun M-suy biến môđun M- suy biến Mọi mơđun N   M  có chứa mơđun M-suy biến kí hiệu Z M  N    Thật vậy, gọi N i  I tập tất mơđun M-suy biến N i Vì lớp mơđun M- suy biến đóng việc lấy tổng trực tiếp nên ta có  Ni mơđun M- suy biến I     Gọi A   xi xi Ni  Ta có A   Ni Thật vậy, x  A, ta có I I   I  i I I Ni , x   xi với x Ngƣợc lại x   Ni x đƣợc biểu diễn hữu hạn x  x  x   xn , I x  A Ta có A   Ni , mơđun N, I f :  Ni  A I xi  xi I     toàn cấu, hay f   N   A Mặt khác, ảnh đồng cấu môđun M- suy i  I  biến mơđun suy biến Vì A hay  Ni môđun M- suy biến I mơđun M- suy biến lớn N Với R- mơđun N, ta có Z  N   Z R  N  28 Ta có Z  N  mơđun suy biến N nên Z  N  môđun R- suy biến, mà Z R  N  môđun R- suy biến lớn N Vì Z  N   Z R  N  (Lớn đƣợc hiểu theo quan hệ bao hàm, tối đại, hiểu theo nghĩa tối đại đƣợc môđun R-suy biến lớn hơn) Mặt khác, theo định nghĩa Z  N  =  x  N I * R  , để xI    mơđun suy biến N ta thấy Z  N  mơđun suy biến lớn N, giả sử K môđun suy biến lớn N, với x  K , I * R để xI  , suy xZ  N  Vậy Z  N  mơđun R-suy biến lớn N, Z  N   Z R  N  2.2.1 Mệnh đề Cho M R - mơđun phải, ta có điều kiện sau tương đương a) M không suy biến   M  b) Với K  M  f : K  M , ker  f  đóng K c) Với K  M  f : K  M , ker  f  không cốt yếu K Chứng minh a)  b) : Chứng minh ker  f  đóng K tức chứng minh ker  f  không mở rộng cốt yếu thực K hay với kerf  f  * N  K ta suy ker  f   N f : K  M , gọi g  f N Ta có ker  f  = ker  g  ker  f   N ta lại có g : N  L  g  N  toàn cấu nên N ker  g  N ker  f  g  N   f  N   M Vì K   M  , N  K nên N   M  (môđun môđun thuộc  M  môđun thuộc   M  ) Mà L N M - suy biến hay Z M  L   L ker  f  , ker  f  * N L môđun 29 Do M không M- suy biến nên Z M  L   L  f N   M  suy L  hay f  N   Ta có ker  f   ker  g    x  N f  x   0  N (vì f  N   ker  f   N ) b)  c): ta xét f đồng cấu tầm thƣờng, ker  f   K Vì ker  f  đóng K nên khơng có mở rộng cốt yếu thực K hay ker  f  * K c)  a): Giả sử Z M  M   N  0, tồn K   M  , L * K , K  mà N K , suy tồn toàn cấu f : K  N mà ker  f   L tức f  Vì L tồn K   M   f : K  N cho ker  f  * K , trái với c) Do M không suy biến   M  2.2.2 Định lý Cho M R- môđun phải M bao M- nội xạ Ta có 1) Mọi môđun N  M  với Hom  N , M   M- suy biến 2) Giả sử Z M  M   Khi  a  N  M  M- suy biến Hom  N , M    b  Lớp mơđun M- suy biến đóng việc lấy mở rộng   Chứng minh 1) Giả sử tồn môđun N  M  với Hom N , M  mà M- suy biến, tức Z N  N bao M- nội xạ N M  M- suy biến, giả sử N M- suy biến N mơđun M- suy biến (lớp mơđun M- suy biến đóng việc lấy mơđun con) Vì mơđun nội xạ   M  M- sinh, nên N M- sinh, tồn 30    tồn cấu f : M    N suy ker  f  * M   , giả sử ker  f  * M   , f tồn cấu nên  M  ker  f  Ta có thu hẹp f  f  N mà M    M  suy N M- suy biến, vô lý : f 1  N   N tồn cấu (vì f tồn cấu)  f N   Tƣơng tự nhƣ ta có ker f * f 1  N  , tồn  K  f 1  N  cho K  ker  f   Ta có f  ker  f  K : K  N đơn cấu,       x  K  ker  f      x  K f  x    x  K x  ker f K Do ta có K  L  f  K   N Vì K  , K  f 1  N   M   nên tồn   a   K mà  I o  Gọi h : M    M ( xi thành phần vị trí io , vị trí mà có  ) o  xi I o xi o ta có h đồng cấu h K  Đặt g:K M x h x ta có g  Vì K L nên tồn đẳng cấu  : L  K , mà K  nên   ,   g   (vì g  ) Vì M bao M- nội xạ   M  nên M nội xạ   M  hay M N- nội xạ (vì N   M  ), nên tồn đồng cấu  * mở rộng  , tức  * i  i đơn cấu nhúng 31 i  N L  * M   Vì   * i mà   nên  *  hay Hom N , M  M- suy biến   2)  a  N  M  , Hom N , M  N M- suy biến (đã chứng mục 1)   Với N  M  M- suy biến, ta chứng minh Hom N , M  suy       Z M M  0, giả sử Z M M  từ M * M suy Z M M  M  Ta có Z M  M   M  Z M  M  mà lớp mơđun M- suy biến đóng việc lấy   môđun nên Z M M  M môđun M- suy biến Từ ta có  ZM  M   M  M môđun M- suy biến M, trái với giả thiết Z M M     Giả sử Hom N , M  suy tồn  f : N  M đồng cấu f  N   Ta có f  n  ảnh đồng cấu f , N môđun M- suy biến nên f  N  M- suy biến M (lớp môđun M- suy biến đóng   việc lấy ảnh đồng cấu) Mặt khác f  N   0, Z M M  nên suy vô lý,   Hom N , M   b  Chứng minh lớp mơđun M- suy biến đóng việc lấy mở rộng có nghĩa chứng minh với dãy khớp f g O  K LN O mà K N môđun M- suy biến L mơđun M- suy biến 32     Từ  a  ta có Hom K , M  Hom N , M  Mặt khác, cho   M '  M  M ''  O phức Do phức khớp với R- mơđun N ta có dãy O  Hom R * * M '', N   Hom  M , N   Hom  M ', N  R R khớp Vậy ta có dãy O  Hom R  g* N , M  Hom  R  f* L, M  Hom  R  K, M  khớp     Vì Hom N , M  nên Im  g*   g*    0; Hom K , M  nên       ker  f *   Hom L, M , Im  g*   ker  f *  , Hom L, M  0,       theo  a  ta có L mơđun M- suy biến 2.3 Môđun đối suy biến 2.3.1 Định nghĩa môđun bé Cho môđun B R, B đƣợc gọi môđun bé B môđunmơđun M 2.3.2 Bổ đề B môđun bé B môđun bé bao nội xạ E  B  B Chứng minh Chiều thuận Cho môđun B bé, theo định nghĩa tồn môđun X để B o X Ta cần chứng minh b O E  B  E  B  bao nội xạ B Thật vậy, B o X  B o X  E  B  * ta lại có E  B  nội xạ E  B   X  E  B  nên E  B  o X  E  B  hay X  E  B   E  B   A với A mơđun mơđun X  E  B  Khi ta có B o E  B   A, mà B  E  B  B o E  B  (Theo tính chất biết mơđun P  M  N P o N , P  M P o M ) 33 Chiều ngƣợc lại Hiển nhiên theo định nghĩa, B o E  B  chứng tỏ B mơđunmơđun 2.3.3 Định nghĩa Cho mơđun M, Ký hiệu Z  M   {U  M M U môđun bé } Z  M  đƣơci gọi môđun đối suy biến môđun M Nếu Z  M   M đƣợc gọi mơđun đối suy biến Nếu Z  M   M M đƣợc gọi môđun không đối suy biến 2.3.4 Định lý Các mệnh đề sau tương đương với môđun M i) Z  M  hạng tử trực tiếp M ii) M tổng trực tiếp môđun đối suy biến môđun không đối suy biến Trong trường hợp Z  M  môđun không đối suy biến lớn M Chứng minh i)  ii) Giả sử N môđun M cho M  Z  M   N Bởi  7 , (mệnh đề 2.1   ), N đối suy biến Khi Z  M   Z  Z  M    Z  N  Bởi  7 , (mệnh đề 2.1   ), có Z  M   Z  Z  M   Do đó, Z  M  khơng đối suy biến ii)  i) Giả sử N môđun đối suy biến M K môđun không đối suy biến M cho M  N  K Đƣợc suy từ 7 , (mệnh đề 2.1   ), Z  M   Z  N   Z  K  Nhƣ vậy, Z  M   K hạng tử trực tiếp M Đối với mệnh đề cuối cùng: Nếu L môđun khơng đối suy biến M, từ L  Z  L   Z  M  34 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu [3] [4] luận văn trình bày đƣợc số vấn đề nhƣ sau: Hệ thống số khái niệm, tính chất số ví dụ mơđun cốt yếu, trình bày điều kiện  Ci  mơđun, mơđun nội xạ Trình bày khái niệm số tính chất mơđun suy biến mơđun đối suy biến, số tính chất đặc trƣng vành thông qua khái niệm môđun suy biến đối suy biến 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục [2] Dƣơng Quốc Việt (2009), Lý thuyết môđun, NXB Đại học Sƣ phạm Tiếng Anh [3] F Kasch (1982), Modules and Rings, Ludwig-Maximilian University, Munich, Germany [4] D Keskin Tutuncu, N Orhan Ertas, P Smith, R Tribak (2014), Some ring for which the cosingular submodule of every module is a direct, Turk J Math 38: 649-657 [5] Harmanci, A and Smith, P.F (1993), Finite direct sums of CS-modules Houston J Math 19.523-532 [6] S.H Mohamed, B.J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules Cambridge Univ Press [7] Y Talebi, N Vanja (2002), The torsion theory cogenerated by M - small modules, Comm Algebra, 30 (3): 1449 - 1460 ... 1) môđun môđun phải unita vành R 1.1 Mơđun cốt yếu 1.1.1 Định nghĩa Cho M R-môđun phải N môđun M (1) Môđun N đƣợc gọi môđun cốt yếu M, Ký hiệu N * M với môđun khác không K  M ta có K  N  Khi
- Xem thêm -

Xem thêm: Môđun suy biến và môđun đối suy biến, Môđun suy biến và môđun đối suy biến

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay