Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài Phòng giáo dục đào tạo bình xuyên trờng THCS Lý Tự Trọng ====***==== Sáng kiến kinh nghiệm Đề Tài: Tổng kết số phơng pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp đờng tròn Nguyễn Hữu Tài Ngời thực hiện: Giáo viên tổ KHTN Trờng THCS Lý Tự Trọng Tháng 03 năm 2008 Phần I: phần mở đầu Lý chọn đề tài: a) Cơ sở lý luận: Khi giải toán hình học lớp đại đa số có chứng minh tứ giác nội tiếp sử dụng kết tứ giác nội tiếp để chứng minh gãc b»ng nhau, bï nhau, tÝnh sè ®o gãc, chøng minh đẳng thức, chứng minh điểm thuộc đờng tròn, Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài kiến thức chắn quỹ tích cung chứa góc, quan hệ góc đờng tròn, định lý đảo tứ giác nội tiếp, Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có Đặc biệt phải biết hệ thống kiến thức sau học xong chơng III hình học Đây việc làm quan trọng giáo viên học sinh b) Cơ sở thực tiễn: Trên thực tế cách chứng minh tứ giác nội tiếp thể định lý đảo Tứ giác nội tiếp Trang 88 SGK toán tập SGK đà đặc biệt hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tuy nhiên cha đặt dấu hiệu thành hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu sở dấu hiệu Dẫn đến học sinh lúng túng tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn Với học sinh lớp dạng toán lạ nhng lại quan trọng giúp học sinh nhìn nhận lại đợc toán đà giải lớp để có cách giải hay cách lý giải khác Với lý đề tài đa số cách để chứng minh mét tø gi¸c néi tiÕp sau häc sinh học xong Tứ giác nội tiếp đờng tròn Với tên gọi: Tổng kết số phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn Phạm vi, đối tợng mục đích đề tài: a) Phạm vi đề tài : Là phơng pháp chứng minh hình học THCS phạm vi hẹp, cụ thể chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để từ chứng minh đẳng thức góc, đẳng thức tích đoạn thẳng, Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có Tuy nhiên ứng dụng rộng rÃi b) Đối tợng đề tài: Là học sinh đại trà lớp THCS, giáo viên nghề dạy bậc THCS c) Mục đích đề tài: Giúp Giáo viên hệ thống hoá kiến thức tạo nên phơng pháp để hớng dẫn học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh điểm nằm đờng tròn toán có sử dụng chiều ngợc lại tứ giác nội tiếp Rèn học sinh kỹ phân tích tự tìm lời giải cách khác nhau, kỹ nhận biết nhanh tứ giác nội tiếp * * * * * Vì thời gian có hạn, lực thân có hạn chế định khả t nên trình nghiên cứu viết đề tài tránh khỏi thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học cấp thầy cô đồng nghiệp đóng góp xây dựng Xin chân thành cảm ơn ! Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài Phần 2: nội dung đề tài A Nội dung: I Cơ sở lí luận khoa học đề tài: Để nghiên cứu viết đề tài đà vào sở lí luận khoa học sau: 1, Về phơng pháp dùng phơng pháp phân tích tổng hợp : Giả sử A giả thiết toán, B kết luận toán: Để chứng minh A B, ta chøng minh r»ng A  A1  A2  B Các quan hệ kéo theo nói đợc trình bày dới dạng: A1 A2 (lí do) hoặc: (lí do) A1 A2 Trong trình tìm lời giải toán, ta thờng: a - Khai thác giả thiết toán : Từ A A1, từ A1  A2 , Vµ cuèi cïng suy Am b - Phân tích lên từ kết luận toán: Để chứng minh B ta chứng minh B1 , ®Ĩ chøng minh B1 ta cã thĨ chứng minh B2, Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có, cuối ta chứng minh Bn Nếu chứng minh đợc Am Bn toán chứng minh A B đợc chứng minh với sơ đồ sau: A A1 A2 Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có Am Bn Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có. B2 B1 B 2, Một số phơng pháp chứng minh hai góc * Phơng pháp 1: Là hai góc đồng vị (hay so le trong) hai đờng thẳng song song Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có * Phơng pháp 2: áp dụng định lý góc có cạnh tơng ứng song song hay vuông góc Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài * Phơng pháp 3: Là hai góc tơng ứng hai tam giác đồng dạng * Phơng pháp 4: (TÝnh chÊt gãc néi tiÕp, gãc gi÷a mét tia tiÕp tuyến dây cung) Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có Ngoài ta sử dụng phơng pháp bắc cầu, phụ, cïng bï ®Ĩ chøng minh hai gãc b»ng 3, Các toán quỹ tích cung chứa góc Bài toán 1: Quỹ tích điểm M cho AMB = 1V , AB đoạn cho trớc đờng tròn đờng kính AB Bài toán 2: Quỹ tích điểm M tạo với hai mút đoạn thẳng AB cho trớc AMB có số đo không đổi (0o < < 180o) hai cung tròn đối xứng qua AB gọi cung chứa góc dựng đoạn AB 4, Định lý thuận, đảo Tứ giác nôị tíêp đờng tròn Trang 87, 88 SGK Toán tập 5, Tính chất tam giác đồng dạng 6, Dựa vào định nghĩa đờng tròn II Đối tợng phục vụ cho trình nghiên cứu, xây dựng ®Ị tµi nµy lµ: 1, VỊ ngêi : - Là GV giỏi, giáo viên lâu năm nghề cã kinh nghiƯm ®Ĩ häc hái trao ®ỉi vÊn ®Ị nảy sinh trình nghiên cứu - Giáo viên nghề dạy toán để đề xuất câu hỏi : Tại lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp nh ? Trong toán cụ thể - Là học sinh từ trung bình trở lên (học sinh đại trà) lớp THCS 2, Về kiến thức: Vì thời gian có hạn lực có hạn chế nên đối tợng kiến thức chọn định lý toán hình häc nãi vỊ tø gi¸c néi tiÕp , q tÝch cung chứa góc Nghiên cứu chủ yếu cách tìm phơng pháp chứng minh điểm thuộc đờng tròn để phục vụ cho kết luận toán cã sư dơng tÝnh chÊt cđa tø gi¸c néi tiÕp III Nội dung phơng pháp nghiên cứu * Về phơng pháp nghiên cứu - Bằng quan sát thực tế giảng dạy toán chứng minh tứ giác nội tiếp, toán tổng hợp có sử dụng kết tứ giác nội tiếp để chứng minh tính toán GV THCS - Bằng kinh nghiệm đứng lớp bồi dỡng ôn thi học sinh đại trà lớp , năm trớc thấy học sinh em phát đợc tứ giác nội tiếp cách nhanh nhất, toán không dễ chứng minh đợc tổng hai góc đối diƯn cđa tø gi¸c b»ng 180 o Hay HS cø phải đa tổng hai góc đối diện 1800 nên dài, nhiều dẫn đến sai - Bằng đọc tài liệu để nắm sở lý luận khoa học phơng pháp chứng minh tính chất tứ giác nội tiếp Đặc biệt tìm cách nhận biết nhanh tứ giác nội tiếp trớc phải chøng minh tỉng hai gãc ®èi diƯn b»ng 180 o Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài toán có chứng minh tứ giác nội tiếp có sử dụng kết tứ giác nội tiếp - Bằng việc tham khảo học hỏi ý kiến đồng nghiệp thầy cô dạy toán giỏi Huyện - Bằng thử nghiệm đề tài dạy giải toán lớp, buổi ôn toán thi vào lớp 10 THPT, båi dìng häc sinh giái - Vµ ci cïng việc từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ dạy đến định lý toán khó hơn, phức tạp tổng hợp lại hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Từ phơng pháp đối chiếu với lý luận thực tế rút đợc kinh nghiệm nhỏ trình hớng dẫn học sinh giải toán nội dung cụ thể nh sau: * Nội dung nghiên cứu: - Khi dạy xong Tứ giác nội tiếp đờng tròn Trang 87,88 SGK Toán tập Học sinh tự rút đợc cách chứng minh tứ giác nội tiếp là: Nếu tứ giác ABCD có : D A+C=2V B+D=2V x Suy ABCD tứ giác nội tiếp đờng tròn A C Khai th¸c: 1, Sư dơng tÝnh chÊt cđa hai gã kỊ bï B gäi tia ®èi cđa tia AB tia Ax chẳng hạn giả sử xAD = BCD thÕ th× v× xAD + DAB = 2V (kỊ bï) BCD + BAD = 2V => tø gi¸c ABCD nội tiếp A Đặc biệt hoá toán tứ giác ABCD cã BAD = BCD = 90o ThÕ th× BAD + BCD = 90o+90o=180o D =>Tø gi¸c ABCD néi tiÕp đờng tròn đờng kính BD B Đây cách đơn giản Không phải lúc có nh chẳng hạn nh: C A 2, Xét tứ giác ABCD cã DAC = DBC B Víi A, B n»m ë nửa mặt phẳng bờ chứa DC ta chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp ThËt vËy, gi¶ sư DAC = DBC =  (0o <  < 180o ) DC cố địnhCnên A, B D nằm cung chứa góc dựng đoạn DC (theo toán quỹ tích cung chứa góc ) Suy ®iĨm A, B, C, D cïng thc đờng tròn hay tứ giác ABCD nội tiếp Vậy ta có cách thứ t để chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp Đặc biệt hoá góc để có cách nhận biết nhanh A tứ giác néi tiÕp B o o Khi cho  = 90 ta cã DAC = DBC = 90 d C Và A, B nửa mặt phẳng bờ DC tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính DC Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài 3, Lại xét tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn : Giả sử AB cắt DC M B ta suy đợc ABD = ACD A tam giác MAC MDB đồng dạng M Đảo lại: Nếu tam giác MAC D tam giác MDB đồng dạng với A thuộc C đoạn BM D thuộc đoạn MC tứ gíac ABCD nội tiếp Thật vậy, tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB suy ABD = DCA => tø gi¸c ABCD néi tiÕp ( B, C ë cïng mét nưa mỈt phẳng bờ AD nhìn AD dới hai góc ) Từ có tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB, A BM, D MC => Tø gi¸c ABCD cịng néi tiÕp  Theo tÝnh chất tam giác đồng dạng ta lại có từ tam giác MAD đồng dạng với tam giác MCB suy ra: MA MD  MC MB  MA MB = MC MD Vậy ta lại có cách chøng minh tø gi¸c néi tiÕp b»ng tû lƯ thøc: MA MB = MC MD, A BM, D MC => Tø gi¸c ABCD néi tiÕp 4, Nh với cách nghiên cứu nh với định nghĩa đờng tròn ta có số cách chứng minh (dÊu hiƯu nhËn biÕt) nhanh tø gi¸c néi tiÕp nh sau: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn thoả mÃn hệ thức sau: bảng hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn Thứ tự cách chứng minh Cách HƯ thøc OA = OB = OC = OD H×nh vẽ minh hoạ C A B D Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài B Cách 2.a) A x  B  D 1800   A2  C1 180 2.b) A1 = C1 D C A C¸ch D A1 + C1 = 900 + 900 B C A C¸ch  A1 B1  A D 2   B C   D1 C1 21 B 2 D A B C¸ch D A1 = B1 = 900 C C B C M B C¸ch MA MB = MC MD C A O D A D tứ giác (Hình bên phải ACBD nội tiếp) M Kết hợp với tính chất tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O thoả mÃn hệ thức Với cách hệ thống hoá nh học sinh đợc ghi nhớ cách lôgic từ nhận biết nhanh đợc tứ giác nội tiếp đờng tròn từ ®ã sư dơng nhanh c¸c tÝnh chÊt cđa tø gi¸c nội tiếp giải toán hình học Ngoài ra, với giáo viên ta cần nhớ thêm số cách chứng minh từ toán đờng thẳng Simson định lý P.tôlêmê: Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O); M điểm Gọi E, F, K lần lợt hình chiếu M xuống AB, BC, CA Chứng minh điều kiện cần đủ để M (O) E, F, K thẳng hàng (cùng nằm đờng thẳng Simson) Nếu M trïng mét ba ®Ønh A, B, C cđa tam giác ABC toán hiển nhiên Ta xét trờng hợp M thuộc nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, trờng hợp lại chứng minh tơng tù E A M K O i)B (1) C Điều kiện cần: M(O) E, K,F thẳng hàng (1): K K (2) ThËt vËy, c¸c tø gi¸c MEAK, MKFC, AMCB, EMFB néi tiÕp => Mˆ  Kˆ (3), Mˆ  Kˆ (4) Mˆ  Mˆ (5) (cïng céng gãc AMF vµ ABC cho 1800) Tõ (3), (4), (5) => (2), (1) ii) Điều kiện đủ: Có (1) => M(O) (6) tø gi¸c MABC néi tiÕp (7) Thật vậy: từ giả thiết từ tứ giác MEAK, MKFC MEBF nội K , tiÕp => ®Ønh) => M Mˆ  Kˆ , Kˆ  Kˆ (®èi 1 AMˆ C  ABˆ C  AMˆ F  Mˆ  ABˆ C  AMˆ F  Mˆ  AB C 180 => (7) => (6) Bài toán Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn AB.CD + BC.AD=AC.BD Bài toán Cho tứ giác ABCD có cạnh đối diện AD cắt BC E AB cắt CD F Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD nội tiếp EA.ED+FA.FB=EF2 * Mét sè vÝ dơ minh ho¹: Trong phần ví dụ này, ví dụ đợc trình bày theo hớng phân tích để tìm phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Phần trình bày lời giải sở phân tích nên cho phép không trình bày Ví dụ 1: Cho hai đờng tròn (O) (O) gặp A B, tiếp tuyến A đờng tròn (O) gặp (O) M; Tiếp tuyến A đờng tròn (O) gặp (O) N Lấy điểm E đối xøng víi A qua B Chøng minh tø gi¸c AMEN nội tiếp đờng tròn Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài Phân tích: C/m tứ giác ANEM nội tiếp đờng tròn (1) mà ta thấy E đối xứng với A qua B Vậy tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ANEM nằm đờng trung trực đoạn AE, nh tâm đờng tròn nằm trung trực đoạn thẳng nào? (Đoạn AN AM ) Vậy ®Ĩ chøng minh (1) ta cã thĨ dïng c¸ch ®Ĩ sư dơng tÝnh chÊt cđa ®êng trung trùc cđa đoạn thẳng suy Gọi I giao hai trung trực AN AM thì: (1) IA = IN = IE = IM (2) ThËt vËy: OI // AO’ (cïng  AN ) vµ AO // OI (cùng AM ) => AOIO hình bình hµnh => OIO’ = OAO’ = OBO’ => OIBO’ lµ tø gi¸c néi tiÕp (theo c¸ch 4) nhng OI = AO = OB => OIBO hình thang cân => IB // OO’ (3) => IB  AB => IB đờng trung trực AE => IA = IN = IE = IM => (2) => (1) ®pcm Chó ý: cịng cã thĨ chøng minh (3) b»ng c¸ch chøng minh OO đ ờng trung bình tam giác AIB C¸ch 2: (1) (2) => Tø gi¸c HCNK néi tiÕp C¸ch 2: Chøng minh CHˆ K  ANˆ K Trên cạnh AB kấy điểm M/ , cạnh AC lÊy N/ cho AM/=AN/=AH Gäi I/, K/ lµ giao điểm M/N/ với phân giác góc BAH, CAH A 45 R M/ B I/ S K/ N/ H C 10 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm – Ngun Hữu Tài AI M AI H (c.g.c) => AH I /  AMˆ / I / 45 => I I/ Chøng minh t¬ng tù K K/ Suy M M/ , N N/ => AHˆ K  ANˆ K / / / 45 => tø gi¸c HCNK néi tiÕp VÝ dơ 4: Cho gãc xOy Mét ®iĨm A góc đó, gọi B, C hình chiếu vuông góc A Ox, Oy; gọi C , B hình chiếu vuông góc C, B xuống Ox, Oy; gọi B , C hình chiếu vu«ng gãc cđa B’, C’ xng Ox, Oy Gäi E giao điểm BB, CC Gọi Q, P lần lợt giao OE với BC BC Chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp Phân tích: C/m tứ gi¸c MNPQ néi tiÕp (1) Ta cã thĨ sư dơng c¸ch : C/m : P + M = 90o + 90o (2) Thật vậy, tứ giác OBAC nội tiÕp ( nhËn biÕt nhanh c¸ch )  OCB = OAB (3) (đảo cách 4) Vì BCBC nội tiếp ( nhËn biÕt nhanh c¸ch ) B / C OC’B’ = OCB (4) B// Tõ (3)vµ (4) => Tø gi¸c MC’BA néi tiÕp Q E ( nhËn biÕt nhanh c¸ch 2.b ) P o O nhng OBA = 90 M QMN = 90o (5) N A  ( T/chất tứ giác nội tiếp t/chất hai góc kề bï ) C// T¬ng tù QPN = 90o (6) B/ C Từ (5) (6) => (2) => (1) đpcm VÝ dơ 5: Cho tam gÝac ABC c©n ( AB = AC ) Trên AB AC lấy M vµ N cho AM + AN = AB Dựng hình thang cân ANMI ( AI // MN ) Chứng minh tứ giác AIBC nội tiếp A Phân tích: §Ĩ chøng minh tø gi¸c AIBC néi tiÕp (1) Tõ giả thiết => IM = MB = AN (2) IN = AM = NC (3) I Tõ (2) vµ (3) => IMA = 2B1 (4) vµ ANI = 2C1 (5) (góc tam giác ) Mặt khác IMA = ANI (6) ANMI hình thang cân ) VËy tõ (4), (5) vµ (6) ta cã thĨ suy điều ? (suy B1 = C1(7)) Và từ (7) => (1) đpcm (cách 4) N M B C 11 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm – Ngun Hữu Tài Vậy để giải toán ví dụ ta đà dùng cách Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác, G, K tiết điểm đờng tròn (I) AB, AC Gọi M, N giao điểm cđa IB, IC víi GK Chøng minh BNMC lµ tø giác nội tiếp A Phân tích: C/m BNMC nội tiếp (1) Sư dơng c¸ch 5: (1)  BNC = BMC = 90o (2) Ta thấy BGI = 90o nên phải chứng minh : Tứ giác BNGI tứ giác IKMC néi tiÕp (3)  MIC = MKC (4) víi chó ý I giao phân giác tam giác ABC Ta cã MIC = B1 + C1 = B  C I 1 B 180 A Mặt khác: MKC = AKG = AGK = 180 K M N G C (5)  A (6) Tõ (5) vµ (6) suy (4) => (3) => BMC = BNC = BGI = IKC = 90o => (2) =>(1) ®pcm VÝ dơ 7: Cho tam giác ABC kẻ đờng cao AH Gọi I, K Là hình chiếu vuông góc H AB, AC Chứng minh tứ giác BIKC nội tiếp đợc Phân tích: C/m Tứ giác BIKC nội tiếp (1) ta dùng hai cách sau : Cách 1: Theo giả thiết dễ thấy tứ giác AIHK néi tiÕp Nªn I1 = H1 nhng H1 = C1 (cïng phơ víi H2) ®ã I1 = C1 ta cã c¸ch chøng minh thø nhÊt C/m (1) theo c¸ch 2.b A K I 1 B H C¸ch 2: Chøng minh (1) ta cã thĨ sư dơng c¸ch đợc không? C (1) AI AB = AK AC (2) §Ĩ chøng minh (2) ta cã thể sử dụng hệ thức lợng giác tam gíac vuông AHC AHB : AI AB = AH2 AK AC = AH2 suy (2) đợc c/m => (1) đợc c/m 12 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài Trong toán nêu có cách giải khác nhng nói cách đà nêu Nhng với trình bày từ đến hai cách mục đích làm sáng tỏ việc phân tích theo định hớng thích hợp để chứng minh tứ giác nội tiếp IV Kết trình nghiên cứu: Trong trình nghiên cứu, tổng hợp viết hoàn thiện đề tài thu đợc kết khả quan Tự nhận biết nhanh đợc tứ giác nội tiếp, để từ định hớng phơng pháp hớng dẫn học sinh tìm lời giải Giúp cho việc giải toán hình học có sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp nhanh nhạy Bổ xung thêm cho phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp, điểm thuộc đờng tròn, để không bị bế tắc với khó, thân tự tin hơn, t thêm nhanh sáng tạo Đặc biệt giúp cho giáo viên thêm phơng pháp hớng dẫn học sinh chứng minh hình học, giải toán hớng dẫn học sinh đọc tài liệu tham khảo với toán liên quan đến tứ giác nội tiếp V Giải pháp sáng tạo: Trong đề tài giải pháp sáng tạo phân tích để tìm c¸ch chøng minh tø gi¸c néi tiÕp theo trùc gi¸c hình vẽ toán (định lý) định hớng phơng pháp theo giả sử bớc sau : Hớng thứ nhất: ( phân tích lên ) Bớc 1: Giả sử để chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn ta chọn phơng pháp A ( phơng pháp A cách 1, cách Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có, cách ) ta phải chứng minh điều ? ( điều c¸c hƯ thøc ë c¸ch ) Bíc 2: Sau dựa vào giả thiết, kiến thức đà học để chứng minh Bớc 3: Trình bày lại lời giải toán theo hớng phân tích Hớng thứ hai: (Tổng hợp ) Bớc 1: Phân tích giả thiết, nhận biết nhanh c¸c tø gi¸c néi tiÕp ( b»ng mét c¸ch ) Bíc 2: Dïng tÝnh chÊt cđa tø giác nội tiếp, kiến thức toán học để có mét s¸u hƯ thøc cđa c¸ch chøng minh tứ giác nội tiếp Bớc 3: Tổng hợp, phân tích, kiểm tra lại để tránh sai lầm cuối trình bày lời giải 13 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài Cái sáng tạo hệ thống, liên kết chặt chẽ phơng pháp ®Ĩ cã thĨ nhËn biÕt mét c¸ch nhanh nhÊt tø giác nội tiếp đờng tròn Tự tin học toán B ứng dụng vào thực tế công tác giảng dạy - Về tâm lý HS học không thụ động phải tìm tổng hai góc ®èi diƯn cđa mét tø gi¸c b»ng 180o míi néi tiếp Phát huy đợc tính độc lập, nhanh nhẹn sáng tạo tìm lời giải hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đà đợc hình thành dễ ghi nhớ, tạo điều kiện tìm cách giải khác cho toán hình học - Ngoài kết học sinh biết cách chứng minh tứ giác nội tiếp nhận biết nhanh tứ giác néi tiÕp th× ta cã thĨ dïng tÝnh chÊt cđa để ứng dụng chứng minh hình học có sử dụng kết tứ giác nội tiếp: ứng dụng 1: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học; Chứng minh góc , đẳng thức tích đoạn thẳng , bất đẳng thức diện tích hình, Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có Ví dụ : Từ kết qu¶ cđa vÝ dơ ta cã thĨ dïng tø giác HCNK nội tiếp để giải toán : Giữ nguyên giả thiết bổ xung thêm M giao điểm IK với AB Kết luận chứng minh SAMN ≤ SABC (víi SAMN, SABC thø tự ký hiệu diện tích tam giác AMN tam giác ABC ) Ta phân tích giải tiÕp nh sau (h×nh vÏ ë vÝ dơ 3) Tø gi¸c HCNK néi tiÕp => ANM = KHC = 45o => AMN tam giác vuông cân A => AM = AN (1) Lại chứng minh đợc AKN = AKH (g.c.g) => AN = AH (2) Tõ (1) vµ (2) => AM = AN =AH Do ®ã SAMN = AM AN = AH2 cßn SABC = AB AC XÐt ABC vu«ng t¹i A cã : 1 AB  AC 2 AB AC       2 2 2 AH AB AC AB AC AB AC AB AC S ABC Hay: 1  2.S AMN S ABC  SAMN  SABC ( ®pcm) øng dụng 2: Dùng tứ giác nội tiếp để chứng minh cặp đờng thẳng song song, cặp đờng thẳng vuông góc: Ví dụ: (lấy ví dụ 2) Giữ nguyên giả thiết, kÕt luËn chøng minh PQ//AC ThËt vËy ( h×nh vÏ ë vÝ dơ 2) Tø gi¸c AQBP néi tiÕp => ACB = PAB ( chắn cung AB ) mà PAB = PQB (cùng chắn cung BP đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AQBP ) => ACB = PQB => PQ //AC (đồng vị ) 14 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài ứng dụng 3: Dùng cách chứng minh tứ giác nội tiếp để chứng minh nhiều A1, A2, A3, Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có An thuộc ®êng trßn : Bíc 1: Chän ®iĨm, vÝ dụ A 1, A2, A3, A4 tạo thành tứ gÝac néi tiÕp (sư dơng mét c¸ch chøng minh tứ giác nội tiếp ) Bớc 2: Lại chọn bốn điểm khác : A 1, A2, A3, A5 chẳng hạn tạo thành tứ giác nội tiếp Cø tiÕp tơc chøng minh nh trªn, ci cïng nhËn xét đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ®Ịu chung ®iĨm A1, A2, A3 Do ®ã đờng tròn phải trùng => A1, A2, A3, Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có,An thuộc đờng tròn Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông A, điểm E thuộc BC, kẻ hai trung trực AB AC gặp ë I Trung trùc cđa AE c¾t hai trung trùc ë F, K Chøng minh ®iĨm A, E, F, I, K nằm đờng tròn Phân tÝch : K Chøng minh ®iĨm A, E, F, I, K nằm đờng tròn (1)  Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp AKIE A C AKIF (có điểm chung A, K , I) (2) F I ThËt vËy, từ giả thiết => I BC IB =IC (A = 90o) E H Vì IK trung trực AC, KF lµ trung trùcBcđa AE  KA = KC = KE => KAI = KEI (=KCE)  Tø gi¸c AKIE nội tiếp (3) (theo cách 4) ta lại có K1 = K2 = I1= I2 (C¸c gãc néi tiÕp chắn cung tính chất đờng trung trực ) hay K1 = I1 => tø gi¸c AKIF néi tiếp (theo cách 4) (4) Từ (3)và (4) => (2) => (1) đpcm Chú ý : ví dụ kẻ đờng cao AH tam giác ABC Hình vẽ ứng với điểm E thuộc đoạn HC trờng hợp E thuộc đoạn HB E nằm đoạn BC chứng minh tơng tự Bài học kinh nghiệm: Qua đề tài rút đợc học kinh nghiệm cho thân có đủ phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp, khai thác triệt để Điều kiện cần đủ để khai thác toán dạy bồi dỡng cho HS Cũng từ cách chøng minh tø gi¸c tø gi¸c néi tiÕp cã thĨ mở hớng nghiên cứu tiếp vẽ hình phụ tạo tứ giác nội tiếp, để giải cách khác cho toán cụ thể đề toán trình giảng dạy 15 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài Phần : Kết luận Qua quan sát đọc tài liệu viết báo cáo dạy minh họa, việc tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn, vận dụng tính chất vào giải toán thấy đợc giá trị lý luận, ý nghĩa thực tiễn hiệu ®Ị tµi nµy nh sau: - Träng rÌn lun nghiƯp vụ: Đây hình thức tự học, tự bồi dỡng ngời giáo viên Với GV, có đọc, học hỏi tích luỹ kinh nghiệm phơng pháp dạy cho học sinh cách có phơng pháp, có hệ thống nâng cao đợc lực giải toán, phơng pháp đợc đổi sáng tạo - Bên cạnh nói đề tài t liệu cần thiết giúp giáo viên trờng tham khảo dạy hình học cho học sinh giúp GV dạy toán mở hớng nghiên cứu tiếp hệ thống phơng pháp khác - Trong thực tiễn giảng giạy: Việc nắm đợc hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp để áp dụng vào giải toán đem lại hứng thú cho ngời giải toán, HS với toán chứng minh tứ giác nội tiếp HS tự mày mò tìm đợc hớng giải không bị bế tắc Có đợc tứ giác nội tiếp lại dùng tính chất tức phần đảo lại để khai thác đề xuất câu hỏi mới, toán thực lý thú Nó đem lại tự tin, niềm say mê với môn hình học, tởng tợng phong phú t nhanh nhạy 16 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài - Nói tóm lại hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp thiếu ngời thầy để bồi dỡng phơng pháp giải toán lực t sáng tạo cho HS Tuy đề tài dừng lại mảng nhỏ chứng minh hình học nhng đà phần làm sáng tỏ ý nói Những tài liệu tham khảo xây dựng đề tài : SGK toán tập Phan Đức Chính ( Tổng chủ tập )- Tôn Thân (chủ biên) nhà xuất giáo dục năm 2005 Nâng cao phát triển toán tập Vũ Hữu Bình Nhà xuất giáo dục năm 2005 Chứng minh hình học : phân loại phơng pháp giải 100 toán chứng minh hình Nguyễn Phúc Trình Nhà xuất thành phố Hồ Chí Minh năm 1999 Cách tìm lời giải toán THCS tập III Hình học Lê Hải Châu Nguyễn Xuân Quỳ Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội năm 1999 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cÊp båi dìng häc sinh giái vµ lun thi vµo lớp 10 (quyển hạ ) ban GV khiếu trờng thi Chủ biên Nguyễn Đức Đồng , Nguyễn văn Vĩnh Nhà xuất trẻ năm 2000 Hơng Canh, tháng năm 2008 Nguyễn Hữu Tài 17 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài Mục lục phần 1: Phần mở đầu Trang Lý chọn ®Ị tµi a) C¬ së lý luËn b) C¬ së thùc tiƠn 2 Phạm vi, đối tợng, mục đích đề tài Phần 2: nội dung đề tài A Nội dung ®Ị tµi I C¬ së lÝ ln khoa häc cđa ®Ị tµi II Đối tợng phục vụ cho trình nghiên cứu xây dựng đề tài III Nội dung phơng pháp nghiên cứu * Phơng pháp nghiên cứu * Néi dung nghiªn cøu * Một vài ví dụ minh hoạ IV KÕt qu¶ trình nghiên cứu V Giải pháp sáng tạo đề tài B ứng dụng vào thực tế công tác giảng dạy phần 3: KÕt luËn 4 5 16 16 17 20 Những tài liệu tham khảo 21 18 ... chứng minh B ta cã thĨ chøng minh B1 , ®Ĩ chøng minh B1 ta cã thĨ chøng minh B2,… §Ĩ chøng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có, cuối ta chứng minh Bn Nếu chứng minh đợc Am Bn toán chứng minh. .. Là hai góc đồng vị (hay so le trong) hai đờng thẳng song song Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có * Phơng pháp 2: áp dụng định lý góc có cạnh tơng ứng song song hay vuông góc Sáng... chứng minh hình học THCS phạm vi hẹp, cụ thể chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để từ chứng minh đẳng thức góc, đẳng thức tích đoạn thẳng, Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có Tuy