Phương trình vi phân

45 30 0
  • Loading ...
1/45 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 14/04/2018, 12:50

Nội dung - I – Phương trình vi phân tuyến tính cấp tổng qt II – Phương trình vi phân tuyến tính hệ số III- Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp I Phương trình vi phân tuyến tính cấp Định nghĩa phương trình khơng Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không '' ' y  p( x) y  q( x) y f ( x), (1)  p( x), q( x), f ( hàm liên tục x) Định nghĩa phương trình Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai '' ' y  p( x) y  q( x) y  0, (2) p( x), q( x) hàm liên tục I Phương trình vi phân tuyến tính cấp Cấu trúc nghiệm phương trình khơng ytq  y0  yr ytq nghiệm tổng quát pt không y0 nghiệm tổng quát pt yr nghiệm riêng pt không Tập hợp nghiệm phương trình khơng gian chiều: y0  c1 y1 ( x)  c2 y ( x) y1 ( x ) nghiệm riêng pt (2) Tìm nghiệm thứ hai dạng: y2  y1 ( x)  u( x) y2'  y1' u  y1u' ;  y1''u  y1u y ''  py'  ' ' y2''  y1''u  y1u   y1u''  p y'1' u  y1u u  y u  2 y qy1 '' 1  ' '  y1u'' '   qy u  u '   '' ' '  y1u  y1  py1 u  py1 Đặt z  u ' , có phương trình tách biến e  p ( x )dx  u   y ( x)dx  y2 ( x)  y1 ( x)   '  ' y1 z  y1  py  z0 e  p ( x ) dx d x y ( x) I Phương trình vi phân tuyến tính cấp Tìm nghiệm riêng (1) phương pháp biến thiên số: ' ' '' '' yr  c1 ( x) y1 ( x)  c2 ( x ) y ( x) ' ' '  yr  C1 ( x) 1y  1C ( x)1 y ( x) 2 C (2x) y 2 C 2( x) y ( x) ' ' ' ' ' '' '' ' ' ' '  yr  C1 y1  C1 1y  1C y 1C1 y 2 C2 y  C y 2C y2 2 C y Thay vào pt (1): y ''  p( x)  q( x)  f ( x) ' yr r y r ' C 1y  C2' y2  ' ' ' ' y y1  C2 C Giải hệ tìm   f ( x) Nghiệm riêng: yr ' ' C1 , C2 Suy C1 ( x), C.2 ( x) Nghiệm tổng quát (1): ytq  y0  yr KẾT LUẬN: Để giải phương trình y ''  p( x) y '  q( x) y f ( x)  cần tìm nghiệm riêng y1 ( x) pt Từ nghiệm y1 ( x) suy ra: y2 ( x)  y1 ( x)   e   p ( x ) dx y12 ( x) dx Tìm nghiệm yr  c1 ( x) y1 ( x)  c2 ( x) y2 ( x) C '  C ' y  y 1 2 ' ' ' ' y  C C y 2  1   f ( x) r  C1 ( x), C2 ( x)  y Nghiệm tổng quát pt không nhất: ytq  y0  yr '' dụ Giải phương trình x y ''  xy '  y  x (1) ' y  y4 xx x 1 Phương trình nhất: y ''  y '  y  (2) x x Đoán nghiệm riêng pt nhất: y1 ( x)  x Phương trình chuẩn: y ''  Tìm nghiệm riêng thứ hai (2): y2 ( x)  y1 ( x)  e    p ( x ) dx y ( x) dx  x   e  x dx x dx  x ln x Tìm nghiệm riêng pt (1) PP biến thiên số Trong ta đoán được: y  x Nghiệm tổng quát (1): ytq  y0  yr  C1x  C2 x ln | x | 3 x dụ Giải phương trình y   tan x  y  y  '' ' Đoán nghiệm riêng: y1 ( x)  sin x Tìm nghiệm riêng thứ hai (2): y2 ( x)  y1 ( x)   e  p ( x ) dx y1x)2 ( dx  sin x  tan xdx sin x 2x x  y1 ( x)  x Tìm nghiệm riêng thứ hai (2): y2 ( dx  '' dụ Giải phương trình y  Đốn nghiệm riêng: e x 2x 2y ' y  0 x 1 )  y1 ( x)   e  p ( x ) dx y12 ( x) dx e x  dx x 1 x dx II Ptrình vi phân tuyến tính cấp hệ số Định nghĩa phương trình khơng hệ số Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai phương trình y ''  py '  qy f ( x), (1)  p, q số, f(x) hàm liên tục Định nghĩa phương trình hệ số Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai phương trình '' ' y  py  qy  0, (2) p, q số Giải phương trình nhất: y ''  py '  qy  0, (2) Phương trình đặc trưng: k  pk  q  TH 1: PTĐT có hai nghiệm thực phân biệt k1 , k Nghiệm tổng quát: y0  C1 e k1x  C2 e k2 x TH 2: PTĐT có nghiệm kép k0 Nghiệm tổng quát: y Ce k0 x k x  xe C2 TH 3: PTĐT có nghiệm phức k  a  bi Nghiệm tổng quát: y0  eax  C1 cos bx  C2 sin bx  Tìm nghiệm riêng phương trình khơng Trường hợp chung: Phương pháp biến thiên số Xét hai trường hợp đặc biệt: TH 1:  f ( x)  P ( x)e , Pn(x) đa thức bậc n x n Tìm yr dạng: yr  x s e x Q n( x) s = 0,  không nghiệm pt đặc trưng s = 1,  nghiệm đơn pt đặc trưng s = 2,  nghiệm kép pt đặc trưng Qn ( x) đa thức có bậc tối đa n Để tìm hệ số Qn ( x) , thay yr vào pt (1) TH 2: f ( x)  e x  P ( x) cos  x  (x) sin  x  Q n Tìm y dạng: y  x s e x  r H r m ( x) cos  x  ( x) sin  x  T k k s = 0,   i không nghiệm pt đặc trưng s = 1,   i  nghiệm đơn pt đặc trưng H k ,Tk : hai đa thức bậc tối đa Để tìm hệ số H k ,Tk k  max{m, n} , thay yr vào pt (1): '' ' y r  pyr  qyr  f ( x) sinx cosx độc lập tuyến tính nên hệ số tương ứng Chú ý: 1) Có nguyên lý cộng dồn (chồng chất) nghiệm: '' ' y  py  qy  f ( x)  f1 ( x) f ( x)  nghiệm riêng (1) có dạng yr  yr  yr yr1 nghiệm riêng pt: y ''  py '  qy f ( x)  yr2 nghiệm riêng pt: y ''  py '  qy f ( x)  2) f ( x)  Pn ( x) trường hợp 1: 0x f ( x)  e P n ( x) 3) f ( x)  Pn ( x) cos  x trường hợp 2: f ( x)  e0 x  nP ( x) cos  x  sin  x  dụ Giải phương trình y ''  y '  y  e  x Phương trình đặc trưng: k  5k    k1   k2  Nghiệm tổng quát pt nhất: y0  C1 e x  C2 e3 x f ( x)  e x   Pn ( x)e    1, Pn ( x) bậc x yr  x s e xQn ( x )   1, Qn (x)  A (vì Pn bậc 0) s = 0,    khơng nghiệm pt đặc trưng yr  x0 e x A  Ae x yr'    xAe'' x Khử x2 pt (1) (3): x '  3x'  x''  4x1 Khử x ' pt (1) (3): Đạo hàm hai vế (5): ' '' xx1  x1    3x '' ''' ' x1  x1   x1  ' 3x Rút x ' thay vào (4): (4) 1 ''' '' 2 (5) (6) x  3x  4x  Giải phương trình ta x (t)  C et  C e2t  C te 2t 1 Thay vào (4) ta x2 (t ) Thay vào đầu hệ ta x3 (t ) t  x1'  x1  x2  e  ' 3x2  x3  t dụ Giải hệ phương trình  x2   x'   x   2x  2t  x Lấy lần pt đầu trừ pt thứ hai hệ ' ' t 3x1  x2  3x1  x3  3e - (1) t Lấy pt đầu trừ pt thứ hệ ' ' t x1  x3  2x1  2x3  e - 2t (2) Đạo hàm hai vế pt đầu: Thay vào pt (1): ' ' ''  x2  x1  x1  e ' '' x  x  3x  x t t  2e - t (3) 1 Khử x3 pt (2) (3): 9x1'  x1 ''  x3 '  8x1  t 5e Đạo hàm hai vế (3): 4x1''  x1'''  3x1'  x'3  2e Rút x3' thay vào (4): ''' '' ' x1  6x1  12x1  8x1  t 3e t - 4t (4) -1 (5)  4t  Giải phương trình ta t 2t 2t 2t t x1 (t )  C1 e  C2 te  C3 t e  3e   Thay vào pt đầu hệ ta x2 (t ) Thay vào pt hai hệ ta x3 (t ) Phương pháp trị riêng, véctơ riêng dX  AX  F (t ) A ma trận thực, vuông cấp n (2) dt Trường hợp 1: A chéo hoá được: A  PDP  dX  AX  F (t ) dt 1 dX 1 dt  PDP X  F (t ) Đặt Y  P 1 X P ' 1 Y P X 1 dX 1 1  DP X  P F (t ) dt ' Ta có: Y '  DY  P 1F (t ) Đây phương trình vi phân cấp tách rời  x1'  '  x2 dụ Giải hệ phương trình A 3 1   2 2 3x1  x2  e t  x1  2x2  t  et   x1  X  () F t   t     x2  1 14 02/3 1/  Chéo hoá A: A  PDP 1   2     1/ 1/  3 Đặt Y  P 1 X    Ta có: Y '  DY  P 1F (t )  y1'     y  / 1/   et           '  y2     y   1/ 1/ 3  t   y 1'     y  / 1/   et           '  y2     y   1/ 1/ 3  t   y '   y'   y  y 1(t )     y (t )   yt  2 t e  3 t hệ gồm hai ptrình vi phân tuyến tính cấp riêng biệt t e  3 4t C1 e  t t e   12 48 t Ce  t t e   x1  Nghiệm hệ:  t  3 P  y1  1   y1     x2     y2   2   y    2  x1'  3x1  x2  x3  4t  ' dụ Giải hệ phương trình  x2  x1  x2  x3  x '  x  x  3x   3 1   A   1    x1    X   x2  x   3  4t    F (t )    8   Chéo hố A ( Xem Đại số tuyến tính)  1 1   0   1/ 1/ 1/  1     A  PDP  2 1/ / 1/      1   0   1/  1/ 1/     Đặt Y  P 1 X Ta có: Y '  DY  P 1F (t )  y '   0   y  1/ 1/ 1/   4t   1  '      1/ 1/ /      y    24  y          y '   0   y  1/ 1/ 1/    3     3   y'  '   y2  ' y  y y  y  2t  t6 t2  y (t ) 2t  Ce t5/2  2t   y2 (t )  C2 e  t /  11/  6t y (t )  C e  t /  19 / 36 3  x1 (t )   1   C1e  t  /    1     X  PY  x (t )  C  t /  11/  2t e     2t Nghiệm hệ  x (t )     C3 e 1    6t  t /  19 / 36  Phương pháp trị riêng, véctơ riêng dX  AX  F (t ) (2) dt Trường hợp 2: A khơng chéo hố được: Mọi ma trận (thực phức) tam giác hoá A  PTP (2)  1 với T ma trận tam giác dX 1  PTP X  F (t ) dt Đặt Y  P 1 X  Y '  P 1 X  P 1 ' Ta có: Y '  TY  P 1F (t ) dX 1 1  TP X  P F (t ) dt Đây hệ tam giác, giải từ lên  x1'  2x1  4x2  3x3  ' dụ Giải hệ phương trình  x2  4 x1  6x2  3x3  x '  3x  3x  x  3  A   4 6 3         x1  X   x2  Đây hệ   x   3 A không chéo hố ( Xem Đại số tuyến tính) | A   I |  (  2) (  1)   1 1  2 có VTR độc lập tuyến tính X    0   1   có VTR độc lập tuyến tính X   1 1   2  Gọi X cột thứ hai ma trận P  1 x1 Tìm hai ma trận P   x2   x3  A  PTP 1  2 m    T  2    0   1  1    AP  PT  AX  mX  X Chọn m =   x1   1  x1    x1   1     4 6 3   x     2 x   x        2     2        x3  x    x          3    2   1 2  Chọn    X   P  1   1         1   1 Đặt Y  P 1 X y'  2    T  2    0   Ta có: Y '  TY '  y  2 y  y  2   y 1  1   '  ' y  y  2 y  y   2  2 2        ' y'   y  y 1y  3  3  3   y1 (t )  C1e2t  C2 te 2t  x1 (t )  1 2   y1    2t      y (t )  C e )  1 y  x (t    y (t )   t C3e     x (t )      2   y3  t  x1'  x1  x2  e  ' 3x2  x3  t dụ Giải hệ phương trình  x2  '  x   x   2x  2t  x 1 0 A   1  1     et   x1    F (t )   t  X   x2     2t  x     3 A không chéo hố ( Xem Đại số tuyến tính) | A   I |  (  2)  1 1  có VTR độc lập tuyến tính X  1 1   Gọi X cột thứ hai ma trận P 1 Tìm hai ma trận A  PTP 1 x1 P  1 x2   x3  y1  y2  3 y  2 a b   T c   0 2    AP  PT  AX  aX1  X Chọn a = 1  0    x1 1   x1      1  x2    x2        1   x3    x3           1 Chọn    X   2   1  x1     1      x2       x     1      1 y1  P   y2    1 y  2 b T 0 c   0 2    3   1 A  PTP  AP  PT  AX  bX  cX  Chọn b = 0,c=1 X3 1  0    y1 1  y1   x1             1  y2   2  y2  x2              1   y3    y3   x              3   1 Chọn    X       0   1 1    P 2   1   2 0   T   0 2    1    1 P   2 1   1 t y' 2 0y   1   e  1  '       t  y   2 1  y   2    '  y   0   y  1  2t     3   3  Đặt Y  P 1 X  y'   '   y2  ' y3 Ta có: Y '  TY  P 1F (t ) 2y  y t  2e  t t  y  y3  2e  3t  y3  2e  2t t  y1 (t )   2t t t   y2 (t )  C2 e  C3 e  2te  t /  /  t t  y3 (t )  C3e  2te  2t  Nhận xét: Giải hệ X '  AX  F (t) phương pháp khử: sau khử ta phương trình vi phân tuyến tính cấp cao pt Phương trình đặc trưng pt trùng với pt đặc trưng ma trận A, số trường hợp trùng với phương trình tối thiểu A Phương pháp khử: 1) Khử biến hệ 2) trình khử: đạo hàm hai vế Hệ pt, ẩn: khử dễ dàng, hệ nhiều pt nhiều ẩn: khó ... số Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai phương trình y ''  py '  qy f ( x), (1)  p, q số, f(x) hàm liên tục Định nghĩa phương trình hệ số Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai phương trình. .. pt không (2) Phương pháp khử Nội dung phương pháp khử đưa hệ phương trình vi phân phương trình vi phân cấp cao cách đạo hàm phương trình khử hàm chưa biết Ưu điểm Giải hệ phương trình nhanh Nhược... nhiều phương trình, nhiều hàm  x1'  '  x2 Ví dụ Giải hệ phương trình  x1  x2  4x1  3x2 Lấy phương trình (2) trừ lần phương trình (1) 4x1'  x'2  5x2 (*) Đạo hàm hai vế phương trình
- Xem thêm -

Xem thêm: Phương trình vi phân, Phương trình vi phân

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay