Nội dung sách giáo khoa Đai số giải tích 11 NC Chương : ĐẠO HÀM Hãy copy nội dung cần thiết vào chổ giáo án bạn Chúc bạn có giáo án riêng Ví dụ mở đầu Từ vị trí O (ở độ cao định đó), ta thả viên bi cho rơi tự xuống đất nghiên cứu chuyển động viên bi Trong Vật lí 10 ta biết : Nếu chọn trục Oy theo phương thẳng đứng,chiều dương hướng xuống đất,gốc O vị trí ban đầu viên bi (tại thời điểm t-0) bỏ qua sức cản khơng khí phương trình chuyển động viên bi là: (g gia tốc rơi tự do, Giả sử thời điểm đến ,viên bi vị trí ) có tọa độ , viên bi vị trí M có tọa độ ,quãng đường viên bi ; thời điểm Khi đó,trong khoảng thời gian từ Vậy vận tốc trung bình viên bi khoảng thời gian : (1) Nếu nhỏ tỉ số (1) phản ánh xác nhanh chậm viên bi thời điểm Từ đó,người ta xem giới hạn tí số thời điểm viên bi,kí hiệu dần đến vận tốc tức thời Nói cách khác Nhiều vấn đề toan học, vật lí, hóa hoc, sinh học, dẫn đến tốn tìm giới hạn: , hàm số Trong tốn học, người ta gọi giới hạn đo, có hữu hạn, đạo hàm hàm số điểm Đạo hàm hàm số điểm a) Khái niệm đạo hàm hàm số điểm Cho hàm số xác định khoảng điểm thuộc khoảng ĐỊNH NGHĨA Giới hạn hữu hạn (nếu có) tỉ số hàm hàm số cho điểm x dần đến ,kí hiệu gọi đạo ,nghĩa : Trong định nghĩa trên, đặt ta có: (2) CHÚ Ý 1) Số gọi số gia biến số điểm ;số gọi số gia hàm số ứng với số gia điểm 2) Số 3) tích khơng thiết mang dấu dương kí hiệu,khơng nên nhầm lẫn : với y Tính số gia hàm số ứng với số gia tích với x, biến số điểm b) Quy tắc tính đạo hàm hàm theo định nghĩa Ta có quy tắc tính đạo hàm hàm số theo định nghĩa sau : Quy tắc Muốn tính đạo hàm hàm số f điểm * Bước Tính theo cơng thức theo định nghĩa,ta thực hai bước sau: số gia biến số * Bước Tìm giới hạn Trong quy tắc hàm số xét sau đây, ta hiểu hàm số ứng với số gia cho biến số điểm xét Ví dụ Tính đạo hàm hàm số Giải Đặt * Tính số gia điểm ,ta thực quy tắc sau: : * Tìm giới hạn: Vậy Nhận xét Nếu hàm số có đạo hàm điểm Thật vậy,giả sử hàm số f có đạo hàm liên tục điểm ,tức Ta có Do Điều chứng tỏ Từ suy hàm số f liên tục điểm Ý nghĩa hình học đạo hàm Cho hàm số có đồ thị (C),một điểm Với điểm M thuộc (C) khác góc cát tuyến Giả sử tồn giới hạn hữu hạn cố định thuộc C có hồng độ ,ta kí hiệu hồnh độ hệ số Khi ta coi đường thẳng qua có hệ số góc tuyến M di chuyển dọc theo (C) dần đến vị trí giới hạn cát Đường thẳng điểm gọi tiếp tuyến (C) điểm Bây giả sử hàm số f có đạo hàm điểm , goi tiếp Chú ý vị trí M (C), ta ln có Vì hàm số f có đạo hàm điểm nên Từ ta phát biểu ý nghĩa hình học đạo hàm sau : Đạo hàm hàm số số điểm điểm hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm GHI NHỚ Nếu hàm só có đạo hàm điểm tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có phương trình Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Giải Trước hết ta tính đạo hàm hàm số * Tính điểm có hồnh độ : * Tính giới hạn : Ngồi ra,ta có Vậy nên phương trình tiếp tuyến cần tìm ,hay Dựa vào kết ví dụ 1,hãy viết phương trình tiếp tuyến dồ thị hàm số điểm Ý nghĩa học đạo hàm Xét chuyển động chất điểm.Giả sử quãng đường s hàm số thời gian t ( cịn gọi phương trình chuyển động chất điểm) Tương tự ví dụ mở đầu,khi nhỏ (khác 0) tỉ số phản ánh xác độ nhanh chậm chuyển động thời điểm Người ta gọi giới hạn hữu hạn (nếu có) vận tốc tức thời chuyển động thời điểm Từ đó, ta phát biểu ý nghĩa học đạo hàm sau : Vận tốc tức thời phương trình thời điểm (hay vận tốc đạo hàm hàm số ) chuyển động có điểm ,tức Chăng hạn,trong ví dụ mở đầu ta có: Do Vậy vật tốc viên bi t_0 Hình 1.189 H3.Một chất điểm chuyển động có phương tình (t tính giây, s tính mét).Vận tốc chất điểm thời điểm (giây) : (A) 2m/s ; (B) m/s ; (C) m/s; (D) 5m/s Chọn kết kết Đạo hàm hàm số khoảng a) Khái niệm Cho hàm số f xác định tập J,trong J khoảng hợp khoảng đó.Ta có định nghĩa đạo hàm hàm số khoảng ĐỊNH NGHĨA 1) Hàm số f gọi có đạo hàm J có đạo hàm 2) Nếu hàm số f có đạo hàm J hàm số xác định điểm x thuộc J gọi đạo hàm hàm số f Đạo hàm hàm số kí hiệu Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số Giải Với x thuộc khoảng khoảng ta có : * ; * Vậy hàm số có đạo hàm khoảng a)Chứng minh hàm số có đạo hàm R.Tìm đạo hàm b)Chứng minh hàm số có đạo hàm R.Tìm đạo hàm b) Đạo hàm số hàm thường gặp Ta có định lí sau : ĐỊNH LÍ a) Hàm số b) Hàm số c) Hàm số d) Hàm số Chứng minh có đạo hàm R có đạo hàm R ; có đạo hàm R có đạo hàm khoảng ; Sau ta chứng minh hai kết luận c d c) Với x thuộc R ta tính đạo hàm hàm số điểm x theo định nghĩa : * Tính : Áp dụng cơng thức Niu -tơn * Tìm giới hạn (chú ý ): Vậy hàm số cho có đạo hàm R ,ta có d) Với x thuộc khoảng ta có : * * Vậy hàm số có đạo hàm khoảng CHÚ Ý Hàm số xác định x=0,tuy nhiên người ta chứng minh khơng có đạo hàm điểm x=0 Ví dụ a) Tìm đạo hàm hàm số b) Tìm đạo hàm hàm số Giải a) Với ,ta có b) Với ,ta có điểm (với (với ) Do Cho hàm số a) b) Tính (nếu có) trường hợp sau: Nói chung,việc tính đạo hàm định nghĩa thường phức tạp.Bài cung cấp cho quy tắc tính đạo hàm,nhờ việc tính đạo hàm hàm số phức tạp quy tính đạo hàm hàm số đơn giản Để tiện cho việc diễn đạt,kể từ này,ta sử dụng kí hiệu J để tập R gồm khoảng hợp nhiều khoảng Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số ĐỊNH LÍ Nếu hai hàm số và có đạo hàm J hàm số có đạo hàm J, a) ; b) Ghi Các cơng thức viết gọn Chứng minh a) Tại điểm ,ta có * * Vậy b) Kết luận chứng minh tương tự Nhận xét Có thể mở rộng định lí cho tổng hay hiệu nhiều hàm số : Nếu hàm số có đạo hàm J J ta có Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số khoảng Giải Trên khoảng ta có Vậy a) Tính b) Cho hai hàm số R Chứng minh với x thuộc R,ta có Biết hai hàm số có đạo hàm Đạo hàm tích hai hàm số Định lí nói gọn : Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số tổng (hay hiệu) đạo hàm hai hàm số Liệu điều tương tự có xảy tích hai hàm số hay khơng? Định lí sau trả lời câu hỏi ĐỊNH LÍ Nếu hai hàm số hàm số có đạo hàm J có đạo hàm J,và ; Đặc biệt,nếu k số Ghi Các cơng thức viết gọn Chứng minh Đặt Ta tìm đạo hàm f điểm x tùy ý thuộc J Khi biến số nhận số gia Delta u [/ct] Tương tự, =u(x + \Delta x)-u(x) \Rightarrow u(x + \Delta x)=u(x) + \ nên Ta sử dụng đẳng thức để tính đạo hàm hàm số f * * Để ý , Ta có kết quả: Khi (hằng số) nên ta có Cách tính đạo hàm sau hay sai,tại sao? Ví dụ Tính đạo hàm hàm số a) b) trường hợp sau : ; Giải a) b) a) Chứng minh hàm số u,v w có đạo hàm J hàm số f xác định (với ) có đạo hàm J b) Áp dụng ,tính đạo hàm hàm số điểm Đạo hàm thương hai hàm số Sử dụng định nghĩa,ta chứng minh định lí đạo hàm thương hai hàm số ĐỊNH LÍ Nếu hai hàm cố hàm số có đạo hàm J có đạo hàm J với Ghi Công thức viết gọn Chứng minh hệ HỆ QUẢ a) Trên ta có b) Nếu hàm số có đạo hàm J với x thuộc J J ta có Ghi Cơng thức thứ hệ viết gọn Ví dụ Tính đạo hàm hàm số a) ,nếu : (a số) b) Giải a) Áp dụng định lí thứ (ở ),ta có b) Áp dụng hệ định lí (ở Chọn kết kết cho sau Đạo hàm hàm số (A) (B) (C) (D) ; ; ; ),ta có Đạo hàm hàm số hợp a) Khái niệm hàm số hợp Ví dụ Cho hai hàm số Nếu ,trong , ta thay biến số u u(x) Đặt Rõ ràng hàm số biến số x Ta gọi g hàm số hợp hàm số f qua hàm số trung gian u Một cách tổng quát, ta có khái niệm hàm số hợp sau (ở ta xét hàm số cho biểu thức) Cho hai hàm số Thay biến u biểu thức f(u) biểu thức u(x),ta biểu thức x Khi đó,hàm số với u; hàm số u gọi hàm số trung gian gọi hàm số hợp hai hàm số f Trong định nghĩa trên,tập xác định hàm số hợp cho biểu thức có nghĩa CHo với biến tập giá trị x Hãy tìm hàm số hợp tập xác định b) Các tính đạo hàm hàm số hợp ĐỊNH LÍ a) Nếu hàm số có đạo hàm điểm hàm số có đạo hàm điểm hàm số hợp có đạo hàm điểm b) Nếu giả thiết phần a) thỏa mãn điểm x thuộc J hàm số hợp có đạo hàm J Ghi Cơng thức thứ hai định lí cịn viết gọn Ví dụ Đối với hàm số tính đạo hàm sau: Ta có nêu ví dụ 4, ta Do Vậy Tổng quát ta xét hàm số (với ) Có thể xem hàm số hàm số hợp hàm số Do hàm số hàm số hợp hàm số trung gian có đạo hàm J ta áp dụng định lí để tính đạo hàm (cịn viết ) sau : ; Ghi Công thức nêu hệ q viết gọn Tương tự,ta xét hàm số a) Tìm hàm số f cho hàm số trung gian b) Chứng minh hàm số hàm số hơp hàm số f hàm số có đạo hàm J hàm số HỆ QUẢ Nếu hàm số có đạo hàm J hàm số có đạo hàm J,và có đạo hàm J với với Ghi Công thức nêu hệ viết gọn Ví dụ GHI NHỚ a) Đạo hàm hàm số thường gặp (ở b) Các quy tắc tính đạo hàm (ở ) (ở c) Đạo hàm hàm số hợp (ở ) ): Muốn xây dựng cơng thức tính đạo hàm hàm số lượng giác,trước hết cần nghiên cứu giới hạn sau Giới hạn Ta chứng minh định lí sau ĐỊNH LÍ Người ta chứng minh kết sau : Nếu hàm số thỏa mãn điều kiện : Ví dụ Tìm giới hạn a) b) Giải với a) b) Cho (A) Hãy tìm kết kết sau ; (B) ; (C) ; (D) Đạo hàm hàm số ĐỊNH LÍ a)Hàm số b)Nếu hàm số có đạo hàm R,và có đạo hàm J J ta có Ghi chú: Cơng thức nêu định lí 2b) viết gọn Chứng minh a) Ta tính đạo hàm hàm số điểm x thuộc R định nghĩa * * Tìm giới hạn Do nên (vì hàm số liên tục ) Vậy b) Công thức đạo hàm hàm hàm số hợp suy từ kết cơng thức lấy đạo Ví dụ Tính đạo hàm hàm số Giải Cho hàm số Hãy chọn kết kết sau : (A) ; (B) (C) ; ; (D) Đạo hàm hàm số Từ công thức tính đạo hàm hàm số , ta có Ta suy định lí sau ĐỊNH LÍ a) Hàm số có đạo hàm R b) Hàm số có đạo hàm J J ta có Ghi Cơng thức nêu định lí 3b) viết gọn Cho hàm số (A) (B) (C) (D) Hãy chọn kết kết sau : ; ; ; Đạo hàm hàm số Sử dụng quy tắc tính đạo hàm thương hai hàm số, tính đạo hàm hàm số Từ ta suy định lí sau : ĐỊNH LÍ a) Hàm số có đạo hàm khoảng (với ), b) Giả sử hàm số có đạo hàm J với Khi đó,trên J ta có Ghi chú: Cơng thức nêu định lí 4b) viết gọn Ví dụ 3.Tính đạo hàm hàm số Giải Do nên kết viết Đạo hàm hàm số ĐỊNH LÍ a) Hàm số có đạo hàm khoảng (với ),và b) Giả sử hàm số có đạo hàm J với Khi J ta có Ví dụ Tính đạo hàm hàm số Giải Vì nên kết cịn viết Hãy chọn kết kết nêu sau hàm số cho a) Cho (A) ; (B) (C) (D) b) Cho (A) (B) (C) (D) ; ; ; ; ; Vui chút! NGHỀ Tặng thầy giáo dạy toán Mấy mươi năm song hành phấn trắng Bấy nhiêu năm tri kỉ với Đạo hàm phết phẩy nghĩa tình đằm thắm Lấy tích phân ta chia sẻ nỗi niềm Tính tổ hợp tìm đường sống Vượt gian lao xác suất thống kê Vẫn yêu đời tìm lo_ga_rit_nepe Bao nhiêu năm bước bục giảng Lớp lớp học trò - hàm mũ tháng năm Mắt long lanh vòng tròn lương giác Hồn ngây thơ theo hình vẽ khơng gian Khối hình trụ vững làm chân đế Đa diện lấp lánh khối kim cương kiên trì theo định lí ba đường Mấy mươi năm đồng nghiệp người Thầy giáo dáng hình tuyệt mỹ Sáng tâm hồn soi sáng niềm tin đổi tiết tiếng cười giòn Chuyện vui đùa xua hết phiền ưu Lại cầm phấn vẽ đường tròn lượng giác Vẫn vững vàng bước sóng hình sin Ngun tiêu 2009 Tienphuc55@yahoo.com ... có đạo hàm khoảng a)Chứng minh hàm số có đạo hàm R.Tìm đạo hàm b)Chứng minh hàm số có đạo hàm R.Tìm đạo hàm b) Đạo hàm số hàm thường gặp Ta có định lí sau : ĐỊNH LÍ a) Hàm số b) Hàm số c) Hàm. .. tự,ta xét hàm số a) Tìm hàm số f cho hàm số trung gian b) Chứng minh hàm số hàm số hơp hàm số f hàm số có đạo hàm J hàm số HỆ QUẢ Nếu hàm số có đạo hàm J hàm số có đạo hàm J,và có đạo hàm J với... có đạo hàm 2) Nếu hàm số f có đạo hàm J hàm số xác định điểm x thuộc J gọi đạo hàm hàm số f Đạo hàm hàm số kí hiệu Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số Giải Với x thuộc khoảng khoảng ta có : * ; * Vậy hàm